1、3第二章第二章解三角形解三角形 1 正弦定理和余弦定理习题课正弦定理和余弦定理习题课第二章第二章解三角形解三角形 利用正、余弦定理解三角形利用正、余弦定理解三角形 2 在在ABC中，若中，若ccos Bbcos C，且，且 cos A，求，求 3sin B的值的值【解】【解】由由ccos Bbcos C，结合正弦定理得，结合正弦定理得，sin Ccos Bsin Bcos C，故故 sin(BC)0，易知，易知BC，故，故bc.栏目栏目导引导引第二章第二章解三角形解三角形因为因为 cos A23，所以由余弦定理得，所以由余弦定理得cos B66，故故 sin B306.3a22b2，再由余弦定
2、理得，再由余弦定理得栏目栏目导引导引 正、余弦定理的变形形式比较多，解题时应根据题目条件的不正、余弦定理的变形形式比较多，解题时应根据题目条件的不同，灵活选择同，灵活选择 第二章第二章解三角形解三角形栏目栏目导引导引第二章第二章解三角形解三角形 1.在锐角三角形在锐角三角形ABC中，中，a、b、c分别为角分别为角A、B、C所对应的边，且所对应的边，且3a2csin A.(1)确定角确定角C的大小；的大小；3 3(2)若若c 7，且，且ABC的面积为的面积为，求，求ab的值的值 2栏目栏目导引导引第二章第二章解三角形解三角形解：解：(1)由由 3a2csin A及正弦定理得，及正弦定理得，a2s
3、in Asin c3A sin C.因为因为 sin A0，所以，所以 sin C32.因为因为ABC是锐角三角形，所以是锐角三角形，所以C3.栏目栏目导引导引第二章第二章解三角形解三角形(2)法一：因为法一：因为c 7，C3，由面积公式得由面积公式得 12absin33 32，即，即ab6.(i)由余弦定理得，由余弦定理得，a2b22abcos37，即即a2b2ab7.(ii)由由(ii)变形得变形得(ab)23ab7.(iii)将将(i)代入代入(iii)，得，得(ab)225，故故ab5.栏目栏目导引导引第二章第二章解三角形解三角形法二：前同法一，联立法二：前同法一，联立(i)、(ii)
4、?得得?a2b2ab7，?a2b213，?ab6?ab6，消去消去b并整理得并整理得a413a2360，解得解得a24 或或a29.?所以所以?a2?a?或或?3?b3?b2.故故ab5.栏目栏目导引导引第二章第二章解三角形解三角形 正、余弦定理与三角恒等变形的综合正、余弦定理与三角恒等变形的综合 设设ABC的内角的内角A，B，C所对边的长分别是所对边的长分别是a，b，且且b3，c1，A2B.(1)求求a的值；的值；(2)求求 sin?A?4?的值的值 c，栏目栏目导引导引第二章第二章解三角形解三角形【解】【解】(1)因为因为A2B，所以，所以 sin Asin 2B 2sin Bcos B
5、a cb由正、余弦定理得由正、余弦定理得a2b.2ac因为因为b3，c1，所以，所以a12，a2 3.b ca91121(2)由余弦定理得由余弦定理得 cos A.2bc63由于由于 0A，所以，所以 sin A 1cos A故故?sin?A4?sin?2222222212 21.932 22?1?2Acos cos Asin?3?4432?2?4 2.6栏目栏目导引导引第二章第二章解三角形解三角形 本例所有条件不变，试求本例所有条件不变，试求2 2?1?4 2解：解：由例题由例题(2)知知 sin 2A2sin Acos A2?3?，39?187cos 2Acos Asin A .99922
6、?cos?2A6?的值的值?所以所以?cos?2A6?cos 2Acos?sin 2Asin 6673?4 2?1?92?9?27 34 27 34 2.181818栏目栏目导引导引第二章第二章解三角形解三角形 对于条件是边角关系混合在一起的等式，一般地，应运用正弦对于条件是边角关系混合在一起的等式，一般地，应运用正弦定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为定理和余弦定理，要么把它统一为边的关系，要么把它统一为角的关系，再利用三角形的有关知识，三角恒等变形、代数恒角的关系，再利用三角形的有关知识，三角恒等变形、代数恒等变形等方法进行转化、化简，从而得出结论等变形等方法进行转化、化
7、简，从而得出结论 栏目栏目导引导引 2.在在ABC中，中，a、b、4sin2BC2cos 2A72.求求A的度数；的度数；若若a 3，bc3，求，求b和和c的值的值第二章第二章解三角形解三角形c分别为角分别为角A、B、C栏目栏目导引导引的对边，的对边，(1)(2)第二章第二章解三角形解三角形解：解：(1)由由 4sin2BC2cos 2A72及及ABC180，得得 21cos(BC)2cos2A172，4(1cos A)4cos2A5，即即 4cos2A4cos A10，所以所以(2cos A1)20，解得，解得 cos A12.因为因为 0A180，所以，所以A60.栏目栏目导引导引第二章第
8、二章解三角形解三角形b ca222(2)由余弦定理，得由余弦定理，得 cos A2bc.222因为因为 cos A1b ca12，所以，所以2bc2，化简并整理，得化简并整理，得(bc)2a23bc，将将a 3，bc3 代入上式，得代入上式，得bc2.?则由则由?bc3，?b1，?b2，?解得解得?或或?bc2，?c2?c1.栏目栏目导引导引第二章第二章解三角形解三角形 在在ABC中，中，a，b，c分别是角分别是角A，B，B3 5，a7 且且ABBC21，求角，求角C.【解】【解】因为因为ABBC21.所以所以BABC21.所以所以BABC|BA|BC|cos Baccos B21.C的对边，
9、的对边，cos 栏目栏目导引导引第二章第二章解三角形解三角形所以所以ac35，又因为，又因为a7，所以，所以c5，因为因为 cos B35，所以，所以 sin B45.由余弦定理由余弦定理b2a2c22accos B32，所以所以b4 2.由正弦定理由正弦定理cbsin Csin B，得得 sin Ccsin B542b4 252.因为因为cb且且B为锐角，所以为锐角，所以C一定是锐角所以一定是锐角所以C45.栏目栏目导引导引 该题是向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量该题是向量与正、余弦定理的综合题，解题的关键是化去向量的的“伪装伪装”，找到三角形的边角关系，再利用正、余弦定理求
10、，找到三角形的边角关系，再利用正、余弦定理求解解 第二章第二章解三角形解三角形栏目栏目导引导引第二章第二章解三角形解三角形 3.(1)在在ABC中，中，ABa，ACb，abc，栏目栏目导引导引第二章第二章解三角形解三角形解：解：(1)选选B.因为因为ABACc，所以，所以a3，c2.栏目栏目导引导引第二章第二章解三角形解三角形在在ABC中，中，?1?2 2sin B 1cos2 B1?2?3?3，由正弦定理，得由正弦定理，得 sin Cc22 24 2bsin B339.因为因为abc，所以，所以C为锐角，为锐角，因此因此 cos C 1sin2 C1?4 2?9?2?79.于是于是 cos(
11、BC)cos Bcos Csin Bsin C 1723924 2233927.栏目栏目导引导引第二章第二章解三角形解三角形 规范解答规范解答 (本题满分本题满分 12 分分)在在ABC中，角中，角A，B，C所对应的边所对应的边分别为分别为a，b，c，已知，已知 cos C(cos A 3sin A)cos B0.(1)求角求角B的大小；的大小；(2)若若ac1，求，求b的取值范围的取值范围 三角形中的范围问题三角形中的范围问题 栏目栏目导引导引第二章第二章解三角形解三角形【解】【解】(1)由已知得由已知得cos(AB)cos Acos B 3sin A cos B0，即有，即有 sin As
12、in B 3sin Acos B0.因为因为 sin A0，所以，所以 sin B 3 cos B0.又又 cos B0，所以，所以 tan B 3.又又 0B，所以，所以B3.(2)由余弦定理，有由余弦定理，有b2a2c22accos B 因为因为ac1，cos B12，有，有b23?1?21?a2?4.又又 0a1，于是有，于是有114b21，即有，即有2b1.(2 分分)(4 分分)(6 分分)(10 分分)(12 分分)栏目栏目导引导引第二章第二章解三角形解三角形(1)据三角形内角和定理把已知条件转化为角据三角形内角和定理把已知条件转化为角B的一个三角的一个三角函数是求函数是求B的关键
13、的关键 结合结合(1)的结果，应用余弦定理把的结果，应用余弦定理把b表示成表示成a的函数，根据的函数，根据a的范围求出的范围求出b的范围是本题的难点的范围是本题的难点(2)在解决三角形问题时，注意挖掘题目中隐含的条件及边、角在解决三角形问题时，注意挖掘题目中隐含的条件及边、角范围同时要熟练掌握正、余弦定理的几种变形和三角恒等变范围同时要熟练掌握正、余弦定理的几种变形和三角恒等变形形 栏目栏目导引导引2第二章第二章解三角形解三角形 1在在ABC中，中，AB8，BC10，AC13，则，则ABC的形状的形状是是()A锐角三角形锐角三角形 B直角三角形直角三角形 C钝角三角形钝角三角形 D非钝角三角形
14、非钝角三角形 2228 10 131解析：解析：选选 C.由余弦定理得由余弦定理得 cos B0，所以所以322810角角B为钝角，故三角形为钝角三角形为钝角，故三角形为钝角三角形 栏目栏目导引导引第二章第二章解三角形解三角形2在在ABC中，已知中，已知A30，a8，b8 3，则三角形的，则三角形的面积为面积为()A32 3 C32 3或或 16 B16 D32 3或或 16 3 sin Bsin A3解析：选解析：选 D.根据根据ba，解得，解得 sin B，则，则B60或或21120.当当B60时，时，C90，所以所以SABC absin C32 3；21当当B120时，时，C30，所以，
15、所以SABC absin C16 3.2栏目栏目导引导引第二章第二章解三角形解三角形3在在ABC中，内角中，内角A，B，C所对的边分别是所对的边分别是a，b，c，已，已知知 8b5c，C2B，则，则 cos C_ 解析：由解析：由C2B得得 sin Csin 2B2sin Bcos B，由正弦定理及由正弦定理及 8b5c得得 cos Bsin Cc42sin B2b5，所以所以 cos Ccos 2B2cos2B12?4?5?27?125.答案：答案：725 栏目栏目导引导引第二章第二章解三角形解三角形4如图，在如图，在 3BD，ABC中，中，D是边是边AC上的点，且上的点，且BC2BD，求，求 sin C的值的值 ABAD，2AB栏目栏目导引导引第二章第二章解三角形解三角形解：设解：设ABa，所以，所以ADa，BD2a3，2a242BC2BD4a3，cos AAB2AD2BD22ABAD3a12a23，所以所以 sin A 1cos2A2 23.由正弦定理知由正弦定理知 sin CAB32 26BCsin A436.栏目栏目导引导引 第二章第二章解三角形解三角形按按ESC键退出全屏播放键退出全屏播放栏目栏目导引导引本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束
