1、Monday,January 30,20231第二节 根轨迹绘制的基本准则Monday,January 30,202322、根轨迹的对称性：一般物理系统特征方程的系数是实数，其根必为实根或共轭复根。即位于复平面的实轴上或对称于实轴。用解析法或试探法绘制根轨迹很烦琐。下面讨论的内容通过研究根轨迹和开环零极点的关系，根轨迹的特殊点，渐近线和其他性质将有助于减少绘图工作量，能够较迅速地画出根轨迹的大致形状和变化趋势。以下的讨论是针对参数 的180度根轨迹的性质。gK根轨迹的连续性和对称性根轨迹的连续性和对称性1、根轨迹的连续性：闭环系统特征方程的某些系数是增益 的函数。当 从0到无穷变化时，这些系数
2、是连续变化的。故特征方程的根是连续变化的，即根轨迹曲线是连续曲线。gKgKMonday,January 30,202334、根轨迹的起点和终点：gjnjmiiKpszs1)()(11根轨迹方程为：时为起点，时为终点。0gKgK根轨迹的支数和起始点根轨迹的支数和起始点3、根轨迹的支数：n阶特征方程有n个根。当 从0到无穷大变化时，n个根在复平面内连续变化组成n支根轨迹。即根轨迹的支数等于系统阶数。gK当 时，只有 时，上式才能成立。而 是开环传递函数的极点，所以根轨迹起始于开环极点。n阶系统有n个开环极点，分别是n支根轨迹的起点。)1(njpsjjp0gKMonday,January 30,20
3、2340)(1lim)()(lim111mnjjsjnjmiispspszs根轨迹方程左边01limgKKg根轨迹方程右边 我们称系统有n-m个无限远零点。有限值零点加无穷远零点的个数等于极点数。那么，n-m支根轨迹是如何趋于无限远呢？根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点iz当 时，上式成立。是开环传递函数有限值的零点，有m个。故n阶系统有m支根轨迹的终点在m个有限零点处。若nm，那么剩余的n-m个终点在哪里呢？在无穷远处。由根轨迹方程知：当 时)1(mizsisgKMonday,January 30,20235根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线若开环零点数m小于开环极点数n，则当系统的开环增益Kg
4、时趋向无穷远处的根轨迹共有n-m条。这n-m条根轨迹趋向无穷远的方位可由渐近线决定。gmiijnjKzsps11)()(由根轨迹方程可得：gmmmnnnmiijnjKbsbsbsasasaszsps0111011111)()(njjnpa11miimzb11式中 ，Monday,January 30,20236根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线gmnmnmnKsbas111)(当Kg，由于m=2时，即：njjniinpsa111对于任意的 ，闭环极点之和等于开环极点之和，为常数。gK表明：当 变化时，部分闭环极点在复平面上向右移动（变大），则另一些极点必然向左移动（变小）。gKq 闭环极点之积为：m
5、iignjjgniizKpbKas11001 根据上述10个性质（或准则），可以大致画出根轨迹的形状。为了准确起见，可以用相角条件试探之。闭环系统极点之和与之积闭环系统极点之和与之积当有为零的开环极点：miiggniizKbKs101Monday,January 30,202331根轨迹作图步骤一、标注开环极点和零点，纵横坐标用相同的比例尺；二、实轴上的根轨迹；三、n-m条渐近线；四、根轨迹的出射角、入射角；五、根轨迹与虚轴的交点；六、根轨迹的分离点、会合点；结合根轨迹的连续性、对称性、根轨迹的支数、起始点和终点，闭环极点与闭环极点之和及之积等性质画出根轨迹。Monday,January 30
6、,202332180603180)12(kq渐近线67.238344440jj例开环传递函数为：，画根轨迹。16)4()(2ssKsGgk出射角 ，45135901801cq 452cq032823gKsss求与虚轴的交点，此时特征方程为解：求出开环零极点，即：jpp4403,21，实轴上的根轨迹：(，0将 代入得：js 032823gpKjj082gpK0323657.524,0256,0gpKMonday,January 30,202333求分离会合点：由特征方程032823gKsssjjs89.167.23248)328(23sssKg0)32163(2ssdsdKg由图知这两点并不在根
7、轨迹上，所以并非分离会合点，这也可将 代入得 为复数。3248js)25(27256jKg-8-6-4-202-8-6-4-202468Monday,January 30,202334180603180)12(kq渐近线67.238344440jj例开环传递函数为：，画根轨迹。1)4()(2ssKsGgk出射角 ，76)41180(9018011tgcq 762cq017823gKsss求与虚轴的交点，此时特征方程为解：求出开环零极点，即：jpp403,21，实轴上的根轨迹：(，0将 代入得：js 017823gpKjj082gpK0173123.417,0136,0gpKMonday,Jan
8、uary 30,202335求分离会合点：由特征方程017823gKsss94.388.10869.3465.13138ggKKs)178(23sssKg0)17163(2ssdsdKg由图知这两点都在根轨迹上，所以都是分离会合点。-8-6-4-202-8-6-4-202468Monday,January 30,202336180603180)12(kq渐近线67.238344440jj例开环传递函数为：，画根轨迹。316)4()(2ssKsGgk出射角 ，60)33180(9018011tgcq 602cq0364823gKsss求与虚轴的交点，此时特征方程为解：求出开环零极点，即：jpp3
9、34403,21，实轴上的根轨迹：(，0将 代入得：，js 082gpK0364362.4364,03512,0gpKMonday,January 30,202337求分离会合点：由特征方程0364823gKsss96.1838gKs)3648(23sssKg0)364163(2ssdsdKg由图知这点在根轨迹上，所以是分离会合点。而且是三重根点。此时分离角为603180dq-8-6-4-202-8-6-4-202468Monday,January 30,202338小结 需掌握绘制根轨迹的十个准则q 根轨迹的连续性和对称性；q 根轨迹的支数、起始点和渐进线；q 根轨迹实轴上的点和根轨迹的分离点，会合点；q 根轨迹的出射角、入射角和虚轴的交点；q 闭环极点之积和之和。
