1、ch集合映射与函数集合映射与函数 通知：通知：国庆后到理学院大楼一楼传达国庆后到理学院大楼一楼传达室陆师傅处领取习题册，室陆师傅处领取习题册，20元元/套套名名 称称总总 学学 时时一学年一学年 (两学期两学期)教教 材材?工科数学分析根底工科数学分析根底?第二版第二版本学期本学期 112 学时学时王绵森王绵森 马知恩马知恩 主编主编?工科数学分析工科数学分析?参参 考考 书书?数学分析数学分析?第三版第三版华东师范大学数学系华东师范大学数学系 主编主编?高等数学高等数学?第五版第五版同济大学应用数学系同济大学应用数学系 主编主编书后习题书后习题参考书参考书?工科数学分析根底工科数学分析根底
2、学习指导与习题解析学习指导与习题解析?孙清华孙清华 孙浩孙浩 主编主编习题册参习题册参 考考 书书?数学分析数学分析 同步辅导及习同步辅导及习题精解题精解 华东师大华东师大 第三版第三版?张天德张天德 韩振来韩振来 主编主编南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系 “工科数学分析是我校各工科学院培工科数学分析是我校各工科学院培优班必修的一门重要根底课，是传统优班必修的一门重要根底课，是传统“高等高等数学的强化课程。数学的强化课程。学时最长学分最重A类课程绩点加1 高等数学高等数学 工科数学分析工科数学分析数学分析数学分析 计算计算计算为主、计算为主、证明兼顾证明兼顾 证明证
3、明南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系 “工科数学分析通过系统地学习极限、微分、积分工科数学分析通过系统地学习极限、微分、积分的思想和方法，同时注重分析、几何、代数内容的有机结的思想和方法，同时注重分析、几何、代数内容的有机结合，互相渗透，强调现代数学思想和方法的掌握以及数学合，互相渗透，强调现代数学思想和方法的掌握以及数学应用能力的培养，为学习后续课程和解决实际问题奠定坚应用能力的培养，为学习后续课程和解决实际问题奠定坚实的数学根底。实的数学根底。南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系 通过学习通过学习“工科数学分析这门课程，逐步培养抽象概工科数
4、学分析这门课程，逐步培养抽象概括问题的能力、逻辑推理能力，创新思维能力、熟练的运算能括问题的能力、逻辑推理能力，创新思维能力、熟练的运算能力和自学能力，从而提高同学们的数学素养，培养大家创造性力和自学能力，从而提高同学们的数学素养，培养大家创造性地应用数学知识和技术来分析、解决实际问题的能力。地应用数学知识和技术来分析、解决实际问题的能力。南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系 “工科数学分析这门课程介绍的概念、理论和方法对于学生毕业后从事科学研究、工程技术与管理工作都是不可缺少的内容。同时也是参加具有选拔功能的水平考试的必备根底。南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院
5、理学院 数学系数学系知识根底知识根底 熟练掌握有关初等数学初中和高中数学的知识熟练掌握有关初等数学初中和高中数学的知识体系体系，具体包括：，具体包括：算数、集合的根本概念和运算、多项式的运算数、集合的根本概念和运算、多项式的运算、一元二次方程和多元一次方程组的解法、函数算、一元二次方程和多元一次方程组的解法、函数的根本概念与性质、几种重要函数的根本性质和运的根本概念与性质、几种重要函数的根本性质和运算、初等几何平面几何、立体几何、向量的根算、初等几何平面几何、立体几何、向量的根本概念和运算、平面解析几何以及根本的逻辑证明本概念和运算、平面解析几何以及根本的逻辑证明方法反证法、数学归纳法等和清晰
6、的逻辑思维方法反证法、数学归纳法等和清晰的逻辑思维能力能力.南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系内容体系内容体系一元和多元函数微积分一元和多元函数微积分极限、微分或导数、极限、微分或导数、积分积分级数理论级数理论空间解析几何空间解析几何常微分方程常微分方程本学期的教学内容本学期的教学内容；4.4.无穷级数。无穷级数。；3.3.几种简单的常微分方程求解；几种简单的常微分方程求解；南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系课程网站课程网站教务处网络教学平台：教务处网络教学平台：课堂资料课件、讲义课堂资料课件、讲义 课外资料数学史料、数学家课外资料数学史料、
7、数学家传记、数学问题传记、数学问题 讨论区讨论区 讨论题、解答讨论题、解答南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系考核方法考核方法课程考核成绩由平时成绩、小测验成绩、期中课程考核成绩由平时成绩、小测验成绩、期中考试成绩和期末考试成绩构成：考试成绩和期末考试成绩构成：平时成绩：平时成绩：作业完成情况及出勤情况，占总评成绩作业完成情况及出勤情况，占总评成绩10%10%小测验成绩：小测验成绩：两次小测验，占总评成绩两次小测验，占总评成绩20%20%期中和期末考试：期中和期末考试：闭卷，分别占总评成绩的闭卷，分别占总评成绩的20%20%和和50%50%南京航空航天大学南京航空航天大
8、学 理学院理学院 数学系数学系高等数学与初等数学的区别高等数学与初等数学的区别 研究内容：高等数学是连续量函数或者变量的研究内容：高等数学是连续量函数或者变量的运算体系，涉及微分、积分分析运算，初等数运算体系，涉及微分、积分分析运算，初等数学是离散量常量的运算体系，涉及加减乘除学是离散量常量的运算体系，涉及加减乘除等算术运算。等算术运算。学习方法：初、高中：被动承受学习方法：初、高中：被动承受 大学：大学：个人自发个人自发南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系 微积分的概念微积分的概念 微积分的萌芽微积分的萌芽 微积分的开展微积分的开展 微积分的建立微积分的建立 微积分创
9、立的历史意义微积分创立的历史意义 牛顿与莱布尼茨牛顿与莱布尼茨 南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系 研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的根本方法。这种方法叫做数学分析。积分的根本方法。这种方法叫做数学分析。一、微积分的概念一、微积分的概念 微积分学是微分学和积分学的总称。微积分微积分学是微分学和积分学的总称。微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支科学。微积分中的根本概念是函数、极数学分支科学。微积分中的根本概念是函数、极限、实数、导数、积分等，其中极限是微积分
10、的限、实数、导数、积分等，其中极限是微积分的基石。基石。南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系 微分学的主要内容包括：函数的极限理论、函数微分学的主要内容包括：函数的极限理论、函数的导数、函数的微分等。的导数、函数的微分等。从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多学从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多学科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起科，但是现在一般已习惯于把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，微积分的根本内容来，数学分析成了微积分的同义词，微积分的根本内容包括微分学和积分学。包括微分学和积分学。积分学的主要内容包括：函数的定
11、积分、函数的不积分学的主要内容包括：函数的定积分、函数的不定积分等。定积分等。注：微积分的根本研究对象是函数。注：微积分的根本研究对象是函数。南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系1 1中国数学家的极限、积分思想中国数学家的极限、积分思想“割圆求周三国刘徽割圆求周三国刘徽一尺之棰，日取其半，万世不竭战国庄周一尺之棰，日取其半，万世不竭战国庄周朴素、典型朴素、典型的极限概念的极限概念二、微积分的萌芽二、微积分的萌芽南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系2 2外国数学家的极限、积分思想外国数学家的极限、积分思想 公元前三世纪，古希腊的公元前三世纪，古希腊
12、的阿基米德阿基米德在研究解决抛物弓形在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。的问题中，就隐含着近代积分学的思想。欧几里得欧几里得(公元前公元前330330年前年前275275年年)是古希腊数学家，以是古希腊数学家，以其所著的其所著的?几何原本几何原本?闻名于世，其中对不可约量及面积与闻名于世，其中对不可约量及面积与体积的研究，包含了穷竭法的萌芽。体积的研究，包含了穷竭法的萌芽。南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系 到了十六到了十六十七世纪，有许多科学问题需要
13、解决，十七世纪，有许多科学问题需要解决，由于航海、机械制造、军事上的需要，运动的研究成了由于航海、机械制造、军事上的需要，运动的研究成了自然科学的中心议题，于是在数学中开场研究各种变化自然科学的中心议题，于是在数学中开场研究各种变化过程中的量变量之间的依赖关系，变量的引进，形过程中的量变量之间的依赖关系，变量的引进，形成了数学中的转折点。成了数学中的转折点。三、微积分的开展三、微积分的开展常量数学常量数学变量数学变量数学南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系 第一类是求瞬时速度的问题。第一类是求瞬时速度的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题。第二类问题是求曲线的切线的问题
14、。十七世纪中叶其他科学提出的四种亟待解决的数学问题：十七世纪中叶其他科学提出的四种亟待解决的数学问题：天文学、力学等涉及许多非匀速运动，大多数也不是天文学、力学等涉及许多非匀速运动，大多数也不是直线运动，传统的数学方法无能为力，要求新的数学工直线运动，传统的数学方法无能为力，要求新的数学工具。具。不仅是几何学的问题，而且也是许多其他科学问题的不仅是几何学的问题，而且也是许多其他科学问题的要求，如物体作曲线运动，光的折射和反射。要求，如物体作曲线运动，光的折射和反射。南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。第三类问题是求函数的最大值和最
15、小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。于另一物体上的引力。天文学和力学都有关，例如求行星运动的近日点远天文学和力学都有关，例如求行星运动的近日点远日点，抛射体的最大射程和高度等。日点，抛射体的最大射程和高度等。南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系 十七世纪下半叶，在前人工作的根底上，英国大十七世纪下半叶，在前人工作的根底上，英国大科学家牛顿和德国大数学家莱布尼茨分别在自己的科学家牛顿和德国大数学家莱布
16、尼茨分别在自己的国度里单独研究和完成了微积分的创立工作，虽然国度里单独研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是变化率问貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是变化率问题微分学的中心问题，包括瞬时速度、切线等，题微分学的中心问题，包括瞬时速度、切线等，一个是累积问题一个是累积问题(积分学的中心问题，包括做功、曲积分学的中心问题，包括做功、曲线围成面积等线围成面积等)。四、微积分的建立四、微积分的建立南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系 牛顿牛顿和和莱布尼茨莱布
17、尼茨建立微积分的出发点是建立微积分的出发点是直观的直观的无穷小量无穷小量，因此这门学科早期也称为，因此这门学科早期也称为无穷小分析无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。大分支名称的来源。牛顿牛顿研究微积分着重于研究微积分着重于从运动学来考虑，从运动学来考虑，莱布尼茨莱布尼茨却是侧重于几何却是侧重于几何学来考虑的。学来考虑的。南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系 微积分学的创立，极大地推动了数学的开展，过去微积分学的创立，极大地推动了数学的开展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃很多初等数学束手无策的问题，运
18、用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。而解，显示出微积分学的非凡威力。一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是一门科学的创立决不是某一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的根底上，最经过多少人的努力后，在积累了大量成果的根底上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。五、微积分创立的历史意义五、微积分创立的历史意义南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系 应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完应该指出，这是和历史上任何一项重大理论的完成都要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作成都
19、要经历一段时间一样，牛顿和莱布尼茨的工作也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问也都是很不完善的。他们在无穷和无穷小量这个问题上，其说不一，十分模糊。牛顿的无穷小量，有题上，其说不一，十分模糊。牛顿的无穷小量，有时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼时候是零，有时候不是零而是有限的小量；莱布尼茨的也不能自圆其说。这些根底方面的缺陷，最终茨的也不能自圆其说。这些根底方面的缺陷，最终导致了第二次数学危机的产生。导致了第二次数学危机的产生。南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系 直到世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，直到世纪初，法国科学学院的科学家以柯西为首，对
20、微积分的理论进展了认真研究，建立了极限理论，後来对微积分的理论进展了认真研究，建立了极限理论，後来又经过德国数学家魏尔斯特拉斯进一步的严格化，建立了又经过德国数学家魏尔斯特拉斯进一步的严格化，建立了实数连续统理论，使极限理论成为了微积分的坚决根底。实数连续统理论，使极限理论成为了微积分的坚决根底。才使微积分进一步的开展开来。才使微积分进一步的开展开来。演算体系演算体系极限概念刻划极限概念刻划基石：实数连续统基石：实数连续统形成过程：牛顿、莱牛顿、莱布尼茨布尼茨柯西、波柯西、波尔察诺等尔察诺等魏尔斯特拉斯、康魏尔斯特拉斯、康托、戴得金等托、戴得金等学习过程学习过程南京航空航天大学南京航空航天大学
21、 理学院理学院 数学系数学系 微积分是与应用联系着开展起来的，最初牛顿应用微积分是与应用联系着开展起来的，最初牛顿应用微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒微积分学及微分方程为了从万有引力定律导出了开普勒行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的行星运动三定律。此后，微积分学极大的推动了数学的开展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化开展，同时也极大的推动了天文学、力学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的开展。并在这些学科中有越来越应用科学各个分支中的开展。并在这些学科中有越来越广
22、泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的广泛的应用，特别是计算机的出现更有助于这些应用的不断开展。不断开展。南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系 牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家牛顿，是英国伟大的数学家、物理学家、天文学家和自然哲学家。和自然哲学家。1642年年12月月25日生于英格兰林肯郡格兰日生于英格兰林肯郡格兰瑟姆附近的沃尔索普村瑟姆附近的沃尔索普村,1727年年3月月20日在伦敦病逝。日在伦敦病逝。牛顿牛顿1661年入英国剑桥大学三一学院，年入英国剑桥大学三一学院，1665年获文年获文学士学位。随后两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他学士学位。随后
23、两年在家乡躲避瘟疫。这两年里，他制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。制定了一生大多数重要科学创造的蓝图。1667年回剑年回剑桥后中选为三一学院院委，次年获硕士学位。桥后中选为三一学院院委，次年获硕士学位。1669年年任卢卡斯教授直到任卢卡斯教授直到1701年。年。1696年任皇家造币厂监视，年任皇家造币厂监视，并移居伦敦。并移居伦敦。1703年任英国皇家学会会长。年任英国皇家学会会长。1706年受女年受女王安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。王安娜封爵。他晚年潜心于自然哲学与神学。牛顿在科学上最卓越的奉献是微积分和经典力学的牛顿在科学上最卓越的奉献是微积分和经典力学的创立。创立。南京航空航天
24、大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系 牛顿在牛顿在1671年写了年写了?流数法和无穷级流数法和无穷级数数?，这本书直到，这本书直到1736年才出版，它在这年才出版，它在这本书里指出，变量是由点、线、面的连续本书里指出，变量是由点、线、面的连续运动产生的，否认了以前自己认为的变量运动产生的，否认了以前自己认为的变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量是无穷小元素的静止集合。他把连续变量叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流叫做流动量，把这些流动量的导数叫做流数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：数。牛顿在流数术中所提出的中心问题是：连续运动的路径，求给定时刻的速度微连续运动的路径，求给
25、定时刻的速度微分法；运动的速度求给定时间内经过的分法；运动的速度求给定时间内经过的路程路程(积分法积分法)。南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系 莱布尼茨，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始莱布尼茨，德国数学家、哲学家，和牛顿同为微积分的创始人；人；1646年年7月月1日生于莱比锡，日生于莱比锡，1716年年11月月14日卒于德国的汉诺日卒于德国的汉诺威。威。他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广泛他父亲是莱比锡大学伦理学教授，家庭丰富的藏书引起他广泛的兴趣。的兴趣。1661年入莱比锡大学学习法律，又曾到耶拿大学学习几年入莱比锡大学学习法律，又曾到
26、耶拿大学学习几何，何，1666年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的年在纽伦堡阿尔特多夫取得法学博士学位。他当时写的论文论文?论组合的技巧论组合的技巧?已含有数理逻辑的早期思想，后来的工作使已含有数理逻辑的早期思想，后来的工作使他成为数理逻辑的创始人。他成为数理逻辑的创始人。1667年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。年他投身外交界，曾到欧洲各国游历。1676年到汉诺威，年到汉诺威，任腓特烈公爵参谋及图书馆的馆长，并常居汉诺威，直到去世。任腓特烈公爵参谋及图书馆的馆长，并常居汉诺威，直到去世。莱布尼茨的多才多艺在历史上很少有人能和他相比，他的著莱布尼茨的多才多艺在历史上很少有人能和他相
27、比，他的著作包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外作包括数学、历史、语言、生物、地质、机械、物理、法律、外交等各个方面。交等各个方面。南京航空航天大学南京航空航天大学 理学院理学院 数学系数学系 莱布尼茨是一个博才多学的学者莱布尼茨是一个博才多学的学者,1684年他发表了现年他发表了现在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很在世界上认为是最早的微积分文献，这篇文章有一个很长而且很古怪的名字长而且很古怪的名字?一种求极大极小和切线的新方法，一种求极大极小和切线的新方法，它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型它也适用于分式和无理量，以及这种新方法的奇妙类型的计算的
28、计算?。就是这样一篇说理也颇模糊的文章，却有划。就是这样一篇说理也颇模糊的文章，却有划时代的意义。他以含有现代的微分符号和根本微分法那时代的意义。他以含有现代的微分符号和根本微分法那么。么。1686年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他年，莱布尼茨发表了第一篇积分学的文献。他是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符是历史上最伟大的符号学者之一，他所创设的微积分符号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的开展有极大的号，远远优于牛顿的符号，这对微积分的开展有极大的影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼影响。现在我们使用的微积分通用符号就是当时莱布尼茨精心选用的茨精心选用的.第第1章
29、章 函数、极限、连续函数、极限、连续第第1节节 集合、映射与函数集合、映射与函数第第2节节 数列的极限数列的极限第第3节节 函数的极限函数的极限第第4节节 无穷小量及无穷大量无穷小量及无穷大量第第5节节 连续函数连续函数 第第1节节 集合、映射与函数集合、映射与函数 1.1 集合及其运算集合及其运算 1.2 实数集的完备性与确界定理实数集的完备性与确界定理 1.3 映射与函数的概念映射与函数的概念 1.4 复合映射与复合函数复合映射与复合函数1.5 逆映射与反函数逆映射与反函数 1.6 初等函数与双曲函数初等函数与双曲函数 n 集合论产生于十九世纪七十年代，集合论产生于十九世纪七十年代，它是德
30、国数学家康托它是德国数学家康托CantorCantor创立的，创立的，不仅是分析学的根底，同时，它的一般不仅是分析学的根底，同时，它的一般思想已渗入到数学的所有部门。思想已渗入到数学的所有部门。“集合集合论观点与现代数学的开展不可分割地论观点与现代数学的开展不可分割地联系在一起。联系在一起。1.1 集合及其运算集合及其运算1、集合概念、集合概念具有某种具有某种确定性质确定性质对象的全体对象的全体.组成这个集合的个别对象称为该组成这个集合的个别对象称为该 集合集合元素元素(简称简称元元)(集集)元素元素.集合的集合的通常以大写字母通常以大写字母,MBA等表示集合等表示集合,以小写字母以小写字母等
31、表示集合的元素等表示集合的元素.,mba;Aa Aa,的的元元素素是是若若Aa否那么记否那么记记作记作,Aa属属于于则则说说或或.a A 注：集合中的元素具有确定性、无重复性、无序性。注：集合中的元素具有确定性、无重复性、无序性。2 2 表示法表示法(1)(1)列举法列举法：把集合的全部元素一一列出来把集合的全部元素一一列出来,例例有限集合有限集合naaaA,21niia1自然数集自然数集,2,1,0Nn(2)(2)描述法描述法：Mx x 所具有的性质所具有的性质P(x)例例 整数集合整数集合 ZxNx 或或Nx 有理数集有理数集qpQZ,N,pq p p 与与 q q 互质互质实数集合实数集
32、合 Rx x 为有理数或无理数为有理数或无理数 N1,2,n 外加花括号外加花括号.正整数集正整数集3 集合的关系集合的关系,Ax 若若的的是是BA两个集合两个集合 ,2,1 A.BA中中的的每每一一个个元元素素都都属属于于一般地一般地,AB 若若.BA,2,1 A如如,0232 xxxB.BA 那么那么,Bx 则则必必子集子集那么那么称称集合集合A与与B相等相等,AB 记作记作那么那么称称子集子集,(读作读作A含含于于B)或或BA(读作读作B包含包含 A).集合相等集合相等,BA 且且记作记作 1,2,3,4B ).(记记作作如如 01,2xRxx空集空集.不含任何元素的集合称为不含任何元素
33、的集合称为,ABAB 若若且且那么那么称称的的是是BA真子集真子集记作记作A .B如如 NZQR.真子集真子集,空集空集规定规定空集为任何集合的子集空集为任何集合的子集.今后在今后在提到一个集提到一个集合时合时,一般都是一般都是如不加特别声明如不加特别声明,非空集非空集.集合之间的相等与包含关系具有以下几个性质集合之间的相等与包含关系具有以下几个性质:(1)反身性反身性(2)反对称性反对称性(3)传递性传递性AA,ABBAAB 则则,ABBCAC 则则 注：注：空集是唯一的。例 确定以下命题是否为真 1 ；2 ；3 ；4 ；5 ；6a a；7 a a；8 a a，a；9 a a，a。注注:i理
34、解符号理解符号 和和的区别和联系的区别和联系 (ii)理解集合理解集合 和和 ；a 和和a 的区的区别和联系。别和联系。给定两个集合给定两个集合 A,B,并集并集 xBAAx交集交集 xBAAxBx且且差集差集 xBAAxBx且且定义以下运算定义以下运算:ABABBABABx或或4 集合的三种根本运算集合的三种根本运算A注注研究某个问题时所考虑的对象的全体研究某个问题时所考虑的对象的全体记作记作.CA例如例如,6,5,4,3,4,3,2,1 BA设设那那么么BA .2,1 ,6,5,4,3,2,1 ,4,3 余集余集或或补集补集.ABAB并用并用 X 表示表示,称为称为全集或根本集全集或根本集
35、,并把差积并把差积特别称为特别称为A的的XA例如例如,在在实数集实数集R中中,集合集合10 xxA的的余集余集 CA10 xx或或.xB关于关于A 余余(补补)集集()AC BA BBA 其中AC BB 1,2,5B 2,4C，D=5，求出以下集合。，例例 设1,2,3,4,5E 1,4A，(1)AB(2)BC(4)BA(3)A(5)AD11,52,3,51,2,3,5例例 用文氏图表示以下集合。用文氏图表示以下集合。(1)()()()ABABBA对称差运算 (2)AB(3)()ABC例例 用集合公式表示以下文氏图中的阴影局部用集合公式表示以下文氏图中的阴影局部(1)解：解：ABC(2)解：解
36、：()()()ABACBC5.集合的运算法那么集合的运算法那么CBA,设设为任意三个集合为任意三个集合,那么以下法那么那么以下法那么成立成立:(1)交换律交换律 AB=BA,AB=BA;(2)结合律结合律(AB)C=A(B C),(AB)C =A(B C);(3)分配律分配律 (AB)C=(A C)(B C),(AB)C=(A C)(B C);(4)对偶律对偶律(AB)C=AC BC,(AB)C=AC BC;(5)幂等律幂等律 AAAA(6)吸收律吸收律 A=A,=A;=A,A=.定义定义 两个确定了先后次序的元素a,b组成的元素对,称为有序元素对,简称为有序偶,记为(a,b)。且规定 笛卡儿
37、乘积 (a,b)=(c,d)当且仅当 a=c,b=d.注:有序偶(a,b)和集合a,b的区别.定义定义 有序偶集合(a,b)|a A,b B称为集合A和B的笛卡儿乘积,记为AB.例例 设A=1,2,3,B=x,y,求AB,BA。(2)一般的,AB BA。注注:(1)A =B=;特例特例:RR记记2R为平面上的全体点集为平面上的全体点集2021年10月11日南京航空航天大学 理学院 数学系56?工科数学分析?研究的根本对象是函数，这里的“函数是定义在“实数集上的.因此，我们需要了解实数集的一些简单而常用的性质.1.2 实数集的完备性与确界定理实数集的完备性与确界定理实数实数无无限限不不循循环环的
38、的小小数数 有有限限或或无无限限循循环环的的小小数数 有有理理数数 无理数无理数实数的概念及其性质实数的概念及其性质实数的定义实数的定义0)(,Z,qpqpp实实数数2021年10月11日南京航空航天大学 理学院 数学系58实数集的一些重要性质实数集的一些重要性质(1)四那么运算封闭性：四那么运算封闭性：对任意两个实数施行有理运算对任意两个实数施行有理运算(即加、减、乘、即加、减、乘、除，除法要求分母不为零除，除法要求分母不为零)后仍为实数后仍为实数.2021年10月11日南京航空航天大学 理学院 数学系59实数集的一些重要性质实数集的一些重要性质(2)有序性与传递性有序性与传递性：对任意两个
39、实数对任意两个实数a与与b,有且仅有以下关系之一成立：有且仅有以下关系之一成立：,ababab ,.abbcac 并并且且，若若则则必必有有2021年10月11日南京航空航天大学 理学院 数学系60实数集的一些重要性质实数集的一些重要性质(3)稠密性：稠密性：任意两个不相等的实数之间还有另一个实数，任意两个不相等的实数之间还有另一个实数，注：有理数集也具有四那么运算封闭性、有序性、注：有理数集也具有四那么运算封闭性、有序性、传递性和稠密性！传递性和稠密性！因而任意两个不相等的实数之间必存在无穷多个实数因而任意两个不相等的实数之间必存在无穷多个实数.2021年10月11日南京航空航天大学 理学院
40、 数学系61o1R全全体体实实数数 和和数数轴轴上上的的点点建建立立了了一一一一对对应应.的关系的关系 O 在在一一直直线线上上确确定定一一点点 作作为为原原点点,指指定定一一个个方方向向为为正正向向,并并且且规规定定一一个个单单位位长长度度,建建立立数数轴轴.注：有理数集不具有！注：有理数集不具有！2-实数集的完备性或连续性实数集的完备性或连续性.完备性是实数集的本质属性完备性是实数集的本质属性(4)完备性或连续性：完备性或连续性：2021年10月11日南京航空航天大学 理学院 数学系62常见逻辑符号：常见逻辑符号：表示“任取1.全称量词符号全称量词符号“：英文英文Any(每一个每一个)或或
41、 All(所有的所有的)的首字母的首字母A的倒写的倒写或或“任意给定任意给定.2021年10月11日南京航空航天大学 理学院 数学系63 表示“存在2.存在量词符号存在量词符号“：或或“能够找到能够找到.英文英文Exist(存在存在)的首字母的首字母E的倒写的倒写“”表示表示“蕴含蕴含,或或“推推出出.“”表示表示“等价等价,或或“充分必充分必要要.读读作作“希希格格玛玛”，211nniiaaaa121 niniaaaa ,max21naaa,min21naaa2 绝对值与不等式绝对值与不等式 00aaaaa)0(a运算性质运算性质aaaaa 或或0a ;baab 0).aabbb （2aa(
42、1)xb;bxb (2)(0)x a a ;axax 或或几个常用的绝对值不等式几个常用的绝对值不等式:(3)xab ;abxab (4)abab 几个重要不等式几个重要不等式Bernoulli()Cauchy()伯努利伯努利柯西柯西几何与算术平均几何与算术平均Bernoulli()伯伯努努利利 不不等等式式111)nxnxxnN （）（,注：用数学归纳法可证。222i=1i=1i=1nnni iiiabab（）（）(）Cauchy()柯柯西西 不不等等式式12 ,na aaR平均值不等式12i=11nnnia aaan几何平几何平均值均值算术平算术平均值均值 区间是用得较多的一类数集区间是用
43、得较多的一类数集(实数集合实数集合),具体是具体是指介于某两个实数之间的全体实数指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫这两个实数叫做区间的端点做区间的端点.a,b a,bR,ab.设设是是实实数数,即即且且 x axb,a,b.则实数集称为开区间 记作则实数集称为开区间 记作 在数轴上可表示为在数轴上可表示为oxab3.3.区间区间 x axb,a,b.而而实实数数集集称称为为闭闭区区间间 记记作作 在数轴上可表示为在数轴上可表示为 除了开区间和闭区间外除了开区间和闭区间外,我们还可类似定义如下区间我们还可类似定义如下区间:x axb,a,b).实实数数集集称称为为半半开开区区间间 记记
44、作作 x axb,a,b.实实数数集集称称为为半半开开区区间间 记记作作(oxab 除了有限区间外除了有限区间外,我们还可以定义所谓的无限区我们还可以定义所谓的无限区间间.通过引入记号通过引入记号+(读作正无穷大读作正无穷大)及及-(读作负读作负无穷大无穷大),那么可类似地表示无限区间那么可类似地表示无限区间.如如:注注:以上这些区间均称为有限区间以上这些区间均称为有限区间,数数ba称为称为这些区间的长度这些区间的长度(区间两端点间的距离区间两端点间的距离),从数轴上看从数轴上看,这些有限区间是长度有限的线段这些有限区间是长度有限的线段.a,)x ax 在在数数轴轴上上可可表表示示为为oxa(
45、,b)x xb 在在数数轴轴上上可可表表示示为为oxb 注注:在不需要辨明所论区间是否包含端点在不需要辨明所论区间是否包含端点,以及以及是有限区间还是无限区间时是有限区间还是无限区间时,我们可简单地称其为我们可简单地称其为“区间区间,且常用且常用I表示表示.全体实数全体实数R可记作可记作(-,+),为一无穷区间为一无穷区间.:aa,U a.定定义义以以点点 为为中中心心的的任任何何开开区区间间称称为为点点 的的邻邻域域记记作作,叫做这邻域的中心叫做这邻域的中心点点a.叫做这邻域的半径叫做这邻域的半径 U(a,)x axa x xa.a,0.a,aa,a,U(a,),设设 与与 是是两两个个实实
46、数数且且则则开开区区间间就就是是点点 的的一一个个邻邻域域 称称为为点点 的的 邻邻域域 记记作作即即4 4 邻域邻域:(,).U ax axaxa a a a,aU(a,),有时用到的邻域需要把邻域中心去掉,点 的 邻有时用到的邻域需要把邻域中心去掉,点 的 邻域去掉中心a后 称为点 的去心的 邻域,记作域去掉中心a后 称为点 的去心的 邻域,记作即即U(a,)x 0 xa,0 xaxa.这这里里表表明明 ,a,aaa,aa 为为了了方方便便 有有时时把把开开区区间间称称为为 的的左左 邻邻域域,把把开开区区间间称称为为 的的右右 邻邻域域.:.注注区区 间间 和和 邻邻 域域 均均 为为
47、特特 殊殊 的的 实实 数数 集集 合合2021年10月11日南京航空航天大学 理学院 数学系76 完备性是实数集的本质属性，为了从数学上更深刻地提醒它完备性是实数集的本质属性，为了从数学上更深刻地提醒它的内涵，需要从不同的侧面对它进展研究的内涵，需要从不同的侧面对它进展研究.下面介绍确实界存在定下面介绍确实界存在定理就是刻画实数完备性的一个常用定理理就是刻画实数完备性的一个常用定理.首先介绍几个与确界存在定理相关的概念首先介绍几个与确界存在定理相关的概念.2021年10月12日南京航空航天大学 理学院 数学系77定义定义1(集合的有界性集合的有界性 R,.AA 设设(1)R,LxAxLL 若
48、若使使得得都都有有则则称称 为为,.AA的的一一个个称称数数集集上上界界有有上上界界 111:=1,23AnZn 例例如如1 A是是数数集集的的一一个个上上界界,A事事实实上上 数数集集有有无无穷穷多多个个上上界界.注注:假设数集有上界假设数集有上界,那么该数集的上界有无穷多个那么该数集的上界有无穷多个.2.5 A也也 是是 数数 集集 的的 一一 个个 上上 界界.2021年10月12日南京航空航天大学 理学院 数学系78定义定义1(集合的有界性集合的有界性 R,.AA 设设 111:=1,23AnZn 例例如如0 A是是 数数 集集 的的 一一 个个 下下 界界,A事事实实上上 数数集集
49、有有无无穷穷多多个个下下界界.(2)R,xA x 若若使使得得则则称称 为为,.AA的的一一个个称称数数集集下下界界有有下下界界 注注:假设数集有下界假设数集有下界,那么该数集的下界有无穷多个那么该数集的下界有无穷多个.-1 A也也 是是 数数 集集 的的 一一 个个 下下 界界,2021年10月12日南京航空航天大学 理学院 数学系79定义定义1(集合的有界性集合的有界性 R,.AA 设设 111:=1,23AnZn 例例如如有有界界(3),.AA若若 既既有有上上界界又又有有下下界界 则则称称 为为有有界界集集2021年10月12日南京航空航天大学 理学院 数学系80集合有界性的刻画定理集
50、合有界性的刻画定理:R,.AA 设设则则0,|.AMxAxM 为为有有界界集集使使有有()充充分分性性:证证 明明0,|.Mx AxM 设设使使有有,.x AM x M 则则有有-MA 是是的的一一个个下下界界,M A这这说说明明 是是 的的一一个个上上界界,1A由由定定义义 知知 为为有有界界集集.2021年10月12日南京航空航天大学 理学院 数学系81集合有界性的刻画定理集合有界性的刻画定理:R,.AA 设设则则0,|.AMxAxM 为为有有界界集集使使有有()必必要要性性:证证 明明,AA设设 为为 有有 界界 集集,则则 既既 有有 上上 界界 又又 有有 下下 界界,.xAMxMx
