1、第三节局部改变量的估值问题微分及其运算主要内容：一、微分三、微分在近似计算中的应用二、微分公式和法则200Ax 00设设边边长长由由变变到到,xxx 002200()()()AA xxA xxxx .)(220 xxx x xx 0 xx 0一、微分一、微分1.微分概念微分概念实例实例:正方形铁皮受热后面积的改变量正方形铁皮受热后面积的改变量2()A xx 面面积积函函数数 0 x0 xx 2)(x()1()2,2).(xx 的的高高阶阶无无穷穷小小 当当很很小小时时可可 忽忽略略所所以以 2()().xox ,(1)xA 的的线线性性函函数数 且且为为的的主主要要部部分分，称称为为线线性性主
2、主部部；200()limlim0,xxxxx 因因为为2()x 02xx x 即即的的高高阶阶无无穷穷小小.)(220 xxx ()1()2A 301,.yxxxy 例例设设函函数数在在点点处处的的改改变变量量为为时时 求求函函数数的的改改变变量量3300()yxxx .)()(3332020 xxxxx )1()2(23003()()limxxxxx 200lim03().xxxx 2303()()().xxxox 线性主部线性主部高阶无穷小高阶无穷小问题问题:y是是否否所所有有的的函函数数，都都能能近近似似表表x示示为为 的的线线性性函函数数？如如果果可可以以，怎怎样样求求？,Axyx 其
3、其中中 是是与与 无无关关的的常常数数为为的的线线性性主主部部 是是的的高高阶阶无无穷穷小小(),()yf xxxyyyAxox 设设函函数数在在点点 处处有有增增量量如如果果 的的增增量量可可写写为为 定定义义 即即 d dd d().yf xA x 于于是是有有d d().yyox (),()(,.)yf xxAxyf xxyf x 则则称称函函数数在在点点可可微微 并并称称为为在在点点处处的的微微分分 记记d d或或d d作作A()ox x dyo(x)由定义知由定义知:;)1(的线性函数的线性函数是自变量的改变量是自变量的改变量xdy;)(,)4(0有有关关和和但但与与无无关关的的常常
4、数数是是与与xxfxA(2)(5),.xydy 当当很很小小时时(4)yA x d d()yyox d d;)()2(高阶无穷小高阶无穷小是比是比 xxodyy (3)因因为为 ()(),yA xoxoxAxxx 所所以以当当时时，对对上上式式两两端端取取极极限限得得0 x 0lim.xyAx ()fx().yfxx 也也就就是是说说 d d下下 面面 我我 们们 来来 求求的的 微微 分分yx d dd d()yfxx 函函数数的的可可导导与与可可微微是是等等价价的的.函函数数的的微微分分d d 与与自自变变量量的的微微分分d d 的的商商等等于于该该函函数数的的导导数数.yxd dx d
5、d()yfxxxxx ()yfx d dxd dx()yf x 0 xMNTdyy)(xo ）xyo x 几何意义几何意义:(:(如图如图)y 当当是是曲曲线线的的纵纵xx0 P,xM 当当很很小小时时 在在点点的的附附近近,dy坐坐标标增增量量时时就就是是切切线线纵纵坐坐标标.对对应应的的增增量量tan xfxx .()MPMN切切线线段段可可近近似似代代替替曲曲线线以以直直代代曲曲段段Q微分三角形微分三角形2.微分的几何意义微分的几何意义导数与微分的区别导数与微分的区别000001.()(),()().f xxfxyfxxxxx 函函数数在在点点处处的的导导数数是是一一个个定定数数而而微微
6、分分d d是是的的线线性性函函数数000000002.,()()(,(),()()()(,().fxyf xxf xfxxxyf xxyf xx 从从几几何何意意义义上上来来看看是是曲曲线线在在点点处处切切线线的的斜斜率率 而而微微分分是是曲曲线线在在点点处处的的切切线线方方程程在在点点的的纵纵坐坐标标增增量量d d0 xx P)(xfy 0 xMNTd dyy）xyo x (),().yfxxyf xy 由由微微分分定定义义可可知知，只只要要求求出出再再乘乘上上自自变变量量的的微微分分d d，即即得得函函数数的的微微分分d d二、微分公式和法则二、微分公式和法则()xyfx d dd d函数
7、的导数函数的导数自变量的微分自变量的微分1(ln)x 例例d d(sin)xd d()x d d1.xx d d()x d dcos.x x d dln xsin xCd d()0.Cx d d22 cos(1).xxxd d22sin(1)x 例例 d dd d2sin(1)xx 1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式122()0 ()(sin)cos(cos)sin(tan)sec(cot)csc(sec)sectan(csc)csccotd Cd xxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxxdxdxxxdx 2222()ln()11(log)(ln)ln11(arc
8、sin)(arccos)1111(arctan)(arccot)11xxxxad aaadxd ee dxdxdxdxdxxaxdxdxdxdxxxdxdxdxdxxx 2.函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2();()(););CuC uuvv uu vuuvuvv uu vvv dd dd d ddddd d dd dd ddddddd三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用00()()yf xxf x 000()()()f xxf xfxx 000()()().f xfxf xx 因因此此，如如果果和和都都容容易易计计算算，那那么么就就可可以以利利用用上
9、上式式来来近近似似计计算算因因为为 d d0()yyfxx 331.02.例例求求的的近近似似值值33()1.021.0210.02,0.02,()10.02.f xxxf xx 该该题题是是求求函函数数在在点点处处的的值值,而而是是较较小小的的量量 看看作作提提示示与与分分析析所所以以原原问问题题是是求求在在处处的的近近似似值值问问题题:000()()()f xxf xfxx 331.02.例例求求的的近近似似值值000()()()f xxf xfxx 解解 设设取取，30(),1,0.02f xxxx 30001.02()()()f xxf xfxx (1)(1)0.02.ff 而而 3(
10、1)11,f3321111(1)(),33xxfxx 于于是是 30.021.0211.0067.3(10.02)f提示与分析：提示与分析：000()()()f xxf xfxx sin30 30.利利用用微微分分计计算算4 4的的近近似似值值例例()sin30 30f xx 该该题题是是求求函函数数在在点点处处的的值值.6360()()()636066360fff 000sin30 30()()()f xxf xfxx 0()sin,6360f xxxx 解解 设设取取，()()66360ff 1()sin,662f而而 13sin 30 300.5076.22360 x 于于是是 663(
11、)(sin)cos,62xxfxx所所以以d d0()yyfxx 2,10,0.05Arrr 解解 设设c cm mc cm m，2()AArr d dd d2.因因此此加加热热后后该该金金属属片片的的面面积积增增大大了了c cm m2()2rrr r 210 0.052()cmcm510,0.05,?A例例半半径径cmcm的的金金属属圆圆片片加加热热后后 半半径径伸伸长长了了cmcm 问问面面积积 增增大大了了多多少少四、小结四、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:.可微可微可导可导 作业：作业：习题习题3 3：1111（6,8,10,126,8,10,12）练练 习习 题题曲线的切线上点的纵坐标的相应增量曲线的切线上点的纵坐标的相应增量 高阶高阶242 22xxedxe 0 xx 0.01309xx0.00210.017453 （弧弧度度）
