1、 - 1 - 辽宁省葫芦岛协作校 2020 届高三 4 月质量检测（一模） 数学(文科) 本试卷共 23 题，共 6 页。全卷满分 150 分，考试用时 120 分钟，考试结束后，将本试卷 和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答题前，考生将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。 2.选择题必须使用 2B 铅笔填涂：非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工 整、字迹清楚。 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试 题卷上答题无效。 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑。 5.保持卡面清
2、洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 第 I 卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 Ax|yx，集合 Bx|3x3，则 AB A.3，3 B.3，) C.0，3 D.0，) 2.若复数 z 满足 z(i1)2i(i 为虚数单位)，则 z 为 A.1i B.1i C.1i D.1i 3.已知平面向量a(2，3)，b(x，4)，若a(ab)，则 x A. 1 2 B.1 C.2 D.3 4.从只读过飘的 2 名同学和只读过红楼梦 的 3 名同学中任选 2 人在班内进行读后分
3、享， 则选中的 2 人都读过红楼梦的概率为 A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 5.若抛物线 y24x 上的点 M 到焦点的距离为 10，则 M 点到轴的距离是 A.6 B.8 C.9 D.10 6.甲、乙，丙三人参加某公司的面试，最终只有一人能够被该公司录用，得到面试结果以后， 甲说：丙被录用了：乙说：甲被录用了：丙说：我没被录用，若这三人中仅有一人说法错误， - 2 - 则下列结论正确的是 A.甲被录用了 B.乙被录用了 C.丙被录用了 D.无法确定谁被录用了 7.已知 alog2020 1 ，b( 1 )2020， 1 2020c ，则 A.cab B.abc C.bac D
4、.ac4b，则双曲线 C 的离心率的取值范围为 A.( 13 3 ，5) B.(1， 13 3 )(5，) C.(5，13) D.(1，5)(13，) - 3 - 第 II 卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上。 13.某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该 校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查。已知该校一年级、二年级、三 年级、四年级的本科生人数之比为 4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取 名学生。 14.已知曲线 f(x)(ax1)ex在点(0，1)处的切线方程为 yx1，则
5、实数 a 的值为 。 15.莱茵德纸草书是世界上最古老的数学著作之一。书中有一道这样的题目：把 100 个面 包分给 5 个人，使每人所得份量成等差数列，且较大的三份之和的 1 7 是较小的两份之和，则 最小一份的量为 。 16.己知三棱锥 DABC 四个顶点均在半径为 R 的球面上，且 ABBC2，AC2，若该 三棱锥体积的最大值为 4 3 ，则这个球的表面积为 。 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本题满分 12 分) 已知在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，C，且 sinsin sinsin CAb BAac 。 (I)求角 C 的大小； (
6、II)若 c3，求 ab 的取值范围。 18.(本题满分 12 分) 某学校为了了解高一年级学生学习数学的状态，从期中考试成绩中随机抽取 50 名学生的 数学成绩，按成绩分组：第 1 组75，80)，第 2 组80，85)，第 3 组85，90)，第 4 组90，95)， 第 5 组95，100，得到的频率分布直方图如图所示， (I)由频率分布直方图，估计这 50 名学生数学成绩的中位数和平均数(保留到 0.01)； (II)该校高一年级共有 1000 名学生，若本次考试成绩 90 分以上(含 90 分)为“优秀”等次，则 - 4 - 根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成绩达到“优秀”等次
7、的人数。 19.(本题满分 12 分) 如图，在三棱柱 ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1， E、F 分别是 A1C1、BC 的中点。 (I)求证：平面 ABE平面 B1BCC1； (II)求证：C1F/平面 ABE； (III)求三棱锥 EABC 的体积。 20.(本题满分 12 分) 已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的焦距为 2，过点(1， 2 2 )。 (I)求椭圆 C 的标准方程； (II)设椭圆的右焦点为 F，定点 P(2，0)，过点 F 且斜率不为零的直线 l 与椭圆交于 A，B 两点， 以线段 AP 为直径的圆与直线 x2
8、 的另一个交点为 Q，试探究在 x 轴上是否存在一定点 M， 使直线 BQ 恒过该定点，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由。 21.(本题满分 12 分) 已知函数 f(x)2lnxa(x24x3)。 (I)若 a 4 3 ，求 f(x)的单调区间； (II)证明： (i)lnxx1； (ii)对任意 a(，0)，f(x)0)。 (I)当 m1 时，求不等式 f(x)1 的解集； (II)若xR，tR，使得 f(x)|t1|t1|，求实数 m 的取值范围。 - 6 - 2020 年高三质量检测年高三质量检测 数学（文科）试题参考答案答案及评分标准 一、一、选择题：本大题共选择题：本
9、大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分分. 1.1.12. 12. CBADC ADABC CBCBADC ADABC CB 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分分 1360 142 15. 16.16. 289 16 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本题满分（本题满分 12 分）分） 解: （）由 ca b AB AC sinsin sinsin 则 ca b ab ac 2 分 abcba 222 3 分 所以 2 1 22 cos 222 ab ab ab cba
10、 C 5 分 而), 0(C 故 3 C 6 分 （）由abcba 222 且3c ababba92)( 2 7 分 22 ) 2 (339)( ba abba 8 分 2 ()36ab 所以6ab9 分 当 且 仅 当=a b时 等 号 成 立 ， 此 时 A=B 则sinsinAB， 不 符 合 题 意 - 7 - 6ab10 分 又3cba 11 分 所以ba的取值范围是(3,6)12 分 18.（本题满分（本题满分 12 分）分） 解： （）设这 50 名学生数学成绩的中位数和平均数分别为,m n 因为前2组的频率之和为0.40.5， 因为前3组的频率之和为0.70.5， 所以8590
11、m， 2 分 由0.40.06 (85)0.5m，得86.67m 3 分 77.5 5 0.01 82.5 5 0.0787.5 5 0.0692.5 5 0.0497.5 5 0.0287.25n ， 5 分 所以， 这 50 名学生数学成绩的中位数和平均数分别为86.67，87.25 6 分 （）因为样本中 90 分及以上的频率为0.04+0.025=0.3（）， 8 分 所以该校高一年级 1000 名学生中，根据频率分布直方图估计该校高一学生数学成 绩达到 “优秀”等次的人数为0.3 1000=300人 12 分 19（本题满分（本题满分 12 分）分） 解： （）三棱柱 111 ABC
12、ABC 中，侧棱垂直于底面， 1 BBAB 1 分 75 80 0.01 85 100 0 90 95 分数 0.02 0.04 0.03 0.06 0.07 0.05 频率 组距 - 8 - ABBC， 1 BBBCB ， 1, BBBC 平面 11 B BCC， 2分 AB 平面 11 B BCC 3 分 AB 平面ABE，平面ABE 平面 11 B BCC4 分 （）取AB的中点G，连接EG，FG F是BC的中点，FGAC， 1 2 FGAC E是 11 AC的中点， 1 FGEC ， 1 FGEC ，5 分 四边形 1 FGEC是平行四边形， 1 C FEG6 分 1 C F 平面AB
13、E，EG 平面ABE， 1 C F平面ABE8 分 （） 1 2AAAC ，1BC ，ABBC，10 分 3AB ， 1 11 13 (3 1) 2 33 23 E ABCABC VSAA 12 分 20（本题满分（本题满分 12 分）分） 解： （）由题知 1 2 11 1 22 ba c 2 分 解得2 2 a，1 2 b， 3 分 所以椭圆C的方程为1 2 2 2 y x 4 分 （）设),( 11 yxA，),( 22 yxB因为直线l的斜率不为零，令l的方程为：1 myx - 9 - 由 1 2 1 2 2 y x myx 得012)2( 22 myym 5 分 则 2 2 2 21
14、 m m yy， 2 1 2 21 m yy， 6 分 因为以AP为直径的圆与直线2x的另一个交点为Q,所以PQAQ ，则), 2( 1 yQ7 分 则 2 2 12 x yy kBQ，故BQ的方程为：)2( 2 2 12 1 x x yy yy 8 分 令0y，则 22 ) 1( 2 )2( 12 121 12 21 12 21 yy yymy yy myy yy xy x9 分 而 2 2 2 21 m m yy， 2 1 2 21 m yy， 2 21 21 yy ymy 10 分 所以 2 3 2 2 1 2 2 12 1 21 yy y yy x 11 分 故直线BQ恒过定点，且定点
15、为)0 , 2 3 ( 12 分 21.21.（本题满分（本题满分 12 分）分） 解： （）若 4 3 a ， 242(21)(23) ( )(24)(0) 33 xx fxxx xx ，2分 令( )0fx， 得 3 2 x 或 1 0 2 x， 则( )f x的 单 调 递 增 区 间 为 1 (0, ) 2 ， (3,) 2 ，3 分 令( )0fx，得 13 22 x，则( )f x的单调递减区间为 1 3 ( , ) 2 2 4 分 （） （）设( )ln(1)g xxx， 5 分 则 1 ( )(0) x g xx x ， 令() 0g x， 得0 1x； 令() 0g x， 得
16、1x ， - 10 - 6 分 故 max ( )(1)0g xg，从而( )ln(1)0g xxx，即ln1xx7 分 （）若(,0)a ，则3 2 3 23 aa a ，8 分 所 以 ， 当 32 (,) a x a 时 ， 由 （ ） 知 ，l n1xx， 则 2 ()2 (1 )(43 )fxxaxx，9 分 又 2 32 2(1)(43)(1)(23 )(1)() a xa xxxaxaa xx a ， 10 分 所以，当(,0)a ， 32 (,) a x a 时， 32 (1)()0 a a xx a ，11 分 故对任意(,0)a ，( )0f x 对 32 (,) a x
17、a 恒成立12 分 请考生在请考生在 22、23 两题中任选一题作答两题中任选一题作答, ,如果多做，则按所做的第一题记分如果多做，则按所做的第一题记分 22（本题满分（本题满分 10 分）分）【选修 4-4：坐标系与参数方程】 解： （）曲线 1 C的普通方程为 22 (3)(2)4xy， 即 22 2 3430xyxy 2分 又=cos ,sinxy，代入上式 3分 得 1 C的极坐标方程为 2 2 3 cos4 sin30 5 分 （）设 1 (, )P ， 2 (, )Q ， 6 分 将 6 代入 2 2 3 cos4 sin30， 7 分 得 2 530， 8 分 所以 12 3 ，
18、 9 分 所以| | 3OPOQ 10 分 23（本题满分（本题满分 10 分）分）【选修 4-5：不等式选讲】 - 11 - 解： （）当1m时， 1 |1|22| 1 31 x xx x 2分 或 11 31 1 x x 或 1 31 x x ， 3分 解得 2 2 3 x ，所以原不等式的解集为 2 2, 3 5分 （）( ) |1| |1|( ) |1|1|f xttf xtt对任意xR恒成立， 对实数t有解 3 , ( )3, 3 , xmxm f xxmmxm xm xm ， 6分 根据分段函数的单调性可知：xm时，( )f x取得最大值()2fmm，7分 |1|1| |(1)(1)| 2tttt， 8分 2 |1|1| 2tt ，即|1|1|tt的最大值为2， 9分 所以问题转化为22m，解得01m 10分
