1、R语言与非参数统计（核密度估计）语言与非参数统计（核密度估计）v 核密度估计是在概率论中用来估计未知的密度函数，属于非参数检验方法之一，由Rosenblatt(1955)和Emanuel Parzen(1962)提出，又名Parzen窗（Parzen window）。v 假设我们有n个数X1-Xn,我们要计算某一个数X的概率密度有多大。核密度估计的方法是这样的：v v其中K为核密度函数,vh为设定的窗宽。v 核密度估计的原理其实是很简单的。在我们对某一事物的概率分布的情况下。v如果某一个数在观察中出现了，我们可以认为这个数的概率密度很大，和这个数比较近的数的概率密度也会比较大，而那些离这个数远
2、的数的概率密度会比较小。v基于这种想法，针对观察中的第一个数，我们都可以f(x-xi)去拟合我们想象中的那个远小近大概率密度。v当然其实也可以用其他对称的函数。针对每一个观察中出现的数拟合出多个概率密度分布函数之后，取平均。v如果某些数是比较重要，某些数反之，则可以取加权平均。v 但是核密度的估计并不是，也不能够找到真正的分布函数。我们可以举一个极端的例子：在R中输入：vplot(density(rep(0,1000)v可以看到它得到了正态分布的曲线，但实际上呢？从数据上判断，它更有可能是一个退化的单点分布。v但是这并不意味着核密度估计是不可取的，至少他可以解决许多模拟中存在的异方差问题。比如
3、说我们要估计一下下面的一组数据：vset.seed(10)vdatc(rgamma(300,shape=2,scale=2),rgamma(100,shape=10,scale=2)v可以看出它是由300个服从gamma（2,2）与100个gamma（10,2）的随机数构成的，他用参数统计的办法是没有办法得到一个好的估计的。那么我们尝试使用核密度估计：plot(density(dat),ylim=c(0,0.2)v v将利用正态核密度与标准密度函数作对比 vdfn-function(x,a,alpha1,alpha2,theta)va*dgamma(x,shape=alpha1,scale=t
4、heta)+(1-a)*dgamma(x,shape=alpha2,scale=theta)vpfn-function(x,a,alpha1,alpha2,theta)va*pgamma(x,shape=alpha1,scale=theta)+(1-a)*pgamma(x,shape=alpha2,scale=theta)vcurve(dfn(x,0.75,2,10,2),add=T,col=red)v得到下图：v（红色的曲线为真实密度曲线）v可以看出核密度与真实密度相比，得到大致的估计是不成问题的。至少趋势是得到了的。如果换用gamma分布的核效果无疑会更好，但是遗憾的是r中并没有提供那么多
5、的核供我们挑选（其实我们知道核的选择远没有窗宽的选择来得重要），所以也无需介怀。vR中提供的核：kernel=c(gaussian,epanechnikov,rectangular,triangular,biweight,cosine,optcosine)。v我们先来看看窗宽的选择对核密度估计的影响：vdfn1-function(x)v0.5*dnorm(x,3,1)+0.5*dnorm(x,-3,1)vpar(mfrow=c(2,2)vcurve(dfn1(x),from=-6,to=6)vdata density(data)v vCall:v density.default(x=data)
6、v vData:data(400 obs.);Bandwidth bw=0.8229v v x y v Min.:-7.5040 Min.:0.0000191 v 1stQu.:-3.5076 1st Qu.:0.0064919 v Median:0.4889 Median:0.0438924 v Mean :0.4889 Mean :0.0624940 v 3rdQu.:4.4853 3rd Qu.:0.1172919 v Max.:8.4817 Max.:0.1615015 v知道带宽：h=0.8229（采取正态密度核）那么带入密度估计式就可以写出密度估计函数。v最后以faithful数据
7、集为例说明density的用法：vR数据集faithful是old faithful火山爆发的数据，其中“eruption”是火山爆发的持续时间，waiting是时间间隔v对数据“eruption”做核密度估计vR程序：vdata(faithful)vA-faithful vx-A,eruptions vdensity(x)vplot(density(x)v知道h=0.3348v作图：v于核密度估计R中还有不少函数包提供了大量的支持：v可以研读一下如下几个包，也可以自己编程去实现 vksKernel smoothingvKendallKendall rank correlation and Mann-Kendall trend testvKernSmoothFunctions for kernel smoothing for Wand&Jones(1995)vKappalabNon-additive measure and integral manipulation functionsvKerfdrsemi-parametric kernel-based approach to local fdr estimationsvKernlabKernel Methods Lab
