1、第四章 平面问题 有限元早期的研究是从弹性力学的平面问题开始的，对平面问题的研究使有限元的研究对象从离散体向连续体迈出了关键性的一步。两类平面问题1、平面应力问题0zxzyz0zxyz2、平面应变问题重力坝水压力0zxzyzzxy0z平面问题的基本物理量弹性矩阵21010100(1)2ED1010(1)(1 2)00(1 2)2ED平面应力：平面应变：三角形单元单元结点力和结点位移 TTeTTTijmiijjmmuvuvuvTiiivu),(mji位移模式yxu321yxv654 mmmmmmjjjjjjiiiiiiyxvyxuyxvyxuyxvyxu654321654321654321代入结
2、点坐标和结点位移确定待定常数mmjjiimmjjiimmmjjjiiiuxuxuxyuyuyuyxuyxuyxu111211112121321mmjjiiyxyxyx1112123111iiijjjmmmxyuxyuxyu式中111()22iiijjjiijjmmmmmuxyuxyaua ua uuxyiijjmmijmjjmmiixyxyxyaaaxyxyxyijmmjjmiimmijjiax yx yax yx yax yx y(,)ijmmjax yx yi j m21111()221iijjiijjmmmmuyuybub ub uuy111111ijmijmjmiyyybbbyyy i
3、jmjmimijbyybyybyy(,)ijmbyyi j m31111()221iijjiijjmmmmxuxucuc uc uxu111111ijmijmjmixxxcccxxx()()()ijmjmimijcxxcxxcxx ()(,)ijmcxxi j m 31()2iijjmmcuc uc u21()2iijjmmbub ub u11()2iijjmmaua ua u1231()()()212iijjmmiijjmmiijjmmiiiijjjjmmmmuxyaua ua ubub ub uxcuc uc uyab xc y uab xc y uab xc y u用结点位移表示的单元位
4、移12iiiijjjjmmmmuab xc y uab xc y uab xc y u)(mjimjijmmjixxcyybyxyxa),(mji ycxbaNiiii21mmjjiiuNuNuNu表示成形函数的形式形函数的定义),(mji另外三个系数45661()2iijjmmcvc vc v51()2iijjmmbvb vb v41()2iijjmmava va v12iiiijjjjmmmmiijjmmvab xc y vab xc y vab xc y vN vN vN v矩阵形式表示000000iiijmjeijmjmmuvNNNuuNNNvvuv uNijmNNNN2iiNNI(,
5、)i j m单元间位移的连续 根据式(4.11)和(4.13)，在单元的边界上位移是线性变化的，两个相邻的单元在其公共结点上具有相同的结点位移，因而在他们的公共边界上，两个单元将具有相同的位移，也就是说所选的位移函数保证了相邻单元之间位移的连续性。单元的应变与B矩阵xyxyuxvyuyvx 00010002iiijmjeijmjiijjmmmmuvbbbucccvcbcbcbuv BiBjBmBBB是常数矩阵jimijmNNNuuuuxxxx单元应力eeSDBijmijmSD BBBSSS形函数的性质和面积坐标形函数的性质11)(21),(iiiiiiiiycxbayxN0)(21),(jij
6、iijjiycxbayxN0)(21),(mimiimmiycxbayxN1(,)0ijjjiN xyji当当(,)i j m1211iijjmmxyxyxy 形函数性质21ijmNNN证明如下：1()21()()()2ijmiiijjjmmmijmijmijmNNNab xc yab xc yab xc yaaabbbxcccy002形函数的性质3三角形单元ijm的边ij上，形函数满足 1iijixxNxx ijjixxNxx0mNiimmiiijijyxxcbyxxxxyyy)()(只要把下式代入形函数的表达式即可得到上式这个性质可以用来证明单元的位移在边界上是连续的！ijm单元边界位移连
7、续的再次证明面积坐标iiLjjLmmL1mjiLLL面积坐标与形函数的关系ijmpiycxbayxyxyxiiimmjji2111121ycxbaLiiiii21ycxbaLjjjjj21ycxbaLmmmmm21iiLNjjLNmmLN面积坐标与直角坐标的关系1()()210(2)02iijjmmiijjmmiijjmmiijjmmx Lx Lx La xa xa xb xb xb xxc xc xc xyxx1211iijjmmxyxyxy 1()()2100(2)2iijjmmiijjmmiijjmmiijjmmy Ly Ly La ya ya yb yb yb yxc yc yc yy
8、yymmjjiimmjjiiLyLyLyyLxLxLxx关于面积坐标的积分公式2)!2(!dxdyLLLmji!(1)!ijijLL L dsl),(mji上述公式在单元的等效结点力计算时要用到单元刚度矩阵eTTdhdxdy KB DBB DBeThKB DBB是常数矩阵分块形式的单刚iiijimejijjjmmimjmmKKKKKKKKKK21122114(1)22rsrsrsrsTrsrsrssrrsrsb bc cb cc bEhhc bc bc cb b KB DB对于平面应力),(mjisr体积力的等效结点力dd deTTvvvhxy fN pN peTviieeTvvjjveTvm
9、mhdxdyfNffNpfN所以eTviivivNhdxdyNhdxdyfI pp),(mji自重的等效结点力0vgp00vxieviiivyifNhdxdyghN dxdyfgf1!0!0!12(1002)!3ighN dxdyghgh 10101013Tevgh f表面力的等效结点力ddeTTsssBLBhsfN pN pdeTsiieeTssjjveTLsmmhsfNffNpfN0dlsxixesiisyiyfpNh sfpf线性分布的表面力Tp()ijislpppp()()sincos1()()cossinxijijyijijpyyxxpxxyylp线性分布的表面力1iisNLl jj
10、sNLl0mmNL 在ij边上形函数为0lsxixesiisyiyfpNhdsfpf所以0lsxjxesjjsyjyfpNhdsfpf00esmfijmslij方向固定的分布力()0 xijiypppp s lpp00(1)()(2)6llsxiixijiijsshlfN p hdsppphdsppll00()(2)6llsxjjxijiijsshlfN p hdsppphdsppll11010002Tesphlf均布荷载：1210000233esphlf三角形分布荷载：热应力eTTThdxdyfB DdeTTTfB D对于各向同性材料的平面应力问题112(1)0TeTTiijjmmEhThd
11、xdybcbcbcTdxdy fB D如果温度为线性分布)(31mjiTTTTdxdy()6(1)TijmeTiijjmmE h TTTbcbcbcf矩形单元位移模式 局部坐标 xhxy(x0,y0)xaxx0hbyy02b2a位移模式 xhhxxhhx87654321vu41iiiuNu41iiivNv(1)(1)4iiiNxxhh(1,2,3,4)i 矩阵形式(1)(1)4iiiNxxhh1421234134iiiuv uNNNNNINiiiiNNN00iiivu(1,2,3,4)i 应变矩阵xhhxvbuavaubabxvyuyvxuxyyx11xax1ybhxaxx0hbyy0应变矩阵
12、e4321BBBB 0(1)01100(1)4(1)(1)iiiiiiiiiiiiiNbbNaaabababNNabxxhhhxxhhxxxhhhx B41iiiuNu41iiiNuuxx1(1)4iiiNxhhx单元刚度矩阵11121314212223243132333441424344eKKKKKKKKKKKKKKKKK1 11 1TTijijijhdxdyabhd dx h KB DBB DB(,1,2,3,4)i j 1 11 1(,)(,)f x y dxdyabfd dx hx h 单元位移的连续性体积力的等效结点力1 11 1dd dddeTTTvvvvhxyhabx h fN
13、pN pN p1234vevvvvfffff1 11 1ddvxiviivvyifNhabfx h fp自重的等效结点力0vgp1 11 1ddvxiviivvyifNhabfx h fp1 11 11 11 1ddddvyiiifNghabghabNx hx h 1 11 11 11 11dd(1)(1)dd14iiiNx hxxhhx h 4vyifghabW 表面力ddeTTsssBLBhsfN pN p11ddsiisisLNhsh Nbhfpp(2,3)i 1234sessssfffff线性分布的表面力0sxspp22332311(1)(1)22sxpN pN ppphh112222
14、23231111d(1)(1)d(2)43sxsxhb N phbpphbpphhhhf11223323231111d(1)(1)d(2)43sxsxhb N phbpphb pphhhhf温度荷载1 11 1ddeTTThabx h fB DdeTTTfB D41jjjTN T假设：得到温度载荷的等效结点力为(平面应力，各向同性)41 1141 111(1)1314(1)1(1)03iijjjxieTTiiyiiijjjbTFE habhTd dFaTxhhx hhxx fB D收敛准则对于一个数值方法，我们总是希望随着网格的逐步细分，得到的解答收敛于问题的精确解。从上面分析中可以看出，在单
15、元形状确定以后，位移模式的选择是关键。等效载荷的计算，刚度矩阵的建立和应变应力的计算等等，都依赖于位移模式。显然，一个与真实位移分布有很大差别的位移模式，是很难得到很好的数值结果。位移模式包含单元的刚体位移位移模式包含单元的刚体位移 位移模式包含单元的常应变位移模式包含单元的常应变 位移模式在单元内连续，相邻单元间协调位移模式在单元内连续，相邻单元间协调 完备完备协调协调完备的协调单元保证有限元计算的收敛性位移模式的几何各向同性对称性的利用 应力计算结果的整理应力在单元间不连续P(1)(2)(3)(4)?P(1)(2)(3)(4)14PPPPP(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(1)(2)(3)(4)PPPPPAAAAAAAA算例110MPa10MPa10MPa10MPa9cm6cmxy单元数量对计算结果的影响单元形状对计算结果的影响算例2有限元模型III类围岩衬砌附近的网格
