1、一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数二、高阶偏导数三、小结三、小结 第二节第二节 偏导数偏导数一、偏导数的定义及其计算法一、偏导数的定义及其计算法 1、偏增量的概念、偏增量的概念),(00yx),(yxfz 设设 在点在点 的某个邻域内有定义，的某个邻域内有定义，当当 从从 取得改变量取得改变量0 xxx),0(x 而而 保持不变时，函数保持不变时，函数 得到一个改变量得到一个改变量0yy zzx),(),(0000yxfyxxf 称为称为 在在点点 关于关于 的偏增量的偏增量.),(yxfz ),(00yxxzy),(),(0000yxfyyxf 称为称为 在在
2、点点 关于关于 的偏增量的偏增量.),(yxfz ),(00yxy 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内有的某邻域内有定义，并设定义，并设),(00yyxxP 为这邻域内的任意为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差一点，则称这两点的函数值之差 ),(),(0000yxfyyxxf 为函数在点为函数在点),(00yx对应于自变量增量对应于自变量增量yx ,的全增的全增量，记为量，记为z，即即 z=),(),(0000yxfyyxxf 2、二元函数在点、二元函数在点(x0,y0)的偏导数的偏导数定义定义 设函数设函数),(yxfz 在点在点(x0,y0)的某一邻域
3、内的某一邻域内有定义，当有定义，当 y 固定在固定在 y0而而 x 在在 x0处有增量处有增量 x 时，时，如果如果xyxfyxxfx ),(),(lim00000存在，存在，称此极称此极限为函数限为函数),(yxfz 在点在点(x0,y0)处对处对 x 的偏导数的偏导数.;),(00yxxz ;),(00yxxz;),(00yxxf ;),(00yxfx.),(001yxf 记为记为 xyxfyxxfx ),(),(lim00000 0),(dd0 xxyxfx ),(00yxfx注意注意:同理可定义函数同理可定义函数),(yxfz 在点在点),(00yx处对处对 y的偏导数，的偏导数，为为
4、 yyxfyyxfy ),(),(lim00000 记为记为;),(00yxyz ;),(00yxyz;),(00yxyf ;),(00yxfy.),(002yxf ),(00yxfy0),(dd0yyyxfy 3、偏导函数、偏导函数如果函数如果函数),(yxfz 在区域在区域D内任一点内任一点),(yx处对处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数的偏导数都存在，那么这个偏导数就是就是x、y的函数，它就称为函数的函数，它就称为函数),(yxfz 对对自变量自变量x的偏导数，的偏导数，记作记作xz ，xf ，xz或或),(yxfx.同理可以定义函数同理可以定义函数),(yxfz 对自变量对自变量y的
5、偏的偏导数，记作导数，记作yz ，yf ，yz或或),(yxfy.),(zyxfx lim0 x),(zyf),(zyf x xx?),(zyxfy?),(zyxfzx偏导数的概念可以推广到三元以上函数偏导数的概念可以推广到三元以上函数如如 在在 处处对对 x 的偏导数的偏导数),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 4、偏导数求法、偏导数求法 (1)求关于求关于 x 的偏导数的偏导数，把把 z=f(x,y)中的中的 y 看成常数，对看成常数，对 x 仍用一元函数求导法求偏导仍用一元
6、函数求导法求偏导.(2)求关于求关于 y 的偏导数的偏导数，把把 z=f(x,y)中的中的 x 看成常数，对看成常数，对 y 仍用一元函数求导法求偏导仍用一元函数求导法求偏导.ln(),.xyxyz例1 设z=求zyxz )1,0(xxzyzxxzyx2ln1 例例2 设设 ，求证求证 .证证 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原结论成立原结论成立yxz )1,0(xxzyzxxzyx2ln1 例例2 设设 ，求证求证 .解解 法一法一 先求偏导数再代入具体点先求偏导数再代入具体点.xz;32yx yz.23yx 21y
7、xxz,82312 21yxyz.72213 法二法二 先固定先固定 y=2 或或 x=1，再对再对 x 或或 y 求偏导数求偏导数.解法解法2:)2,1(xz)2,1(yz462xx1)62(xx81xz231yy 2)23(yy2yz),(00yxfx求求 的两种常用方法：的两种常用方法：法一法一 先求偏导数再代入具体点先求偏导数再代入具体点.法二法二 先将先将然后再用关系式然后再用关系式代入代入,),(0yxfy0),(dd),(000 xxxyxfxyxf 但但 法二法二 并不总是适用，如求并不总是适用，如求.)0,0(0,00,),(222222只能用定义求只能用定义求的的xfyxy
8、xyxxyyxf yxyxyxfarcsin)1(),(.)1,2(,)1,(xxfxf例例4 设设 ，求求5、有关偏导数的几点说明：、有关偏导数的几点说明：(1)偏导数偏导数xu 是一个整体记号，不能拆分是一个整体记号，不能拆分,即即不能不能看作看作分子分子与与分母分母的的商商.不能看作不能看作 RTpV R1 pTTVVp例例5 已知理想气体的状态方程已知理想气体的状态方程 （为常数），求证：为常数），求证：.证证 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV.1 pVRT ).0,0(),0,0(,),(:yxffxyyxfz求求设设例
9、例如如 (2)求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；解解xxfxx0|0|lim)0,0(0 0.0)0,0(yf同理：同理：(3)偏导数存在与连续的关系偏导数存在与连续的关系例如例如,函数函数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定义知在依定义知在)0,0(处，处，0)0,0()0,0(yxff.但函数在该点处并不连续但函数在该点处并不连续.偏导数存在偏导数存在一元函数中在某点可导一元函数中在某点可导 连续，连续，多元函数中在某点偏导数存在多元函数中在某点偏导数存在 连续，连续，连续连续.多元函数中在某点连续多元函数中在某点连续 偏
10、导数存在，偏导数存在，例如例如：函数函数 22),(yxyxf 在在)0,0(处处连连续续，连续连续但但)0,0(,)0,0(yxff 不不存存在在.偏导数存在偏导数存在.又又如如：函函数数 0,00,),(222222yxyxyxxyyxf 在在)0,0(处处连连续续，且且有有 0)0,0()0,0(yxff.可见，二元函数可见，二元函数在一点处偏导数存在和连在一点处偏导数存在和连续没有必然的联系续没有必然的联系.6、偏导数的几何意义偏导数的几何意义,),(),(,(00000上一点上一点为曲面为曲面设设yxfzyxfyxM 偏导数偏导数 就是就是曲面被平面曲面被平面 所所截得的曲线在点截得
11、的曲线在点 处处的切线的切线 对对 轴的轴的斜率斜率.),(00yxfx0yy 0MxTM0 x偏导数偏导数 就是就是曲面被平面曲面被平面 所所截得的曲线在点截得的曲线在点 处处的切线的切线 对对 轴的轴的斜率斜率.0 xx 0MyTM0y),(00yxfy二元函数偏导数的几何意义二元函数偏导数的几何意义:0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy 是曲线是曲线 0),(xxyxfzyTM0在点在点 M0 处的切线处的切线对对 x 轴的斜率轴的斜率.在点在点M0 处的切线处的切线斜率斜率.是曲线是曲线yxz0 xyToxT0y0M对对 y 轴的轴的00),(dd00
12、 xxyxfxxfxxyy 1222xyyxz)2,0,1(例例6 求曲线求曲线 在点在点 处的处的 切线与切线与 y 轴正向夹角轴正向夹角.解解)0,1(2)14()0,1(yxzy1 .43)1arctan(二、高阶偏导数二、高阶偏导数设设 z=f(x,y)在域在域 D 内存在连续的偏导数内存在连续的偏导数),(,),(yxfyzyxfxzyx 若这两个偏导数仍存在偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们的偏导数是则称它们的偏导数是z=f(x,y)的的二阶偏导数二阶偏导数 .xz)(yzx xzy.),()(22yxfyzyzyyy 按求导顺序不同按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数有下
13、列四个二阶偏导数:22xz );,(yxfxx yxz 2;),(yxfyx.),(2yxfxyzxy x 纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导例如，例如，z=f(x,y)关于关于 x 的三阶偏导数为的三阶偏导数为3322xzxzx z=f(x,y)先关于先关于 x 的的 n 1 阶偏导数阶偏导数 ,再关于再关于 y 的一阶偏导数为的一阶偏导数为:yyxznn 111 nnxz类似可以定义更高阶的偏导数类似可以定义更高阶的偏导数.定义定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数高阶偏导数.解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 2
14、2yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2.19622 yyxyxz 2,19622 yyx解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 定理定理 如果函数如果函数),(yxfz 的两个二阶混合偏导的两个二阶混合偏导数数xyz 2及及yxz 2在区域在区域 D 内内连续连续，那末在该区域，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等内这两个二阶混合偏导数必相等 说明说明 因为初等函数的偏导数仍为初等函数，因为初等函数的偏导数仍为初等函数，而初等函数
15、在其定义区域内是连续的，故求初而初等函数在其定义区域内是连续的，故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.定理可以推广，例如：定理可以推广，例如：对三元函数对三元函数 u=f(x,y,z),当三阶混合偏导数在当三阶混合偏导数在点点(x,y,z)连续时连续时,有有),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx ),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx .02222 yuxu若在若在 f(x,y)的表达式中将的表达式中将 x 换为换为 y ，同时，同时把把 y 换为换为 x 时，表达式不变，则称时，表达式不变，则称 f(x
16、,y)对对 x,y 具具有有轮换对称性轮换对称性.对有轮换对称性的函数，若已经求得对有轮换对称性的函数，若已经求得 ，则，则只要在只要在 的表达式中将的表达式中将 换为换为 ，同时把，同时把换为换为 即可得到即可得到 .xyyxxf xf yf .02222 yuxu解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu ,)()(2)(222222222222yxxyyxxxyxxu .)()(2)(222222222222yxyxyxyyyxyu 22222222222222)()(yxyxyxxyyuxu .0 222),(zyxzyxu 例例 设设 ，求求,22xu
17、 ,22yu .22zu 函数的轮换对称性可推广到三元以上的函数函数的轮换对称性可推广到三元以上的函数 .偏导数的定义偏导数的定义偏导数的计算、偏导数的几何意义偏导数的计算、偏导数的几何意义高阶偏导数高阶偏导数（偏增量比的极限）（偏增量比的极限）纯偏导纯偏导混合偏导混合偏导（相等的条件）（相等的条件）三、小结三、小结若函数若函数),(yxf在 点在 点),(000yxP连连续，能否断定续，能否断定),(yxf在点在点),(000yxP的偏导数必定存在？的偏导数必定存在？思考题思考题思考题解答思考题解答不能不能.,),(22yxyxf 在在)0,0(处处连连续续,但但 )0,0()0,0(yxf
18、f 不存在不存在.例如例如,一一、填填空空题题:1 1、设设yxztanln,则则 xz_ _ _ _ _ _ _ _ _;yz_ _ _ _ _ _ _ _ _ _.2 2、设设 xzyxezxy则则),(_ _ _ _ _ _ _ _;yz_ _ _ _ _ _ _ _ _.3 3、设设,zyxu 则则 xu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _;yu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _;zu_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.4 4、设设,arctanxyz 则则 22xz_ _ _ _ _ _ _ _ _;22yz_ _ _ _ _ _ _ _;yxz2_ _
19、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.练练 习习 题题 5 5、设、设zyxu)(,则则 yzu2_.二、二、求下列函数的偏导数求下列函数的偏导数:1 1、yxyz)1(；2 2、zyxu)arctan(.三、三、曲线曲线 4422yyxz,在点在点(2,4,5)(2,4,5)处的切线与正向处的切线与正向x轴所成的倾角是多少轴所成的倾角是多少?四、四、设设xyz ,求求.,22222yxzyzxz 和和五、设五、设)ln(xyxz ,求求yxz 23和和23yxz .六、六、验证验证:1 1、)11(yxez ,满足满足zyzyxzx222 ；2 2、222zyxr 满足满足 rzzr
20、yrxr 222222.七、设七、设 0,00,arctanarctan),(22xyxyyxyxyxyxf 求求xyxff,.0,00,),(22222222yxyxyxyxyxyxf例如：例如：),(yxfx 000,)(422222224224yxyxyxyyxxyyfyfxxy )0,0(),0(lim0 )0,0(yxfyyy 0lim1 ),(yxfy 000,)(422222224224yxyxyxyyxxxxfxffyyxxy )0,0()0,(lim)0,0(0 xxx 0lim 1 一、一、1 1、yxyxyxy2csc2,2csc22；2 2、)1(2 yxyexy,)1
21、(2 xxyexy；3 3、xxzxzyzyzyln1,1,xxzyzyln2；4 4、22222222222)(,)(2,)(2yxxyyxxyyxxy ；5 5、)ln1()(yxyzyyxz .二、二、1 1、xyxyxyxyyzxyyxzyy1)1ln()1(,)1(12;练习题答案练习题答案 2 2、zzyxyxzxu21)(1)(,)(1)(21zzyxyxzyu zyxyxyxzu2)(1)ln()(.三、三、4.四、四、,)1(,ln222222 xxyxxyzyyxz )1ln(12 yxyyxzx.五、五、223231,0yyxzyxz .七、七、0,0;0,00,0,0,arctan2yxyxyxyxyyxyxfx,0,0,10,0,12222yxxyyxyxxfxy.
