1、第三节第三节 对称要素的组合定理对称要素的组合定理对称要素的组合问题提出对称要素的组合问题提出例如：立方体例如：立方体3L44L36L29PC 定理定理1 如果有一个如果有一个L2垂直于垂直于Ln，则，则 必有必有n个个L2垂直于垂直于Ln；任意任意相邻两个相邻两个L L2 2的夹角为的夹角为Ln的的基转角的一半。基转角的一半。Ln L2 LnnL2p 逆定理逆定理 若两若两L2相交，在交点并垂直两相交，在交点并垂直两L2必产生必产生Ln，其基，其基转角是两转角是两L L2 2夹角的两倍，并在垂直于夹角的两倍，并在垂直于L Ln n平面内导出平面内导出n n个个L2。思考思考:两个两个L2相交
2、相交30,交点处并垂直交点处并垂直L2所在平面会产生什么对称轴所在平面会产生什么对称轴?p定理定理2 2 若一对称面若一对称面P P垂直于偶次轴垂直于偶次轴L Ln(n(偶偶)，其交点，其交点处必然存在处必然存在对称中心对称中心C C。Ln P LnP C (n为偶数为偶数)石膏p逆定理逆定理 若有一偶次对称轴若有一偶次对称轴L Ln(n(偶偶)与对称中心与对称中心C C共存，则过共存，则过C C且且垂直该对称轴必有一对称面垂直该对称轴必有一对称面P P；或若有一对称面或若有一对称面P P与对称中心与对称中心C C共存，则过共存，则过C C且垂直于且垂直于P P必有一必有一个个偶偶次对称轴。次
3、对称轴。该定理说明：该定理说明：L L2 2、P P、C C三者中任意两者可三者中任意两者可产生第三者。产生第三者。P C L2P CLn C LnP C(n为偶数为偶数)p定理定理3 3 若有一对称面若有一对称面P P包含对称轴包含对称轴L Ln n，则，则必有必有n n个个P P包含包含L Ln n；相邻两个相邻两个P P的夹角为的夹角为L Ln n的基转角的一半。的基转角的一半。例如：例如：L6 P/L66P/（定理（定理3与定理与定理1对应）对应）红锌矿p逆定理逆定理若有两个对称面相交，则对称面的交线必为一对若有两个对称面相交，则对称面的交线必为一对称轴，其基转角为相邻两对称面夹角的两
4、倍，并导出其他称轴，其基转角为相邻两对称面夹角的两倍，并导出其他n n个个包含包含L Ln n的的P P。思考思考:两个对称面相交两个对称面相交6060,交线处会产生什么对称轴交线处会产生什么对称轴?p 定理定理4 若有一若有一L2垂直于垂直于Lin，或有一，或有一P包含包含Lin n为奇数时为奇数时必有必有n个个L2垂直于垂直于Lin和和n个个P包含包含Lin；n为偶数时为偶数时必有必有n2个个L2垂直于垂直于Lin和和n2个个P包含包含Lin。Lin P/=Lin L2 Linn/2 L2 n/2 P/（n为偶数）为偶数）Linn L2 nP/（n为奇数）为奇数）第四节第四节 对称型（点群
5、）对称型（点群）1 1、对称型的概念、对称型的概念 晶体形态中，晶体形态中，全部对称要素的组合全部对称要素的组合，称为该晶体形态的，称为该晶体形态的对称型对称型 或或点群点群。一般来说，当强调一般来说，当强调对称要素对称要素时称对称型，强调时称对称型，强调对称操作对称操作时称点时称点群。群。根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中根据晶体中可能存在的对称要素及其组合规律，推导出晶体中可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有可能出现的对称型（点群）是非常有限的，仅有3232个。那么，这个。那么，这3232个对称型怎么推导出来？个对称型怎么推导出来？2 2、对称型的推导、对称型的推
6、导依据：对称型中高次轴数量多少：依据：对称型中高次轴数量多少：A A类对称型（高次轴不多于一个）类对称型（高次轴不多于一个）B B类对称型（高次轴多于一个）类对称型（高次轴多于一个）（1 1）A A类对称型的推导类对称型的推导 1 1）对称轴）对称轴L Ln n单独存在单独存在（原始式）：（原始式）：可能的对称型为可能的对称型为L L1 1；L L2 2；L L3 3；L L4 4；L L6 6 。（1 1）A A类对称型的推导：类对称型的推导：2 2）对称轴与对称轴的组合）对称轴与对称轴的组合（轴式）：（轴式）：在这里我们只考虑在这里我们只考虑L Ln n与垂直它的与垂直它的L L2 2的组
7、合。根据上节所述对的组合。根据上节所述对称要素组合规律称要素组合规律L Ln n L L2 2L Ln nnLnL2 2，可能的对称型为：，可能的对称型为：（L L1 1L L2 2=L L2 2）；）；L L2 22 2L L2 2=3=3L L2 2；L L3 33 3L L2 2；L L4 44 4L L2 2；L L6 66 6L L2 2 如果如果L L2 2与与L Ln n斜交有可能斜交有可能出现多于一个的高次轴，出现多于一个的高次轴，这时就不属于这时就不属于A类对称型了类对称型了（1 1）A A类对称型的推导：类对称型的推导：3）对称轴）对称轴Ln与垂直它的对称面与垂直它的对称面
8、P的组合的组合（中心式）：（中心式）：根据组合规律根据组合规律Ln(偶次偶次)PLn(偶次偶次)PC，则可能的对称型为：，则可能的对称型为：L2PC；（；（L3P=Li6）；）；L4PC；L6PC。（1 1）A A类对称型的推导：类对称型的推导：4）对称轴）对称轴Ln与包含它的对称面的组合与包含它的对称面的组合（面式）：（面式）：根据组合规律根据组合规律Ln PLnnP，可能的对称型为：，可能的对称型为：（L1P=P）L22P；L33P；L44P；L66P。（1 1）A A类对称型的推导：类对称型的推导：5）对称轴）对称轴Ln与垂直它的对称面，以及包含它的对称面的组合与垂直它的对称面，以及包含
9、它的对称面的组合（轴面（轴面式）：式）：垂直垂直Ln的的P与包含与包含Ln的的P的交线，必为垂直的交线，必为垂直Ln的的L2，即即Ln P P=Ln P P=LnnL2(n+1)PC（偶数）（偶数）Ln P P=Ln P P=LnnL2nP（奇数）（奇数）可能的对称型为：可能的对称型为：(L1L22P=L22P）；）；L22L23PC=3L23PC；（L33L24P=Li63L23P）；）；L44L25PC；L66L27PC。（1 1）A A类对称型的推导：类对称型的推导：6 6）旋转反伸轴单独存在）旋转反伸轴单独存在（倒转式）：（倒转式）：可能的对称型为：可能的对称型为：L Li i1 1=
10、C C；L Li i2 2=P P；L Li i3 3=L L3 3C C；L Li i4 4；L Li i6 6=L L3 3P P。7）旋转反伸轴）旋转反伸轴Lin与垂直它的与垂直它的L2（或包含它的（或包含它的P）的组合）的组合（反伸（反伸面式）：面式）：根据组合规律：当根据组合规律：当n为奇数时为奇数时LinnL2nP，可能的对称型为：，可能的对称型为：（Li1L2P=L2PC）；）；Li33L23P=L33L23PC；当当n为偶数时为偶数时 Lin(n/2)L2(n/2)P，可能的对称型为：，可能的对称型为：（Li2L2P=L22P）；）；Li42L22P；Li63L23P=L33L
11、24P。这样推导出来的对称型共有这样推导出来的对称型共有27个，见表个，见表42。还有还有5个是个是B类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导。类（高次轴多于一个）对称型，不要求推导。L Ln nL Ln nnL L2 2Ln P(C)Ln nPLn nL L2 2(n+1)P(C)L Li in nL Li in n nL L2 2 nPL Li in n n/2L L2 2 n/2PL L1 1L Li in n=CL L2 23L3L2 2L2 PCL2 2P3L L2 2 3PCL Li i2 2=PL L3 3L L3 33L L2 2L3 3PL Li in n=L L3 3 C L
12、3 3L L2 2 3PCL L4 4L L4 44L L2 2L4 PCL4 4PL4 4L L2 2 5PCL Li i4 4L Li i4 4 2L2 2PL L6 6L L6 66L L2 2L6 PCL6 6PL6 6L L2 2 7PCL Li i6 6=L L3 3 PL Li i6 6 3L L2 2 3P=L L3 3 3L L2 2 4P32晶类晶类低、中、高级晶族低、中、高级晶族7大晶系大晶系属于同一对属于同一对称型的晶体称型的晶体高次轴的有高次轴的有无及多少无及多少晶体晶体第五节第五节 晶体的对称分类晶体的对称分类三斜晶系三斜晶系单斜晶系单斜晶系正交晶系正交晶系三方晶系三方晶系四方晶系四方晶系六方晶系六方晶系等轴晶系等轴晶系晶体低级晶族中级晶族高级晶族4L31L61L41L3L2+P 3无无L2或或PL2P3晶体的对称分类晶体的对称分类
