1、目录 上页 下页 返回 结束 和在局部弧段上任意取点,极限为A终点为B的一条光滑的有向曲线.设函数w=f(z)定义在区域D内,()kkfznk 10lim都存在且唯一，则称此极限为函数Cf z dz()记作沿曲线弧C的积分.()f zABCkkz1kzkz若对C 的任意分割C为在区域D内起点xyo工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束()dCf zz()dbaf zz(4)一般不能把写成的形式.()f z()dCf zz(1)用表示沿着曲线C的负向的积分.()d.Cf zz()f z(2)沿着闭曲线C的积分记作()(),f zu x(3)如果C是x轴上的区间,axb而则()d(
2、)d.bCaf zzu xx工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 CCzzfzzfd)(d)()iMzfCzfLC|)(|)(,)iv上满足在长度为设曲线CCCzzgzzfzzgzfd)(d)(d)()()iii)(;d)(d)()ii为常数kzzfkzzfkCCLMszfzzfCCd|)(|d)(则工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 18,1Czdzz证明证明:证明其中 C 为正向圆周：12z 利用积分估值性质，有11Czdzz11Czdsz122Czds 122Czds2Cds8工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 定理定理:C 的参
3、数方程为()()()zz tx tiy t,:t则曲线积分存在,且有连续,()wf z在有向光滑弧 C 上有定义且设函数Cf z dz()CCudxvdyivdxudyf z t z tt()()d (),()(),()u x ty tiv x ty tx tiy t dt()()Cuivdxidy()()工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 10()nCdzzz 解解:计算oyx0:02iC zzre的正向圆周，为整数.n0zr10()nCdzzz 21(1)0ini niredre20inniedr其中 C 为以 中心，为半径0zr202idi0,n 20(cossin)
4、0niidr0,n 2,i0,n 0,0.n 0izzrez工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 例例3.解解:Re d,Cz z(1)积分路径的参数方程为()(01),z ttitt Re,d(1)d,ztzit于是Re dCz z10(1)dtit1(1);2i计算其中C为:(1)从原点到点1+i的直线段;(2)从原点沿 x 轴到点1,再到点1+i的折线段;i1y=xoyx1工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 i1y=x(2)积分路径由两段直线段构成x 轴上直线段的参数方程为()(01),z ttt 1到1+i直线段的参数方程为()1(01),z ti
5、tt Re,dd,ztzt于是 Re1,dd,zzi t于是Re dCz z10d t t101 d i t1.2ioyx1工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 例例4.解解:d,Cz z(1)积分路径的参数方程为()(01),z ttitt d(1)d,zit于是dCz z10()(1)dtititi计算其中C为:(1)从原点到点1+i的直线段;(2)从原点沿 x 轴到点1,再到点1+i的折线段;i1y=xoyx1工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 i1y=x(2)积分路径由两段直线段构成x 轴上直线段的参数方程为()(01),z ttt 1到1+i直线
6、段的参数方程为()1(01),z titt dd,zt于是 dd,zi t于是dCz z10d t t10(1)diti t12oyx112i i工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束.0d)(CzzfB 内内任何一条封闭曲线任何一条封闭曲线 C 的积分的积分则则 f(z)在在B内内(黎曼证明，把条件加强：假设黎曼证明，把条件加强：假设 连续连续.)()fz假设在单连通域 B 内,()f zuiv解析,()fz连续.BC如果函数如果函数 f(z)在在单连通域单连通域为零为零:工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 因为(),xxyyfzuivviu所以,xyxy
7、uuvv,在B 内连续，且满足C-R条件.任取B内闭曲线C,则积分()Cf z dz CCudxvdyivdxudy由格林公式得()0 xyCDudxvdyvud()0 xyCDvdxudyuvd所以.0d)(Czzf()0 xyCDPdxQdyQP dxdy工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束.0d)(Czzf函数函数 f(z)在在单连通域单连通域 B 内，内，()ABf z dz与路径无关.BC函数函数 f(z)B为为C的内部，的内部，C 为一条封闭曲线为一条封闭曲线,在在B内内在在 上连续上连续BBC则则.0d)(Czzf工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回
8、 结束 解：解：11d.23z zz 123 z 由柯西定理由柯西定理,有有11d0.23zzz 1 z 计算积分计算积分因为函数因为函数在在内解析，内解析，工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 2121d.(1)z izz z 211111,(1)2z zzzizi1 z2121d(1)z izz z 1211111d22z izzzizi 12zi 解：解：由柯西定理由柯西定理,有有计算积分计算积分因为函数因为函数都在都在上解析，上解析，和和1 zi工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 11122211111ddd22z iz iz izzzzzizi
9、01211d2z izzi 122i.i 工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 Bxyo如果函数 f(z)在单连通域与路径无关与路径无关.B 内处处解析,Czzfd)(则积分定理定理5处处解析,如果 f(z)在单连通域B内则函数F(z)=f(z)必为B内的一个解析函数,并且0z()zF zf z dz()0zz工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 利用导数的定义来证.B zK为中心以z.KB内的小圆作一含于充分取 z)()(zFzzFzzzzzff00d)(d)(,)(的定义由zF ,内在小使Kzz由于积分与路线无关,0()d zzzf0 zz先先取取到到，
10、的积分路线可,zzz沿直线到然后从于是zz 0z,内任一点为设Bz工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 0()dd(zzzzzff()()F zzF z0()dzzf,d)(zzzf zzzzfd)(因为 zzzzfd)(,)(zzf)()()(zfzzFzzF所以)(d)(1zffzzzzd)()(1zffzzzz工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 (),f zD因为在内解析(),f zD所所以以在在内内连连续续,0,0 故 的一切使得满足 z ,时即z,)()(zff总有由积分的估值性质,内都在 K)()()(zfzzFzzFd)()(1zffzzzz
11、工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束)()()(zfzzFzzFd)()(1zffzzzzszffzzzzd|)()(|1.1zz,0)()()(lim 0zfzzFzzFz于是).()(zfzF即 证毕证毕 工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 如果在区域 B 内在区域 B 内的原函数原函数.F(z)=f(z),则称 F(z)为 f(z)f z()在区域 B上的原函数全体不定积分,记作F xC()f x dx()f z()在 B上的称为定理定理610zzf z dz()如果 f(z)在单连通域 B 内处处解析,的一个原函数,则这里z0,z1为域 B 内的两
12、点.G(z)为 f(z)10G zG z()(),工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 解解:计算积分20(1)cosizz dz11(2)izze dz20(1)cosizz dz2201cos2iz dz22011sinsin22iz 11(2)izze dz1111izizzee dz111(1)izii eee1 iie工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 定理定理71i)()d()d,;knkkCCf zzf zzCC与均取正方向是在 C 内部的简单闭曲线,且 设C为多连通域 D 内的互不包含也互不相交,另外以C,C1,C2,.,Cn 为边界的区域
13、ii0f z dz)(),如果 f(z)在D内解析,则一条简单闭曲线,C1,C2,.,CnD1CC2C1nCCC 全含于D.工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 这样区域D就被分为D1和D2两考虑只有两条围线C0,C1 的情况.区域，作辅助线段L1和L2连接 C0,和C1，D0C1C域,而且 f(z)在 内解析,12DD和由柯西积分定理，有,1()0,Df z dz 2()0,Df z dz 所以12()0,DDf z dz 1L2L2D1D显然D1和D2都是单连通工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 12011212DDCCLLLL而+，所以12()DDf
14、 z dz 01()()CCf z dzf z dz11()()LLf z dzf z dz即01()()0,CCf z dzf z dz或01()().CCf z dzf z dz22()()0LLf z dzf z dzD0C1C1L2L2D1D工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 221,Czdzzz 解解:计算oyx0,1zz的正向简单闭曲线.包含圆周1z 1C1C2C为奇点.在C内作互不相交，互不包含的12,C C1C只包含0,z 1,z 2C只包含其中 C 为圆周由复合闭路定理，得221Czdzzz 12222121CCzzdzdzzzzz工程数学工程数学-复变函
15、数目录 上页 下页 返回 结束 oyx1C1C2C221Czdzzz 12222121CCzzdzdzzzzz1122111111CCCCdzdzdzdzzzzz4 i2 i02 i0工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 2,(1)Cdzz z 解解:计算其中 C 为正向圆周：32zi2(1)Cdzz z 1111122Cdzzzizi 12022iii1122CCCdzdzdzzzizi工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 xyo121C2C解解:,21围成一个圆环域和CC,处处解析在此圆环域和其边界上函数zez圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定
16、理,dzzez计算积分计算积分其中 为正向圆周2z和负向圆周 组成.1z.0d zzez工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 0012CzizCzzd,00Cf zzzCzz()d?D0zC100()()CCf zf zdzdzzzzzR1C？02()i f z工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 定理定理1 如果 f(z)在区域 D 内处处解析,C 为 D 内的任何一条正向简单闭曲线,它的内部完全含于 D,z0为 C 内的任一点,则0012Cf zf zzizz()()dDC0z工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 0()().f zf
17、z0,0,当当00zz时，由于f(z)在 连续，0z所以 在C内部作圆周0:,KzzR 那么00()()CKf zf zdzdzzzzz0000()()()KKf zf zf zdzdzzzzz000()()2()Kf zf zif zdzzz DC0zR工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 0000()()()()KKf zf zf zf zdzdszzzz而2KdsR 即00()()0Kf zf zdzzz 001()()2Cf zf zdzizz 所以工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 1）柯西公式常写作00()2()Cf zdzi f zzz 2）
18、0:,iC zzRe若则20001()()2if zf zRed平均值公式工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 42sin,1CzIdzz 解解:计算其中 C 为(1)正向圆周：11 2z(3)正向圆周：2z(2)正向圆周：11 2z 44sinsin112121CCzzIdzdzzz(1)1122(sin)242zIizi(2)1122(sin)242zIizi(3)11112(sinsin22424zzIizzi工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束(1),:1;izCedzCzizi 2|2(2)(5)()zzdzzzi 求下列积分的值求下列积分的值.1
19、(1)izz iedzzi 解：解：22izziieei工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 2()5zf zz22d(5)()zzzzzi(2)注意到函数注意到函数2z 在在内解析，而内解析，而i2z 在在内，由柯西积分公式得内，由柯西积分公式得i21 253zziz 2|25dizzzzz 工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 2|5371()dzf zz 故得到故得到 ()2(67)fziz 1()|(1)2 6(1)7=12 2zifzfiiii 2|5371()dzf zz 1 i()|zfz 设设 根据柯西积分公式，得到22(371)|zi22(
20、371)izz解：解：求工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 0101 22nnCnf zfzdznizz()!()()(,)()解析函数 f(z)的导数仍为解析函数,其中 C 为在 f(z)的解析区域D内围绕 z0 的任何一条正向简单曲线,而且它的内部全含于D.它的n阶导数为:01021 2nnCf zidzfznnzz()()()(,)!()工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 3cos,()Czdzzi 解解:计算的正向闭曲线.zi其中 C 为绕3cos()Czdzzi 22z iizcos!z iiz(cos)12iee()工程数学工程数学-复变函数
21、目录 上页 下页 返回 结束 324cos.(1)zzIdzzz 解解:计算在 内有奇点：4z 0,1zz作圆周1211:,:1,23CzCz于是123232coscos(1)(1)CCzzIdzdzzzzz12II工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 20221zizzcos!()6i()1123cos1(1)CzIdzzz 6 i2232cos1(1)CzIdzzz 312coszziz所以12(12)IIIi 工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 22220 xy在区域D内具有二阶连续偏若二元函数x y(,)导数，且满足拉普拉斯（Laplace）方程则
22、称为区域 D内的调和函数.x y(,)若 为解析函数，f zu x yiv x y()(,)(,)则其实部 u和虚部 v 都是调和函数.设设 f(z)=u+iv 在区域在区域D内解析内解析,则由则由C.-R.条件条件证：证：工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束,xvyuyvxu 得222222,uvuvxx yyy x 22220uuxy同理,22220vvxy即u及v都是D内的调和函数.2vx y 2uy x 因 与 D内连续，它们 必定相等，故在D内有工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 设f zu x yiv x y()(,)(,)则 v(x,y)必为
23、 u(x,y)的共轭调和函数共轭调和函数.u(x,y),v(x,y)是是D内的内的调和函数调和函数，且满足，且满足C.-R.条件：条件：,xvyuyvxu 则称 v(x,y)为 u(x,y)的共轭调和函数共轭调和函数.是区域 D 的解析函数，工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 解解:已知arctan(0)yvxx是右半复平面的调和函数，求调和函数 u，使 u 的共轭调和函数是 v.22,yxyuvxy 由C-R方程，得22,xyxuvxy(,)(1,0)x yxyuu dxu dy22101xyydxxxy221ln()2xy,xyduu dxu dy工程数学工程数学-复变
24、函数目录 上页 下页 返回 结束 解解:已知323,uxxy验证u是调和函数，并求以 u为实部实部的解析函数 f(z),使 f(0)=i.2233,xuxy因为6,yuxy 6(6)0,xxyyuuxx 所以u是调和函数.()uufzixy22(33)6xyi xy23z33()()3f zfz dzz dzzC又 f(0)=i ，所以3,()Cif zzi工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 Cf z dz()CCudxvdyivdxudyf z t z tt()()dCuivdxidy()()曲线C:()()()zz tx tiy t,:t工程数学工程数学-复变函数目录
25、上页 下页 返回 结束,0d)(Czzf函数函数 f(z)在在单连通域单连通域 B 内，内，()ABf z dz与路径无关.1)其中其中C是是 B 任意一条简单封闭曲线任意一条简单封闭曲线.2)解析,并且0z()zF zf z dz()3)Fzf z()().1100z10()zzzf z dzG zG zG z()()()4)工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 1ii)()d()d,;knkkCCf zzf zzCC与均取正方向iii0f z dz)(),1nCCC i)()d()dCCf zzf zz工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 00112Cf
26、 zf zzizz()()d01021 22nnCnf zfzdznizz()!()()(,)()工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 22220 xyxvyuyvxu,若 为解析函数，f zu x yiv x y()(,)(,)则其虚部 v是实部 u 的共轭调和函数.工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束.10,d)1(3的光滑闭曲线与是不经过其中计算CzzzeCz解解:分以下四种情况讨论：则也不包含既不包含若封闭曲线,10)1C,)1()(3内解析在Czzezfz.0d)1(3Czzzze由柯西定理得例例1.工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回
27、 结束 则而不包含包含若封闭曲线,10)2C由柯西积分公式得内解析在,)1()(3CzezfzxyOC 1zzzezzzeCCzzd)1(d)1(3303)1(2zzzei.2 i工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 则而不包含包含若封闭曲线,01)3C,)(内解析在Czezfz由高阶导数公式得zzzezzzeCCzzd)1(d)1(33zzzeCzd)1(3)1(!22fi 132)22(zzzezzi.ie工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束,01)4又包含既包含若封闭曲线C,0,1,021CC为半径作圆以为圆心则分别以据复合闭路定理有Czzzzed)1
28、(321d)1(d)1(33CzCzzzzezzzexyOC 11C2C,2121互不包含互不相交与且内也在和使CCCCC.)2(ieiei2工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 求其共轭调和已知调和函数.),(22xyyxyxu解法一 不定积分法 利用柯西黎曼方程,2)2(xyxyyuxv),(22d)2(2ygxxyxxyv得).(2ygxyv.2yxxuyv又).,(),()(),(yxivyxuzfyxv及解析函数函数工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束,2)(2:yxygx比较两式可得.)(yyg故.2d)(2Cyyyyg即22222xyvxyC因
29、此因而得到解析函数),(),()(yxivyxuzfiCyxxyixyyx222)(2222.)2(22iCiz（C是任意实数）工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束),(yxv),()0,0(ddyxCyyvxxv,dd),()0,0(yxCyxuxyuxyCyyxxx00d)2(d)0(22222xyxyC 因而得到解析函数),(),()(yxivyxuzf.2)2(2iCiz（C是任意实数）工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束 yyvxxvvddd因为yxuxyuddyyxxxyd)2(d)2()dd()dd(2xxyyyxxy22d)(d222xyxy
30、,222d22xyxy22(,)222yxv x yxyC所以得代入ivuzf)(.)2(2)(2iCizzf（C是任意实数）工程数学工程数学-复变函数目录 上页 下页 返回 结束,2)2(xyxyyuxv所以有2,uxyx()uvfzixx(2)(2)xyiyx2ziz那么22()()d(2)d2if zfzzzizzzzC工程数学工程数学-复变函数p 经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量p Study Constantly,And You Will Know Everything.The More You Know,The More Powerful You Will Be写在最后谢谢大家荣幸这一路，与你同行ItS An Honor To Walk With You All The Way演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
