1、二项分布及其应用 山东大学公共卫生学院二项分布及其应用二项分布及其应用n一二项分布（一二项分布（binomial distribution）的概）的概念及应用条件念及应用条件n二二项分布的应用二二项分布的应用一二项分布（一二项分布（binomial distribution）的概）的概念及应用条件念及应用条件1概念概念 抛一枚质地均匀的硬币抛一枚质地均匀的硬币,币值面朝上、国徽面朝上的币值面朝上、国徽面朝上的概率概率:币值面币值面 国徽面国徽面 朝上面朝上面 0 1 P 0.5 0.5如果将此试验重复如果将此试验重复n次，如次，如10次，国徽面朝上的次数次，国徽面朝上的次数X可可以为：以为：0
2、,1,2,10 X的值为的值为0n的概率服从二项分布的概率服从二项分布假如已知某人群中每个个体某病的患病率为0.10，即随机抽出一人，此人不患病与患病的概率分别为：0.9和 0.1将此过程重复若干次，如n次，即抽取了n人，n人中患病人数恰好有X人的概率分布即为二项分布。X 0 1 2 3 n P?二项分布的适用条件：二项分布的适用条件：每个观察单位只能有每个观察单位只能有2个互相对立的一个结果，如个互相对立的一个结果，如阳性与阴性，生存与死亡，发病与未发病。阳性与阴性，生存与死亡，发病与未发病。每次试验的条件不变，即每个观察单位为某种结果每次试验的条件不变，即每个观察单位为某种结果的概率是恒定
3、不变的。的概率是恒定不变的。n个观察单位的结果相互独立。个观察单位的结果相互独立。例例以一定剂量的某毒物对小白鼠染毒，其死亡率为以一定剂量的某毒物对小白鼠染毒，其死亡率为80%。对于每只小白鼠来说，死亡概率对于每只小白鼠来说，死亡概率0.8，生存概，生存概率率0.2。如果每组有。如果每组有甲、乙、丙甲、乙、丙三只小白鼠，三只小白鼠，有不同生死组合方式、排列方式：有不同生死组合方式、排列方式：小鼠生死组合小鼠生死组合排列方式排列方式每种排列每种排列的概率的概率每种组合每种组合的概率的概率死亡数死亡数生存数生存数甲甲乙乙丙丙030.2 0.2 0.20.008120.8 0.2 0.20.0960
4、.2 0.8 0.20.2 0.2 0.821 0.2 0.8 0.80.3840.8 0.2 0.8 0.8 0.8 0.2300.8 0.8 0.80.512各种生存死亡排列、组合的概率各种生存死亡排列、组合的概率2二项分布的概率二项分布的概率n设阳性结果发生的概率为设阳性结果发生的概率为，则，则n个观察单个观察单位有位有x个呈阳性的概率个呈阳性的概率 ()()(1),0,1,2,nXn XXP XXn!()!()!nXnXnX3二项分布的累计概率二项分布的累计概率n最多有最多有k例阳性的概率例阳性的概率 P(Xk)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=k)n最少有最少有k例阳性的概率例阳
5、性的概率 P(Xk)=P(X=k)+P(X=k+1)+P(X=n)n例：某病的自然痊愈率为例：某病的自然痊愈率为0.25，医生试用，医生试用A药治疗该药治疗该病，事先规定：若病，事先规定：若10个病人中至少治愈个病人中至少治愈4人，可认为人，可认为A药有效；否则，则认为药有效；否则，则认为A药无效。药无效。求求A药完全无效，但通过试验被认为有效的概率。药完全无效，但通过试验被认为有效的概率。（即痊愈率仍为（即痊愈率仍为0.25）100101019102810370123(4)1(4)1()(1)()(1)()(1)()(1)0.224P XP X即如果即如果A药无效时，接受治疗药无效时，接受治
6、疗10例中至少有例中至少有4例痊愈的例痊愈的概率为概率为0.224 4二项分布的性质二项分布的性质 (1)=0.5时分布对称时分布对称 0.5分布偏态分布偏态 (2)不接近不接近0或或1，n较大时，近似正态，一较大时，近似正态，一般地要求般地要求n5且且n(1-)5 (3)均数与标准差均数与标准差 绝对数形式：绝对数形式：=n，1n1pn1pppSn 相对数形式：相对数形式：均数均数 p=标准差标准差 （率的标准误（率的标准误）(理论值理论值)(估计值估计值)例例 在某镇按人口的在某镇按人口的1/20随机抽取随机抽取329人，作血清登人，作血清登革热血凝抑制抗体反应检验，得阳性率革热血凝抑制抗
7、体反应检验，得阳性率p=8.81%，则此阳性率的抽样误差为则此阳性率的抽样误差为(1)0.0881(1 0.0881)0.0156329pppSn二二项分布的应用二二项分布的应用1.总体率的区间估计总体率的区间估计查表法查表法 n50正态近似法，当正态近似法，当X和和n-X均大于均大于5，即阳性、，即阳性、阴性例数均大于阴性例数均大于5时时ppu S 例例 某县随机抽样调查某县随机抽样调查4000人，得血吸虫感染人，得血吸虫感染率为率为15%。如全县人口为。如全县人口为205000人，试以人，试以99%的可信区间估计该县血吸虫感染人数。的可信区间估计该县血吸虫感染人数。0.15 0.850.1
8、52.584000即即（0.1354，0.1646）该县感染人数该县感染人数99%的可信区间的可信区间至少至少 0.1354205000=27757 人感染人感染至多至多 0.1646205000=33743 人感染人感染总体率的总体率的99%可信区间可信区间2率的假设检验率的假设检验样本率与总体率比较样本率与总体率比较 推断某样本所来自的总体其总体率推断某样本所来自的总体其总体率与已知的与已知的总体率总体率0是否相等。是否相等。两样本率比较的两样本率比较的u检验检验 推断两样本所来自的总体其总体率推断两样本所来自的总体其总体率1与与2是是否相等。否相等。样本率与总体率比较样本率与总体率比较
9、方法一：直接计算概率法方法一：直接计算概率法例例 据以往经验，新生儿染色体异常率一般为据以往经验，新生儿染色体异常率一般为1%，某，某医院观察了当地医院观察了当地400名新生儿，只有名新生儿，只有1例异常，问该例异常，问该地新生儿染色体异常率是否低于一般？地新生儿染色体异常率是否低于一般？H0:=0.01 H1:0.05，按，按=0.05=0.05水准水准不拒绝不拒绝H0例 用一种新药治疗某种寄生虫病，受试者用一种新药治疗某种寄生虫病，受试者50人在服药后人在服药后1人发生某种严重反应。这种反人发生某种严重反应。这种反应既往也曾在此病患者中发生过，但过去应既往也曾在此病患者中发生过，但过去长期
10、大量观察，约每长期大量观察，约每5000人中仅有人中仅有1人出现。人出现。问此新药是否提高了这种反应的发生率问此新药是否提高了这种反应的发生率?方法二：正态近似法方法二：正态近似法（n0和和n(1-0)均大于均大于5）0001pun0001Xnun例例 根据以往经验，一般胃溃疡病患者有根据以往经验，一般胃溃疡病患者有20%发生胃发生胃出血症状，现某医院观察出血症状，现某医院观察65岁以上溃疡病人岁以上溃疡病人304例，有例，有31.6%发生胃出血症状发生胃出血症状,问老年胃溃疡病患问老年胃溃疡病患者是否较容易出血者是否较容易出血?H0:=0.2 H1:0.2 =0.050.3160.25.06
11、0.2(1 0.2)/304uP0.01，拒绝，拒绝H0，接受，接受H1，可认为老年患者与，可认为老年患者与一般患者不同，更易有出血症状一般患者不同，更易有出血症状 两样本率比较的两样本率比较的u检验检验121211(1)()ccppuppnn1212cXXpnn例例 某山区小学男生某山区小学男生80人，其中肺吸虫感染人，其中肺吸虫感染23人，感人，感染率为染率为28.75%,女生女生85人感染人感染13人人,感染率为感染率为15.29%,问男女生的肺吸虫感染率有无差别问男女生的肺吸虫感染率有无差别?0.28750.15292.092110.2182 1 0.21828085u查查u界值表，得界值表，得 0.01P0.05，拒绝，拒绝H0，接受，接受H1，可认为男女生感染率不同，男生高于女生可认为男女生感染率不同，男生高于女生H0:1=2 H1:12 =0.05 Pc=(23+13)/(80+85)=0.2182
