1、以時間序列分析法建立以時間序列分析法建立臺灣一等二級水準網各測段閉合臺灣一等二級水準網各測段閉合差之自我迴歸模型差之自我迴歸模型 前言前言 自我回歸過程自我回歸過程 實驗與成果實驗與成果 結論與討論結論與討論 參考文獻參考文獻前前 言言 時間序列（Time series），係指以時間順序型態出現之一連串觀測值集合，或更確切的說，對某動態系統（Dynamic System）隨時間連續觀察所產生有順序的觀測值集合。利用的數據包含有測段閉合差、測段長、坡度、往返施測時的氣溫及測段方位角等眾多數據。P.Vanicek and M.Craymer，1983 時間序列分析的主要目標之一為對時間序列的資料作
2、預測，本次報告以測段長度當為時間軸，測段閉合差視為觀測值，進行自我回歸（Autoregressive）自自 我我 回回 歸歸 過過 程程 一個次數為p，的自我回歸模型，簡稱AR（p），被定義為(1)自我回歸過程名稱的由來乃因當期之觀測值Xt為依同一數列諸個前期觀測值Xt-1,Xt-2,Xt-p之回歸。林茂文，1992 tptptttaXXXX.2211自自 我我 回回 歸歸 過過 程程-續續1 在一穩定隨機過程 中，分別取第i期與第i+j期之隨機變數 、定義其共變數為 (2)(3)被稱為第j期差之自我相關係數（The jth-lag Autocorrelation），且 被稱為自我相關函數（A
3、utocorrelation Function，ACF）。1iiXiXjiXkttjiijZZEXX),cov(0)var()var(),cov(jjiijiijXXXXj 0jj自自 我我 回回 歸歸 過過 程程-續續2 做迴歸工作之前，吾人須先繪製時間序列圖及計算樣本自我相關函數（Sample Autocorrelation Function），。若某序列的 值呈極緩慢消失，以及序列圖不在一固定水準內擺動，則顯示此序列為非平穩型，吾人須先將此序列差分d次直到序列之SACF很快消失為止。kSACFkSACF自自 我我 回回 歸歸 過過 程程-續續3 模型為AR(p)的時間序列 ，為確定p值，
4、吾人可利用偏自我相關係數（Partial Autocorrelations）。由(1)式，將其改寫為 (4)其中 被稱為 之第k期差（k-th lag）的偏自我相關係數，k=1,2,；而 被稱為偏自我相關函數（Partial Autocorrelation Function，PACF）。tXtktkktktktaXXXX.2211kktX1kkk自自 我我 回回 歸歸 過過 程程-續續4 由Cramers法則，可分別解：J.Douglas Faires and Richard Burden,2003111111112112211111121121312211133自自 我我 回回 歸歸 過過
5、程程-續續5 因每一 為自我迴歸式AR(k)模型中，當 已進入模型時，Xt-k與Xt之偏相關係數，又Xt-k與Xt來自同一序列，因此而得偏自我相關係數之名。葉小蓁，19981.1.1.1.1.11321123111221132123111221kkkkkkkkkkkkkkk3k,.,)1(21ktttXXXkk自自 我我 回回 歸歸 過過 程程-續續6 鑑定單純的AR(p)模型，若僅用SACF不夠，尚須考慮SPACF的顯著性以判定階數p；故在應用上以Quenouille的公式以求出SPACF，之截點。設 為一平穩的時間序列，由某一自我迴歸模型AR(p)產生，其PACF理論值中，1jjjNttX
6、10kk1pk自自 我我 回回 歸歸 過過 程程-續續7 期差k大於p之後的具有以下兩個漸進性質：(1)當N夠大時（N50），。(9)(2)的漸近抽樣分配為 ，。(10)由(9)式可知，被稱為SPACF 之大期差的標準誤差（Large-Lag Standard Error of ）。Nkk1)var(1pkkk)1,0(NNkk1pk1,1).(.pkNESkk1jjjkk自自 我我 回回 歸歸 過過 程程-續續8依上所述，可以統計檢定的方式逐步檢定 之顯著性：葉小蓁，1998 利用z統計量進行檢定：由估計出來的 與 可以算得每個估值的z統計量，再根據選定的顯著水準判定是否接受H0，若拒絕H0
7、，表示此估計參數是顯著的，在迴歸方程模式中有其存在的必要；若結果是接受H0，表示此估值不顯著，在迴歸方程模式中無存在的必要 1jjjPACF0:0:10iiiiHH).(.iiiiiiESzii).(.iiES自自 我我 回回 歸歸 過過 程程-續續9 另因AR(p)模型的理論PACF值之特徵為截斷（cut off）於p期之後，故若經檢定接受H0，則，均可直接判定接受H0。不論是平穩或非平穩的整合自我迴歸移動平均模型（Autoregressive Imtegrated Moving Average Model of Order(p,d,q)，ARIMA(p,d,q)）模型，均可表示為自我迴歸形
8、式。故MA(p)、ARMA(p,q)模型，均可表為AR()形式。因此應用上，任一時間序列經是否需差分的測試後，即可循序漸進的以AR(k)模型來配置（fitted）。葉小蓁，1998 實實 驗驗 與與 成成 果果 2002年測設的台灣一等二級水準網共有86條測線，1154個測段，以K999水準點視為一穩定之高程參考點 實實 驗驗 與與 成成 果果-續續1 編號第15、16、59、61及73號測線因經系統誤差改正後測線內測段之往返閉合差或有超過規範值（2.5mmK）之情事，故其閉合差值並無顯示列出，因此本次實驗亦無將此五測線列入計算、實驗。扣除上段所述的五條測線後，將其餘測線所包含的測段（共101
9、5條）長度依長短作排序視為時間序列的時間軸，閉合差視為觀測值，繪製時間序列圖 實實 驗驗 與與 成成 果果-續續2 由圖（二）可知，閉合差值似有隨著橫軸數值增加的趨勢，即序列圖不在一固定水準內擺動，另由統計檢定武漢測繪科技大學測量平差教研室，1996，設統計量故接受 即此序列為非平穩型態，取其一次差分 0:0H0:1H96.184.471015/0503.105771.1/025.0znxz0:1H實實 驗驗 與與 成成 果果-續續3 統計量 故拋棄 0:0H0:1H96.11148.01015/3314.100048.0/025.0znxz0:1H實實 驗驗 與與 成成 果果-續續4 差分前
10、與差分後數列的自我相關函數（ACF）圖形 可知，經一次差分後的數列其ACF很快的便趨近於0，故可確定經差分d=1次後數列達平穩狀態。未差分一次差分lag10.19112-0.49882lag20.186490.007298lag30.17436-0.01543lag40.186840.012765lag50.184680.015111lag60.15413-0.04537lag70.192580.068128實實 驗驗 與與 成成 果果-續續5 確定差分次數d及其ACF值後，由cramers法則求取偏自我相關函數PACF得 以Quenouille的公式求出PACF 之截點並逐步檢定其顯著性。k
11、kk1234567-0.4988-0.3215-0.2538-0.193-0.1272-0.1567-0.05991jjj實實 驗驗 與與 成成 果果-續續6 Step 1.，依Quenouille公式，每一 ，k=1,2,，之標準誤差為 檢定統計量為 因此 顯著，拒絕H0。Step 2.，因此 顯著，拒絕H0。0.:22110H01:非HHkk0314.010151).(.kkES96.188.150314.004988.0).(.025.0111111zESz110.,0:3322110H01:非HH96.124.100314.003215.0).(.025.0222222zESz實實 驗
12、驗 與與 成成 果果-續續7 依此類推，直到 統計檢定結果 ，因此，不顯著。由此判斷p=7，此時間數列乃由某一AR(7)模型產生。7796.191.1025.0zz77結結 論論 與與 討討 論論 從以上實驗結果發現，可以以一階數為7的自我迴歸模式來擬合將測段長度視為時間軸、閉合差視為觀測值的時間序列，惟迴歸階數是否過高，依理論若一時間序列Xt為MA(q)或ARMA(p,q)，則以AR(k)(k1)配置時，其每一步驟所得的偏迴歸係數均為顯著且無明顯截點。故此次實驗數據可能以ARMA(p,q)進行迴歸較為妥適。從非平穩型數列差分至平穩型數列除以觀察序列的SACF值是否很快消失及序列圖是否在一固定水準內擺動等主觀判斷方式外，是否另有較為客觀的判斷方式？參考文獻參考文獻 P.Vanicek and M.Craymer,1983,Autocorrection Functions as a Diagnostic Tool in Levelling.J.Douglas Faires and Richard Burden,2003,Numerical Method.林茂文，1992。時間數列分析與預測。葉小蓁，1998。時間序列分析與應用。武漢測繪科技大學測量平差教研室，1996。測量平差基礎。
