1、1/31/2023自动控制原理1l4.1 根轨迹法的概念根轨迹法的概念l4.2 根轨迹方程根轨迹方程l4.3 常规根轨迹及其绘制常规根轨迹及其绘制l4.4 广义根轨迹及其绘制广义根轨迹及其绘制l4.5 按根轨迹分析控制系统按根轨迹分析控制系统l4.6 用用MATLAB绘制根轨迹绘制根轨迹1/31/2023自动控制原理2根轨迹的概念-10ImK:0 24112,1KS特征根：02KssK8141211s2s-0.5Re特征方程：KssKs2)(闭环传递函数：001146.0854.05.05.05.05.0j5.05.0jj5.0j5.0 _)(sR)(sC)1(ssK 对于高阶系统，不能用特征
2、方程求根的解析方法得到根轨迹。4.1 根轨迹法的概念1/31/2023自动控制原理3根轨迹：开环系统的某一参数从0变为 时，闭环系统特征方程的根在s平面上变化的轨迹根轨迹法：Evns提出（1948年）的一种由开环传递函数求闭环特征根的简便方法；是分析与设计线性定常控制系统的图解方法。1/31/2023自动控制原理4动态性能：-10ImRe-0.5K=0.25根轨迹与系统性能稳定性：根轨迹若越过虚轴进入s右半平面，与虚轴交点处的k k即为临界增益。稳态性能：根据坐标原点处的根数，确定系统的型次，同时可以确定对应的静态误差系数。特征方程的根特征方程的根 运动模态运动模态 系统动态响应（稳定性、系统
3、性能）系统动态响应（稳定性、系统性能）开环传递函数在坐标原点有一个极点，系统为1型系统，根轨迹上的K值就是静态误差系数。但是由开环传递函数绘制根轨迹，K是根轨迹增益，根轨迹增益与开环增益之间有一个转换关系。过阻尼 0k0.25单位阶跃响应为阻尼振荡过程)1()()(ssKsHsG1/31/2023自动控制原理5闭环零、极点与开环零、极点之间的关系设控制系统如图所示设控制系统如图所示)()(1)()(sHsGsGs)(sG)(sH)(sC)(sRhjjljjHpszsKsH11*)()()(qiifiiGGpszsKsTsTsTssssKsG11*222221212221)()()12)(1()
4、12)(1()(22121*TTKKGG设：设：GK*GK*HK ：前向通路增益：前向通路增益 ：前向通道根轨迹增益：前向通道根轨迹增益 ：反馈通道根轨迹增益：反馈通道根轨迹增益1/31/2023自动控制原理6*111111*,)()()()()()()()(HGgnjjmiighjjqiiljjfiiHGKKKlfmhqnpszsKpspszszsKKsHsGmiignjjhjjfiiGzsKpspszsKsHsGsGs1111*)()()()()()(1)()(qiifiiGpszsKsG11*)()()(hjjljjHpszsKsH11*)()()(1/31/2023自动控制原理7mii
5、gnjjhjjfiiGzsKpspszsKsHsGsGs1111*)()()()()()(1)()(结论：（1）闭环系统的根轨迹增益=开环前向通道系统根轨迹增益。（2）闭环系统的零点由开环前向通道传递函数的零点和反馈通 道传递函数的极点所组成。（3）闭环极点与开环零点、开环极点、根轨迹增益均有关。*KqiifiiGpszsKsG11*)()()(hjjljjHpszsKsH11*)()()(根轨迹法的任务：由已知的开环零极点和根轨迹增益，用图解方法确定闭环极点。njjmiigpszsKsHsG11)()()()(1/31/2023自动控制原理8由闭环传递函数由闭环传递函数)()(1)()(sH
6、sGsGs根轨迹方程GH1)()(0)()(111njjmiigpszsKsHsG特征方程特征方程izjpgK根轨迹增益根轨迹增益开环零点开环零点开环极点开环极点常数常数 0gK常数常数是什么是什么？考虑：考虑：s复平面上的点，特征方程的根，闭环极点4.2 根轨迹方程1/31/2023自动控制原理9miinjjgzspsK11模值条件（幅值条件）：模值条件（幅值条件）：根轨迹的幅值条件和相角条件)12(111111)()(jjnjjmiignjjmiigeepszsKpszsK根轨迹方程实质上为一向量方程根轨迹方程实质上为一向量方程),2,1,0(,)12()()(11njjmiipszs相角
7、条件（幅角条件）：（充分必要条件）相角条件（幅角条件）：（充分必要条件）开环有限零点到s的矢量辐角 开环极点到s的矢量辐角，逆时针为正 1/31/2023自动控制原理10模值条件与相角条件的应用-0.825=0.466 n=2.34s1=-0.825s2,3=-1.09j2.07-1.09+j2.072.262.112.612.0722.262.112.612.072=6.006892.49o-66.27o-78.8o-127.53o=180o-1.5-1-20.592.49o66.27o78.8o127.53o1/31/2023自动控制原理11S1=1.5+j1.2553Lik*=0.264
8、3.826i39.91.82668.35.576147.91.82613.82621.826111.7160.3164.4k*=0.266180.3o1/31/2023自动控制原理12结论：根轨迹上的点一定满足相角条件，且满 足相角条件的点一定在根轨迹上，即相 角条件是确定根轨迹的重要条件。只有当需要确定根轨迹上各点的根轨迹 增益时，才需使用模值条件。绘制根轨迹只需使用相角条件。1/31/2023自动控制原理13l根轨迹的起点与终点；l根轨迹的条数、连续性和对称性；l实轴上的根轨迹；l根轨迹的渐近线；l根轨迹在实轴上的分离点；l根轨迹的起始角和终止角；l根轨迹与虚轴的交点；l根轨迹的走向法则。
9、通常，我们把以开环根轨迹增益为可变参数绘制的根轨迹叫做普通根轨迹（或一般根轨迹）。绘制普通根轨迹的基本规则主要有8条：4.3 常规根轨迹及其绘制1/31/2023自动控制原理14l 根轨迹180)()(1)()(sHsGsGs)(sR)(sC_)(sH)(sG特征方程：0)()(1)(sHsGsF)()()()()()(11sDsNKpszsKsHsGgjnjimig令根轨迹方程：0)()(sNKsDg1)()(sHsG辐值条件：辐值条件：1,0,1211njjmiipszs辐角条件：辐角条件：由相角条件（由相角条件（条件）绘制出的根轨迹，称条件）绘制出的根轨迹，称 根轨根轨迹迹。变化参数为根
10、轨迹增益变化参数为根轨迹增益 。)12(180gK1/31/2023自动控制原理15规则1：根轨迹的起点和终点jnjjpsps10)(0gK 0gK又从又从0)()(111miinjjgzspsKimiigzszsK10)(0)()(1sHsG证明：0)()(11miignjjzsKps)()()()()()(11sDsNKpszsKsHsGgjnjimig根轨迹方程：根轨迹方程：1/31/2023自动控制原理16l 下面分三种情况讨论l 1当m=n时，即开环零点数与极点数相同时，根轨迹的起点与终点均有确定的值。2当mn时，即开环零点数大于开环极点数时，除有n条根轨迹起始于开环极点(称为有限极
11、点)外，还有m-n条根轨迹起始于无穷远点(称为无限极点)。这种情况在实际的物理系统中虽不会出现，但在参数根轨迹中，有可能出现在等效开环传递函数中。0)()(11miignjjzsKps根轨迹方程：miinjjgzspsK11gKsmn1/31/2023自动控制原理17 在实际系统通常是 ，则还有 条根轨迹终止于s平面的无穷远处，这意味着在无穷远处有 个无限远（无穷）零点。mn)(mn)(mn0gKgK0mn有两个无穷远处的终点有两个无穷远处的终点0mn0gKgK有一个无穷远处的起点有一个无穷远处的起点1/31/2023自动控制原理18l结论：根轨迹起始于开环极点 ，终止于开环零点 ；如果开环极
12、点数n大于开环零点数m，则有n-m条根轨迹终止于s平面的无穷远处(无限零点)，如果开环零点数m大于开环极点数n，则有m-n条根轨迹起始于s平面的无穷远处(无限极点)。0gKgK1/31/2023自动控制原理19l结论：根轨迹的分支数等于系统的闭环极点数(n条）。根轨迹是连续且对称于实轴的曲线。规则2：根轨迹的分支数、连续性和对称性gK 系统开环根轨迹增益系统开环根轨迹增益(实变量）与复变量实变量）与复变量s s有一一对应的关有一一对应的关系，当系，当 由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复由零到无穷大连续变化时，描述系统特征方程根的复变量变量s s在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹
13、是在平面上的变化也是连续的，因此，根轨迹是n n条连续的条连续的曲线。曲线。由于实际的物理系统的参数都是实数，若它的特征方程有复数根，一定是对称于实轴的共轭复根，因此，根轨迹总是对称于实轴的。时）（mn 根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环根轨迹的分支数即根轨迹的条数。既然根轨迹是描述闭环系统特征方程的根（即闭环极点）在系统特征方程的根（即闭环极点）在S S平面上的分布，那么，根平面上的分布，那么，根轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。轨迹的分支数就应等于系统特征方程的阶数。0)()(11miignjjzsKps根轨迹方程：根轨迹方程：1/31/2023自动控制原理20分析：
14、实轴上的根轨迹必须满足绘制根轨迹的相角条件，即l结论：若实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹。规则3：实轴上的根轨迹选择选择s so o作为试验点。作为试验点。开环极点到开环极点到s s0 0点的向量的相角为点的向量的相角为开环零点到开环零点到s s0 0点的向量的相角为点的向量的相角为 )5,4,3,2,1(jj)4,3,2,1(ii4151)12(ijji实轴上，实轴上，s s0 0点左侧：点左侧：o032实轴上，实轴上，s s0 0点右侧：点右侧：211复平面上：复平面上：243254),2,1,0(,)12()()(11njjmiipszsp1p2p
15、3 p5p4z1 z2s0 z4z3j03421154321/31/2023自动控制原理21已知系统的开环传递函数，试确定实轴上的根轨迹。22)3s)(2s(s)6s)(4s)(1s(K)s(G-1，-2 右侧实零、极点数=3。-4，-6 右侧实零、极点数=7。654321oj平面s1/31/2023自动控制原理22规则4：根轨迹的渐近线l 当开环极点数n大于开环零点数m时，系统有n-m条根轨迹终止于S平面的无穷远处，这n-m条根轨迹变化趋向的直线叫做根轨迹的渐近线，因此，浙近线也有n-m条，且它们交于实轴上的一点。这些根轨迹分支趋向无穷远的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。1,0,1211n
16、jjmiipszs则由则由辐角条件辐角条件有：有：1,0,12nmmn)12(假设在无穷远处特征根假设在无穷远处特征根k，S平面上所有零、极点到平面上所有零、极点到k的矢量幅角都相等，为的矢量幅角都相等，为1/31/2023自动控制原理231)()()()()()(11sDsNKpszsKsHsGgjnjimig由由辐值条件辐值条件：gnjnjjnjnmimiimimjnjimiKpspszszspszssDsN1)()()()()()()()(11111111kjikpzs时，当gnjmnmiijmnmnkKszpss1)(1)(1111假设在无穷远处特征根假设在无穷远处特征根k，S平面上所
17、有零、极点到平面上所有零、极点到k的矢量长度都相等的矢量长度都相等即相当于：所有开环零、极点都汇集在一起，其位置为即相当于：所有开环零、极点都汇集在一起，其位置为k，即渐进线的交点，即渐进线的交点mnzpnjmiijk11)()(1/31/2023自动控制原理24mn)12(mnzpnjmiijk11)()(与实轴夹角与实轴交点210，结论：根轨迹的渐近线 n-m条注注：1.2.与实轴交点必定在实轴上与实轴交点必定在实轴上ooooomnmnmn135,454180,6039023.计算与实轴交点时，只考虑开环零、极点的实部即可计算与实轴交点时，只考虑开环零、极点的实部即可1/31/2023自动
18、控制原理25)22)(4()1()(2sssssKsGg例：设单位负反馈系统的前向传递函数为111,4,014321zjpjppp，（2）有4条根轨迹的分支，对称于实轴（1）解：（4）有）有n-m=4-1=3条根轨迹渐近线条根轨迹渐近线ooookmnk180,6014180)12(180)12(67.114)1()1140()()(11jjmnzpnjmiijk与实轴夹角与实轴夹角与实轴交点与实轴交点-4-3-2-10（3）实轴上的根轨迹：）实轴上的根轨迹：），），（，（01460180-601/31/2023自动控制原理26 两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点称为分离
19、点（会合点）。规则5：根轨迹的分离点)1()()(ssKsHsG-10ImRe-0.5K=0.25 当系统开环增益当系统开环增益K 由零到无穷大由零到无穷大变化时，两条根轨迹先在实轴上相向变化时，两条根轨迹先在实轴上相向运动运动,相遇在点相遇在点(-0.5,j0)，当，当 K 0.25后，离开实轴进入后，离开实轴进入s平面，且离开实轴平面，且离开实轴时，根轨迹与实轴时，根轨迹与实轴正交正交。我们称该点。我们称该点为根轨迹的分离点。为根轨迹的分离点。实际上实际上,分离点是分离点是系统特征方程的系统特征方程的等实根等实根。一般，常见一般，常见的根轨迹分离点是位于实轴上两条根的根轨迹分离点是位于实轴
20、上两条根轨迹分支的分离点。轨迹分支的分离点。1/31/2023自动控制原理27l若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环极点之间（其中一个可以是无限极点），则在这两个极点之间至少存在一个分离点；l若根轨迹位于实轴上两个相邻的开环零点之间（其中一个可以是无限零点），则在这两个零点之间也至少有一个分离点。l分离点也可能以共轭形式成对出现在复平面上，显然，复平面上的分离点表明系统特征方程的根中至少有两对相等的共轭复根存在。j-4-3-2-101d2d分离点实轴上根轨迹的分离点 复平面上的分离点 j4p3p1p2pAB0s1/31/2023自动控制原理28 根轨迹的分离点，实质上就是系统特征方程的等实根(实轴
21、上的分离点)或等共轭复根(复平面上的分离点)。)()(1)()(sHsGsWs特征方程：0)()(1)(sHsGsF)()()()()()(11sDsNKpszsKsHsGgjnjimig令根轨迹方程：0)()(sNKsDg)(sR)(sC_)(sH)(sG0)()(0)()()(0)()(0)(sNKsDsFsNsDKsNKsDsFggg由0)()()()(sNsDsNsD分离点方程分离点方程：结论结论1：1/31/2023自动控制原理29l分离点既为根轨迹的交点，它必为闭环特征方程的重根。故可由特征方程和对特征方程求导联解得出。由根轨迹方程：1)()(11njjmiigpszsK0)()(
22、11miignjjzsKps所以闭环特征方程式为：miignjjzsKps11)()(或（1）1/31/2023自动控制原理30miignjjzsdsdKpsdsd11)()(）相除得：）、（式（21对上式求导可得：（2）miimiinjjnjjzszsdsdpspsdsd1111)()()()(dszsddspsdmiinjj11)(ln)(ln（3）1/31/2023自动控制原理31miimiinjjnjjzszspsps1111)ln()(ln)ln()(ln由于式（3）变为：miinjjdszsddspsd11)ln()ln(miinjjzsps1111（4）从上式中解出s,即为分离点
23、d。1/31/2023自动控制原理32gjnjimiKpszssDsN1)()()()(11系统的特征方程可写成系统的特征方程可写成gimijnjKzsps)()(11分离点方程分离点方程0)()(11imijnjzspsdsd 对于一个n阶系统，可能得到n-1个根，只有那些在根轨迹上的解才是根轨迹的分离点。若在这些根中有共轭复根，如何判断是否在根轨迹上，是一个比较复杂的问题，由于只有当开环零、极点分布非常对称时，才会出现复平面上的分离点.因此，用观察法可大体上判断，然后将其代入特征方程中验算，即可确定。n1im1j11jipdzd分离点方程的另一种形式：分离点方程的另一种形式：当开环系统无有
24、限零点时，则分离点方程为当开环系统无有限零点时，则分离点方程为01n1ijpd结论结论3：分离点也是分离点也是 取最值的点取最值的点gK(注：试探法的依据注：试探法的依据)结论结论2：1/31/2023自动控制原理33分离角：结论结论3：当有当有2条根轨迹分支进入并离开分离点时，分离角为：条根轨迹分支进入并离开分离点时，分离角为：l)12(22 时，分离角：l分离点上的根轨迹的切线方向与实轴正方向的夹角1/31/2023自动控制原理343)2)(s1)(s(sH(s)G(s)gK例例：绘制单位负反馈系统的根轨迹绘制单位负反馈系统的根轨迹（2）根轨迹分支数为3条，有三个无穷远的零点。（3）实轴上
25、根轨迹）实轴上根轨迹 1,2,3,（1）3,2,1321ppp解：解：（4）渐近线：）渐近线：0180,603/)12(203)0()321(k条3mn0312111ddd0111232dd1.421d)2.58(2舍d（5）分离点）分离点方法一：方法一：1)()3)(2)(1()(0)()()()(sNssssDsNsDsNsD方法二：方法二：gg-3-2-10jsKK1/31/2023自动控制原理35（2）根轨迹分支数为3条，有两个无穷远的零点。（3）实轴上根轨迹）实轴上根轨迹0,1,2,3例例：绘制单位负反馈系统的根轨迹绘制单位负反馈系统的根轨迹)3)(2()1(ssssKg)(sR)(
26、sC（1）11z3,2,0321ppp解：解：（4）渐近线：）渐近线：90)13/()12(213)1()320(k条213mn（5）分离点（用试探法求解）分离点（用试探法求解）3121111dddd47.2d0j12347.21/31/2023自动控制原理36)3)(2()1(ssssKg)(sR)(sC试探法求解分离点0)3)(2()1(1)(ssssKsFg特征方程：gKssss)1()3)(2(10j2347.2 2,3由分析知分离点一定在由分析知分离点一定在上上-2.5-2.1-2.8-2.6-2.40.4160.1710.2490.390.411gKs-2.5-2.46-2.47-
27、2.48-2.40.4160.418530.418550.41820.411sgK1/31/2023自动控制原理37jpzKKsssKsssKsHsGgg125.0)22()2(15.0)15.0()()(2,1122例:设单位负反馈系统的传递函数为试绘制系统的根轨迹。0j414.312解：(1)根轨迹分支数为2条，有一个无穷远的零点。(2)实轴上根轨迹实轴上根轨迹2,(3)渐近线：渐近线：01801/)12(条1mn(4)分离点分离点2)(22)(0)()()()(2ssNsssDsNsDsNsD)(586.0414.3024212舍dddd180)12()1()1()2(jsjss(5)由
28、相角条件可以证明复平面上的根轨迹由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心为（是圆的一部分，圆心为（-2，j0)，半径为，半径为211112,111tgtgtgjs22222111)2()2(02411)1)(2/()1(1)1/()1()2/(11112tgtgtg1/31/2023自动控制原理38规则6：根轨迹的起始角(出射角)与终止角(入射角)当开环传递函数中有复数极点或零点时，根轨迹是沿着什么方向离开开环复数极点或进入开环复数零点的呢？出射角 根轨迹离开开环复数极点处在切线方向与实轴正方向的夹角。入射角 根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与实轴正方向的夹角。j3P2P1P0s
29、1p2p-1z2z1p2p1z2z1/31/2023自动控制原理39l 对于根轨迹上无限靠近p1的点，由相角条件可得l l 由于点无限靠近 点，)12()p(A)p(A)p(A)z(A13211p11)p(Ap)p(p)p(p)z(p)12(3121111p)(18011mjnijjppzppijiji)(18011mijjnjpzzzzijiji结论：结论：出射角出射角 入射角入射角-sj1z2p3p0A1p)(31pp)(11zp)(21pp 1p1/31/2023自动控制原理40例：3213214180op10j2334p211/31/2023自动控制原理41 :(S):)5.15.0)
30、(5.15.0)(5.2(j)-2j)(S21.5)(SK(S解迹试绘制系统的概略根轨为设负反馈系统开环传函例jSjSSSkW ,(4)(3)180 (2)-2.5,-,0,-1.5 2,5.1z -2.5p j1.5-0.5p j1.5-0.5p 0p (1)3,214321入射角出射角无分离点一条渐近线实轴上的根轨迹，jz-21/31/2023自动控制原理42-1-2108.59059 37 19 56.5 7937905.10859195.561802p1/31/2023自动控制原理4390 121 153 199 63.5 117 5.1491211991535.63117901802
31、）（z1/31/2023自动控制原理44-2795.1491/31/2023自动控制原理45规则7：根轨迹与虚轴的交点 根轨迹与虚轴的交点就是闭环系统特征方程的纯虚根（实部为零）。这时，用 代入特征方程求得。也可用劳斯判据确定。js 3)2)(s1)(s(sH(s)G(s)gK解：其特征方程是令 并代入特征方程得06s11s6s23gk js0611j6j23gk其虚部和实部方程分别为06601123gk3.311c60gk例：绘制单位负反馈系统的根轨迹js1p2p3p-1-2-30gKdgK1/31/2023自动控制原理46js1p2p3p-1-2-30)60(3.3gKjgKdgK)60(
32、3.3gK-j1/31/2023自动控制原理47例：已知系统的开环传递函数为 试绘制该系统完整的根轨迹图。)2)(1()()(sssKsHsGg（3）实轴上根轨迹）实轴上根轨迹 0,1,2,（1）2,1,0321ppp解：解：（4）渐近线：）渐近线：0180,603/)12(103)0()021(k条3mn（2）根轨迹分支数为3条，有三个无穷远的零点。（5）分离点）分离点1)()2)(1()(0)()()()(sNssssDsNsDsNsD02632dd42.01d（舍）58.12d-2-10jsggKK02323gjsKjj（6）与虚轴交点）与虚轴交点02323gKsss（舍）0123,21
33、/31/2023自动控制原理48（2）实轴上根轨迹）实轴上根轨迹 0,3（1）jppp1,3,04321，解：解：（3）渐近线：）渐近线：0135,454/)12(4504)0()311(k条4mn例：)22)(3()()(2ssssKsHsGg0j13（4）分离点）分离点 1)()22)(3()(0)()()()(2sNsssssDsNsDsNsD3.2061615423dddd（5）出射角）出射角ooooooptgtgjj6.719021)190(18090)31()1(180113op6.7143.21/31/2023自动控制原理49（6）与虚轴的交点 运用劳斯判据0685)(0)()(
34、1)(234gKsssssFsHsGsFggggKsKsKssKs0234034252045686581由第一列、第四三行元素为零由第一列、第四三行元素为零16.8025204ggKK由辅助方程由辅助方程095.1016.8)568(2,12jss)22)(3()()(2ssssKsHsGg0j13.23j1.095-j1.0951/31/2023自动控制原理50闭环极点之和、闭环极点之积与根轨迹分支的走向0)()(0)()(111miignjjzsKpssHsG规则8：根轨迹走向法则njnlljspmn112nlnllnlnnjnjminiimimgjnjnnllmiignjjsssszsz
35、sKpspssszsKps111111111111)()()()()()()()()(为闭环特征方程的根为闭环特征方程的根lsminllignjjszKp111)()()(1/31/2023自动控制原理51若开环传递函数的积分环节个数1结论：（1）若 n-m2，闭环极点之和=开环极点之和=常数。表明：在某些根轨迹分支（闭环极点）向左移动，而另一些根轨迹分支（闭环极点）必须向右移动，才能维持闭环极点之和为常数。（2）对于1型以上（包括1型）的系统，闭环极点之积与开环增益值成正比。)()()()()(11111minlligminllignjjszKszKp)0(jp1/31/2023自动控制原理
36、52（2）实轴上根轨迹）实轴上根轨迹 0,2（1）jppp1,2,04321，解：解：（3）渐近线：）渐近线：0135,454/)12(104)0()211(k条4mn例：)22)(2()()(2ssssKsHsGg0j12（4）分离点）分离点 1)()22)(3()(0)()()()(2sNsssssDsNsDsNsD013323ddd1321 ，d（5）出射角）出射角0001901354590180ooj0190j（6）与虚轴交点）与虚轴交点0464)(234gKsssssFggggKsKsKssKs023405420544615gKjsksg2,12051/31/2023自动控制原理53
37、 绘制根轨迹的一般步骤l有了以上绘制根轨迹的基本法则，在已知系统的开环零、极点(开环传递函数)的情况下，利用这些基本法则，就可以迅速准确地确定出根轨迹的主要特征和大致图形。如果需要，再利用根轨迹方程的相角条件。利用试探法确定若干点，就可以绘制出准确的根轨迹。l 绘制根轨迹的一般步骤为：1/31/2023自动控制原理54l 根据给定的开环传递函数，求出开环零、极点，并将它们标在复平面上；l 确定根轨迹的分支数及趋于无穷远处根轨迹的条数；l 确定实轴上的根轨迹；l 确定根轨迹的分离点(会合点)，并计算分离角；l 计算根轨迹的出射角和入射角；l 确定根轨迹与虚轴的交点；1/31/2023自动控制原理
38、55l 大体绘出根轨迹的概略形状；l 利用对称性画出上、下复平面的根轨迹；l 利用闭环特征根之和、之积的性质估计根轨迹的走向；l 利用相角条件试探确定根轨迹上某些点；l 某些系统在复平面上的根轨迹为圆或圆的一部分时，求出圆心和半径。l 必要时，对根轨迹进行修正，以画出系统精确根轨迹。1/31/2023自动控制原理56例1 若已知系统的结构图为：试绘制系统的概略根轨迹。解：系统开环传递函数为：)15(2.0)1(sssK)(sR)(sC)2.0()1()2.0()1()15(2.0)1()(sssKsssKsssKsGgK1/31/2023自动控制原理57KKg11z2.0021pp，1 2.0
39、0，开环零点：开环极点：实轴上的根轨迹：渐近线：1条，负实轴方向分离点：8.012.01111dddd分离角：2/3 ,2/画出根轨迹如图所示，在复平面上，有一部分根轨迹为一圆，其圆心为（-1，j0)，半径为8.0R1/31/2023自动控制原理58-0.2-1sj-21z1p2p1/31/2023自动控制原理59 例2 单位负反馈系统的开环传递函数为：试绘制系统的根轨迹。解：由系统的开环传递函数得：)121)(131()15.0()(2sssssKsG)22)(3()2()22)(3()2(3)(22sssssKsssssKsGgKKg31/31/2023自动控制原理60 开环零点：，开环极
40、点：将它们标注于复平面上；实轴上的根轨迹：渐近线：条21zjppp1304,321，320，314114)2()1130(11jjmnzpmjjniia3)12()12(kmnka1/31/2023自动控制原理61 时，时，时，起始角：根轨迹与虚轴的交点：0k603/a1k2k180a603/5a)(180431113343jjppjpzppjj6.26)906.26135(451801/31/2023自动控制原理62系统的闭环特征方程式为：将 代入上式，整理可得：联立求解得：02)6(85234ggKsKsssjs 0)6(5)28(324ggKjK0)6(5028324ggKK00*gK6
41、6.12*gK1/31/2023自动控制原理63 画出概略根轨迹如图所示：-1sj-21z1p2p-33p4pa1/31/2023自动控制原理64自动控制系统的根轨迹 l（3）根轨迹的分离点)1()1()(TssKTssKsGgkK)(sR)(sC)s(1 TsKk二阶系统 设二阶系统的结构图如图所示。01pTp12（1）有二个开环极点（起点），。有二个开环无限零点（终点）0)1()()()()(sTssDsNsNsDTd21（2）实轴上的根轨迹）实轴上的根轨迹0,1T（4）根轨迹的渐近线）根轨迹的渐近线ooomn902180)21(180TTmnzpmiinjjk2121112mn1/31/
42、2023自动控制原理65开环具有零点的二阶系统 l二阶系统增加一个零点时，系统结构图如图所示，它的开环传递函数为)2.0()1()15(2.0)()(1sssKssasKsGgaK8.0)1(2.0)1/(1)/)1/(2.01,180)12()2.0()1(222111tgtgtgjssss由相角条件可以证明复平面上的根轨迹是圆的一部分，圆心为（-1，j0)，半径为8.0)(sR)(sC1/31/2023自动控制原理66l 不难发现，由两个开环极点（实极点或复数极点）和一个开环实零点组成的二阶系统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当开环根轨迹增益 由零变到无穷大时，复平面上的闭环根轨迹，是
43、以实零点为圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个圆（当开环极点为两个实极点时）或圆的一部分（当开环极点为一对共轭复数极点时）。这个结论在数学上的严格证明可参照本例进行。gK0j414.3121/31/2023自动控制原理67三阶系统l二阶系统附加一个极点的系统的结构图如图所示。它的开环传递函数为)(1()1)(1()(asssKTsssKsGgkK4a令分离点0)()()()(sNsDsNsD)(86.2467.021舍dd渐近线3mm0018060，35k与虚轴交点0)4)(1()(gkssssFjs 202040532ggkk)(sR)(sC1/31/2023自动控制原理68l二阶系统中
44、增加一个极点，一个零点后系统的结构图如图所示，它的开环传递函数为开环具有零点的三阶系统)()()1()1()(1212psszsKTssTsKsGgiddK渐近线2mn0902)1(1dkTTd4令Tk83TjTR43412,1TRRR1)()321（TR213)(sR)(sC1/31/2023自动控制原理69具有复数极点的四阶系统l结构图如图所示。l它的开环传递函数为)22)(3()2()121)(131()121()(22sssssKsssssKsGgkK出射角00000016.266.261359045180j渐近线3mm0018060，13)2(113k与虚轴交点02)6(85)(23
45、4ggkskssssFjs 761.1gk)(sR)(sC1/31/2023自动控制原理701/31/2023自动控制原理711/31/2023自动控制原理72 广义根轨迹是指除了一般根轨迹之外的所有根轨迹。如参数根轨迹，具有正反馈内环的零度根轨迹等。参数根轨迹 以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹引入等效开环传递函数的概念AsQsPsQsPAsAPsQsHsGsHsGsF1)()(1)()(0)()()()(10)()(1)()()()()(11sQsPAsHsG等效开环传递函数注意：在此的等效意义是在特征方程相同，或者是闭环极点相同的前提下成立；而此时闭环零点是不同的。4.4 广义根轨迹及其
46、绘制1/31/2023自动控制原理73)(sR)(sC)s(spKg s 例：求以参数 为变量，为常数的根轨迹。gk解：)1()()(skpssksgg0)1()()(skpsssFg 由由kkggggkgkkpsssskkpss 11)(2 一、求等效开环传递函数等效开环传递函数gkkpssssHsG211)()(1/31/2023自动控制原理74gkkpssssHsG211)()(0j（1）（2）实轴上根轨迹）实轴上根轨迹 0,22114212,0pkjppzg，解：解：（3）渐近线：）渐近线：条条1 mn（4）分离点）分离点 ssNkpsssDsNsDsNsDg)()(0)()()()(
47、2gkd 不难证明：复平面上的根轨迹为圆的一部分不难证明：复平面上的根轨迹为圆的一部分（圆心：原点，半径（圆心：原点，半径 ）gkgk 思考思考：要使系统工作在欠阻尼情况下，要使系统工作在欠阻尼情况下，应取何值？应取何值？0)1()()(skpsssFksgg 代代入入将将)2(1pkkgg )2(10pkkgg 1/31/2023自动控制原理75其中开环增益可自行选定。试绘制参数根轨迹，并分析时间常数 对系统性能的影响。例：设单位反馈系统的开环传递函数为)1)(1()(sTssKsGaKaT解：闭环特征方程KssssTsHsGKssssTTKssssssTKssKsTsssFaaaaa)1(
48、)1()()(0)1()1(11)1()1(0)1()1(0)1)(1()(2112221/31/2023自动控制原理760)1(1ssKKp41212,1等效开环极点注：若分母多项式为高次时，无法解析求解等效开环极点，则运用根轨迹法求解。如本例，求解分母特征根的根轨迹方程为：aT在本例中，在本例中，K可自行选定，选定不同可自行选定，选定不同K值，然后将值，然后将W1(s)的零、极的零、极点画在点画在 s 平面上，在令平面上，在令绘制出绘制出 变化时的参数根轨迹。变化时的参数根轨迹。aaTT0KssssTsHsGa)1()1()()(211等效开环传递函数1/31/2023自动控制原理770j
49、25.0K1210jK25.0KssssTsHsGa)1()1()()(211Kp41212,11/31/2023自动控制原理78在一些复杂系统中，包含了正反馈内回路，有时为了分析内回路的特性，则有必要绘制相应的根轨迹，其相角条件为在一些非最小相位系统中相角条件为 具有这类相角条件的相轨迹称为：零度根轨迹20 o20 o)(sC)(sR)(sG)(sH)(1sG)(1sH零度根轨迹以具有正反馈内回路的的系统为例。具有正反馈内回路系统如图所示，外回路是采用负反馈加以稳定，为了分析整个系统的性能，通常首先要确定内回路的零、极点，这就相当于绘制具有正反馈系统的根轨迹。1/31/2023自动控制原理7
50、9l零度根轨迹的绘制)()(1)()(sHsWsWs)(sR)(sC+)(sH)(sW特征方程：0)()(1)(sHsGsF)()()()()(11sDsNKpszsKsGgjnjimigK令根轨迹方程：gjnjimiKpszssDsN1)()()()(111)(sWK辐值条件：1,0,20211njjmiipszs辐角条件：由相角条件（条件）绘制出的根轨迹，称 根轨迹。变化参数为根轨迹增益 。200gKgjnjimiKpszs1)()(111/31/2023自动控制原理80与常规根轨迹的相角条件和模值条件相比：模值条件没有变化。零度根轨迹的绘制规则只要考虑相角条件所引起的某些规则的修改gjn
