1、第五章第五章垂线段垂线段人教版数学七年级下册 如图所示如图所示,村庄村庄A A要从河流要从河流l l引水入庄引水入庄,需修筑一水渠需修筑一水渠,如何修水渠最短呢？如何修水渠最短呢？导入新知导入新知1.1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动，进一步发展空间观念，用几何语言准等活动，进一步发展空间观念，用几何语言准确表达能力。确表达能力。2.2.了解垂线段的概念了解垂线段的概念，了解垂线段最短的性了解垂线段最短的性质质，体会点到直线的距离的意义体会点到直线的距离的意义，并会度量点并会度量点到直线的距离到直线的距离.学习目标学习目标1知识点知识点垂线段的定
2、义垂线段的定义 如图所示，点如图所示，点P是直线是直线l外的一点，外的一点，PO与直线与直线l垂垂直，点直，点O为垂足，我们把线段为垂足，我们把线段PO叫做点叫做点P到直线到直线l的的垂线段垂线段.合作探究合作探究 过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点与垂足之间的线段，叫做这点到已知直线的垂线与垂足之间的线段，叫做这点到已知直线的垂线段段.新知小结新知小结如图所示，如图所示，BAC=90，ADBC，垂足为，垂足为D，则下面，则下面的结论中，正确的个数为的结论中，正确的个数为()AB与与AC互相垂直；互相垂直；AD与与AC互相垂直；点互相垂直；点C到到AB
3、的垂线段是线段的垂线段是线段AB；点；点A到到BC的距离是线段的距离是线段AB；线段线段AB的长度是点的长度是点B到到AC的距离；线段的距离；线段AB是点是点B到到BC的距离的距离A2 B3 C4 D5例例1A合作探究合作探究根据垂直定义，可知正确，错误；点根据垂直定义，可知正确，错误；点C到到AB的垂线段应是线段的垂线段应是线段AC，故错误；点到直线的距，故错误；点到直线的距离是线段的长度而不是线段，故错误；符离是线段的长度而不是线段，故错误；符合定义，正确合定义，正确 分析：分析：解答概念、性质辨析题，首先要熟记概念和性解答概念、性质辨析题，首先要熟记概念和性质，然后根据垂线的定义与性质、
4、垂线段与点到直线质，然后根据垂线的定义与性质、垂线段与点到直线距离的概念作出正确的判断即可所以记忆与理解相距离的概念作出正确的判断即可所以记忆与理解相结合是学好数学的前提结合是学好数学的前提.新知小结新知小结下列说法正确的是下列说法正确的是()A垂线段就是垂直于已知直线的线段垂线段就是垂直于已知直线的线段B垂线段就是垂直于已知直线并且与已知直垂线段就是垂直于已知直线并且与已知直 线相交的线段线相交的线段C垂线段是一条竖起来的线段垂线段是一条竖起来的线段D过直线外一点向该直线作垂线，这一点到过直线外一点向该直线作垂线，这一点到 垂足之间的线段叫垂线段垂足之间的线段叫垂线段1D巩固新知巩固新知2知
5、识点知识点垂线段的性质垂线段的性质思考思考 如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，处，如何挖渠能使渠道最短？如何挖渠能使渠道最短？合作探究合作探究 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短垂线段最短.垂线段最短垂线段最短PABCmD简单说成：简单说成：垂线段最短垂线段最短 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短垂线段最短.简单说成：简单说成：垂线段最短垂线段最短.新知小结新知小结如图所示，如图所示，AB是一条河流，要铺设管道将河水引是一条河流，要铺设管道
6、将河水引到到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案：两个用水点，现有两种铺设管道的方案：方案一：分别过点方案一：分别过点C，D作作AB的垂线，垂足分别为点的垂线，垂足分别为点E，F，沿，沿CE，DF铺设管道；铺设管道；方案二：连接方案二：连接CD交交AB于点于点P，沿沿PC，PD铺设管道铺设管道这两种铺设管道的方案哪一种这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？更节省材料？为什么？(忽略河流的宽度忽略河流的宽度)例例2合作探究合作探究要尽可能节省材料，也就是让管道的总长度最要尽可能节省材料，也就是让管道的总长度最短方案一中短方案一中CE，DF是垂线段，而方案二中是垂线段，而方案二中PC，
7、PD不是垂线段，所以不是垂线段，所以CEPC，DFPD，所以，所以CEDFPCPD，所以方案一更节省材料，所以方案一更节省材料解：解：导引：导引：按方案一铺设管道更节省材料，理由如下：按方案一铺设管道更节省材料，理由如下：因为因为CEAB，DFAB，CD不垂直于不垂直于AB，根据根据“垂线段最短垂线段最短”可知，可知，CEPC，DFDP，所以所以CEDFPCDP.所以沿所以沿CE，DF铺设管道更节省材料铺设管道更节省材料 本题主要利用本题主要利用“垂线段最短垂线段最短”来解决实际问题，来解决实际问题，解这类求最短距离问题时，要注意解这类求最短距离问题时，要注意“垂线段最短垂线段最短”与与“两点
8、之间，线段最短两点之间，线段最短”的区别，辨明这两条性质的应的区别，辨明这两条性质的应用条件：点到直线的距离，两点间的距离；正确运用用条件：点到直线的距离，两点间的距离；正确运用解题方法解题方法新知小结新知小结 例例3 如图，平原上有如图，平原上有A，B，C，D四个村庄，为解四个村庄，为解 决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水决当地缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水 池池 (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位的位 置，使它到四个村庄距离之和最小；置，使它到四个村庄距离之和最小；(2)计划把河水引入蓄水池计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？中，
9、怎样开渠最短？并说明根据并说明根据合作探究合作探究解：解：(1)如图，连接如图，连接AD，BC，交于点，交于点H，则，则H点为蓄水池点为蓄水池 的位置，它到四个村庄距离之和最小的位置，它到四个村庄距离之和最小 (2)如图，过点如图，过点H作作HGEF，垂足为，垂足为G，则沿，则沿HG开开 渠最短根据：连接直线外一点与直线上各点的渠最短根据：连接直线外一点与直线上各点的 所有线段中，垂线段最短所有线段中，垂线段最短 本题考查了垂线段的性质在实际生活中的运用本题考查了垂线段的性质在实际生活中的运用 体现了体现了建模思想建模思想的运用的运用新知小结新知小结如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，如图
10、，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在一点来建火车站，应建在()AA点点 BB点点 CC点点 DD点点1A巩固新知巩固新知如图，如图，ADBD，BCCD，AB6 cm，BC4 cm，则则BD的长度的取值范围是的长度的取值范围是()A大于大于4 cm B小于小于6 cm C大于大于4 cm或小于或小于 6 cm D大于大于 4 cm且小于且小于 6 cmD 3 如图，三角形如图，三角形ABC中，中，C90，AC3，点，点P 可以在直线可以在直线BC上自由移动，则上自由移动，则AP的长不可能是的长不
11、可能是 ()A B3 C4 D5A3知识点知识点点到直线的距离点到直线的距离 从直线外一点到这条从直线外一点到这条直线所画垂直线段的长度直线所画垂直线段的长度叫做这叫做这点到直线的距离点到直线的距离.合作探究合作探究 例例4 如图，在三角形如图，在三角形ABC中，中，ACB90，CD AB，垂足为，垂足为D.若若AC4 cm，BC3 cm，AB 5 cm，则点，则点A到直线到直线BC的距离为的距离为_cm，点，点 B到直线到直线AC的距离为的距离为_cm，点，点C到直线到直线AB 的距离为的距离为_cm.43导引：导引：根据点到直线的距离的定义可知，点根据点到直线的距离的定义可知，点A到直线到
12、直线BC 的距离是线段的距离是线段AC的长，点的长，点B到直线到直线AC的距离是线的距离是线 段段BC的长，点的长，点C到直线到直线AB的距离是线段的距离是线段CD的长的长 因为三角形因为三角形ABC的面积的面积S 所以所以ACBCABCD，进而可得，进而可得CD2.4 cm.1122AC BCAB CD，正确理解点到直线的距离及两点间的距离是解决正确理解点到直线的距离及两点间的距离是解决此类问题的关键解决此类问题应注意：此类问题的关键解决此类问题应注意：(1)点到直线点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，而不是垂线，也的距离是点到直线的垂线段的长度，而不是垂线，也不是垂线段；不是垂线段；(
13、2)距离表示线段的长度，是一个数量，距离表示线段的长度，是一个数量，与线段不能等同；与线段不能等同；(3)用垂线段的长度表示点到直线的用垂线段的长度表示点到直线的距离，其实质是点与垂足两点间的距离，体现了距离，其实质是点与垂足两点间的距离，体现了数形数形结合思想结合思想新知小结新知小结1如图，三角形如图，三角形ABC中，中，C=90.(1)分别指出点分别指出点A到直线到直线BC，点，点B到直线到直线AC的距离的距离 是哪些线段的长；是哪些线段的长；(3)三条边三条边AB，AC，BC中哪条边最长？为什么？中哪条边最长？为什么？A巩固新知巩固新知(1)点点A到直线到直线BC的距离是线段的距离是线段
14、AC的长点的长点B到直到直 线线AC的距离是线段的距离是线段BC的长的长(2)AB边最长因为连接点边最长因为连接点B与与AC上各点的所有线上各点的所有线 段中，垂线段最短，已知段中，垂线段最短，已知BCAC，所以，所以 BCAB.连接点连接点A与与BC上各点的所有线段中，上各点的所有线段中，垂线段最短，已知垂线段最短，已知ACBC，所以，所以ACAB.综上所述，三条边综上所述，三条边AB，AC，BC中，中，AB边最长边最长解：解：下列说法中，正确的有下列说法中，正确的有()过两点有且只有一条直线；过两点有且只有一条直线；连接两点的线段叫做两点的距离；连接两点的线段叫做两点的距离；两点之间，垂线
15、最短；两点之间，垂线最短；若若ABBC，则点，则点B是线段是线段AC的中点的中点A1个个 B2个个 C3个个 D4个个2A【中考中考北京北京】如图所示，点如图所示，点P到直线到直线l的距离是的距离是()A线段线段PA的长度的长度 B线段线段PB的长度的长度C线段线段PC的长度的长度 D线段线段PD的长度的长度3B【中考中考淄博淄博】如图，如图，ABAC，ADBC，垂，垂足分别为足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离，则图中能表示点到直线距离的线段共有的线段共有()A2条条 B3条条 C4条条 D5条条4D【中考中考常州常州】已知三角形已知三角形ABC中，中，BC6，AC3，CPAB，垂足为，
16、垂足为P，则，则CP的长可能是的长可能是()A2 B4 C5 D75A 垂线段垂线段是一条与已知直线垂直的线段是一条与已知直线垂直的线段.垂线段所垂线段所 在的直线是已知直线的垂线；垂线段所在的直线在的直线是已知直线的垂线；垂线段所在的直线 与已知直线垂直与已知直线垂直点到直线的距离：点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线直线外一点到这条直线的垂线 段的长度，叫做点到直线的距离段的长度，叫做点到直线的距离1知识小结知识小结归纳新知归纳新知点点P为直线为直线m外一点，点外一点，点A，B，C为直线为直线m上三点，上三点，PA4 cm，PB5 cm，PC2 cm，则点，则点P到直线到直线m的距离
17、的距离()A等于等于4 cm B等于等于2 cmC小于小于2 cm D不大于不大于2 cm2易错小结易错小结D易错点：易错点：对垂线段的性质理解不透彻而致错对垂线段的性质理解不透彻而致错.错解：错解：B诊断：诊断：点到直线的距离是指这个点到直线的垂线段的长点到直线的距离是指这个点到直线的垂线段的长度虽然垂线段最短，但是并没有说明度虽然垂线段最短，但是并没有说明PC是垂线是垂线段，所以垂线段的长度可能小于段，所以垂线段的长度可能小于2 cm，也可能等于，也可能等于2 cm.位置位置垂线段所在的直线是已知直线的垂线，垂线段垂线段所在的直线是已知直线的垂线，垂线段所在的直线与已知直线垂直所在的直线与
18、已知直线垂直课后练习课后练习C垂线段垂线段垂线段最短垂线段最短垂线段最短垂线段最短AB垂线段垂线段CC若ABBC，则点B是线段AC的中点如图所示，BAC=90，ADBC，垂足为D，则下面的结论中，正确的个数为()C垂线段是一条竖起来的线段过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点(1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H的位所以ACBCABCD，进而可得CD2.垂足之间的线段叫垂线段要尽可能节省材料，也就是让管道的总长度最用条件：点到直线的距离，两点间的距离；点A到BC的距离是线段AB；5 cm，则点A到直线BC的距离为_cm，点如图，在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，简单说成：垂线段最短5 c
19、m，则点A到直线BC的距离为_cm，点垂线段最短，已知ACBC，所以ACAB.(1)分别指出点A到直线BC，点B到直线AC的距离的距离是点到直线的垂线段的长度，而不是垂线，也的距离是点到直线的垂线段的长度，而不是垂线，也连接两点的线段叫做两点的距离；结合是学好数学的前提.(1)点A到直线BC的距离是线段AC的长点B到直(2)AB边最长因为连接点B与AC上各点的所有线【中考淄博】如图，ABAC，ADBC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有()点C到AB的垂线段是线段AB；CEDFPCPD，所以方案一更节省材料的位置，它到四个村庄距离之和最小过直线外一点画已知直线的垂线，连接这点
20、【中考北京】如图所示，点P到直线l的距离是()按方案一铺设管道更节省材料，理由如下：(3)三条边AB，AC，BC中哪条边最长？为什么？若ABBC，则点B是线段AC的中点体现了建模思想的运用用条件：点到直线的距离，两点间的距离；AB与AC互相垂直；连接两点的线段叫做两点的距离；直，点O为垂足，我们把线段PO叫做点P到直线l的()线段AB的长度是点B到AC的距离；线段AB的长度是点B到AC的距离；经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动，进一步发展空间观念，用几何语言准确表达能力。从直线外一点到这条直线所画垂直线段的长度叫做这点到直线的距离.下列说法正确的是()因为CEAB，DFAB，CD不垂直
21、于AB，所有线段中，垂线段最短(1)点A到直线BC的距离是线段AC的长点B到直CEDFPCPD，所以方案一更节省材料点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线CEDFPCPD，所以方案一更节省材料如何挖渠能使渠道最短？(2)计划把河水引入蓄水池H中，怎样开渠最短？【中考淄博】如图，ABAC，ADBC，垂足分别为A，D，则图中能表示点到直线距离的线段共有()如图，三角形ABC中，C=90.用条件：点到直线的距离，两点间的距离；垂足之间的线段叫垂线段按方案一铺设管道更节省材料，理由如下：AB与AC互相垂直；简单说成：垂线段最短.解：(1)如图，连接AD，BC，交于点H，则H点为蓄水池如图所示，AB
22、是一条河流，要铺设管道将河水引如图所示，BAC=90，ADBC，垂足为D，则下面的结论中，正确的个数为()所以ACBCABCD，进而可得CD2.本题主要利用“垂线段最短”来解决实际问题，(1)点A到直线BC的距离是线段AC的长点B到直A2 B3与垂足之间的线段，叫做这点到已知直线的垂线垂线段最短，已知ACBC，所以ACAB.线段AB的长度是点B到AC的距离；垂线段最短，已知ACBC，所以ACAB.如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在()AB，垂足为D.解答概念、性质辨析题，首先要熟记概念和性易错点：对垂线段的性质理解不透彻而致错.线段AB的长度是点B到AC的距离；方案二：连接CD交AB于点P，的位置，它到四个村庄距离之和最小因为CEAB，DFAB，CD不垂直于AB，(3)用垂线段的长度表示点到直线的(1)点A到直线BC的距离是线段AC的长点B到直A2 B4置，使它到四个村庄距离之和最小；再见再见
