1、三重积分习题课三重积分习题课重点：重点：1.计算；计算；2.应用应用 上边界曲面（上边界曲面（上顶上顶）xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ),(yx dvzyxf),(.),(),(),(21 xyDyxzyxzddzzyxf 下边界曲面（下边界曲面（下底下底）xOy 坐标面上的坐标面上的投影区域投影区域一、利用直角坐标系计算三重积分一、利用直角坐标系计算三重积分“先一后二先一后二”（一）先投影，再确定上、下面（一）先投影，再确定上、下面 x0z yc1c2 d21ccz()d dzDf x,y,zx y .zDz（二）（二）坐标轴投影法坐标轴投影法zyxzyxf
2、Iddd ),(zDyxczczyx ),(,|),(21c1,c2:向向 z 轴的投影区间轴的投影区间 Dz:过过 z c1,c2且垂于且垂于z轴轴的平面截的平面截 得到的截面得到的截面 0 xz yM(x,y,z)M(r,z)zrP(x,y,0)cosrx xyz sinry 柱面坐标柱面坐标 M(x,y,z)M(r,z)z=z.二、利用柱面坐标计算三重积分二、利用柱面坐标计算三重积分xz y0 drrrd d z底面积底面积 ：r drd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：半平面半平面 及及+d ;半径为半径为 r 及及 r+dr 的圆柱面的圆柱面；平面平面 z及及 z
3、+dz；dz ),sin,cos(zrrf dV=zrrddd.柱面坐标下的体积元素柱面坐标下的体积元素.zyxzyxfddd),(dVzrrddd 0 xz yM(x,y,z)M(r,)r Pyxz.cos sinrx sin sinry cosrz .球面坐标球面坐标 三、利用球面坐标计算三重积分三、利用球面坐标计算三重积分r drd xz y0 d rd 元素区域由六个坐标面围成：元素区域由六个坐标面围成：rsin d 球面坐标下的体积元素球面坐标下的体积元素.半平面半平面 及及+d ；半径为半径为r及及r+dr的球面；的球面；圆锥面圆锥面 及及+d zyxzyxfddd),(r 2 s
4、in drd d dVdV=dddsin)cos,sinsin,cossin(2rrrrrf (一一)平面区域的面积平面区域的面积设有平面区域设有平面区域D,DD d(二二)体积体积 设曲面方程为设曲面方程为.),(,0),(Dyxyxfz 则则D上的曲顶柱体体积为上的曲顶柱体体积为:DyxfV d),(则其面积为则其面积为:占有占有空间有界域空间有界域 的立体的体积为的立体的体积为:zyxVddd重积分在几何上的应用重积分在几何上的应用),(yxfz (三三)曲面的面积曲面的面积221dxyxyDAff(1)(1)平面薄片的质心平面薄片的质心重积分在物理上的应用重积分在物理上的应用(一一)质
5、质(重重)心心,d),(d),(DDyyxyxxMMx DDxyxyxyMMy d),(d),(2)(2)空间物体的质心空间物体的质心 ,d),(d),(VzyxVzyxxMMxyz ,d),(d),(VzyxVzyxyMMyzx VzyxVzyxzMMzxyd),(d),(DyyxI d),(1)(1)平面薄片的转动惯量平面薄片的转动惯量 DxyxI d),(DoyxI d),(2y2x)(22yx (二二)转动惯量转动惯量 vzyxIxd),()(22zy (2)(2)空间物体的转动惯量空间物体的转动惯量则则转动惯量转动惯量为为 vzyxIyd),()(22zx vzyxIzd),()(2
6、2yx vzyxId),(0)(222zyx 设物体占有空间域设物体占有空间域 ,有连续密度函数有连续密度函数),(zyx 设物体占有空间区域设物体占有空间区域V,体密度为体密度为),(zyx 区域区域 V 之外有一质量为之外有一质量为 m 的质点的质点 A(a,b,c),求物体求物体 V 对质点对质点 A 的引力的引力.(三三)引力引力其中其中G为万有引力系数。为万有引力系数。引力引力F在三个坐标方向上的分量为在三个坐标方向上的分量为,)(,(3dvraxzyxmGFVx ,)(,(3dvrbyzyxmGFVy .)(,(3dvrczzyxmGFVz 三重积分可以用三重积分可以用 直角坐标直
7、角坐标、柱面坐标柱面坐标和和球面坐标球面坐标来计算来计算.其方法都是将其方法都是将三重积分化为三次积分三重积分化为三次积分.三重积分的计算三重积分的计算将将三重积分化为三次积分关键三重积分化为三次积分关键：根据被积函数和积分域选择合适的坐标系根据被积函数和积分域选择合适的坐标系;画出投影域、确定积分序画出投影域、确定积分序;定出积分限、计算要简便定出积分限、计算要简便 .z 0 xy1r=2 cos 4 .M.:20 40 r cos20 r例例1 1所围成的所围成的与与由由其中其中，计算计算222211)(yxzyxzdvzx 例例1 1所所围围成成的的与与由由其其中中，计计算算222211
8、)(yxzyxzdvzx 解解利用球面坐标利用球面坐标奇函数，奇函数，的的为为面为对称，面为对称，关于关于xxzyxfyoz ),(.0 xdv有有 zdvdvzx)(2cos024020sincosdrrrdd.67 z=0y=0 x=00y x 画图画图x0z y1121DxyDxy:x=0,y=0,x+2y=1 围成围成：上顶上顶yxz21 ：下底下底121 21 010d)21(dxyyxxx481.例例2 2：x+2y+z=1Dxy.1 z 2yx0 z ,0 y0,x ddd 围围成成及及由由，其其中中计计算算三三重重积积分分 zyxxI yxDzxyxxy210dddI =0 z
9、x0z y111Dyz21 1-(1-)00d(1)(1)dyy-zyyyz eze41.例例3 3：x+y+z=1.d)1(2)1(101010yeydzdxIzyzxx 计计算算三三重重积积分分 zyzyDxeyzyyz10)1(d)-1(dd2I =解解 直接积分困难，考虑改变积分次序直接积分困难，考虑改变积分次序 zyzyyxeydzdy10)1(1010d)-1(2dyeyy)1(212)-(1-10 为方便为方便采用先二后一法较采用先二后一法较为圆域为圆域的函数，截面的函数，截面被积函数仅为被积函数仅为又又)(zDz例例4 4.2:)(2222222所所围围的的公公共共部部分分与与
10、，计计算算RzzyxRzyxdvxz 解解面为对称，面为对称，关于关于 yoz.0 xdvzD1zD2Rzyxo2R dvzI2 202:2222RzRzyxDzdxdydzz RRzRyxDzdxdydzz2:22222.480595R a所所围围成成立立体体的的表表面面积积.与与旋旋转转抛抛物物面面半半球球面面 2 3 22222azyxyxaz 求求yxzo例例5 5xyzoDS=1S2S D:azyxyxaz2322222a2 02 222zayx即即2S2S2S1S.1S.例例5 5所所围围成成立立体体的的表表面面积积.与与旋旋转转抛抛物物面面半半球球面面 2 3 22222azyx
11、yxaz 求求 azyxyxaz2322222 02:222zayxD即即dxdyzzSyxD2211 .例例5 5所所围围成成立立体体的的表表面面积积.与与旋旋转转抛抛物物面面半半球球面面 2 3 22222azyxyxaz 求求 解解 Ddxdyyxaa22233 ardrrada202220313 2)13(32a dxdyayaxSD222)()(1 ardrrada2022201 2)3232(a S=21SS 2316a xyzO解解先算前面部分的面积先算前面部分的面积A1由由 zzy222 22zzy ,212zzzyz ,0 xy222211zzyyzx 求交线求交线 求柱面求
12、柱面zzy222 222xzy 222222xzyzzy所截剩下部分的面积所截剩下部分的面积.被被锥面锥面zx2例例8 8xyzxzzzzd21222 20dz8 1621 AAzx22 222211zzyyzx zxzzzxyyAxzxzDDzxdd21dd12221 xzO2,ddd)(1lim,0)0(0)(22240zyxzyxftfxxft 求极限求极限处可导，且处可导，且在在设设.:2222tzyx 其中其中解解zyxzyxfddd)(222 球球rrfrd)(dsind2 rrfrtd)(402 0t 00 2xyzOttt例例9 9zyxzyxfttddd)(1lim22240
13、 4020d)(4limtrrfrtt 3204)(4limttftt tftft)0()(lim0 )0(f 000)0(f轴旋转一周而成轴旋转一周而成绕绕是由曲线是由曲线设设zzyx 202 围围成成的的空空间间区区域域，的的曲曲面面与与平平面面4 z.d)(22vzyx 求求解解 zyx202由曲线由曲线zyx222 柱面坐标柱面坐标,cos x,sin y,zz zvdddd 例例1010旋转曲面方程为旋转曲面方程为轴旋转一周而成的轴旋转一周而成的绕绕zvzyxd)(22 22 480 20 d21d804423202 rzz 3256 4222zzyx由由8:22 yxDzyx222
14、 旋转曲面方程旋转曲面方程zz d)(dd2测测 验验 题题A B B C z=0的重心的重心求均匀半球体求均匀半球体 0,:2222 zazyxyxzo yx 则则,zyx)，（设设重重心心为为 zyxzVz ddd1球面坐标球面坐标a332a V .a83.)83,0,0a(故重心为故重心为.用哪种坐标？用哪种坐标？r=a arrrV 022020dsincosdd1 .例例6 6解解由积分区域的对称性知由积分区域的对称性知,0 yxFFdvazyxazkFz 23)()(222 2aMk oyzxFdxdyazyxazdzkzRyxDzRR 222223:222-)()(RRdzaazRzaazk-22)211)(2334akR
