1、 2005 年高考数学年高考数学 广东广东卷卷 试题及答案试题及答案 奎屯 王新敞 新疆 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择）题两部分，满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项：注意事项： 1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡 上 奎屯 王新敞 新疆用 2B 铅笔将答题卡试卷类型（A）填涂在答题卡上 奎屯 王新敞 新疆在答题卡右上角的“试室号”和“座 位号”栏填写试室号、座位号，并用 2B 铅笔将相应的试室号、座位号信息点涂黑 奎屯 王新敞 新疆 2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需 改动，用橡皮擦干
2、净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上 奎屯 王新敞 新疆 3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域 内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改 液 奎屯 王新敞 新疆不按以上要求作答的答案无效 奎屯 王新敞 新疆 4考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回 奎屯 王新敞 新疆 参考公式：参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 P(A+B)=P(A)+P(B) 如果事件 A、B 相互独立，那么 P(A B)=P(A) P(B) 第卷（选择题，共 50 分） 一、选择题：本大题共 10 小题，每小题
3、5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1若集合03|,2| 2 =xxxNxxM，则 MN= （ ） A3 B0 C0，2 D0，3 2若ibiia=)2(，其中 a、bR，i 是虚数单位，则 22 ba += （ ） A0 B2 C 2 5 D5 3 9 3 lim 2 3 + x x x = （ ） A 6 1 B0 C 6 1 D 3 1 4已知高为 3 的直棱柱 ABCA B C 的底面是边长为 1 的正三 角形（如图 1 所示） ，则三棱锥 BABC 的体积为（ ） A 4 1 B 2 1 C 6 3 D 4 3 5若焦点在x轴上的椭圆1 2
4、 22 =+ m yx 的离心率为 2 1 ，则 m=（ ） B A A C B C 如图 1 A3 B 2 3 C 3 8 D 3 2 6函数13)( 23 +=xxxf是减函数的区间为 （ ） A), 2( + B)2 ,( C)0 ,( D （0，2） 7给出下列关于互不相同的直线 m、l、n 和平面、的四个命题： 若不共面与则点mlmAAlm,=； 若 m、l 是异面直线，nmnlnml则且,/,/； 若mlml/,/,/,/则； 若./,/,/,则点mlAmlml= 其中为假命题的是 （ ） A B C D 8先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数 1、2、3、4、5
5、、6） ，骰 子朝上的面的点数分别为 X、Y，则1log2=Y X 的概率为（ ） A 6 1 B 36 5 C 12 1 D 2 1 9在同一平面直角坐标系中，函数)(xfy =和)(xgy =的图象关于直线xy =对称. 现将 )(xgy =的图象沿x轴向左平移 2 个单位，再沿y轴向上平移 1 个单位，所得的图象是由 两条线段组成的折线（如图 2 所示） ，则函数)(xf的表达式为（ ） A + + = 20 , 2 2 01, 22 )( x x xx xf B = 20 , 2 2 01, 22 )( x x xx xf C + = 42 , 1 2 21 , 22 )( x x x
6、x xf D = 42 , 3 2 21 , 62 )( x x xx xf 10已知数列=+= 121 1 2 , 2lim., 4 , 3),( 2 1 , 2 xxnxxx x xx n n nnnn 则若满足（ ） A 2 3 B3 C4 D5 第卷（非选择题 共 100 分） 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 如图 2 3 2 1 1-1-2 xO y 11函数 x e xf = 1 1 )(的定义域是 . 12已知向量,/),6 ,(),3 , 2(baxba且=则 x= . 13 已知 5 ) 1cos(+x的展开式中 2 x的系数与 4 ) 4 5
7、 ( +x的展开式中x3的系数相等， 则cos= . 14设平面内有 n 条直线（n3） ，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同 一点.若用)(nf表示这 n 条直线交点的个数，则)4(f= ；当 n4 时， )(nf= .（用 n 表示） 三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15 （本小题满分 12 分） 化 简),)(2 3 sin(32)2 3 16 cos()2 3 16 cos()(ZkRxxx k x k xf+ + + = 并求函数)(xf的值域和最小正周期. 16 （本小题满分 14 分） 如图 3 所示，在四面体
8、 PABC 中，已知 PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=342.F 是线段 PB 上一点，34 17 15 =CF，点 E 在线段 AB 上，且 EFPB. （）证明：PB平面 CEF； （）求二面角 BCEF 的大小. 17 （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=x2上异于坐标原点 O 的两不同动点 A、B 满足 AOBO（如图 4 所示）. （）求AOB 的重心 G（即三角形三条中线的交点）的轨迹 方程； （）AOB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值； 若不存在，请说明理由. 如图 3 P A C B F E 如图 4 B A xO
9、y 18 （本小题满分 12 分） 箱中装有大小相同的黄、白两种颜色的乒乓球，黄、白乒乓球的数量比为 s:t.现从箱中 每次任意取出一个球，若取出的是黄球则结束，若取出的是白球，则将其放回箱中，并继续 从箱中任意取出一个球， 但取球的次数最多不超过 n 次， 以表示取球结束时已取到白球的 次数. （）求的分布列； （）求的数学期望. 19 （本小题满分 14 分） 设函数)7()7(),2()2(),()(xfxfxfxfxf+=+=+上满足在，且在闭区 间0，7上，只有. 0)3() 1 (= ff （）试判断函数)(xfy =的奇偶性； （）试求方程0)(=xf在闭区间2005，2005上
10、的根的个数，并证明你的结论. 20 （本小题满分 14 分） 在平面直角坐标系中，已知矩形 ABCD 的长为 2，宽为 1，AB、AD 边分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，A 点与坐标原点重合（如图 5 所示）.将矩形折叠，使 A 点落在线段 DC 上. （）若折痕所在直线的斜率为 k，试写出折痕所在直线的方程； （）求折痕的长的最大值. 如图 5 (A) C D Bx O y 2005 年高考数学年高考数学 广东广东卷卷 试题及答案试题及答案 参考答案参考答案 一、选择题 1B 2D 3A 4D 5B 6D 7C 8C 9A 10B 二、填空题 11.x|x0 12.4 13. 2 2 14
11、. 5, ) 1)(2( 2 1 +nn 三、解答题 15解：( )cos(22 )cos(22 )2 3sin(2 ) 333 f xkxkxx =+ 2cos(2 )2 3sin(2 )4cos2 33 xxx =+= 函数 f(x)的值域为4; 函数 f(x)的周期 = 2 T； 16 （I）证明： 222 1006436PCACPA=+=+ PAC 是以PAC 为直角的直角三角形，同理可证 PAB 是以PAB 为直角的直角三角形，PCB 是以PCB 为直角的直角三角形 奎屯 王新敞 新疆 故 PA平面 ABC 又30610 2 1 | 2 1 = BCACS PBC 而 PBC SCF
12、PB =30 17 3415 342 2 1 | 2 1 故 CFPB,又已知 EFPB PB平面 CEF （II）由（I）知 PBCE, PA平面 ABC AB 是 PB 在平面 ABC 上的射影，故 ABCE 在平面 PAB 内，过 F 作 FF1 垂直 AB 交 AB 于 F1，则 FF1平面 ABC， EF1 是 EF 在平面 ABC 上的射影，EFEC 故FEB 是二面角 BCEF 的平面角 奎屯 王新敞 新疆 3 5 6 10 cottan= AP AB PBAFEB 二面角 BCEF 的大小为 3 5 arctan 17解： （I）设AOB 的重心为 G(x,y),A(x1,y1
13、),B(x2,y2),则 + = + = 3 3 21 21 yy y xx x （1） P A C B F E F1 OAOB 1= OBOA kk,即1 2121 =+yyxx，(2) 又点 A，B 在抛物线上，有 2 22 2 11 ,xyxy=，代入（2）化简得1 21 =xx 3 2 3 3 2 )3( 3 1 2)( 3 1 )( 3 1 3 22 21 2 21 2 2 2 1 21 +=+=+=+= + =xxxxxxxx yy y 所以重心为 G 的轨迹方程为 3 2 3 2 += xy （II） 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 2
14、 2 1 2 1 2 1 )( 2 1 | 2 1 yyyxyxxxyxyxOBOAS AOB +=+= 由（I）得 66666 1212 1111 2222 ( 1)221 2222 AOB Sxxxx =+=+= 当且仅当 6 2 6 1 xx =即1 21 =xx时，等号成立 奎屯 王新敞 新疆 所以AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值 1； 18解：(I)的可能取值为：0,1,2,n 的分布列为 0 1 2 n-1 n p ts s + 2 )(ts st + 3 2 )(ts st + 1 1 )( + n n ts st n n ts t )( + (II) 的数学希望为 n
15、n n n ts t n ts st n ts st ts st ts s E )()( ) 1(. )( 2 )( 10 1 1 3 2 2 + + + + + + + + + = (1) 1 1 11 1 3 3 2 2 )()( ) 1( )( )2( . )( 2 )( + + + + + + + + + + + = + n n n n n n ts nt ts stn ts stn ts st ts st E ts t (2) (1) (2)得 n n n n n n ts nt ts tn tss t s t E )()( ) 1( )( 11 + + + + = 19.解: 由)
16、14()4( )14()( )4()( )7()7( )2()2( xfxf xfxf xfxf xfxf xfxf = = = += += )10()(+=xfxf, 又(3)0,(7)0ff=而, ( 3)(7)0ff= ( 3)(3)ff，( 3)(3)ff 故函数)(xfy =是非奇非偶函数; (II)由)14()4( )14()( )4()( )7()7( )2()2( xfxf xfxf xfxf xfxf xfxf = = = += += )10()(+=xfxf 又(3)(1)0(11)(13)( 7)( 9)0ffffff= 故 f(x)在0,10和-10,0上均有有两个解,
17、 从而可知函数)(xfy =在0,2005上有 402 个解,在-2005.0上有 400 个解, 所以函数)(xfy =在-2005,2005上有 802 个解 奎屯 王新敞 新疆 20.解(I) （1）当0=k时,此时 A 点与 D 点重合, 折痕所在的直线方程 2 1 =y 奎屯 王新敞 新疆 （2）当0k时，将矩形折叠后 A 点落在线段 CD 上的点为 G(a,1)(02)a， 所以 A 与 G 关于折痕所在的直线对称，有kak a kkOG=1 1 , 1 故 G 点坐标为) 1 ,( kG ( 20)k 奎屯 王新敞 新疆 从而折痕所在的直线与 OG 的交点坐标（线段 OG 的中点
18、）为) 2 1 , 2 ( k M 奎屯 王新敞 新疆 折痕所在的直线方程) 2 ( 2 1k xky+=，即 2 1 22 k ykx=+( 20)k 奎屯 王新敞 新疆 由（1） 、 （2）得折痕所在的直线方程为： k=0 时， 2 1 =y；0k时 2 1 22 k ykx=+( 20)k 奎屯 王新敞 新疆 （II）当0k =时，折痕的长为 2; 当0k时, 如下图， 折痕所在的直线与边 AD、 BC 的交点坐标为 22 11 (0,), (2,2) 22 kk NPk + + 奎屯 王新敞 新疆 (1) P NM G D C B (A)o y x 这时，230k +， 222 444
19、(1)(4,16(23)yPNkk=+=+ 奎屯 王新敞 新疆 如下图，折痕所在的直线与边 AD、AB 的交点坐标为)0 , 2 1 (), 2 1 , 0( 22 k k P k N + + 奎屯 王新敞 新疆 (2) P N M G D C B (A)o y x 这时，123k +， 2223 222 2 11(1) ()() 224 kkk yPN kk + =+ = 奎屯 王新敞 新疆 22223222 / 43 3(1)24(1)8(1) (21) 162 kkkkkkk y kk + = 奎屯 王新敞 新疆 令0 / =y解得 2 2 =k ， 1 223 2 27 |2,|,|16(23), 16 k k k yyy = = + = = 27 ,16(23) 16 y 奎屯 王新敞 新疆 如下图，折痕所在的直线与边 CD、AB 的交点坐标为 22 11 (,1), (,0) 22 kk NP kk + 奎屯 王新敞 新疆 (3) P N M G D C B (A)o y x 这时，21k ， 22 15 ( )1 ,2) 4 yPN k =+ 奎屯 王新敞 新疆 综上述， max 16(23)y= 奎屯 王新敞 新疆 所以折痕的长度的最大值16(23)2( 62)( 2.07)= 奎屯 王新敞 新疆
