1、7.5 隐函数的求导公式隐函数的求导公式7.5.1 一个方程的情形一个方程的情形 7.5.2 方程组的情形方程组的情形0),(.1 yxF隐函数的求导公式隐函数的求导公式7.5.1 一个方程的情形一个方程的情形 .ddyxFFxy(隐函数存在定理隐函数存在定理1)设函数设函数),(yxF在点在点),(00yxP的某一邻域内具有连续的偏导数的某一邻域内具有连续的偏导数，且且，0),(00 yxF，0),(00 yxFy则方程则方程 0),(yxF在点在点),(00yxP，)(xfy ，)(00 xfy 的某一邻域内恒能唯一确定一个的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数单值连续且
2、具有连续导数的函数它满它满 足条件足条件并有并有 定理定理7.6这个定理我们不证，仅对求导公式作推导这个定理我们不证，仅对求导公式作推导.得恒等式得恒等式代入代入将将,),()(0 yxFxfy,)(,(0 xfxF 等式两边对等式两边对x求导，即得求导，即得,dd0 xyyFxF.ddyxFFxy 由于由于yF连续，连续，且且，0),(00 yxFy所以存在所以存在),(00yx的一个邻域，的一个邻域，在这个邻域内在这个邻域内，0 yF于是得于是得 的二阶偏导数也都连续，可得二阶的二阶偏导数也都连续，可得二阶导数导数.),(yxF如果如果xyFFyFFxxyyxyxdddd 22 yxyxy
3、yyxyyxyxyxxFFFFFFFFFFFF22.3222yxyyyxxyyxxFFFFFFFF 例例1 验证方程验证方程F(x，y)=xy ex+ey=0在点在点P0(0,0)的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数的隐函数的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数的隐函数y=y(x)，并求其函数，并求其函数解解,),(yxeexyyxF 则则,xxeyF ,yyexF ,01)0,0(yF依定理知依定理知,方程方程xy ex+ey=0在点在点P0(0,0)的某一邻域的某一邻域内能唯一确定一个内能唯一确定一个有连续导数的隐函数有连续导数的隐函数y=y(x)，.yxyxexeyFFdxdy 其导数为其
4、导数为0),(.2 zyxF,zxFFxz (隐函数存在定理隐函数存在定理2)设函数设函数),(zyxF在点在点)(000zyxP，的某一邻域内有连续的偏导数，的某一邻域内有连续的偏导数，且且，0)(000 zyxF，0),(000 zyxFz则方程则方程 0)(zyxF，在点在点),(000zyxP的某一邻域内恒的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函 数数，),(yxfz 它满足条件它满足条件),(000yxfz 并有并有.zyFFyz 定理定理7.6这个定理我们也不证，仅对求导公式作推导这个定理我们也不证，仅对求导公式作推导.,)
5、,(,(0 yxfyxF等式两边对等式两边对yx及及求导，即得求导，即得,0 xzzFxF，zxFFxz 由于由于.0 yzzFyF由于由于zF连续，连续，且且，0),(000 zyxFz所以存在所以存在,(00yx的一个邻域，的一个邻域，在这个邻域内在这个邻域内，0 zF于是得于是得)0z.zyFFyz 设设x2+2y2+3z2+xy-z=0,求求.,yzxz 例例2解解法一法一 设设 F(x,y,z)=x2+2y2+3z2+xy-z，则，则,2yxFx ,4xyFy ,16 zFz得得zxFFxz ,162 zyxzyFFxz .164 zyx法二法二 求隐函数的一阶偏导数求隐函数的一阶偏
6、导数,可直接对方程两端求导可直接对方程两端求导.,062 xzyxzzx方程两端对方程两端对x求偏导数求偏导数,得得 xz ,162 zyx可利用全微分的形式不变性求偏导数可利用全微分的形式不变性求偏导数.法三法三,0642 dzxdyydxzdzydyxdx.42242dyzydxzxdz .,yzxz 可得可得类似可得类似可得xz .164 zyx方程两端求全微分方程两端求全微分,例例3 设设具有连续偏导数，证明由方程具有连续偏导数，证明由方程满满足足所所确确定定的的函函数数),(),(yxfzbzcyazcx 0.cyzbxza ),(vu证证,0 xzbxzacvu 解出解出.vuub
7、acxz 类似地，有类似地，有.vuvbacyz yzbxza vuubaca vuvbacb .c 设函数设函数z=(x,y)由方程由方程ezxyz=0所确定所确定,求求.22yz 例例4所给的方程两端对所给的方程两端对y求偏导数求偏导数,得得 解解,0 yzxyxzyzez,xyexzyzz 即即对对y再求一次偏导数再求一次偏导数,有有 将将yz 22yz 2)()()(xyexzexzxzexzzyzzy .)(e)(23222xyezxxyezxzzz 0),(0),(vuyxGvuyxF7.5.2 方程组的情形方程组的情形(隐函数存在定理隐函数存在定理3)设设、),(vuyxF),(
8、vuyxG),(0000vuyxP在点在点的某一邻域内有对各的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，个变量的连续偏导数，且且,0),(0000 vuyxF,(00yxG,0),00 vu且偏导数所组成的函数行列式且偏导数所组成的函数行列式(或称雅可或称雅可vGuGvFuFvuGFJ ),(),(定理定理7.8比式比式),),(),(1vuvuvxvxGGFFGGFFvxGFJxu 在点在点),(0000vuyxP不等于零，不等于零，则方程组则方程组 、0),(vuyxF0),(vuyxG在点在点),(0000vuyxP的某一邻域内恒能唯的某一邻域内恒能唯 一确定一组单值连续且具有连续偏导数的一确
9、定一组单值连续且具有连续偏导数的函数函数 ),(yxuu ),(yxvv 它们满足条件它们满足条件),(000yxuu ),(000yxvv 并有并有 vuvuxuxuGGFFGGFFxuGFJxv ),(),(1,),(),(1vuvuvyvyGGFFGGFFvyGFJyu.),(),(1vuvuyuyuGGFFGGFFyuGFJyv 这个定理我们也不证，仅对求导公式作推导这个定理我们也不证，仅对求导公式作推导.,),(),(,0 yxvyxuyxF等式两边对等式两边对x求导，即得求导，即得由于由于,),(),(,0 yxvyxuyxG .,00 xvGxuGGxvFxuFFvuxvux系数
10、行列式系数行列式,0 vuvuGGFFJ从而得从而得,),(),(vxGFJxu 1.),(),(xuGFJxv 1同理可得同理可得,),(),(vyGFJyu 1.),(),(yuGFJyv 1设设0 yvxu，1 xvyu，求求 xu ，yu ，xv 和和yv .例例5解解将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导并移项求导并移项x .,vxvxxuyuxvyxuxxyyxJ ,22yx 在在0 J的条件下，的条件下，xyyxxvyuxu ,22yxyvxu xyyxvyuxxv ,22yxxvyu 将所给方程的两边对将所给方程的两边对 求导，用同样方法得求导，用同样方法得y,22yxyu
11、xvyu .22yxyvxuyv 的某一邻域内唯一确定一组连续且具的某一邻域内唯一确定一组连续且具有连续偏导数的反函数有连续偏导数的反函数例例6的的某某在在点点设设函函数数),(),(),(vuvuyyvuxx 一邻域内连续且有连续偏导数，又一邻域内连续且有连续偏导数，又.),(),(0 vuyx(1)证明方程组证明方程组 ),(),(vuyyvuxx),(vuyx在点在点).,(),(yxvvyxuu .,),(),(的偏导数的偏导数对对求反函数求反函数yxyxvvyxuu (2)例例6 解解(1)将方程组改写成下面的形式将方程组改写成下面的形式 ).,(),(),(),(vuyyvuyxG
12、vuxxvuyxF则按假设则按假设.),(),(),(),(0 vuyxvuGFJ由隐函数存在定理由隐函数存在定理3，即得所要证的结论，即得所要证的结论.(2)将方程组所确定的反函数将方程组所确定的反函数),(yxuu 代代入入方方程程组组，即即得得),(yxvv ).,(),(),(),(yxvyxuxxyxvyxuxx求偏导数，得求偏导数，得两边分别对两边分别对x .xvvyxuuyxvvxxuux01，得，得由于由于0 J,vyJxu 1.uyJxv 1同理同理,vxJyu 1.uxJyv 1例例7 设设,sincos uvzveyvexuu.yzxz ，求求解解 前两个方程两边对前两个
13、方程两边对 x 求导，得求导，得 .cossin0sincos1xvvexuvexvvexuveuuuu解得解得,cosuevxu .sinuevxv xvuxuvxz uuevuevvsincos.sincosuevuvv 同理得同理得.sincosuevuvuyz 已已知知xyyxarctanln22 ，求求dxdy.练习练习1 设设04222 zzyx，求，求22xz .练习练习3练习练习2练习练习4 yzyfzyxyxzz222是是由由方方程程函函数数),(.)(,xzyzxyxzzyx22222 证明证明确定确定.,),(zyyxxzxyzzyxfz 求求设设练习练习5的函数，的函数
14、，是是与与确定确定设设xzyzyxzyx ,43250222.ddddxzxy，求求 已知已知xyyxarctanln22 ，求，求dxdy.练习练习1解解令令则则,arctanln),(22xyyxyxF ,),(22yxyxyxFx ,),(22yxxyyxFy yxFFdxdy .xyyx 设设),(xyzzyxfz ，求求xz ，yx ，zy .练习练习2解解令令),(),(xyzzyxfzzyxF ,21fyzfFx ,21fxzfFy ,121fxyfFz 所以所以,12121fxyffyzfxz ,2121fyzffxzfyx 12121.fxyfyzfxzf 设设04222 z
15、zyx，求，求22xz .练习练习3解解令令则则,4),(222zzyxzyxF ,xFx2,42 zFz,2zxFFxzzx 22xz 2)2()2(zxzxz 2)2(2)2(zzxxz .)2()2(322zxz 练习练习4 yzyfzyxyxzz222是是由由方方程程函函数数),(.)(,xzyzxyxzzyx22222 证明证明确定确定证证求导，得求导，得方程两边对方程两边对x,xzyfyxzzx 122解得解得.zfxxz22 可得可得求导求导方程两边对方程两边对,y.yzf yf zyfyyz222 yzxyxzzyx 2222)(zfxzyx22222 )(.yzf yf zyfyxy2222 ).(f zyfyzyxzfx 2222222).(f zzzfx 2222.xz2 练习练习5的函数，的函数，是是与与确定确定设设xzyzyxzyx ,43250222.ddddxzxy，求求解解令令,),(,),(43250222 zyxzyxGzyxzyxF),(yzyzGGFFJyzyz3222322 ,ddzyxzxzJxy23313221 .ddzyxyyxJxz23221221 因此因此
