1、 一般地，抛物线一般地，抛物线y=a(x-h)+k与与y=ax 的的 相同，相同，不同不同22形状形状位置位置 y=ax2y=a(x-h)+k2上加下减上加下减左加右减左加右减抛物线抛物线y=a(x-h)2+k有如下特点有如下特点:1.当当a0时，开口时，开口 ，当当a0时，开口时，开口 ，向上向上向下向下 2.对称轴是对称轴是 ；3.顶点坐标是顶点坐标是 。直线直线X=h(h,k)二次函数二次函数开口方开口方向向对称轴对称轴顶点坐标顶点坐标y=2(x+3)2+5 y=-3x(x-1)2-2y=4(x-3)2+7y=-5(2-x)2-6直线直线x=3直线直线x=1直线x=2直线x=3向上向上向
2、上向上向下向下向下向下（3，5）（1，2）（3，7）（2，6）你能说出二次函数你能说出二次函数y=x 6x21图像的特征吗？图像的特征吗？212如何画出如何画出 的图象呢的图象呢?216212xxy 我们知道我们知道,像像y=a(x-h)2+k这样的函数这样的函数,容易确定相应抛物线的顶点为容易确定相应抛物线的顶点为(h,k),二二次函数次函数 也能化成这样的也能化成这样的形式吗形式吗?216212xxy配方配方216212xxyy=(x6)+3212你知道是怎样配你知道是怎样配方的吗？方的吗？w怎样把函数怎样把函数y=3x2-6x+5的转化成的转化成y=a(x-h）2+k的形式的形式?函数函
3、数y=axy=ax+bx+c的图象的图象 w配方配方:5632xxy35232xx提取二次项系提取二次项系数数3511232xx配方配方:加上再减去一加上再减去一次项系数绝对值一次项系数绝对值一半的平方半的平方32132x.2132x化简化简:去去整理整理:前三项前三项化为平方形式化为平方形式,后两项后两项合并同类项合并同类项掉中括号掉中括号老师提示老师提示:配方后的表达配方后的表达式通常称为式通常称为配配方式方式或或顶点式顶点式归纳归纳二次函数二次函数 y=x 6x+21图象的图象的画法画法：(1)“化化”：化成顶点式：化成顶点式；(2)“定定”：确定开口方向、对称轴、顶：确定开口方向、对称
4、轴、顶点坐标；点坐标；(3)“画画”：列表、描点、连线。：列表、描点、连线。212函数函数y=3x2-6x+5的图象特征的图象特征w2.2.根据配方式根据配方式(顶点式顶点式)确定开口方向确定开口方向,对称对称轴轴,顶点坐标顶点坐标.a=30,a=30,开口向上开口向上;对称轴对称轴:直线直线x=1x=1;顶点坐标顶点坐标:(1,2)(1,2).2132xy510510Oxyx3)6(212xy7.553.533.557.56543789函数函数y=3x2-6x+5的图象特征的图象特征求次函数求次函数y=ax+bx+c的对称轴和顶点坐的对称轴和顶点坐标标 函数y=ax+bx+c的顶点是w配方配
5、方:2yaxbxc2ba xxca提取二次项系数提取二次项系数22222bbba xxcaaaa 配方配方:加上再加上再减去一次项系减去一次项系数绝对值一半数绝对值一半的平方的平方整理整理:前三项化为平方形前三项化为平方形式式,后两项合并同类项后两项合并同类项224.24bacba xaa224.24bacbya xaa这种形式的这种形式的式子通常被式子通常被称为抛物线称为抛物线的顶点式的顶点式.函数函数y=axy=ax+bx+c+bx+c的对称轴、顶点坐的对称轴、顶点坐标是什么？标是什么？22:24:(,)24byaxbxcxabacbaa 的 对 称 轴 是顶 点 坐 标 是2232288
6、yxxyxx 2221432yxxyxx 1.1.说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标：（3）开口方向：当）开口方向：当 a0时，抛物线开时，抛物线开口向上；当口向上；当 a0时，抛物线开口向下。时，抛物线开口向下。4二次函数二次函数2yaxbxc的性质：的性质：（1）顶点坐标）顶点坐标24,;24bacbaa（2）对称轴是直线）对称轴是直线2bxa 2bxa 24-,4ac bya最小2bxa 24-;4ac bya最大如果如果a0，当，当时，函数有最小值，时，函数有最小值，如果如果a0，当，当时，函数有最大值，时，函数有最大值，（4）最值：）最
7、值：2bxa 2bxa 2bxa 2bxa 若若a0，当，当时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；当当时，时，y随随x的增大而减小。的增大而减小。若若a0，当，当时，时，y随随x的增大而减小；的增大而减小；当时，时，y随随x的增大而增大。的增大而增大。（5）增减性：）增减性：与与y轴的交点坐标轴的交点坐标为（为（0，c）(6)抛物线抛物线2yaxbxc与坐标轴的交点与坐标轴的交点抛物线抛物线2yaxbxc2yaxbxc 12,0,0 xx12,x x20axbxc抛物线抛物线与与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为，其中其中为方程为方程的两实数根的两实数根所以当所以当x2 2时，时，。解法一（
8、配方法）：解法一（配方法）：2281yxx22277x 7y最小值2241xx224441xx例例5 当当x取何值时，二次函数取何值时，二次函数 有最大值有最大值或最小值，最大值或最小值是多少？或最小值，最大值或最小值是多少？2281yxx因为因为所以当所以当x2 2时，时，。因为因为a20，抛物线，抛物线 有最低有最低点，所以点，所以y有最小值，有最小值，2281yxx224 2 18842,722 244 2bacbaa 7y最小值总结：求二次函数最值，有两个方法总结：求二次函数最值，有两个方法(1)用配方法；用配方法；(2)用公式法用公式法解法二（公式法）：解法二（公式法）：又又例例6已
9、知函数已知函数 ，当，当x为何值为何值时，函数值时，函数值y随自变量的值的增大而减小。随自变量的值的增大而减小。211322yxx 解法一：解法一：，102a 抛物线开口向下，抛物线开口向下，21169922xx 21913222x 21352x 对称轴是直线对称轴是直线x3，当，当 x3时，时，y随随x的增大而减小。的增大而减小。211322yxx 102a 331222ba 解法二：解法二：，抛物线开口向下，抛物线开口向下，对称轴是直线对称轴是直线x3，当，当 x3时，时，y随随x的增大而减小。的增大而减小。例例7 已知二次函数已知二次函数212321ymxmxmm的最大值是的最大值是0，
10、求此函数的解析式，求此函数的解析式解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为标的值为0所以应满足以下的条件组所以应满足以下的条件组21041 322041mmmmm，由解方程得由解方程得121,22mm不合题意，舍去所求函数解析式为所求函数解析式为21111232,222yxx。21122yxx 即32yaxbxc图象的画法图象的画法 2yaxbxc2ya xhk步骤：步骤：1利用配方法或公式法把利用配方法或公式法把化为化为的形式。的形式。2确定抛物线的开口方向、对称轴确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。及顶点坐标。3在对称轴的两侧以顶点为中心左在对称
11、轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。右对称描点画图。的图像，利用函的图像，利用函数图像回答：数图像回答：例例3 画出画出2286yxx(1)x取什么值时，取什么值时，y0？(2)x取什么值时，取什么值时，y0？x取什么值时取什么值时y0？(3)x取什么值时值或最小值？取什么值时值或最小值？（2,2）x=2（0,6）（1,0）（3,0）（4,6）2286yxx 由图像知：由图像知：(1)当当x1或或x3时，时，y0；(2)当当1x3时，时，y0；(3)当当x1或或x3时，时，y0；(4)当当x2时，时，y有最大值有最大值2。xy 与与x轴的交点情况轴的交点情况可由对应的一元二次方程可由对应的一
12、元二次方程2yaxbxc20axbxc(7)抛物线抛物线的根的判别式判定：的根的判别式判定：0有两个交点有两个交点抛物线与抛物线与x轴相交；轴相交；0有一个交点有一个交点抛物线与抛物线与x轴相切；轴相切；0没有交点没有交点抛物线与抛物线与x轴相离。轴相离。例例 已知抛物线已知抛物线247,yxkxkk取何值时，抛物线经过原点；取何值时，抛物线经过原点；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在y轴上；轴上；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在x轴上；轴上；k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。，所以k4，所以当以当k4时，抛物线顶点在时，抛物线顶点在y
13、轴上。轴上。，所以k7，所以当，所以当k7时，抛物线经过原点；时，抛物线经过原点；抛物线顶点在抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为轴上，则顶点横坐标为0，即即解：抛物线经过原点，则当解：抛物线经过原点，则当x0时，时，y0，所以，所以200407kk4022 1kba ，所以当以当k2或或k6时，抛物线顶点在时，抛物线顶点在x轴轴上。上。抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即即224 1744044 1kkacba 24120kk122,6kk，整理得整理得，解得：解得：由、知，当由、知，当k4或或k2或或k6时，抛物线的顶点在坐标轴上。时，抛物线的顶点
14、在坐标轴上。224 1744044 1kkacba 抛物线位置与系数抛物线位置与系数a，b，c的关系：的关系：a决定抛物线的开口方向：决定抛物线的开口方向：a0 开口向上开口向上a0 开口向下开口向下 a，b决定抛物线对称轴的位置决定抛物线对称轴的位置:(对称轴是直线对称轴是直线x=)a，b同号同号 对称轴在对称轴在y轴左侧；轴左侧；b=0 对称轴是对称轴是y轴；轴；a，b异号异号 对称轴在对称轴在y轴右侧轴右侧 2ab【左同右异】【左同右异】抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(3)c的大小决定抛物线的大小决定抛物线yax2bxc与与y轴轴交点的位置。交点的位置。当当x0
15、时，时，yc，抛物线抛物线yax2bxc与与y轴有且只有一个交点轴有且只有一个交点(0，c)，c0抛物线经过原点抛物线经过原点；c0与与y轴交于正半轴轴交于正半轴；图象与；图象与y轴交点在轴交点在x轴上方；轴上方；c0与与y轴交于负半轴。轴交于负半轴。图象与图象与y轴交点在轴交点在x轴下方。轴下方。例例3 3：指出抛物线：指出抛物线:254yxx 的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与标、与y轴的交点坐标、与轴的交点坐标、与x轴的交点坐轴的交点坐标。并画出草图。标。并画出草图。对于对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口我们可以确定它的开口方向，求出它的
16、对称轴、顶点坐标、与方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与轴的交点坐标、与x轴的交点坐标（有交轴的交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图象点时），这样就可以画出它的大致图象。a=-10,开口向下，顶点坐标（开口向下，顶点坐标（2.5，9/4），与），与y轴交点坐标为轴交点坐标为（0，-4），与），与x轴交点为（轴交点为（1,0)、(4,0），），y=2x2-5x+3y=(x-3)(x+2)求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴求下列二次函数图像的开口、顶点、对称轴请画出草图请画出草图:396-1 例例2、已知函数、已知函数y=ax2+bx+c的图象如的图象如下图所示，下图
17、所示，x=为该图象的对称轴，根为该图象的对称轴，根 据图象信息你能得到关于系数据图象信息你能得到关于系数a，b，c的的一些什么结论？一些什么结论？31 y 1.x133.已知如图是二次函数已知如图是二次函数yax2bxc的图象，的图象，判断以下各式的值是正值还是负值判断以下各式的值是正值还是负值(1)a；(2)b；(3)c；(4)b24ac；(5)2ab；(6)abc；(7)abc分析：已知的是几何关系分析：已知的是几何关系(图形的位置、图形的位置、形状形状)，需要求出的是数量关系，所以应，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用发挥数形结合的作用解：解：(1)因为抛物线开口向下，所以因
18、为抛物线开口向下，所以a0；判断判断a的符号的符号(2)因为对称轴在因为对称轴在y轴右侧，所以轴右侧，所以02ba，而，而a0，故，故b0；判断判断b的符号的符号(3)因为因为x0时，时，yc，即图象与，即图象与y轴交点轴交点的坐标是的坐标是(0，c)，而图中这一点在，而图中这一点在y轴正轴正半轴，即半轴，即c0；判断判断c的符号的符号2404acba240acb240bac(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标因为顶点在第一象限，其纵坐标，且，且a0，所以，所以，故，故。判断判断b24ac的符号的符号 ，且且a0，所以，所以b2a，故，故2ab0；(5)因为顶点横坐标小于因为顶点横坐标小于1，即
19、，即12ba判断判断2ab的符号的符号(6)因为图象上的点的横坐标为因为图象上的点的横坐标为1时，点时，点的纵坐标为正值，即的纵坐标为正值，即a12b1c0，故故abc0；判断判断abc的符号的符号(7)因为图象上的点的横坐标为因为图象上的点的横坐标为1时，时，点的纵坐标为负值，即点的纵坐标为负值，即a(1)2b(1)c0，故，故abc0判断判断abc的符号的符号1.1.抛物线抛物线y=2xy=2x2 2+8x-11+8x-11的顶点在的顶点在 （）A.A.第一象限第一象限 B.B.第二象限第二象限 C.C.第三象限第三象限 D.D.第四象限第四象限2.2.不论不论k k 取任何实数，抛物线取
20、任何实数，抛物线y=a(x+k)y=a(x+k)2 2+k(a0)+k(a0)的顶点都的顶点都在在 （）A.A.直线直线y=xy=x上上 B.B.直线直线y=-xy=-x上上 C.x C.x轴上轴上 D.y D.y轴上轴上3.3.若二次函数若二次函数y=axy=ax2 2+4x+a-1+4x+a-1的最小值是的最小值是2,2,则则a a的值是的值是 （）A 4 B.-1 C.3 D.4A 4 B.-1 C.3 D.4或或-1-1CBA4.4.若二次函数若二次函数 y=ax2+b x+c 的图象如下的图象如下,与与x x轴的一个交点为轴的一个交点为(1,0),(1,0),则下列各式中不成立则下列
21、各式中不成立的是的是 （）A.A.b2-4ac0 B.0 B.0=0 D.01xyo-15.5.若把抛物线若把抛物线y=x2-2x+1向右平移向右平移2 2个单位个单位,再向再向下平移下平移3 3个单位个单位,得抛物线得抛物线y=x2+bx+c,则（则（）A.b=2 A.b=2 c=6 B.b=-6,c=6 B.b=-6,c=6 C.b=-8 C.b=-8 c=6 D.b=-8,c=18 D.b=-8,c=18 B B-2ab4a4ac-b26.6.若一次函数若一次函数 y=ax+b 的图象经过第二、三、四的图象经过第二、三、四象限，则二次函数象限，则二次函数 y=ax2+bx-3 的大致图象
22、是的大致图象是 ()()7.7.在同一直角坐标系中在同一直角坐标系中,二次函数二次函数 y=ax2+bx+c 与与一次函数一次函数y=ax+c的大致图象可能是的大致图象可能是 （）xyoxyoxyoxyoABCD-3-3-3-3xyoxyoxyoxyoABCDCC二次二次函数函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)的图象和性质的图象和性质.顶点坐标与对称轴顶点坐标与对称轴.位置与开口方向位置与开口方向.增减性与最值增减性与最值抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性最值最值y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)y=axy=a
23、x2 2+bx+c+bx+c(a0)y=ax2+k(a0)y=a(x-h)2(a0)y=a(x-h)2+k(a0)y=ax2+bx+c(a0)w1.相同点相同点:w(1)形状相同形状相同(图像都是抛物线图像都是抛物线,开口方向相同开口方向相同).w(2)都是轴对称图形都是轴对称图形.w(3)都有最都有最(大或小大或小)值值.(4)a0时时,开口向上开口向上,在对称轴左侧在对称轴左侧,y都随都随x的增大而减小的增大而减小,在对称轴右侧在对称轴右侧,y都随都随 x的增大而增大的增大而增大.a0时时,开口向下开口向下,在对称轴左侧在对称轴左侧,y都随都随x的增大而增大的增大而增大,在对称轴右侧在对称轴右侧,y都随都随 x的增大而减小的增大而减小.驶向胜利驶向胜利的彼岸的彼岸小结小结 拓展拓展回味无穷二次二次函数函数y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a0)(a0)与与=ax的关系的关系
