1、2020 年高三综合练习（一）数学（理）试卷 1 / 13 D A B C P 北京市北京市门头沟区门头沟区 20202020 年年高三综合练习高三综合练习 数 学 2020.4 一、选择题（一、选择题（本大题共本大题共 8 8 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分分, ,共共 4040 分。在每小题给出的四个分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 ）选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 1. 设全集U 0,1,2,3,4,5，集合1,3,3,5AB，则 U( )CABU= A 0，4 B 1，5 C 2，0，4 D 2，0，5 2. 复数z满足23 z i i ，
2、复数z对应的点在复平面的 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D. 第四象限 3.对于函数( )sin( ,)f xaxbxc a bR cZ,计算(1)f和( 1)f ，所得出的正 确结果一定不不可能是 A4 和 6 B3 和 1 C2 和 4 D1 和 2 4. 抛物线 2 8yx焦点F到双曲线 2 2 :1 3 y C x 的一条渐近线的距离是 A1 B 2 C3 D3 5. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题： “三百七十八里关，初 步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公 仔细算相还.”其大意为： “有一个人走 378 里路，第一天健步行走，从第二 天
3、起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了 6 天后到达目的地.”则该人 第五天走的路程为 A. 48 里 B. 24 里 C. 12 里 D. 6 里 6.在直角梯形ABCD中， 0 / /,90ABCDDAB，且222,ABCDADP 2020 年高三综合练习（一）数学（理）试卷 2 / 13 是BC的中点，则PD PA为 A 9 4 B3 C2 D 5 2 7. 已知函数)sin()(xAxf)| , 0, 0(A的部分图像如图所示，则 “2m”是“函数( )f xm对0,8x恒成立”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 8.某电力公司在工程招标中是
4、根据技术、商务、报价三项评分标准进行综合评 分的，按照综合得分的高低进行综合排序，综合排序高者中标。 分值权重表如下： 总分 技术 商务 报价 100% 50% 10% 40% 技术标、商务标基本都是由公司的技术、资质、资信等实力来决定的。报价表 则相对灵活，报价标的评分方法是：基准价的基准分是 68 分，若报价每高于基 准价 1%，则在基准分的基础上扣 0.8 分，最低得分 48 分；若报价每低于基准 价 1%，则在基准分的基础上加 0.8 分，最高得分为 80 分。若报价低于基准价 15%以上(不含 15%)每再低 1%，在 80 分在基础上扣 0.8 分。 在某次招标中，若基准价为 10
5、00（万元） 。甲、乙两公司综合得分如下表： 公司 技术 商务 报价 甲 80 分 90 分 A甲分 乙 70 分 100 分 A乙分 甲公司报价为 1100（万元） ，乙公司的报价为 800（万元）则甲，乙公司的综合 得分，分别是 2020 年高三综合练习（一）数学（理）试卷 3 / 13 A73，75.4 B73,80 C74.6,76 D74.6 ,75.4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分分. . ） 9. 26 1 ()x x 的展开式中 6 x的系数是 。 10某高中校高一、高二、高三三个年级人数分别
6、为300,300,400通过分层抽样 从中抽取 40 人进行问卷调查， 现在从答卷中随机抽取一张， 恰好是高三学生的 答卷的概率是 。 11 直线 cos 3 ( sin 3 xt t yt 为参数）截圆:4cosC所 得的弦长为 。 12某程序框图如图所示，则输出的结果 S是 。 13.椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 上的点P若满足 12 PFPF， 12 ,F F为椭圆的两个焦点，称这样的点P为椭圆的“焦垂点” 。椭圆 22 1 42 xy 有 个“焦垂点” ；请你写出椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 上有 4 个“焦垂点”时所满足的条件 。 14已知函数
7、 22 ln ( ) (31)(21) xxa f x xaaaxa ，若存在正实数b使得 ( )( )g xf xb有四个不同的零点，则正实数a的取值范围 。 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 6 6 小题，满分小题，满分 8080 分分. .） 2020 年高三综合练习（一）数学（理）试卷 4 / 13 A B P C D E A C B D 15. （本小题满分 13 分） 在ABC中，B=120o，2,AB ， A的角平分线3AD , （1）求ADB的大小； （2）求AC的长。 16 （本小题满分 13 分）2022 年第 24 届冬奥会将在北京举行。为了推动我国 冰雪
8、运动的发展,京西某区兴建了“腾越”冰雪运动基地。在来“腾越”参加冰 雪运动的人员中随机抽查 100 员运动员，他们的身份分布如下： 身份 小学生 初中生 高中生 大学生 职工 合计 人数 40 20 10 20 10 100 注注: :将上表中的频率视为概率 (1)求来“腾越”参加冰雪运动的人员中，小学生的概率； (2) 若将上表中的频率视为概率，X表示来“腾越”参加运动的 3 人中是大学 生的人数，求X的分布列及期EX。 17.（本小题满分 13 分）在四棱锥PABCD中， 0 / /,2224, 60 , ABCD ABCDBCAD DABAEBE PAD为正三角形，且PADABCD平面平
9、面， 2020 年高三综合练习（一）数学（理）试卷 5 / 13 x y O A2 G P A1 M 平面PECPADl平面。 （1）求证：/lEC； （2）求二面角PECD的余弦值； （3）是否存在线段PC（端点,P C除外）上一点M，使得DEAM， 若存在，指出点M的位置，若不存在，请明理由。 18. （ 本 题 满 分13分 ） 已 知 椭 圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ， 三 点 123 3133 ( 1 ,) ,(,) ,(1 ,) 2222 PPP中恰有二点在椭圆C上，且离心率为 1 2 e 。 （1）求椭圆C的方程； （2）设P为椭圆C上任一点， 12 ,A A
10、为椭圆C的左右顶点，M为 2 PA中点， 求证：直线 2 PA与直线OM它们的斜率之积为定值； （3）若椭圆C的右焦点为F，过(4,0)B的直线l与椭圆C交于,D E， 求证：直线FD与直线FE关于直线1x 对称。 19.（本题满分 14 分）已知 ln(2) ( ) 2 x beax f x x 在( 1,( 1)f处的 切线方程为 1 1yx e 。 （1）求( )yf x的解析式； 2020 年高三综合练习（一）数学（理）试卷 6 / 13 （2）设 1 ( )(2)2) 2 x h xxex x （，求( )h x零点的个数； （3）求证：( )yf x在( 2,)上单调递增。 20.
11、（本题满分 14 分）已知数列 n a满足 * 11 1, n nn aaapnN 。 （1）若1p ，写出 4 a的所有值； （2）若数列 n a是递增数列，且 123 , 2,3aaa成等差数列，求p的值； （3）若 1 2 p ，且 21 n a 是递增数列， 2 n a是递减数列，求数列 n a的通项公 式。 2020 年高三综合练习（一）数学（理）试卷 7 / 13 A C B D 门头沟区门头沟区 20202020 年年高三综合练习（一）高三综合练习（一） 数学（理）评分标准 2020.4 一、选择题（一、选择题（本大题共本大题共 8 8 个小题个小题, ,每小题每小题 5 5 分
12、分, ,共共 4040 分。在每小题给出的四个分。在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。 ）选项中，只有一项是符合题目要求的。 ） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D D C C B A 二、填空题（二、填空题（本大题共本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 3030 分分. . ） 9 10 11 12 13 14 15 2 5 2 5 11 2， 2 ;1 2 cbe等，此题为开放题 1 0 2 a 三、解答题： （本大题三、解答题： （本大题共共 6 6 小题，满分小题，满分 8080 分分. .） 15. （本小题满分
13、13 分） 在ABC中，B=120o，2,AB ， A的角平分线3AD , （1）求ADB的大小； （2）求AC的长。 解： （1）在ABD中，由正弦定理得： 0 2 sin45 2 sin2 sin 3 ABAD ADBADB ADB 5 分 （2）由（1）得： 00 1530BADBAC ， 0 30 ,2BCAABBC10 分 由余弦定理得： 1 222226 2 AC （）13 分 2020 年高三综合练习（一）数学（理）试卷 8 / 13 A B P C D E 16 （本小题满分 13 分） ）2022 年第 24 届冬奥会将在北京举行。为了推动我国 冰雪运动的发展,京西某区兴建了
14、“腾越”冰雪运动基地。在来“腾越”参加冰 雪运动的人员中随机抽查 100 员运动员，他们的身份分布如下： 身份 小学生 初中生 高中生 大学生 职工 合计 人数 40 20 10 20 10 100 注注: :将上表中的频率视为概率 (1)求来“腾越”参加冰雪运动的人员中，小学生的概率； (2) 若将上表中的频率视为概率，X表示来“腾越”参加运动的 3 人中是大学 生的人数，求X的分布列及期EX。 解：(1)设来“腾越”参加冰雪运动的人员中小学生为事件B， 则 2 ( ) 5 P B 5 在分 (2)X可取 0，1，2，3，6 分， 01 32 33 23 23 33 4641448 (0)(
15、 ),(1)( )( ), 512555125 141211 (2)( ) ( ),(3)( ) 551255125 P XP X P XP X CC CC 10 分 3 5 EX 13 分 注：求期望求对，就给满分。 17.（本小题满分 13 分）在四棱锥PABCD中， 0 / /,2224, 60 , ABCD ABCDBCAD DABAEBE PAD为正三角形，且PADABCD平面平面， 平面PECPADl平面。 （1）求证：/lEC； （2）求二面角PECD的余弦值； 2020 年高三综合练习（一）数学（理）试卷 9 / 13 A B P C D X Y Z E O （3）是否存在线段
16、PC（端点,P C除外）上一点M，使得DEAM， 若存在，指出点M的位置，若不存在，请明理由。 解： （1）由题意可知， /CD AECD AE ，四边形AECD为平行四边形，2 分 / / / / ECAD ECPADECPAD ADPAD 平面平面 平面 ，又PADPECl平面平面， 可得：/lEC，6 分 （2）方法一： 设O是AD中点，PAD为正三角形，则POAD，PADABCD平面平面， POABCD，8 分 又2ADAE， 0 60DAB，所以，ADE为正三角形，OEAD 建立如图所示坐标系，则(0,0, 3),(0, 3,0),( 2, 3,0)PEC ，设平面PEC法向 量 为
17、 1 ( , , )nx y z，( 2, 3,3),(0, 3,3)PCPE ， 由 12 0,0PC nPE n得： 1 (0,1,1)n ， 平面EDC的法向量 2 (0,0,1)n ， 12 12 cos, 22 n n， 所以，二面角PECD的余弦值为 2 2 10 分 方法二： 设O是AD中点，PAD为正三角形，则POAD，PADABCD平面平面， POABCD，又2ADAE，所以，ADE为正三角形，OEAD 2020 年高三综合练习（一）数学（理）试卷 10 / 13 x y O A2 G P A1 M OEEC，则OEP为二面角PECD的平面角，8 分 而POOE，得， 4 O
18、EP ，二面角PECD的余弦值为 2 2 10 分 （3）不存在，若,DEAMDEAC又，则DEPA，又DEPO， 则DEPAODEAD，与 3 ADE 矛盾，故线段PC（端点,P C除外） 上不存在点M，使得DEAM13 分 18. （ 本 题 满 分13分 ） 已 知 椭 圆 22 22 :1(0) xy Cab ab ， 三 点 123 3133 ( 1 ,) ,(,) ,(1 ,) 2222 PPP中恰有二点在椭圆C上，且离心率为 1 2 e 。 （1）求椭圆C的方程； （2）设P为椭圆C上任一点， 12 ,A A为椭圆C的左右顶点，M为 2 PA中点， 求证：直线 2 PA与直线OM
19、它们的斜率之积为定值； （3）若椭圆C的右焦点为F，过(4,0)B的直线l与椭圆C交于,D E， 求证：直线FD与直线FE关于直线1x 对称。 解： （1）由椭圆性质得： 13 33 (1, ),( 1,) 22 PP 在椭圆上， 2 222 1911 1(1)(2) 424 c e aba 得： 22 222 4,3,11 43 xy abc 4 分 （ 2 ） 设 00 (,)P x y为 椭 圆 上 任 一 点 ， 2121 ,/ /PMMA AOOAOMPA， 21 00 00 , 22 PAOMPA yy kkk xx 得： 2 2 0 2 0 3 44 PAOM y kk x 8
20、分 2020 年高三综合练习（一）数学（理）试卷 11 / 13 x y E O A2 F A1 G D （3）设直线l：(4)yk x，设 1122 ( ,), (,)D x yE xy 联立得： 2222 22 (4) (34)3264120 1 43 yk x kxk xk xy 2 12 2 2 12 2 32 34 6412 34 k xx k k x x k ， 121212 1212 25()8 11(1)(1) FDFE yykx xxx kk xxxx 10 分 代入得， 121212 1212 25()8 0 11(1)(1) FDFE yykx xxx kk xxxx 1
21、2 分 得： 12FDFE kkAFDA FE ， 故直线直线FD与直线FE关于直线1x 对称13 分 19.（本题满分 14 分）已知 ln(2) ( ) 2 x beax f x x 在( 1,( 1)f处的 切线方程为 1 1yx e 。 （1）求( )yf x的解析式； （2）设 1 ( )(2)2) 2 x h xxex x （，求( )h x零点的个数； （3）求证：( )yf x在( 2,)上单调递增。 解： （1） / 2 ln(2)(1)ln(2) ( )( ) 2(2) xx beaxbexaax f xfx xx 2 分 /( 1) 1fa， 1 1 ( 1)1fbeb
22、e ，所以 ln(2) ( ) 2 x ex f x x 5 分 （2） / 2 11 ( )(2)2)( )(3)0 2(2) xx h xxexh xxe xx （ 2020 年高三综合练习（一）数学（理）试卷 12 / 13 ( )h x在( 1,0)上递增， 11 ( 1)10,(0)20 2 hh e ， 存在一个零点 0 x，且 0 10x 8 分 注：若没有说明 11 ( 1)10,(0)20 2 hh e 扣 1 分。 （3）由（1）得， / 2 (1)1 ln(2) ( ) (2) x xex fx x ，设( )(1)1 ln(2) x g xxex / 1 ( )(2)
23、(2) x g xxe x ，由（2）可知，存在一个零点 0 x，且 0 10x / 0 ()0gx， /( ) g x在 0 ( 2,)x上递减，在 0 (,)x 上递增， 0000 10,122ln(2)11 ln(2)0xxxx ，10 分 所以， 0 min000 ( )()(1)1 ln(2) x g xg xxex ， min0 ( )()0g xg x， min0 ( )( )()0g xg xg x，12 分 得 / 2 (1)1 ln(2) ( )0 (2) x xex fx x ，( )yf x在( 2,)上单调递增14 分 20.（本题满分 14 分）已知数列 n a满足
24、 * 11 1, n nn aaapnN 。 （1）若1p ，写出 4 a的所有值； （2）若数列 n a是递增数列，且 123 , 2,3aaa成等差数列，求p的值； （3）若 1 2 p ，且 21 n a 是递增数列， 2 n a是递减数列，求数列 n a的通项公 式。 解： （1）由题意得： 1 1a ， 1 1, nn aa 1,2,3,4;1,0,1,2;1,0, 1,0;1,0, 1, 2 。所以 4 a的可能值为4,2,0, 24 分 （2）解：由于数列 n a是递增数列， 11 n nnnn aaaap 2 123 1,1,1aap app ，又 123 , 2,3aaa成等
25、差数列， 2020 年高三综合练习（一）数学（理）试卷 13 / 13 得： 2 1 30 3 ppp，或0p ，若0p ，则 1nn aa 与数列 n a是递增矛 盾 所以 1 3 p 8 分 （3） 21 n a 是递增数列，所以， 2121212221 0()()0 nnnnnn aaaaaa 而 212221 221 11 22 nnnn nn aaaa ，可得： 221 0 nn aa 所以， 2 21 221 21 1( 1) ( ) 22 n n nn n aa （1）10 分 2 n a是递减数列，所以， 2222221212 0()()0 nnnnnn aaaaaa 而 2122221 212 11 22 nnnn nn aaaa ，可得： 212 0 nn aa 所以， 21 2 212 2 1( 1) ( ) 22 n n nn n aa （2） ，由（1） ， （2）得， 1 1 ( 1) 2 n nn n aa 1 1211 21 11( 1)41( 1) ()1 222332 nn nnn nn aaaaaa 14 分
