1、1函数的极值与最值第五节一、函数极值及求法二、最值的求法三、应用举例四、小结及作业2一、函数极值及求法oxyab)(xfy 1x2x4x5x6xoxyoxy0 x0 x3.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点内的一个点内的一个点是是内有定义内有定
2、义在区间在区间设函数设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.4说明：说明：值值；念念，不不是是整整个个函函数数的的最最、极极值值是是一一局局部部性性的的概概11x2x3x4x；、函数极值不一定唯一、函数极值不一定唯一2小值；小值；、极大值不一定大于极、极大值不一定大于极31 2 的点为驻点；的点为驻点；、称使、称使0)(4 xf轴轴。值值点点处处的的切切线线平平行行于于由由图图可可知知：可可导导函函数数极极x5定理定理1 1(必要条件必要条件
3、)设设)(xf在在点点0 x处处具具有有导导数数,且且在在0 x处处取取得得极极值值,那那末末必必定定0)(0 xf.证明：证明：的某个邻域内有的某个邻域内有为极大值点，则在为极大值点，则在设设00 xx)()(0 xfxf0)()(,000 xxxfxfxx时时当当0)()(lim)(00000 xxxfxfxfxx0)()(,000 xxxfxfxx时时当当0)()(lim)(00000 xxxfxfxfxx0)(0 xf6定理表明：定理表明：,)(点点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf例如例如,3xy ,00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x反之不一定。反之
4、不一定。点点。是是驻驻点点或或导导数数不不存存在在的的、函函数数的的极极值值点点只只可可能能57(1)(1)如果如果),(00 xxx 有有;0)(xf而而),(00 xxx,有有0)(xf，则，则)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值.(2)(2)如果如果),(00 xxx 有有;0)(xf而而),(00 xxx 有有0)(xf，则，则)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值.(3)(3)如果当如果当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时,)(xf 符号相同符号相同,则则)(xf在在0 x处无极值处无极值.定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件)xyoxyo0 x0 x (是
5、极值点情形是极值点情形)问题：问题：怎样求函数的极值？怎样求函数的极值？8xyoxyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤:;)2(存在的点存在的点求函数的驻点及导数不求函数的驻点及导数不;)3(由定理判断极值点由定理判断极值点.)4(求求极极值值(不是极值点情形不是极值点情形)、确定函数的定义域；、确定函数的定义域；19例例1 1解解.593)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)(xf.3,121 xx得驻点得驻点列表讨论列表讨论x)1,(),3()3,1(1 3)(xf )(xf 00极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1(f极
6、大值极大值,10)3)(1(3 xx10593)(23 xxxxfMm图形如下图形如下11例例2.2.求函数求函数32)1()(xxxf的极值.解解:1)求导数32)(xxf3132)1(xx35235xx 2)求极值可疑点令,0)(xf得1x52导数不存在的点02x3)列表判别x)(xf)(xf0520033.00 x是极大点，其极大值为;0)0(f是极小点，其极小值为x52)(f5233.0),(0),(520),(5212定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件)证证)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000,0 异号，异号，与与故故xxfxxf )()(00时，时，当当0 x
7、)()(00 xfxxf 有有,0 时，时，当当0 x)()(00 xfxxf 有有,0 所以所以,函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值13例例3 3解解.20243)(23的极值的极值求出函数求出函数 xxxxf2463)(2 xxxf，令令0)(xf.2,421 xx得驻点得驻点)2)(4(3 xx,66)(xxf )4(f,018 )4(f故极大值故极大值,60 )2(f,018 )2(f故极小值故极小值.48 20243)(23 xxxxf图形如下图形如下14Mm注意注意:.2,)(,0)(00仍用定理仍用定理处不一定取极值处不一定取极值在点在点时时xxfxf 154例例
8、xexfxxfxxxf 131)()1(2)()1(),()(满足满足对一切对一切设设证明：证明：具有一、二阶导数，具有一、二阶导数，因为因为)(xf,0)()(afaxxf点取得极值必有点取得极值必有在在所以若所以若)1(11)(1 aaeafa,01,0111aeaa时，时，当当,0)(af,01,0111aeaa时，时，当当,0)(af为极小值。为极小值。即即)(af极小值。极小值。点取得极值，证明它是点取得极值，证明它是在在如果如果)1()(aaxxf165例例的某个邻域内连续，且的某个邻域内连续，且在在设设0 xxf)()(2)()()(lim000为正整数为正整数nxxxfxfnx
9、x点的极值问题。点的极值问题。在在试研究试研究0)(xxxf解：解：02)()()(lim000nxxxxxfxf的某邻域使的某邻域使存在存在0 x0)()()(00nxxxfxf为奇数时，为奇数时，）若）若（n10)()(0 xfxf从而从而,0)(00nxxxx当当0)()(0 xfxf从而从而不取得极值。不取得极值。在在由定义，由定义，0)(xxf,0)(00nxxxx当当17为偶数时，为偶数时，）若）若（n2,0)(00nxxxx当当,0)(00nxxxx当当0)()(0 xfxf从而从而取得极小值。取得极小值。在在由定义，由定义，0)(xxf186例例设 在点 的某邻域内有五阶连续导
10、数，且：)(xf0 x?)()(,?()(,0)(,0)()()()(0000)5(0)4(000的拐点的拐点是否是曲线是否是曲线的极值点的极值点是否是是否是试问试问xfyxfxxfxxfxfxfxfxf 解：,)(,0)(,0)(00)4(0)5(的的一一个个极极小小值值点点是是故故xfxxfxf 所以不论 ，还是 均有 0 xx 0 xx,)()(00 xfxf单调增加，单调增加，于是于是)(xf 时时，当当0 xx,0)()(0 xfxf有有时时，当当0 xx,0)()(0 xfxf有有的的一一个个拐拐点点。是是所所以以)()(,(00 xfyxfx19时时，因因为为当当0 xx,0)(
11、)(0 xfxf有有时时，当当0 xx,0)()(0 xfxf有有的极小值，的极小值，是是所以所以)()(xfxf00)()(0 xfxf即即单单增增，所所以以)(xf的的极极小小值值点点。不不是是)(0 xfx20二、最值的求法oxyoxybaoxyabab.,)(,)(在在上的最大值与最小值存上的最大值与最小值存在在上连续，则上连续，则在在若函数若函数baxfbaxf是极值点。是极值点。区域内部的最值点一定区域内部的最值点一定21步骤步骤:1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那
12、个大那个就是最大值,那个小那个就那个小那个就是最小值是最小值;注意注意:如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)1x2x问题：问题：开区间怎样求最值？开区间怎样求最值？22三、应用举例例例1 1解解)1)(2(6)(xxxf.4,314123223上的最大值与最小值上的最大值与最小值的在的在求函数求函数 xxxy得得解方程解方程,0)(xf.1,221 xx计算计算 )3(f;23 )2(f;34)1(f;7;142)4(f23，最大值最大值142)4(f比较得比较得.7)1(f最小值最小值14123223 xxxy2
13、4点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例2 2敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1千米千米/分钟分钟的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸南岸B处向正东追击，处向正东追击，速度为速度为2千米千米/分钟分钟问我军摩托车何问我军摩托车何时射击最好（相时射击最好（相距最近射击最好）？距最近射击最好）？25解解公里公里5.0(1)建立敌我相距函数关系建立敌我相距函数关系).(分分追击至射击的时间追击至射击的时间处发起处发起为我军从为我军从设设Bt敌我相距函数敌我相距函数22)24()5.0()(ttts 公公里里4B A)(ts)(t
14、s.)()2(的最小值点的最小值点求求tss )(ts.)24()5.0(5.7522ttt ,0)(ts令令得唯一驻点得唯一驻点.5.1 t.5.1分钟射击最好分钟射击最好处发起追击后处发起追击后故得我军从故得我军从B可验证为极小值点可验证为极小值点26实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意:(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;值值或最小或最小函数值即为所求的最函数值即为所求的最区间内达到，则该点的区间内达到，则该点的点，而最值点在点，而最值点在若目标函数只有唯一驻若目标函数只有唯一驻)(27例例3 3某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为套公寓要出租，当
15、租金定为每月每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月元时，公寓会全部租出去当租金每月增加增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费去的房子每月需花费20元的整修维护费试问元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？房租定为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，x租出去的房子有租出去的房子有 套，套，1018050 x每月总收入为每月总收入为)(xR)20(x 1018050 x28 1068)20()(xxxR 101)20(1068)(xxxR570 x 0)(xR350 x（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为
16、故每月每套租金为350元时收入最高。元时收入最高。最大收入为最大收入为 1035068)20350()(xR)(10890 元元 29点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例4 4形面积最大形面积最大所围成的三角所围成的三角及及线线处的切线与直处的切线与直使曲线在该点使曲线在该点上求一点，上求一点，曲边曲边成一个曲边三角形，在成一个曲边三角形，在围围及抛物线及抛物线，由直线由直线808022 xyxyxyxy30解解如图如图,),(00yxP设设所所求求切切点点为为为为则切线则切线PT),(2000 xxxyy ,200 xy ),0,21(0 xA)16,8(200 xxB),0,8
17、(CTxyoPABC)16)(218(212000 xxxSABC )80(0 x31,0)1616643(41020 xxS令令解得解得).(16,31600舍去舍去 xx8)316(s.0.2174096)316(为极大值为极大值 s.274096)316(最大者最大者为所有三角形中面积的为所有三角形中面积的故故 s32证明证明，设设例例,1105px1)1(211pppxx证明：证明：ppxxxF)1()(令令)1()1()(1111ppppxxpxppxxF22)1)(1()1()(ppxppxppxF得，得，由由0)(xF21x0)21()21)(1()21(22 ppppF,21)
18、(点点取取得得极极小小值值在在故故xxF-1p21)21F(1F(0)(1)F 所以F(x)在0，1 上最大值为 1。，最最小小值值为为121p1)1(211pppxx336例例中求出最大的数。中求出最大的数。在在,3,2,13nn解：解：)0(1xxyx设设)(ln1xxey)ln1(112xxxx单增，单增，时，时，而当而当yyex,0,21这时有这时有单减，单减，时，时，而当而当yyex,0,4343nn这时有这时有,323而而最大。最大。33exy得驻点得驻点令令034四、小结极值是函数的局部性概念极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小极大值可能小于极小值值,极小值可能大于极大值极
19、小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点.函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)35注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.注意最值与极值的区别注意最值与极值的区别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.3616053P习题15,13,10,8,7,5),2(4,3),9,7,5,3,1(137思考题思考题 若若)(af是是)(xf在在,ba上上的的最最大大值值或或最最小小值值，且且)(af
20、存存在在，是是否否一一定定有有0)(af？38思考题解答思考题解答结论不成立结论不成立.因为最值点不一定是内点因为最值点不一定是内点.例例xxfy )(1,0 x在在 有最小值，但有最小值，但0 x01)0(f39一、一、填空题：填空题：1 1、最值可、最值可_处取得处取得.2 2、函数、函数2332xxy (41 x)的最大值为的最大值为_ _ _；最小值为；最小值为_._.3 3、函数函数2100 xy 在在0,80,8上的最大值为上的最大值为_ _ _；最小值为；最小值为_._.4 4、设有重量为设有重量为 5kg5kg 的物体，置于水平面上，受力的物体，置于水平面上，受力f的作用而开始
21、移动，摩擦系数的作用而开始移动，摩擦系数=0.25=0.25，问力，问力f与与水平线的交角水平线的交角 为为_时，才可使力时，才可使力f的大小为的大小为最小，则此问题的目标函数为最小，则此问题的目标函数为_，讨论区间为讨论区间为_._.练练 习习 题题405 5、从一块半径为从一块半径为R的圆缺片上挖去一个扇形做成一个的圆缺片上挖去一个扇形做成一个漏斗，问留下的扇形的中心角为漏斗，问留下的扇形的中心角为_时，做时，做成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为成的漏斗的容积为最大？此问题的目标函数为_考察区间为考察区间为_._.二、二、求函数求函数xxy542 (0 x)的最值的最值.三、三、求数
22、列求数列 nn210的最大项的最大项.四、四、要造一圆柱形油灌，体积为要造一圆柱形油灌，体积为V，问底半径，问底半径r和高和高h等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？高的比是多少？41五、由五、由2xy ,0 y,ax (0 a)围成一曲边三角形围成一曲边三角形OAB，在曲线弧，在曲线弧OB上求一点，使得过此点所作曲上求一点，使得过此点所作曲线线2xy 的切线与的切线与OA，OB围成的三角形面积最大围成的三角形面积最大.42一、一、1 1、区间端点及极值点；、区间端点及极值点；2 2、最大值、最大值80)4(y,最小值最小值5)1(y
23、；3 3、10,610,6；4 4、)2,0,sincos,arctan pf；5 5、38,)2,0(,42464223 RV.二、二、3 x时函数有最小值时函数有最小值 27.27.三、三、14.14.四、四、.1:1:;22,233 hdvhvr五、五、)94,32(2aa.练习题答案练习题答案43思考题思考题下命题正确吗？下命题正确吗？如如果果0 x为为)(xf的的极极小小值值点点，那那么么必必存存在在0 x的的某某邻邻域域，在在此此邻邻域域内内，)(xf在在0 x的的左左侧侧下下降降，而而在在0 x的的右右侧侧上上升升.44思考题解答思考题解答不正确不正确例例 0,20),1sin2
24、(2)(2xxxxxf当当0 x时，时，)0()(fxf)1sin2(2xx 0 于是于是0 x为为)(xf的极小值点的极小值点45当当0 x时，时，当当0 x时时，,0)1sin2(2 xxx1cos在在1和和1之间振荡之间振荡因因而而)(xf在在0 x的的两两侧侧都都不不单单调调.故命题不成立故命题不成立xxxxf1cos)1sin2(2)(46一、一、填空题：填空题：1 1、极值反映的是函数的极值反映的是函数的 _性质性质.2 2、若函数若函数)(xfy 在在0 xx 可导，则它在点可导，则它在点0 x处到处到 得极值的必要条件中为得极值的必要条件中为_._.3 3、函 数函 数32)1
25、(2 xy的 极 值 点 为的 极 值 点 为 _；31)1(23 xy的极值为的极值为_._.4 4、已知函数已知函数 0,10,)(3xxxxxfx当当_ x时，时，为极为极_ y小值；当小值；当时时_ x，为极为极_ y大值大值.练练 习习 题题47二、求下列函数的极值：二、求下列函数的极值：1 1、xeyxcos；2 2、xxy1；3 3、方程方程02 yeyx所确定的函数所确定的函数)(xfy ；4 4、0,00,21xxeyx.三、三、证明题：证明题：1 1、如果如果dcxbxaxy 23满足条满足条032 acb，则函数无极值则函数无极值.2 2、设设)(xf是是有有连连续续的的二二阶阶导导数数的的偶偶函函数数0)(xf，则则0 x为为)(xf的的极极值值点点.48一、一、1 1、局部；、局部；2 2、0)(0 xf；3 3、(1,2),(1,2),无；无；4 4、1,0,)1(,13eee;二、二、1 1、极大值、极大值 keky2422)24(,极小值极小值 ),2,1,0(22)12(4()12(4 kekyk；2 2、极大值、极大值eeey1)(；3 3、极小值、极小值1)0(y；4 4、极小值、极小值0)0(y.练习题答案练习题答案
