1、 1.2.2 1.2.2 组合组合问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天的一项活动，其中加某天的一项活动，其中1 1名同学参加上午的名同学参加上午的活动，活动，1 1名同学参加下午的活动，有多少种不名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？同的选法？问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？加某天一项活动，有多少种不同的选法？236A 甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3情境创设情境创设从已知的从已知的3个不同个不同元素中每元素中每次取出次取
2、出2个元素个元素 ,并成一组并成一组问题问题2从已知的从已知的3 个不同个不同元素中每元素中每次取出次取出2个元素个元素 ,按照一定按照一定的顺序排的顺序排成一列成一列.问题问题1排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素）个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n个个不同元素中取出不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合 排列与组合的排列与组合的概念有什么共概念有什么共同点与不同点？同点与不同点？概念讲解概念讲解组合组合定义定义:组合定义组合定义:一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出mm（mmn
3、 n）个元素个元素并成一组并成一组，叫做从，叫做从n n个不同元素中取出个不同元素中取出mm个元素的个元素的一个一个组合组合排列定义排列定义:一般地，从一般地，从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)m(mn)个个元素，元素，按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从 n n 个不同元素个不同元素中取出中取出 m m 个元素的一个个元素的一个排列排列.共同点共同点:都要都要“从从n n个不同元素中任取个不同元素中任取m m个元素个元素”不同点不同点:排列排列与元素的顺序有关，与元素的顺序有关，而组合而组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关.概念讲解概念讲解思考一思
4、考一:ab b与与b ba是相同的排列还是相同的组合是相同的排列还是相同的组合?为什么为什么?思考二思考二:两个相同的排列有什么特点两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢两个相同的组合呢?）元素相同；）元素相同；）元素排列顺序相同）元素排列顺序相同.元素相同元素相同概念理解概念理解构造排列分成两步完成，构造排列分成两步完成，先取元素后排序先取元素后排序；而；而构造组合就是其中一个步骤构造组合就是其中一个步骤.思考三思考三:组合与排列有联系吗组合与排列有联系吗?判断下列问题是组合问题还是排列问题判断下列问题是组合问题还是排列问题?(1)(1)设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合
5、A的含有的含有3 3个元素的子集有个元素的子集有多少个多少个?(2)(2)某铁路线上有某铁路线上有5 5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票车票?有多少种不同的有多少种不同的火车票价火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)10(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组,共有共有多少种分法多少种分法?组合问题组合问题(4)10(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手共需握手多少次多少次?组合问题组合问题(5)(5)从从4 4个风景点中选出个风
6、景点中选出2 2个游览个游览,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?组合问题组合问题(6)(6)从从4 4个风景点中选出个风景点中选出2 2个个,并确定这并确定这2 2个风景点的游览顺序个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法有多少种不同的方法?排列问题排列问题组合问题组合问题组合是选择的结果，排列组合是选择的结果，排列是先选择再排序的结果是先选择再排序的结果.1.1.从从 a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是合分别是:2.2.已知已知4 4个元素个元素a,b,c,d ,写出每次取出两个元素的写出每次取出两个元素的所有组合所有组合.ab c
7、d b c d cd ab,ac,bc (3(3个个)ab,ac,ad,bc,bd,cd(6(6个个)概念理解概念理解 从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的个元素的所有组合的个数，叫做从所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示.mnC233C 246C 如如:从从 a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是有组合个数是:如如:从从4 4个元素个元素a、b、c、d 中中,每次取出两个每次取出两个元素的所有组合个数是：元素的所有组合个数是：概念讲解概念讲解组合数组
8、合数:是一个数，应该把它与是一个数，应该把它与“组合组合”区别开来区别开来 mnC1.写出从写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。四个元素中任取三个元素的所有组合。abc，abd，acd，bcd.bcddcbacd组合排列 abcabd acd bcd abc bac cab acb bca cba abd bad dab adb bda dba acd cad dac adc cda dca bcd cbd dbc bdc cdb dcb不写出所有组合，怎样才能知道组合的个数？不写出所有组合，怎样才能知道组合的个数？你发现了你发现了什么什么?可分两步考虑：求P34PPC33
9、3434 34A求可分两步考虑：34 4C第一步，（）个；33 6A第二步，（）个；333.434 CAA根据分步计数原理，334343ACA从而mnC如何计算如何计算:组合数公式组合数公式 排列与组合是有区别的，但它们又有联系排列与组合是有区别的，但它们又有联系 一般地，求从一般地，求从 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素的排个元素的排列数，可以分为以下列数，可以分为以下两两步：步：nm 第第1步，先求出从这步，先求出从这 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元个元素的组合数素的组合数 mnCnm第第2步，求每一个组合中步，求每一个组合中 个元素的全排列数个元素的全排列数 mmAm根据
10、分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到：m mm mm mn nn nm mA A=C C A A因此：因此：121!mmnnmmn nnnmACAm 这里这里 ，且，且 ，这个公式叫做，这个公式叫做*Nnm、nm 概念讲解概念讲解组合数公式组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAn nnnmCAm 从从 n 个不同元中取出个不同元中取出m个元素的排列数个元素的排列数 mmmnmnCAA!()!mnnCm nm01.nC我们规定：概念讲解概念讲解例例1 1计算：计算：47C 710C32(3),nnnCA已知求例题分析例题分析(4)(4)求求38-n3n3n21+nC+C的值.例21
11、1:.(256mmnnmPnmCC求证练习）,!:）（！证明mnmnCmn)!1()!1(!111mnmnmnmmnmCmn)!1)(!)!1(1mnmnnmm.!)(!Cmnmnmn 4 组合组合的两个性质的两个性质性质性质1 性质性质2mn-mnnC=C.mmm-1n+1nnC=C+C.例例3：一位教练的足球队共有：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是一个足球队的上场队员是11人。问：人。问：（1）这位教练从这）这位教练从这17名学员中可以形成多少种
12、学员上名学员中可以形成多少种学员上场方案？场方案？（2）如果在选出）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？11111717(1)C=12376(1)C=1237611111117111711(2)CC=136136(2)CC=136136例例4.4.课本例课本例7 7 (1)(1)平面内有平面内有1010个点，以其中每个点，以其中每2 2个点为端点个点为端点的的线段线段共有多少条？共有多少条？(2)(2)平面内有平面内有1010个点，以其中每个点，以其中每2 2个点为端点个点为端
13、点的的有向线段有向线段共有多少条？共有多少条？例题分析例题分析210(1)45C210(2)90A 例例5.5.甲、乙、丙、丁甲、乙、丙、丁4 4支足球队举行支足球队举行单循环赛单循环赛(1)(1)列出所有各场比赛的双方；列出所有各场比赛的双方；（2)2)列出所有冠亚军的可能情况列出所有冠亚军的可能情况.（2 2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲乙甲、丙甲丙甲、丁甲丁甲、丙乙丙乙、丁乙丁乙、丁丙丁丙(1)(1)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：解：例例6.(1)6.(1)凸五边形有多少条对角线？凸五边形有多少条对
14、角线？(2)(2)凸凸n n（n3n3）边形有多少条对角线？）边形有多少条对角线？210(1)540C 2(2)nCn课堂小结课堂小结 l、组合的概念；、组合的概念；2、组合与排列的区别与联系；、组合与排列的区别与联系；3、组合数公式；性质、组合数公式；性质 4、组合的应用：分清是否要排序、组合的应用：分清是否要排序.例例7：在：在100件产品中有件产品中有98件合格品，件合格品，2件次品。产品件次品。产品检验时检验时,从从100件产品中任意抽出件产品中任意抽出3件。件。(1)一共有多少种不同的抽法一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的抽出的3件中恰好有件中恰好有1件是次品的抽法有多少种件是次品
15、的抽法有多少种?(3)抽出的抽出的3件中至少有件中至少有1件是次品的抽法有多少种件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？件中至多有一件是次品的抽法有多少种？说明：说明：“至少至少”“”“至多至多”的问题，通常用分类的问题，通常用分类法或间接法求解。法或间接法求解。选人问题：选人问题：按下列条件，从按下列条件，从12人中选出人中选出5人，有多少种不同选法？人，有多少种不同选法？（1）甲、乙、丙三人必须当选；）甲、乙、丙三人必须当选；（2）甲、乙、丙三人不能当选；）甲、乙、丙三人不能当选；（3）甲必须当选，乙、丙不能当选；）甲必须当选，乙、丙不能当选；（4）
16、甲、乙、丙三人只有一人当选；）甲、乙、丙三人只有一人当选；（5）甲、乙、丙三人至多）甲、乙、丙三人至多2人当选；人当选；（6）甲、乙、丙三人至少）甲、乙、丙三人至少1人当选；人当选；323936C C 0539126C C 1419126C C 1439378C C 231405393939(5)756C CC CC C方法一：5321239756CC C方法二：322314393939(6)666C CC CC C方法一：5051239666CC C方法二：选人问题：选人问题：例例8 8、某医院有内科医生、某医院有内科医生1212名，外科医生名，外科医生8 8名，现要名，现要派派5 5人参加
17、支边医疗队，至少要有人参加支边医疗队，至少要有1 1名内科医生和名内科医生和1 1名名外科医生参加，有多少种选法？外科医生参加，有多少种选法？55520812CCC例例9:某外语组有某外语组有9人人,每人至少会英语和日语中的一每人至少会英语和日语中的一门门,其中其中7人会英语人会英语,3人会日语人会日语,从中选出会英语与从中选出会英语与日语的各日语的各1人人,有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？解：由于解：由于73=109，所以，所以9人中必有人中必有1人既会英语又会日语人既会英语又会日语(1)从只会英语的从只会英语的6人中选人中选1人，只会日语的人，只会日语的2人中选人中选1人，人，有有
18、N1=62=12(2)既会英语又会日语的那位选定，其余既会英语又会日语的那位选定，其余8人中选人中选1人，人，有有N2=18=8由分类计数原理得由分类计数原理得N=N1+N2=20.选人问题：选人问题：2、从、从6位同学中选出位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两人中位参加一个座谈会，要求张、王两人中至多有一个人参加，则有不同的选法种数为至多有一个人参加，则有不同的选法种数为 。32328778.()()A CCCC32328778.()()B CCCC32328778.C C CC C3218711.DC C C3、要从、要从8名男医生和名男医生和7名女医生中选名女医生中选5人组成一个
19、医疗队，如果人组成一个医疗队，如果其中至少有其中至少有2名男医生和至少有名男医生和至少有2名女医生，则不同的选法种数名女医生，则不同的选法种数为（为（）4、从、从7人中选出人中选出3人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，人分别担任学习委员、宣传委员、体育委员，则甲、乙两人则甲、乙两人不都不都入选的不同选法种数共有（入选的不同选法种数共有（）2353.AC A3353.2B C A35.C A233535.2D C AA1、把、把6个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间个学生分到一个工厂的三个车间实习，每个车间2人，人，若甲必须分到一车间，乙和丙不能分到二车间，则不同的分若甲必须分到一车间
20、，乙和丙不能分到二车间，则不同的分法有法有 种种。99CD 例例1：A的一边的一边AB上有上有4个点个点,另一边另一边AC上有上有5个点个点,连同连同A的顶点共的顶点共10个点，以这些个点，以这些点为顶点，可以构成多少个三角形点为顶点，可以构成多少个三角形?解：解：方法方法1:把可构成的三角形可分成两类把可构成的三角形可分成两类:第一类，含点第一类，含点A的有的有 个；个；第二类，不含点第二类，不含点A的，又分为在的，又分为在AB上取两点上取两点在在AC上取一点，和在上取一点，和在AB上取一点上取一点AC上取两点，上取两点，共有共有 个个.1145C C25141524CCCC 与立体图形有关
21、的问题：与立体图形有关的问题：根据加法原理，共可构成三角形的个数为根据加法原理，共可构成三角形的个数为90CCCCCC251415241514 方法方法2:不考虑可否成为三角形，从这不考虑可否成为三角形，从这10个中个中点任取点任取3个点共有个点共有 种方法种方法,但仅在但仅在AB上或上或AC上上任取任取3个点不能构成三角形，共有个点不能构成三角形，共有 种方法种方法,因此可构成三角形的个数为因此可构成三角形的个数为 310C3635CC 90CCC3635310 例例1：A的一边的一边AB上有上有4个点个点,另一边另一边AC上有上有5个点个点,连同连同A的顶点共的顶点共10个点，以这些个点，
22、以这些点为顶点，可以构成多少个三角形点为顶点，可以构成多少个三角形?例例2.2.四面体的顶点和各棱的中点共四面体的顶点和各棱的中点共1010个点。个点。（1 1）设一个顶点为）设一个顶点为A A，从其他，从其他9 9点中取点中取3 3个个点，使它们和点点，使它们和点A A在同一平面在同一平面上，不同的取法有多少种？上，不同的取法有多少种？（2 2）在这）在这1010点中取点中取4 4个不共面的点，不同的个不共面的点，不同的取法有多少种？取法有多少种？A B C D E F G M N P与立体图形有关的问题：与立体图形有关的问题：1.（2009湖北卷文）从湖北卷文）从5名志愿者中选派名志愿者中
23、选派4人在人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有日有一人参加，则不同的选派方法共有_.A.120种种 B.96种种 C.60种种 D.48种种 高考链接高考链接C2.（2009湖南卷文）某地政府召集湖南卷文）某地政府召集5家企业的家企业的负责人开会，其中甲企业有负责人开会，其中甲企业有2人到会，其余人到会，其余4家家企业各有企业各有1人到会，会上有人到会，会上有3人发言，则这人发言，则这3人人来自来自3家不同企业的可
24、能情况的种数为家不同企业的可能情况的种数为_.A14 B16 C20 D48B由间接得由间接得 ，故选故选B.321624C-C*C=16 3.（2009全国卷全国卷文）甲组有文）甲组有5名男同学、名男同学、3名名女同学；乙组有女同学；乙组有6名男同学、名男同学、2名女同学，若从甲、名女同学，若从甲、乙两组中各选出乙两组中各选出2名同学，则选出的名同学，则选出的4人中恰有人中恰有1名名女同学的不同选法共有女同学的不同选法共有_.A.150种种 B.180种种 C.300种种 D.345种种D本小题考查分类计算原理、本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题分步计数原理、组合等问题 2.选
25、择选择 （1）从从6双不同颜色的手套中任取双不同颜色的手套中任取4只，其中只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有（恰好有一双同色的手套的不同取法共有（）A 480种种 B 240种种 C 180种种 D 120种种 （2）从从4台甲型和台甲型和5台乙型电视机中任意取出台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型和乙型电视机各台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，则台，则不同的取法共有不同的取法共有().A.140种种 B.84种种 C.70种种 D.35种种 （1）课外活动小组共）课外活动小组共13人，其中男生人，其中男生8人，女人，女生生5人，并且男、女生各指定一名队长人，并且男、女生
26、各指定一名队长.现从中选现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法?只有一名女生只有一名女生;两队长当选两队长当选;至少有一名队长当选至少有一名队长当选;至多有至多有2名女生当选名女生当选;既要有队长，又要有女生当选既要有队长，又要有女生当选.3.解答题解答题1458C*C=350.23211C*C=165.1423211211C*C+C*C=825.551311C-C=825.至多有两名女生含有三类：有至多有两名女生含有三类：有2名女生、只名女生、只有一名女生、没有女生有一名女生、没有女生.故选法为：故选法为：分两类：分两类：第一类女队长当选：第一类女队长当选：第二类女队长第二类女队长不当选不当选：故选法共有：故选法共有：2314558588C*C+C*C+C=686.412C13223144747474C*C+C*C+C*C+C.41322314124747474C+C*C+C*C+C*C+C=790.至多有至多有2名女生当选名女生当选;既要有队长，又要有女生当选既要有队长，又要有女生当选排列排列组合组合组合的概念组合的概念组合数的概念组合数的概念组合是选择的组合是选择的结果，排列是结果，排列是选择后再排序选择后再排序的结果的结果联系联系课堂小结课堂小结
