1、观察观察19.1 多边形与多边形多边形与多边形的内角和的内角和三角形三角形 由不在同一由不在同一条直线上的条直线上的 线段首尾顺线段首尾顺次相接所组成的（封闭）图形。次相接所组成的（封闭）图形。的定义：三条三条ABC在同一平面内，在同一平面内，.若干条若干条多边形多边形四边形四边形四条四条 在平面内，由若干条不在同在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。组成的封闭图形叫做多边形。内角内角对角线对角线对角线：连接多边形对角线：连接多边形不相邻不相邻的两个顶点的线段。的两个顶点的线段。可表示为：五边形可表示为：五边形ABCDE或五边
2、形或五边形AEDCBABCDE外角外角1多边形的相关概念多边形的相关概念顶点顶点边边你能说出这两幅图形的异同点吗？你能说出这两幅图形的异同点吗？是凸多边形是凸多边形不不是是凸凸多多边边形形(1)(2)共共(n-3)+(n-3)+(n-4)+2+1=多边形中连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线。什么是多边形的对角线？下列多边形从一点最多可以引几条对角线？它共有多少条对角线？ABCD四边形四边形ABCDABCDE五边形五边形ABCDEABCDEF六边形六边形ABCDEF从一点从一点可引可引1条条共共1+1=2条条从一点从一点可引可引2条条共共2+2+1=5条条从一点从一点可引可引3条条共共3
3、+3+2+1=9条条从一点可从一点可引引(n-3)条条条23nnn边形边形ABC自学提升自学提升：练习：（口答）1、八边形共有多少条对角线？十边形呢？条23nn 性质：n边形的对角线共有 （n为不小于4的整数）基础练习基础练习：解：设这个多边形边数为n，则：=27化简得：n2-3n-54=0解得：n1=9，n2=-6（舍去）这个多边形的边数为9.23nn2、一个多边形共有27条对角线，求这个多边形的边数？20条条35条条你能看出下图中的这些多边形它们的你能看出下图中的这些多边形它们的边、角有什么特点吗？边、角有什么特点吗？同一图形的内角都相等同一图形的内角都相等同一图形的边都相等同一图形的边都
4、相等正多边形的定义：正多边形的定义：在平面内，内角都相等，边也都在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形。相等的多边形叫做正多边形。如图中的多边形分别为：正三角如图中的多边形分别为：正三角形、正四边形形、正四边形(即正方形即正方形)、正五边形、正五边形、正六边形、正八边形正六边形、正八边形.1.1.一个多边形的边都相等，它的内角一定都一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？相等吗？如菱形的四条边相等，但它的内角不一定如菱形的四条边相等，但它的内角不一定都相等，所以应该说：一个多边形的边都都相等，所以应该说：一个多边形的边都相等，它的内角不一定都相等相等，它的内角不一定都相等.2
5、.2.一个多边形的内角都相等，它的边一定都一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？相等吗？如矩形的内角都是直角，但它的边未必都如矩形的内角都是直角，但它的边未必都相等，所以应该说：一个多边形的内角都相等，所以应该说：一个多边形的内角都相等，它的边不一定都相等。相等，它的边不一定都相等。我们已经知道一个我们已经知道一个三角形的内角和等于三角形的内角和等于180，那么四边形的内角和等于多少呢？，那么四边形的内角和等于多少呢？五边形、六边形呢？由此，五边形、六边形呢？由此，n边形的内角和边形的内角和等于多少呢？等于多少呢？多边形的内角和多边形的内角和 那么我们能不能利用三角形的那么我们能不能利用
6、三角形的内内角和，来求出四边形的内角和，以及角和，来求出四边形的内角和，以及五边形、六边形，五边形、六边形，n边形的内角和？边形的内角和？任意四边形的内角和等于多少度任意四边形的内角和等于多少度 你是怎样得到的？你是怎样得到的？ABCDABCD2180=360 4180-360=360 四边形的内角和是四边形的内角和是3603603180-180=360 ABCDABCDEPABCDE探索多边形的内角和探索多边形的内角和多多 边边 形形 边边 数数被分三角形数被分三角形数内内 角角 和和452180 3180325180360 4180180探索多边形的内角和探索多边形的内角和多多 边边 形形
7、 边边 数数被分三角形数被分三角形数内内 角角 和和4562180 3180 41804326180360 5180180多多 边边 形形 边边 数数被分三角形数被分三角形数内内 角角 和和45682180 3180 4180 61804632探索多边形的内角和探索多边形的内角和八边形八边形A1 A2 A3 A4 A5 A6 An A8 A7 探索多边形的内角和探索多边形的内角和多多 边边 形形 边边 数数被分三角形数被分三角形数内内 角角 和和4568n2180 3180 4180 61804632n-2n边形内角和公式边形内角和公式(n为不小于为不小于3的整数的整数 )应用新知应用新知1
8、1、求八边形的内角和的度数。、求八边形的内角和的度数。解：八边形的内角和是解：八边形的内角和是 (8-2)1800=10800 答：八边形的内角和的度数是答：八边形的内角和的度数是10801080o o。2 2、一个多边形内角和等于、一个多边形内角和等于12601260，它是几边形？，它是几边形？解：设它是解：设它是n n边形，由题意得：边形，由题意得：（n n2 2）180180 12601260 解之得解之得 n n 9 9答：它是九边形。答：它是九边形。3、已知多边形每个内角都等于、已知多边形每个内角都等于150，求它的边数及内角和。，求它的边数及内角和。解：设此多边形边数为解：设此多边
9、形边数为n，由多边形的内角，由多边形的内角和公式可得：和公式可得：（n-2)180=150 n n=12 15012=1800答：此多边形边数为答：此多边形边数为12，内角和为，内角和为1800。4 4、已知四边形、已知四边形ABCDABCD中，中，ABC D ABC D=3:4:5:6=3:4:5:6，分别求出最大角和最小角的度数，分别求出最大角和最小角的度数.解解：依题意可设依题意可设A=3xA=3x，B=4xB=4x，C=5xC=5x，D=6x D=6x,由题意得：由题意得：3x+4x+5x+6x=(4-2)3x+4x+5x+6x=(4-2)18018018x=218x=2180180
10、x=20 x=20答：最大角和最小角分别为答：最大角和最小角分别为120120,60,60.A=3xA=3x=60=60 B=4xB=4x=80=80 C=5xC=5x=100=100 D=6x D=6x=120=120清晨，小明清晨，小明沿一个五边沿一个五边形广场周围形广场周围的小路，按的小路，按逆时针方向逆时针方向跑步。跑步。（2 2）他每跑完一圈，）他每跑完一圈，身体转过的角度之身体转过的角度之和是多少？和是多少？（3 3）在图中，你能求）在图中，你能求出出 1+1+2+2+3+3+4+4+5 5吗？你是吗？你是怎样得到的？怎样得到的？（1 1）小明每从一条街）小明每从一条街道转到下一条
11、街道时，道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个身体转过的角是哪个角？角？ABCDEACDEBO12345结论：1 1，2 2，3 3，4 4，5 5的和等于的和等于360360?想一想：想一想：如果广场的形状是六边形、八边形，那么还如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？有类似的结论吗？多边形内角的多边形内角的一边与另一边的反向延长线一边与另一边的反向延长线所所组成的角叫做这个多边形的外角。组成的角叫做这个多边形的外角。在每个顶点处取在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它这个多边形的一个外角，它们的和们的和叫做这个多边形的外角和。叫做这个多边形的外角和。想一想：想一想：（1 1）
12、还有什么方法可以推导出多边形外角）还有什么方法可以推导出多边形外角和公式？和公式？（2 2）利用多边形外角和的结论，能否推导）利用多边形外角和的结论，能否推导出多边形内角和的结论？出多边形内角和的结论？多边形的外角和等于多边形的外角和等于360360?议一议：议一议：利用多边形外角和的结论，能推导多边形利用多边形外角和的结论，能推导多边形内角和的结论吗？反过来呢？内角和的结论吗？反过来呢？例例1 1：一个多边形的内角和等于它的：一个多边形的内角和等于它的外角和的外角和的3 3倍，它是几边形？倍，它是几边形？随堂练习：随堂练习：1.1.一个多边形的外角都等于一个多边形的外角都等于60,60,这个
13、多边形是几边形这个多边形是几边形?解：设这个多边形的边数为解：设这个多边形的边数为n n，由题意得：，由题意得：（n n2 2）180180150150 n n 解之得解之得 n n 1212 答：这个多边形的边数为答：这个多边形的边数为1212。2.2.已知一个多边形各个内角都相已知一个多边形各个内角都相等，都等于等，都等于150150，求这个多边，求这个多边形的边数形的边数.解法二：解法二：每个内角相应的外角度数是：每个内角相应的外角度数是：180180o o-150-150=30=30o o 360 360o o3030o o=12=12 所以多边形的边数是所以多边形的边数是1212。6
14、0090010801200正八边形呢？正八边形呢？正正n n边形的每个内角为：边形的每个内角为：(2)180nn你能归纳一下，正多边形的内角度数你能归纳一下，正多边形的内角度数是怎么算的吗？是怎么算的吗？1 1、随着多边形的边数、随着多边形的边数n n的增加，它的外角的增加，它的外角和和()()A A增加增加 B B减小减小 C C不变不变 D D不定不定 2 2、小明想设计一个内角和为、小明想设计一个内角和为20122012的多边形。的多边形。他的想法会实现吗？他的想法会实现吗？.谈谈收获谈谈收获1 1、n n边形的内角和等于边形的内角和等于(n-2)(n-2)1801800 0；2 2、多边形的外角和是、多边形的外角和是360360度；度；3 3、会运用多边形的内角和与外角和、会运用多边形的内角和与外角和 解决有关问题；解决有关问题；
