1、1第一篇 力 学(Mechanics)2第第1 1章章 质点运动学质点运动学(Kinematics of particle)描述物体的运动状态描述物体的运动状态运动方程运动方程经典力学的时空观经典力学的时空观参考系参考系 物理模型物理模型 物理量物理量 相对运动相对运动3牛顿力学的时空观牛顿力学的时空观 时间与空间：机械运动发生于时间之中，时间与空间：机械运动发生于时间之中，理论力学中采用的理想时空模型是最简单理论力学中采用的理想时空模型是最简单的模型的模型假设存在绝对空间和绝对时间。假设存在绝对空间和绝对时间。绝对空间是三维均匀各向同性的固定不绝对空间是三维均匀各向同性的固定不动的欧几里得空
2、间。动的欧几里得空间。绝对时间是大小连续变化的，方向是从绝对时间是大小连续变化的，方向是从过去到未来。在空间的所有点，时间都是过去到未来。在空间的所有点，时间都是均匀的、单值的均匀的、单值的，不依赖于点的运动的。，不依赖于点的运动的。41.0 矢量矢量一.矢量的表示法矢量的表示法axaxayazyzoakajaiaazyx 222zyxaaaaa 5二.矢量的加、减法矢量的加、减法aba+b三角形法三角形法aba-bab+=？多边形法多边形法aca+b+cbbac=?-ab=？jia43 jib62 jiba10 6三.标量积标量积(点积、数量积、内积点积、数量积、内积)cosabbacosb
3、akajaiaazyx kbjbibbzyx zzyyxxbabababa 7 积积C的方向垂直于矢量的方向垂直于矢量a 和和b组成组成的平面，的平面，cbasinabbackajaiaazyx kbjbibbzyx baijkxayazaxbybzbcosabba指向由右手螺旋法则确定指向由右手螺旋法则确定。四四.矢量积矢量积(向量积、叉积、外积向量积、叉积、外积)bacc8 1.矢量矢量函数的微商与函数的微商与标量标量函数的微商不同：函数的微商不同：矢量矢量函数的微商函数的微商=矢量矢量大小大小的微商的微商+矢量矢量方向方向的微商的微商 五五.矢量函数矢量函数A(t)的微商的微商dtdA
4、tA lim t0 2.的方向，一般不同于的方向，一般不同于A 的方向。的方向。只有当只有当 t0时，时，A 的极限的极限方向，才是方向，才是 的方向。的方向。dtdAdtdA 特别是特别是,当当A的大小不变而只是方向改变时的大小不变而只是方向改变时,就时刻保持与就时刻保持与A垂直。垂直。dtdA9kAjAiAAzyx kdtdAjdtdAidtdAdtdAzyx 由于由于Ax(t),Ay(t),Az(t)是普通的函数，所以是普通的函数，所以就是就是普通函数的微商。普通函数的微商。,dtdAx,dtdAydtdAz 3.在直角坐标系中在直角坐标系中,考虑到考虑到 是常量是常量,有有kji,10
5、 运动是普遍的、绝对的。没有运动就没有世界。运动是普遍的、绝对的。没有运动就没有世界。运动的描述是相对的。运动的描述是相对的。一一.运动的绝对性和相对性运动的绝对性和相对性 1.1 参考系和坐标系参考系和坐标系11坐地日行八万里坐地日行八万里巡天遥看一千河巡天遥看一千河运动的绝对性和静止的相对性统一送瘟神送瘟神12 在研究机械运动时，在研究机械运动时，选作参考的物体选作参考的物体称为称为参考参考系系。为了作定量描述，为了作定量描述，还要取一个固定在参考系中还要取一个固定在参考系中的的坐标系坐标系。坐标系坐标系是参考系的是参考系的代表代表和和抽象抽象。二二.参考系参考系 坐标系坐标系 常用的坐标
6、系常用的坐标系:直角坐标系直角坐标系 自然坐标系自然坐标系 极坐标系极坐标系m nS.131-2 典型机械运动及理想模型典型机械运动及理想模型 质点质点在所研究的问题中，在所研究的问题中，形状和大小形状和大小可以可以忽忽略略的物体。的物体。刚体刚体 运动中形状和大小都保持不变的物体。运动中形状和大小都保持不变的物体。谐振动谐振动 弹性回复力弹性回复力 F=kx 141.3 描述质点运动的物理量！描述质点运动的物理量！一一.位置矢量位置矢量描述质点在空间位置的矢量描述质点在空间位置的矢量r=xi+yj+zkoxyzP(x,y,z)xyz ABCr 位 置位 置矢量矢量，简称，简称位矢位矢或或矢径
7、矢径。BPABoAr 从坐标原点从坐标原点o指向指向P点的有向线段点的有向线段op=r r 质点质点P到原点到原点o的距离的距离222zyxrr cos2 +cos2 +cos2 =1 15它们都叫做质点的它们都叫做质点的运动方程运动方程。质点经过的空间各点联成的质点经过的空间各点联成的曲线的方程曲线的方程，称，称为为轨道方程轨道方程。运动方程运动方程 例：例：x=6cos2t y=6sin2t x2+y2=62 轨道方程轨道方程。二二.运动方程和轨道方程运动方程和轨道方程)t(zz),t(yy),t(xx )t(rr 16 (1)位移位移是位置矢量是位置矢量r 在在时间时间 t内的内的增量增
8、量:三三.位移和路程位移和路程 而而A到到B的路径长度的路径长度 S,称为称为路程路程。)()(trttrr Sr(t)rA(t)zyoxB(t+t)称为称为质点在时间质点在时间 t内的内的位移位移。r(t+t)从起点从起点A到到终点终点B的有向线段的有向线段AB=r 17kzzjyyixxrrr)()()(12121212 kzjyixr1111 t1:kzjyixr2222 t2:x 方方向向的的位位移移y 方方向向的的位位移移z 方方向向的的位位移移18位移位移=AC路程路程=AB+BCAB只有当只有当 t0时时,才有才有|r|S。(2)位移和路程是两个不同的概念。位移和路程是两个不同的
9、概念。BAC 路程路程表示路径长度，是标表示路径长度，是标量，是弧长量，是弧长AB=S。r(t)rA(t)zyoxB(t+t)r(t+t)S 位移位移代表位置变化，是矢量，是直线段代表位置变化，是矢量，是直线段AB的长的长度，与路径形状无关。度，与路径形状无关。19单位时间内的单位时间内的路程路程平均速率。平均速率。定义定义:单位时间内的单位时间内的位移位移平均速度。平均速度。四四.速度、速率速度、速率tS tr r(t)rA(t)zyoxB(t+t)r(t+t)S20 如，质点经时间如，质点经时间t t绕半径绕半径R的圆周运动一圈，的圆周运动一圈，即使在直线运动中，如质点经时间即使在直线运动
10、中，如质点经时间 t t从从A点到点到B点点又折回又折回C点点,显然显然平均速度平均速度和和平均速率平均速率也截然不同也截然不同:而平均速率为而平均速率为tRtS 2 则平均速度为则平均速度为tBCAB tAC 0trBAC21质点的质点的(瞬时瞬时)速率速率:limt0tS =dtdS dtdr 质点的质点的(瞬时瞬时)速度速度:tr limt0 即：速度即：速度 等于位置矢量等于位置矢量r 对时间的对时间的一阶导数一阶导数;而速率而速率 等于路程等于路程S对时间的对时间的一阶导数一阶导数。22=(1)(1)速率速率=速度的大小。速度的大小。例例:(A);dtdr limt0tS =tr l
11、imt0(B);dtrd (C)dtdr )0(sr,t 当当limt0tS =dtdS dtdr tr limt0(2)=(2)=r 大小的导数大小的导数 +r 方向的导数方向的导数。dtrd 23速度的大小：速度的大小：dtdz,dtdy,dtdxzyx (3)(3)在直角坐标系中在直角坐标系中,zkyjxirkdtdzjdtdyidtdxdtdr 222zyx 速度的方向：轨道切线方向。速度的方向：轨道切线方向。24平均加速度：平均加速度：五五.加加速度的定义速度的定义)()(ttt taOxyz)(t A.)(tt B.(瞬时瞬时)加速度加速度定义为定义为22dtrddtd limt
12、0t a 加速度加速度a等于速度等于速度 对时间的对时间的一阶导数一阶导数。在时间在时间 t t内质点速度的增量：内质点速度的增量：25kdtzdjdtydidtxdkdtdjdtdidtddtdazyx222222 222222dtzddtda,dtyddtda,dtxddtdazzyyxx (2)(2)加速度加速度a 的大小的大小:222zyxaaaaa (1)(1)在直角坐标系中在直角坐标系中,加速度的表示式是加速度的表示式是26 在曲线运动中在曲线运动中,加速度的方向加速度的方向总是指向曲线凹的一边的。总是指向曲线凹的一边的。在国际单位制中在国际单位制中,加速度的单位加速度的单位为米为
13、米/秒秒2 2(ms-2)。adtd 加速度加速度a 的方向是：当的方向是：当 t t00时时,速度增量速度增量 的的极限方向。极限方向。应该注意到应该注意到,的方向和它的极限方向一般不的方向和它的极限方向一般不同于速度同于速度 的方向的方向,因而加速度因而加速度a 的方向与同一时刻的方向与同一时刻速度速度 的方向一般不相一致。的方向一般不相一致。aaa27例：例：;dtda)A(任何一个曲线运动都可以看作是沿任何一个曲线运动都可以看作是沿x,y,z 三三个坐标轴方向的独立的直线运动的叠加个坐标轴方向的独立的直线运动的叠加,这就是这就是运动的叠加原理运动的叠加原理。;dtda)B(.dtda)
14、D(;dtda)C(kjidtdrzyx kajaiadtdazyx 28r=xi+yj+zk求求 导导积积 分分dtdr dtda *运动学的两类问题运动学的两类问题29 例题例题3.1 质点沿质点沿x轴运动轴运动,x=t39t2 +15t+1(SI),求求:(1)(1)质点首先向哪个方向运动质点首先向哪个方向运动?何时调头？何时调头？(2)(2)t=0,2s时的速度时的速度;(3)0 (3)0 2s内的平均速度和路程。内的平均速度和路程。t=1,5s前后速度前后速度 改变了方向改变了方向(正负号），正负号），所以所以t=1,5s调头了。调头了。因因t=0，=+15m/s,所以质点首先所以质
15、点首先向向x轴正方向运动。轴正方向运动。=3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0解解 (1)(1)质点做直线运动时，调头的条件是什么？质点做直线运动时，调头的条件是什么？dtdx t=1,5s30考虑到考虑到t=1s时调头了，故时调头了，故02s内的内的路程应为路程应为 s=|x(1)-x(0)|02s内的位移：内的位移：x=t39t2 +15t+1平均速度：平均速度：x=x(2)-x(0)=3-1=2mtx =1(m/s)(2)(2)t=0,2s时的速度时的速度;=3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)dtdx t=0,=15m/s t=2,=-9m/s(3)(3)0 2s内
16、的平均速度和路程。内的平均速度和路程。+|x(2)-x(1)|=7+5=12m 31jtitr)12()23(22 质点作什么样的运动？质点作什么样的运动？例题例题3.2 2 质点位矢：质点位矢：解解 x=3+2t2,y=2t2-1y=x-4 直线直线j ti tdtrd44 jidtda44 质点作质点作匀加速直线运动匀加速直线运动。32 解解 (1)(1)x=Rcos t，y=Rsin t 轨道方程：轨道方程：x2+y2=R2 圆圆 由于由于t=0t=0时时,x=R,y=0,而而t0t0+时时,x0,y0,由此判定由此判定粒子是作逆时针方向的圆周运动。粒子是作逆时针方向的圆周运动。j tc
17、osRi tsinRdtrd rj tsinRi tcosR222 dtda 例题例题3.3 3 粒子矢径粒子矢径:r=Rcos t i+Rsin t j，其中其中R、为正值常量。为正值常量。(1)(1)分析粒子的运动情况分析粒子的运动情况;(2);(2)时间时间t=/2/内内的位移和路程。的位移和路程。33 Ryx 22其大小为其大小为 加速度加速度a的方向的方向-r，即沿着半径指向圆心。，即沿着半径指向圆心。Ra2 综上所述，粒子作逆时针的匀速率圆周运动。综上所述，粒子作逆时针的匀速率圆周运动。j tcosRi tsinRdtrd rj tsinRi tcosR222 dtda 34(2)
18、(2)在时间在时间t=/2/内的内的位移为位移为 注意到注意到 为角速度，在时间为角速度，在时间t=t=/2/内粒子刚好内粒子刚好运动半个圆周，故路程运动半个圆周，故路程:S=R。iR)(r)(rr22 j tsinRi tcosRr 35平均速度平均速度：(2)第第2s内内的平均速度：的平均速度：当当t=1s时，时，(1)位矢：位矢：j)t(tir22192 )m(jir1721 当当t=2s时，时，)m(jir1142 (m)jirrr6212 )/(62smjitr 例题例题3.4 质点质点:x=2t,y=19-2t2(SI),求：求：(1)质点在质点在t=1s、t=2s时的位置；时的位
19、置；解解36代入代入t=1s,得：得：加速度：加速度：(3)第第1s末的速度和加速度：末的速度和加速度：j)t(i tr22192 j tidtrd42 jdtda4 )s/m(ji42 )s/m(ja24 )s/m(20(-4)222 a=4(m/s2)速度：速度：3722222)2t-(19(2t)yxr0 dtdr由此得由此得:t=0,3s(略去略去t=-3s);t=0,r=19(m);t=3s,r=6.08(m),可见可见t=3s时最近。时最近。r有极值的必要条件是：有极值的必要条件是：(5)何时质点离原点最近何时质点离原点最近?x=2t,y=19-2t22192xy 这是一条抛物线这
20、是一条抛物线 (4)轨道方程：轨道方程：38(6)第第1s内的路程内的路程:j tidtrd42 dtds 22)4(2t 2)2(12t )2()2(12tdtds )2()2(1210tdts (2t)1ln(2t)2(12122 t10=1.34m2o21atts jdtda4 39 例题例题3.5 在离水面高度为在离水面高度为h的岸边，一人以恒定的的岸边，一人以恒定的速率速率 收绳拉船靠岸。求船头与岸的水平距离为收绳拉船靠岸。求船头与岸的水平距离为x时时速度和加速度。速度和加速度。解解 22hrx ,hrdtdrrdtdx22 dtdrjhi xr idtdxdtrd xhxi22 3
21、22xhidtda hxroxy40 解解2:,hxr22 ,hxdtdxxdtdr22 dtdr船的速度船的速度:xhxdtdx22 船船322xhdtda 船船船船hxr41dtda 解解 取取 o=0位置为坐标原点，向下为位置为坐标原点，向下为x轴的正轴的正方向。方向。BA dtdaxx )e(BABt 1 22yxaaa 22yx 例题例题3.6 伞兵竖直降落，伞兵竖直降落，o=0，a=A-B，式式中中A、B为常量；求伞兵的速度和运动方程。为常量；求伞兵的速度和运动方程。CtABB )ln(1 ABd dtBteCAB 1 42)1(2 BteBAtBAx完成积分就得运动方程完成积分就
22、得运动方程:)e(BAdtdxBt 1)1(BteBA dt)e(BAdxBttx 100运动方程：运动方程：43单位矢量单位矢量:沿沿轨道切向轨道切向 n 沿沿轨道法向指向轨道法向指向凹凹側側 p1C.六六.向心加速度和切向加速度向心加速度和切向加速度曲率圆曲率圆(t)ndtda =大小大小的变化率的变化率+方向方向的变化率的变化率44 dtddtda =ndtddtd p1C.(t)np2)(tt so)(tt )(t 加速度加速度:当当 t0时，时，0 的极限方向为的极限方向为 的方向，所以的方向，所以nn dtd lim t0t 45因因ds=d d (为曲率半径为曲率半径)ndtds
23、dsddtd ndtds 1 n dtdna 2p1C.(t)np2)(tt so)(tt )(t dtddtda ndtddtd 46 dtda 大小：大小：方向：方向：沿半径指向圆心。沿半径指向圆心。大小：大小：方向：方向：沿轨道切线方向。沿轨道切线方向。dtda 作用：作用：描述速度方向的描述速度方向的 变化。变化。作用：作用：描述速度大小的描述速度大小的 变化。变化。加速度小结加速度小结：dtdndtda 2 aan 名称：名称：向心向心(法向法向)加速度。加速度。名称：名称：切向加速度。切向加速度。na aanan2 2 na 47加速度的大小加速度的大小:aan tana与速度与速
24、度 的夹角的夹角 是是:2 nadtda aadtdan a ana222 dtd 22 aaan 48ctbdtds cdtda R)ctb(Ran22 cRcbt 由由an=|at|得得:cbt 解得解得解解 (1)例题例题3.7 质点作圆周运动质点作圆周运动,半径半径R，(b,c为常数为常数,且且b2Rc);求求:何时何时 an=a?a=c?221ctbts c(2)由由ana a2249 cosox cosgan 解解 an、a 是是总加速度总加速度g g沿轨沿轨道法向和切向的分量：道法向和切向的分量：gtoy sin22yx singa 例题例题3.8 8 求斜抛体在时刻求斜抛体在时
25、刻t t的的an n、a 和和(设初设初速速 o o，仰角仰角)。xg yg xy ogoaan x y5022)sin()cos(cosgtgooo xngga cos ygga sin cos)sin()cos(3222ooonggta 讨讨论论：(1)在轨道的最高点，在轨道的最高点，显然显然=0=0，y y=0,=0,故该点：故该点：g)(o2cos an n=g,=g,a=0=022)sin()cos()sin(gtgtgooo xy ogoaan x y51(2)解解法之二法之二dtda 22 aagn na2 2o2ogt)-sin()cos(22 agan 2o2ogt)-sin
26、()cos(sin )gt(go,ox cos gtoy singxy o52 例题例题3.9 质点质点:x=2t,y=19-2t2(SI);求时求时刻刻t的的an、a、及及a与与 的夹角。的夹角。j tidtrd42 解解jti tr)219(22 2418ttdtda jdtda4 22 aaan 2414t 2412t 4 a 2 na532414tan na2 2412t 2/32)41(t a与与 的夹角：的夹角：t=02418tta aan tana anat 21 何时何时a?54 =3t,1st 3t2=3,求出求出t=t=1s 例题例题3.1010 圆运动，圆运动，r=3m，
27、开始，开始静止静止,a=3ms-2；求：求：(1)(1)第第1s末加速度的大小；末加速度的大小；(2)(2)经多少时间经多少时间a与与 成成45?这段时间内的路程是多少？这段时间内的路程是多少？,3 dtda 解解(1)(1)由由有有 003tdtd223tran )(23310mtdtS ,tdtdS3 又又 (2)(2)a与与 成成45，即表示：，即表示：an=a ，于是有，于是有anaa22)ms(223 55dtd 角加速度：角加速度：dtd 七七.圆周运动中角量和线量的关系圆周运动中角量和线量的关系角速度：角速度：角角 角坐标角坐标(角位置角位置)。yxoAR RdtdaRRaRn
28、,2256 的方向：垂直于质的方向：垂直于质点的运动平面点的运动平面,其指向由其指向由右手螺旋定则确定。右手螺旋定则确定。r dtd R 角速度矢量角速度矢量 57 圆周运动与直线运动的比较：圆周运动与直线运动的比较：直线运动直线运动圆周运动圆周运动坐标坐标 x角坐标角坐标 速度速度角速度角速度加速度加速度角加速度角加速度若若a=恒量，则恒量，则若若 恒量恒量,则则dtdx dtd dtda dtd 221attxo xao 222 to 221tto 222oato 58 例题例题3.1111 飞轮飞轮半径半径R=1m，=2+12 t-t3(SI)，求：求：(1)(1)轮边上一点第轮边上一点
29、第1s末的末的an=？a=？(2)(2)经多少时经多少时间间、转几圈飞轮将停止转动？转几圈飞轮将停止转动？,tdtd2312 tdtd 6 an=R 2=(12-3 t2)2,a=R =-6 t代入代入t=t=1s,an=81 2,a=-6 (SI)(SI)(2)(2)停止转动条件：停止转动条件：=12-3 t2=0,求出：求出：t=2s。t=2s,2=18，解解(1)t=0,o=2,所以转过角度：所以转过角度：=2-o=16=8圈圈。59 解解 例题例题3.1212 质点作圆运动，质点作圆运动，R，=A+Bt (A、B为正的常量为正的常量)。求：质点在圆上运动一。求：质点在圆上运动一周又回到
30、出发点时，周又回到出发点时，an=？a=？a=？BARBAt 42解得解得,Bdtda RBtARan22)(,BtAdtds to Ro 2 dsdt)BtA(2212BtAtR 60RBtARan22)(BRA 42 Bdtda 22 aaan BARBAt 42222)4(BBRA an=？a=？a=？=A+Bt611.4 相对运动相对运动 对空间对空间P点点,有有rps=rps+rssyxyoSS zzOrpsrps.prs s ps=ps+ssaps=aps+ass 假定：参考系假定：参考系S和和S 之间，只有相对之间，只有相对平移平移而而无相无相对转动对转动,且各对应坐标轴始终保持
31、平行。且各对应坐标轴始终保持平行。62 ps=-sp ps=p +ss s 人对水人对水=人人 +水水对对船船 船船对对它表示：它表示：质点质点P对对S系的速度等于质点系的速度等于质点P对对S 系的速系的速度与度与S 系对系对S系的速度的矢量和。系的速度的矢量和。注意：注意：(1).速度合成定理是速度合成定理是矢量矢量关系式。关系式。(2).双下标先后顺序交换意味着改变一个符号双下标先后顺序交换意味着改变一个符号,即：即：ps=ps+ss速度合成定理速度合成定理6345 解解 首先写出速度合成定理：首先写出速度合成定理：（1）矢量三角形法矢量三角形法 风对人风对人=风对风对地地+地地对人对人
32、例题例题4.1 一人骑自行车以速率一人骑自行车以速率 向正西行驶，风以向正西行驶，风以相同速率由北向南方向吹来，试问：人感到的风速大相同速率由北向南方向吹来，试问：人感到的风速大小是多少？风从哪个方向吹来？小是多少？风从哪个方向吹来？=风对地风对地-人人对地对地 由于由于 人对地人对地=风对地风对地=,风对人风对人=2人感到风从人感到风从西北方向西北方向吹来。吹来。xy 风对地风对地 人人对地对地 风对人风对人64 (2)单位矢量法单位矢量法 风对人风对人=风对风对地地+地地对人对人=风对地风对地-人人对地对地 j )i()ji(2大小：大小：风对人风对人=方向：与方向：与x轴正方向的夹角：轴
33、正方向的夹角：451arctgarctg )(xyo 风对地 人对地 (由于由于 人对地人对地=风对地风对地=)65解解 雨对地雨对地=雨对雨对车车+车车对地对地30o 雨对地雨对地 车对地车对地=35xy得：得：雨对地雨对地=25.6m/s 例题例题4.2 火车静止时，雨滴方向偏向车火车静止时，雨滴方向偏向车头头30；当火车以；当火车以35m/s的速率沿水平直路行的速率沿水平直路行驶时，发现雨滴方向偏向车尾驶时，发现雨滴方向偏向车尾45，求雨滴相，求雨滴相对地速度的大小。对地速度的大小。75sin3545sin 雨雨对对地地 45 45o 雨对车雨对车66 例题例题4.3 河水由西向东河水由
34、西向东,速度速度10km/h。轮船相对河。轮船相对河水的航速水的航速20km/h，航向为北偏西，航向为北偏西30。此时风向为。此时风向为正西，风速为正西，风速为10km/h。求在船上观察到的烟囱冒出的。求在船上观察到的烟囱冒出的烟缕的方向烟缕的方向(设烟离开烟囱后很快获得与风相同的速设烟离开烟囱后很快获得与风相同的速度度)。解解地地对对船船烟烟对对地地烟烟对对船船 船船对对地地烟烟对对地地 水水对对地地船船对对水水船船对对地地 水水对对地地船船对对水水烟烟对对地地烟烟对对船船 xyo10 烟烟对对地地 船对水船对水=203010 水水对对地地 67水水对对地地船船对对水水烟烟对对地地烟烟对对船船 i10 烟烟对对地地)30cos60cos(20ji 船船对对水水 i10 水水对对地地)ji(31010 烟烟对对船船 得得大小大小:)/(20hkm 烟烟对对船船 方向与方向与x轴正向的夹角为轴正向的夹角为,3tg 240(南偏西南偏西30)xyo10 烟烟对对地地 船对水船对水=203010 水水对对地地 烟对船30
