1、10cos00 xyttdtdte3.3.求由求由 所决定的隐函数对所决定的隐函数对 x的导数的导数.dxdy0cos00dttdxddtedxdxyt解解 方程两端分别对方程两端分别对 求导，得求导，得x0cosxdxdyey故故.cosxedxdyy2 2xxexI4.4.当当 为何值时，函数为何值时，函数 有极值。有极值。x xtdttexI02解解,00 xIx时当,00 xIx时当 0 xI令令0 x得唯一驻点得唯一驻点0 x故故 为函数为函数 的惟一的惟一 xI的极值点（极小值点）。的极值点（极小值点）。3 xxdttdxdcossin2cos350sincos022coscosx
2、xdttdttdxdxxxxcoscoscossinsincos22xxdttdttdxdsin0cos022coscosxxxx22sincossinsincoscosxxxx22sincossinsincoscosxxx2sincoscossin4 xtxtxdttedte0220022lim292222002limxxxtxxeedte22002limxxtxxedtexxeeexxxx22lim22202212lim20 xx5无穷限的反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分无界函数的反常积分小结小结 思考题思考题 作业作业第四节第四节 反常积分反常积分(广义积分广义积分)impro
3、per integral第五章第五章 定积分定积分6常义积分常义积分积分区间有限积分区间有限被积函数有界被积函数有界积分区间无限积分区间无限被积函数无界被积函数无界常义积分的极限常义积分的极限反反 常常 积积 分分反常积分反常积分推广推广7一、无穷限的反常积分引例引例.曲线21xy 和直线1x及 x 轴所围成的开口曲边梯形的面积21xy A1可记作12dxxA其含义可理解为 bbxxA12dlimbbbx11limbb11lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 8 axxfd)(tatxxfd)(lim 定义定义1 1,),)(上上连连续续在在设设 axf,at 取取 axxfd)(即即
4、axxf.d)(记作记作当极限存在时当极限存在时,称反常积分称反常积分当极限不存在时当极限不存在时,称反常积分称反常积分如果极限如果极限存在存在,ttlim反反 常常 积积 分分则称这个极限值则称这个极限值反常积分反常积分,(1)收敛收敛;发散发散.上上的的在在为为),)(axf9 bxxfd)(bttxxfd)(lim 即即当极限存在时当极限存在时,称反常积分称反常积分当极限不存在时当极限不存在时,称反常积分称反常积分,()(上上连连续续在在设设bxf bt 取取 bxxfd)(上的上的在在为为,()(bxf bxxf.d)(记记作作存在存在,ttlim如果极限如果极限反反 常常 积积 分分
5、则称这个极限值则称这个极限值反常积分反常积分,(2)收敛收敛;发散发散.10,),()(上上连连续续在在设设 xf如果反常积分如果反常积分和和 xxfd)(xxfd)(都收敛都收敛,则称上述两反常积分之和为函数则称上述两反常积分之和为函数 xxfd)(0d)(xxf 0d)(xxf 0d)(xxf 0d)(xxf称反常积分称反常积分 tlim tlim00反反 常常 积积 分分),(在在上的上的反常积分反常积分,tt即即收敛收敛;记作记作发散发散.否则称反常积分否则称反常积分(3)(xf,d)(xxf xxfd)(xxfd)(11注注为了方便起见为了方便起见,规定规定:对反常积分可用如下的简记
6、法使用对反常积分可用如下的简记法使用N-L公式公式,.)()(的的原原函函数数是是连连续续函函数数若若xfxF aaxFxxf)(d)().(lim)(xFFx ),()(aFF ),()(FbF).(lim)(xFFx )(d)(xFxxf).()(FF 这时反常积分的收敛与发散取决于这时反常积分的收敛与发散取决于 和和 是否存在是否存在.)(F)(F反反 常常 积积 分分bbxFxxf )(d)(12例例 计算反常积分计算反常积分.1d2 xx解解 21dxxxxarctanlim .22 反反 常常 积积 分分 xarctanxxarctanlim 反常积分的积分反常积分的积分值值的的几
7、何意义几何意义211xy Oxy13例例 计算反常积分计算反常积分解解 2d1sin12xxx 21d1sinxx 21cosxxx1coslim.1 反反 常常 积积 分分2cos 2d1sin12xxx14例例 .dsin的的敛敛散散性性讨讨论论积积分分xx解解 考虑考虑 由于被积函数为奇函数由于被积函数为奇函数,积分区间又为对称区间积分区间又为对称区间,0dsinxx由定义可知由定义可知 xxcoslim xxdsin因而因而反反 常常 积积 分分 cosxxxcoslim 只有上述两个极限都存在时只有上述两个极限都存在时,才能使反常才能使反常但是上述两个极限都不存在但是上述两个极限都不
8、存在.0dsinxx故知故知积分收敛积分收敛.15为对称区间为对称区间.),(其错误的原因在于认定其错误的原因在于认定不成立的不成立的.注注 xxdsin对于反常积分来说对于反常积分来说,对称区间上的性质对称区间上的性质反反 常常 积积 分分 .dsin的的敛敛散散性性讨讨论论积积分分xx各不相关各不相关.0 xx,16例4.计算反常积分计算反常积分.)0(d0ptettp解解:tpept原式00d1teptptpep21021p机动 目录 上页 下页 返回 结束 17证证 apxxed apxpe反反 常常 积积 分分例例 证明反常积分证明反常积分,dxeapx 时时当当0 p收敛收敛,.0
9、时发散时发散当当 p ,0时时当当 p,peap,0时时当当 p,0时收敛时收敛当当 p时时当当0 p发散发散.18证证)1(1d1xx 1ln x)2(111pxp,1 p,1 p因此因此时时当当1 p收敛收敛,其值为其值为;11 p时时当当1 p发散发散.1 p,1 p11 p反反 常常 积积 分分例例 证明反常积分证明反常积分,d11xxp .1时时发发散散当当 p,1时时收收敛敛当当 pxxpd11 xxpd11 *19,d11d04204xxxxx 并求其值并求其值.041dxx令令xt1 tttd1042 xxxd1042 041dxxxxxd1121042 xxxxd111210
10、222 反反 常常 积积 分分例例 证明证明解解xxx xxxxxd11d0420421tttd)1(11124 0 20)1(d2)1(12102xxxx 021arctan221xx22 反反 常常 积积 分分xxxxd111210222 21反反 常常 积积 分分xxxedln12 1.计算计算 2019年考研数学年考研数学(一一)填空填空3分分解解xxxedln12 xxedlnln12 exln11 2.位于曲线位于曲线)0(xxeyx下方下方,x轴上方的轴上方的无界图形的面积是无界图形的面积是解解 2019年考研数学年考研数学(二二)填空填空3分分xxeAxd0 xex d0d00
11、 xeexxx 1 22定义定义2 2无无界界内内)(xf,at 取取右邻域右邻域 btxxfd)(baxxfd)(btatxxfd)(lim,d)(baxxf即即当极限不存在当极限不存在时时,称称反常积分反常积分).)(lim(xfx即即则称此极限为则称此极限为仍然记为仍然记为如极限如极限存在存在,atlim也称也称反常积分反常积分点点在在a函数函数 a,)(上连续上连续在在设设baxf(反反 常常 积积 分分二、无界函数的反常积分二、无界函数的反常积分(瑕积分瑕积分)反常积分反常积分,收敛收敛;baxxfd)(baxxfd)(发散发散.瑕点瑕点(1)上上的的在在,()(baxf23,bt
12、取取 baxxfd)(tabtxxfd)(lim否则否则,).)(lim(xfx即即 taxxfd)(则定义则定义如极限如极限存在存在,btlim b,)(上上连连续续在在设设baxf)反反 常常 积积 分分(2)瑕点瑕点,称称反常积分反常积分 baxxfd)(发散发散.的的为为点点)(xfb24上上在在设设,)(baxf baxxf写成写成d)(baxxfd)(若等号右边两个反常积分若等号右边两个反常积分 baxxfd)().)(lim(xfx即即 c如果如果 axxfd)(bxxfd)(cc则定义则定义 taxxfd)(btxxfd)(ctlim否则否则,就称反常积分就称反常积分 baxx
13、fd)(发散发散.都收敛都收敛,反反 常常 积积 分分(3)瑕点瑕点,反常积分反常积分注注 如瑕点在区间内部如瑕点在区间内部,分别讨论各段瑕点积分分别讨论各段瑕点积分.通常通常用瑕点将区间分开用瑕点将区间分开,)(外外连连续续除除bcacx 的的点点为为)(xfc ctlim25例例 计算反常积分计算反常积分解解).0(d022 axaxa 221limxax aax 反反 常常 积积 分分为为瑕点瑕点,axax022d txax022dtatax0arcsinlim 0arcsinlim atat.2 atlim这个反常积分值的这个反常积分值的直线直线x=0与与x=a位于曲线位于曲线221x
14、ay x 轴轴之上之上,之间的图形面积之间的图形面积.几何意义几何意义之下之下,221xay Oxyaa1t26,()(baCxf 注注为了方便起见为了方便起见,为为瑕瑕点点如如a),)(baCxf,为为瑕瑕点点如如b反反 常常 积积 分分由由NL公式公式,则反常积分则反常积分规定规定:baxF)(baxF)(),()(xfxF baxxfd)()()(aFbF )(bF)(limxFax baxxfd)()()(limaFxFbx 27例例 计算反常积分计算反常积分解解.lnd21 xxx 21lndxxx 21ln)(lndxx 21)ln(ln x )2ln(ln.故原反常积分发散故原反
15、常积分发散.反反 常常 积积 分分)ln(lnlim1xx 28证证,1)1(q 10d1xx 10lnx ,1)2(q 10d1xxq1011 qxq 10d1xxq,11q,1 q.1 q,1时时当当 q反常积分收敛反常积分收敛,其值为其值为,11q,1时时当当 q反常积分发散反常积分发散.反反 常常 积积 分分例例 证明反常积分证明反常积分,d110 xxq.1时发散时发散当当 q,1时时收收敛敛当当 q*29例例 求求xxd111 解解 xx1lim0.0为瑕点为瑕点 xxxd111 10ln x反反 常常 积积 分分0发散发散.|lnlim00 xx 也发散也发散.注注 11d1xx
16、 11ln x.0错误的做法错误的做法:xxd11030例例 解解,sintax 令令 taattata22233sindcossin原式原式 2033dsin tta332a 注注此反常积分经变量代换化成了定积分此反常积分经变量代换化成了定积分.02 反反 常常 积积 分分).0(d0223 axxaxa求求ttaxdcosd 31例例 xxd102 xxd1102 xxd1102 xxd102 下面是下面是xxd1 求求xxd1 1d1xx 1d1xx 1d1xx00发散发散xxd1 无穷区间无穷区间上上无界函数无界函数的的反常积分反常积分发散发散,发散发散.发散发散.反反 常常 积积 分
17、分 12d1xx 1d1xx32例例 xxxxxf2,120,210,0)(已知已知 xttf.d)(解解,0 x0,20 x 0d0 txt024 xttfd)(ttxd210 试用分段函数表示试用分段函数表示 xttfd)(xttfd)(00241x 反反 常常 积积 分分 ttfd)(33,2x 0 20 x21 x xttfd)(xxxxxf21202100)(已知已知 xttf.d)(试用分段函数表示试用分段函数表示td0ttd21td1反反 常常 积积 分分34无界函数的无界函数的反常反常积分积分(瑕积分瑕积分)无穷限的反常积分无穷限的反常积分 xxfd)(bxxfd)(axxfd
18、)(注意注意 baxxfd)(反反 常常 积积 分分三、小结三、小结 1.不要与常义积分混淆不要与常义积分混淆;2.不能忽略内部的瑕点不能忽略内部的瑕点.35反反 常常 积积 分分思考题思考题1(选择题选择题),0 x设设).(1d1d10202 xxtttt则则xA arctan)(xBarctan2)(2)(C0)(D解答解答 xxttttxf102021d1d)(令令),0(x )(xf0)(xf恒等于常数恒等于常数.,时时当当 x xxttttxf102021d1d)(202 .2)(xfC 221111xx 211x36思考题思考题2积分积分 的瑕点是哪几点？的瑕点是哪几点？10d1lnxxx解答解答积分积分 10d1lnxxx1,0 xx 1lnlim1xxx xx1lim11 x不是瑕点不是瑕点,10d1lnxxx的瑕点是的瑕点是.0 x可能可能的瑕点是的瑕点是又又 1lnlim0 xxx,1 反反 常常 积积 分分37作业作业习题习题5-4(2605-4(260页页)1.(1)(2)(3)(4)(6)(7)(9)反反 常常 积积 分分
