1、2.3(2).12.3(2).1双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程正在建设中金沙江上的正在建设中金沙江上的溪洛渡水电站溪洛渡水电站:双曲拱坝双曲拱坝F2 2F1 1MxOy1.1.椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的1F2F 0,c 0,cXYO yxM,2.引入问题：引入问题：差差等于常数等于常数的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的复习复习双曲线图象双曲线图象拉链拉链双曲线双曲线|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|0
2、)问题问题2：如果把上述定义改为：如果把上述定义改为:到两定点到两定点 距离之距离之差差为常数为常数,那么点的轨迹会发生怎样的变化？那么点的轨迹会发生怎样的变化？21,FF实验探究 两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点;|F1F2|=2c 焦距焦距.（1）2a0；双曲线定义双曲线定义思考：思考：（1）若）若2a=2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？（2）若）若2a2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？说明说明（3）若）若2a=0,则轨迹是什么？则轨迹是什么？|MF1|-|MF2|=2a(1)两条射线两条射线(2)不表示任何轨迹不表示任何轨迹F2 2F1 1MxOy求曲线方程的步骤：求曲
3、线方程的步骤：双曲线的标准方程双曲线的标准方程1.1.建系建系.以以F1,F2所在的直线为所在的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系的中点为原点建立直角坐标系2.2.设点设点设设M（x,y）,则则F1(-c,0),F2(c,0)3.3.列式列式|MF1|-|MF2|=2a4.4.化简化简aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222bac)0,0(12222babyax此即为此即为焦点在焦点在x轴上的轴上的双曲线双曲线的标准的标准方程方程12222
4、byax12222bxayF2 2F1 1MxOyOMF2F1xy)00(ba，若建系时若建系时,焦点在焦点在y轴上呢轴上呢?看看 前的系数，哪一个为正，前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上则在哪一个轴上22,yx定定 义义 方方 程程 焦焦 点点a.b.c的关的关系系F（c，0）F（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a|MF1|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab1
5、2422yx12422yx12422xx12422xx（1）（2）（3）（4）2,2,6.abc2,2,6.abc1916.122yx1916.322xy1169.222yx1169.422xy例题讲解例题讲解变式变式2答案答案1.a=4,b=3,焦点在焦点在x轴上轴上;41033.焦点在焦点在x轴上，经过点轴上，经过点15(2,3),(,2).3221169xy4.a=4,过点过点(1,)2212016yx2213yx 221169yx2.焦点为焦点为(0,-6),(0,6),过点过点(2,-5)例例2 2:如果方程如果方程 表示双表示双曲线，求曲线，求m的取值范围的取值范围.22121xy
6、mm解解:22121xymm 思考：思考：21mm 得得或或(2)(1)0m m由由2m 使使A、B两点在两点在x轴上，并轴上，并且点且点O与线段与线段AB的中点重合的中点重合解解:由声速及在由声速及在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地晚地晚2 2s,可知可知A A地地与爆炸点的距离比与爆炸点的距离比B B地与爆炸点的距离远地与爆炸点的距离远680680m.因为因为|AB|680|AB|680m,所以所以爆炸点的轨迹是以爆炸点的轨迹是以A A、B B为焦点的双曲线为焦点的双曲线在靠近在靠近B B处的一支上处的一支上.例例3.3.已知已知A,BA,B两地相距两地相距80080
7、0m,在在A A地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在B B地晚地晚2 2s,且声速为且声速为340340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程求炮弹爆炸点的轨迹方程.如图所示，建立直角坐标系如图所示，建立直角坐标系xO Oy,设爆炸点设爆炸点P的坐标为的坐标为(x,y)，则则340 2680PAPB即即 2a=680，a=340800AB 8006800,0PAPBx1(0)11560044400 xyx22222800,400,cc xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点的轨迹方程为44400bca 2 22 22 2答答:再增设一个观测点再增设一个观测点C，利用，利用B、C（或（
8、或A、C）两处）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置准确位置.这是双曲线的一个重要应用这是双曲线的一个重要应用.PBA Cxyo 设点设点A,BA,B的坐标分别为的坐标分别为(-5,0),(5,0).(-5,0),(5,0).直线直线AM,BMAM,BM相交于点相交于点M,M,且它们的斜率之积是且它们的斜率之积是 ,试求点试求点M M的轨迹方程的轨迹方程.与与2.22.2例例3 3比较比较,你有什你有什么发现么发现?49分析分析:设点设
9、点M M的坐标为的坐标为(x,y(x,y),),那那么直线么直线AM,BMAM,BM的斜率就可以用含的斜率就可以用含x,yx,y的式子表示的式子表示,由于直线由于直线AM,BMAM,BM的斜率之积是的斜率之积是 ,因此因此,可以建可以建立立x,yx,y之间的关系式之间的关系式,得出点得出点M M的的轨迹方程轨迹方程49xoMyAB解解:设点设点M的坐标为的坐标为(x,y),因为点因为点A的坐标是的坐标是(-5,0),所以直线所以直线AM的斜率是的斜率是同理同理,直线直线BM的斜率是的斜率是 由已知有由已知有化简化简,得点得点M的轨迹方程为的轨迹方程为(5)5AMykxx(5)5BMykxx4(
10、5)559yyxxx 221(5)100259xyx 进一步分析进一步分析,可以发现可以发现:一个动点一个动点M与两个定点与两个定点A、B连线的斜率之积是连线的斜率之积是一个正常数一个正常数n.则动点则动点M的轨迹为双曲线（扣除的轨迹为双曲线（扣除这两个定点）这两个定点）当斜率之积是一个负常数当斜率之积是一个负常数n(n0)时呢？时呢？当当n=-1时时,动点动点M的轨迹为圆（扣除这两个点）的轨迹为圆（扣除这两个点）.当当n0且且n -1时时,动点动点M的轨迹为椭圆（扣除这两的轨迹为椭圆（扣除这两个定点）个定点）.以上可以作为椭圆与双曲线另一种产生方法以上可以作为椭圆与双曲线另一种产生方法.几何
11、画板演示轨迹几何画板演示轨迹解:由已知得QAQP,APQQOQQOOPr所以,.AQAQP又因为点 在圆外 所以根据双曲线的定义,点Q的轨迹是以O,A为焦点，2a=r的双曲线2.2.证明椭圆证明椭圆 与双曲线与双曲线x x2 2-15-15y y2 2=15=15的焦点相同的焦点相同.若此椭圆与双曲线的一个交点若此椭圆与双曲线的一个交点 为为P P，F F为焦点，求为焦点，求|PF|PF|x225+y29=1练习练习22sincos1()xyy若方程表示焦点在 轴上的双曲线,则角 所在的象限为 PF2PF1A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限(4,0)515515.PF 或D1.1.222bac|MF1|-|MF2|=2a（2a|F1F2|）F(c,0)F(0,c)12222byax12222 bxayyxoF2F1MxyF2F1M下下 课课1-551xyoCPA3 sinsinsin,5BCA解解:在在ABC中中,|BC|=10|=10，33106 1055ACABBC 由由正正弦弦定定理理得得故顶点故顶点A的轨迹是的轨迹是以以B、C为焦点的双曲线的左支为焦点的双曲线的左支又因又因c=5，a=3，则，则b=41 (3)916xyx 2 22 2则顶点则顶点A的轨迹方程为的轨迹方程为
