1、专题15 推理与证明推理与证明推理与证明主 干 知 识 梳 理热 点 分 类 突 破真 题 与 押 题1.以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等以数表、数阵、图形为背景与数列、周期性等知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小知识相结合考查归纳推理和类比推理，多以小题形式出现题形式出现.考2.直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推直接证明和间接证明的考查主要作为证明和推情解理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式理数学命题的方法，常与函数、数列及不等式读等综合命题等综合命题3主干知识梳理1.合情推理合情推理(1)归纳推理归纳推理归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出归纳推理是由某类
2、事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理事实概括出一般结论的推理.归纳推理的思维过程如下：归纳推理的思维过程如下：实验实验、观察观察概括概括、推广推广猜测一般性结论猜测一般性结论(2)类比推理类比推理类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类类比推理是由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理的推理.类比推理的思维过程如下：类比推理的思维过程如下：观察观察、比较比较联想联想、类推类
3、推猜测新的结论猜测新的结论2.演绎推理演绎推理(1)“三段论三段论”是演绎推理的一般模式，包括：是演绎推理的一般模式，包括：大前提大前提已知的一般原理；已知的一般原理；小前提小前提所研究的特殊情况；所研究的特殊情况；结论结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断根据一般原理，对特殊情况做出的判断.(2)合情推理与演绎推理的区别合情推理与演绎推理的区别归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归归纳和类比是常用的合情推理，从推理形式上看，归纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特纳是由部分到整体、个别到一般的推理；类比是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般到特殊的推理殊到特殊的推理；而演绎
4、推理是由一般到特殊的推理.从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，从推理所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理有待进一步证明；演绎推理在大前提、小前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确形式都正确的前提下，得到的结论一定正确.3.直接证明直接证明(1)综合法综合法用用P表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：P?Q1Q1?Q2Q2?Q3 Qn?Q(2)分析法分析法用用Q表示要证明的结论，则分析法可用框
5、图表示为：表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：Q?P1 P1?P2 P2?P3得到一个明显得到一个明显 成立的条件成立的条件4.间接证明间接证明反证法的证明过程可以概括为反证法的证明过程可以概括为“否定否定推理推理否否定定”，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻，即从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题即肯定原命题)的过程的过程.用用反证法证明命题反证法证明命题“若若p，则，则q”的过程可以用如图所示的过程可以用如图所示的框图表示的框图表示.肯定条件肯定条件p导致逻导致逻“既既p，又，又綈q”“若若p，则，则q”否定结论否
6、定结论q辑矛盾辑矛盾为假为假为真为真5.数学归纳法数学归纳法数学归纳法证明的步骤：数学归纳法证明的步骤：(1)证明当证明当n取第一个值取第一个值n0(n0N*)时命题成立时命题成立.(2)假设假设nk(kN*，且，且kn0)时命题成立，证明时命题成立，证明 nk1时命题也成立时命题也成立.由由(1)(2)可知，对任意可知，对任意 nn0，且，且nN*时，命题都时，命题都成立成立.热点分类突破?热点一?热点二?热点三?热点四归纳推理类比推理直接证明和间接证明数学归纳法热点一归纳推理例1(1)有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规有菱形纹的正六边形地面砖，按下图的规)律拼成若干个图案，则第六个图案中
7、有菱形纹的正律拼成若干个图案，则第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是六边形的个数是(思维启迪根据三个图案根据三个图案中的正六边形个中的正六边形个A.26C.32B.31D.36数寻求规律；数寻求规律；解析有菱形纹的正六边形个数如下表：有菱形纹的正六边形个数如下表：图案图案个数个数16211316由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一由表可以看出有菱形纹的正六边形的个数依次组成一个以个以6为首项，以为首项，以5为公差的等差数列，为公差的等差数列，所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是所以第六个图案中有菱形纹的正六边形的个数是65(61)31.故选故选B.答案B(2)两旅客坐火车外出
8、旅游，希望座位连在一起，两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，且有一个靠窗，已知火车上的座位的排法如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是则下列座位号码符合要求的应当是(A.48,49B.62,63C.75,76D.84,85)思维启迪靠窗口的座位靠窗口的座位号码能被号码能被 5整除整除或者被或者被5除余除余1.解析由已知图形中座位的排列顺序，可得：由已知图形中座位的排列顺序，可得：被被5除余除余1的数和能被的数和能被5整除的座位号临窗，整除的座位号临窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析答案
9、中的分析答案中的4组座位号，只有组座位号，只有D符合条件符合条件.答案D归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，归纳递推思想在解决问题时，从特殊情况入手，通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然通过观察、分析、概括，猜想出一般性结论，然后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问后予以证明，这一数学思想方法在解决探索性问题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广题、存在性问题或与正整数有关的命题时有着广思维泛的应用泛的应用.其思维模式是其思维模式是“观察观察归纳归纳猜猜升华想想证明证明”，解题的关键在于正确的归纳猜想，解题的关键在于正确的归纳猜想.变式训练1(1)四个小动物换座位，开始是鼠、
10、猴、兔、猫分别坐四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位上号位上(如图如图)，第一次前后排动物互换座位，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，这样交替进行下去，这样交替进行下去，那么第那么第202次互换座位后，小兔坐在第次互换座位后，小兔坐在第_号座位上号座位上.A.1B.2C.3D.4解析考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在考虑小兔所坐的座位号，第一次坐在1号位上，号位上，第二次坐在第二次坐在2号位上，第三次坐在号位上，第三次坐在 4号位上，第四次坐号位上，第四次坐在在3号位上，第五次坐在号位上，第五次坐在1号位上，号位上，因此小兔的
11、座位数更换次数以因此小兔的座位数更换次数以4为周期，为周期，因为因为2025042，因此第，因此第202次互换后，小兔所在次互换后，小兔所在的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同，的座位号与小兔第二次互换座位号所在的座位号相同，因此小兔坐在因此小兔坐在2号位上，故选号位上，故选B.答案B1 11*(2)已知已知 f(n)1 (n N)，经计算得，经计算得f(4)2，2 3nn 2n*57f(2)(n 2，n N)f(8)，f(16)3，f(32)，则有，则有 _.2224354657解析 由题意得由题意得f(2)，f(2)，f(2)，f(2)，22222n 2所以当所以当n 2时，有时
12、，有f(2).2nn 2n*故填故填f(2)(n 2，n N).2热点二类比推理例2 (1)在平面几何中有如下结论：在平面几何中有如下结论：若正三角形若正三角形ABC 的内的内S11切圆面积为切圆面积为S1，外接圆面积为，外接圆面积为S2，则，则.推广到空间几推广到空间几S24何可以得到类似结论：若正四面体何可以得到类似结论：若正四面体ABCD的内切球体积为的内切球体积为V1V1，外接球体积为，外接球体积为V2，则，则 _.V2思维启迪平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；平面几何中的面积可类比到空间几何中的体积；解析平面几何中，圆的面积与圆的半径的平方成平面几何中，圆的面积与圆的半径的平
13、方成正比，正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，而在空间几何中，球的体积与半径的立方成正比，所以所以V1V1227.答案 127 e e(2)已知双曲正弦函数已知双曲正弦函数sh x和双曲余弦函数和双曲余弦函数2xxe ech x与我们学过的正弦函数和余弦函数有与我们学过的正弦函数和余弦函数有2许多类似的性质，许多类似的性质，请类比正弦函数和余弦函数的和角请类比正弦函数和余弦函数的和角xx或差角或差角 公式，公式，写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个写出双曲正弦或双曲余弦函数的一个类类似的正确结论似的正确结论_.思维启迪可利用和角或差角公式猜想，然后验证可利用和角或差角公式猜想，然后验
14、证.解析 ch x ch y sh x shy e e e ee e e e 22221xyxyxyxyxyxyxyxy(e e e e e e e e)4xx yyxx yy1xy(xy)e e(2e 2e)42xy?xy?ch(xy)，故知故知ch(xy)chx chyshx shy，或或sh(xy)shx chychx shy，或或sh(xy)shx chychx shy.答案ch(xy)chx chyshx shy类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是类比推理是合情推理中的一类重要推理，强调的是两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比迁两类事物之间的相似性，有共同要素是产生类比
15、迁移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引移的客观因素，类比可以由概念性质上的相似性引起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题起，如等差数列与等比数列的类比，也可以由解题方法上的类似引起方法上的类似引起.当然首先是在某些方面有一定的当然首先是在某些方面有一定的思维共性，才能有方法上的类比，例共性，才能有方法上的类比，例 2即属于此类题型即属于此类题型.升一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向一般来说，高考中的类比问题多发生在横向与纵向华类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比类比上，如圆锥曲线中椭圆与双曲线等的横向类比以及平面与空间中三角形与三棱锥的纵向类比等以及平面与空间中
16、三角形与三棱锥的纵向类比等.变式训练2a1 a2 an(1)若数列若数列 an是等差数列，是等差数列，bn，则数列则数列 bnn也为等差数列也为等差数列.类比这一性质可知，若正项数列类比这一性质可知，若正项数列cn是等比是等比数列，且数列，且dn也是等比数列，则也是等比数列，则dn的表达式应为的表达式应为()c1 c2 cnc1c2cnA.dn B.dn nnc?c?cnC.dn cn n D.dn c1c2nn1n2nn解析由由an为等差数列，设公差为为等差数列，设公差为d，a1a2 ann 1则则bna1d，2n又正项数列又正项数列cn为等比数列，设公比为为等比数列，设公比为q，则则dn
17、c1c2cncq答案Dnn2?nnn21c1q，故选，故选 D.n?12(2)椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，椭圆与双曲线有许多优美的对偶性质，如对于椭圆有如如对于椭圆有如22xy下命题：下命题：AB 是椭圆是椭圆22 1(a b 0)的不平行于对称轴且的不平行于对称轴且a b2b不过原点的弦，不过原点的弦，M为为AB 的中点，则的中点，则kOMkAB2.那么那么a22xy对于双曲线则有如下命题：对于双曲线则有如下命题：AB 是双曲线是双曲线22 1(a 0，abb 0)的不平行于对称轴且不过原点的弦，的不平行于对称轴且不过原点的弦，M为为AB 的中点，的中点，则则kOMkAB _.解析设设
18、A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，?xx1x2则有则有?0?2，?y1?yy202.22将将A，B代入双曲线代入双曲线xya2b2 1x21y222a21x2y2b2 1，a2b2 1，中得中得两式相减，得两式相减，得x21x2222ay1y22b2，即即?x1x2?x1x2?y1y2?y1y2?a2b2，即即?y1y2?y1y2?2?xxb2，12?x1x2?a2k kbOMABa2.答案 b2a2 即即热点三直接证明和间接证明13?1 an1?例 3 已知数列已知数列 an满足：满足：a1，21 an2?1 an?2，anan10(n 1)；数列数列 bn满足：满足：b
19、n an11 an12an(n 1).思维启迪利用已知递推式中的利用已知递推式中的(1)求数列求数列an，bn的通项公式；的通项公式；特点构造数列特点构造数列12an；解 23?1an1?2?1an?1an12已知已知化为化为2，1an1an11an332而而1a1，4322所以数列所以数列1 an是首项为是首项为，公比为，公比为 的等比数列，的等比数列，43?2?2?33?n1?n122则则1an?，则，则an 1?，4?3?4?3?由由anan10，知数列，知数列an的项正负相间出现，的项正负相间出现，因此因此an(1)n13?2?n11?，4?3?2?2?2?331?n?n1?n122b
20、nan1an?.4?3?4?3?4?3?(2)证明：数列证明：数列bn中的任意三项不可能成等差数列中的任意三项不可能成等差数列.思维启迪否定性结论的证明可用反证法否定性结论的证明可用反证法.证明假设存在某三项成等差数列，不妨设为假设存在某三项成等差数列，不妨设为bn、bp，其中其中m、n、p是互不相等的正整数，可设是互不相等的正整数，可设bm、mnp，而而?1?2?n1bn?随随4?3?n的增大而减小，的增大而减小，那么只能有那么只能有2 bnbmbp，1?2?n11?2?m11?2?p1可得可得 2?，4?3?4?3?4?3?2?2?nm?pm则则2?1?.(*)?3?3?2?2?nm?28
21、当当nm 2时，时，2?2?，(*)式不可能式不可能9?3?3?成立，则只能有成立，则只能有nm 1，?4?2?pm此时等式为此时等式为 1?，3?3?1?2?pm即即?，那么，那么3?3?12pm log，左边为正整数，右，左边为正整数，右33边为无理数，不可能相等边为无理数，不可能相等.所以假设不成立，那么数列所以假设不成立，那么数列 bn中的任意三项不可中的任意三项不可能成等差数列能成等差数列.(1)有关否定性结论的证明常用反证法或举出一有关否定性结论的证明常用反证法或举出一个结论不成立的例子即可个结论不成立的例子即可.(2)综合法和分析法是直接证明常用的两种方法，综合法和分析法是直接证
22、明常用的两种方法，思我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后我们常用分析法寻找解决问题的突破口，然后维升用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和用综合法来写出证明过程，有时候，分析法和华综合法交替使用综合法交替使用.变式训练3等差数列等差数列an的前的前 n项和为项和为 Sn，a1 1 2，S3 9 3 2.(1)求数列求数列an的通项的通项an与前与前n项和项和Sn；?a1 2 1，解 由已知得由已知得?所以所以d 2，?3a1 3d 9 3 2，故故an 2n 1 2，Snn(n 2)，n N.*Sn*(2)设设bn(n N)，求证：数列，求证：数列bn中任意不同的中任意不同的n三项都不可
23、能成为等比数列三项都不可能成为等比数列.证明 由由(1)得得bSnnnn 2.假设数列假设数列bn中存在三项中存在三项bp，bq，数列，则数列，则b2qbpbr.即即(q 2)2(p 2)(r 2).br(pqr)成等比成等比(q2pr)(2qpr)2 0.2p，q，r N*，?qpr 0，?2qpr 0，(pr2)2pr，(pr)2 0，pr与与pr矛盾矛盾.所以数列所以数列 bn中任意不同的三项都不可能成等比中任意不同的三项都不可能成等比数列数列.热点四数学归纳法(1)求求an，bn；例4 已知数列已知数列an是各项均不为是各项均不为0的等差数列，的等差数列，Sn为其为其12*前前n项和，
24、且满足项和，且满足S2n1an，n N，数列，数列 bn满足满足 bn2n1?2，n 为奇数，为奇数，?1Tn为数列为数列 bn的前的前 n项和项和.?an1，n 为偶数，为偶数，?2 思维启迪利用利用an的前的前n项确定通项公式项确定通项公式(公差、首项公差、首项)，bn的通的通项公式可分段给出；项公式可分段给出；12解 设设 an首项为首项为a1，公差为，公差为d，在，在S2n1an中，中，2令令2?a1 2S1，n 1,2得得?2?a2 2S3，2?a1 2a1，即即?2?a1d?2?3a1 3d?，解得解得a12，d4，所以，所以an4n2.?2，n为奇数，为奇数，所以所以bn?2n
25、3，n为偶数为偶数.n1 n(2)试比较试比较 T2n与与2n 的大小的大小.32思维启迪先求先求Tn，归纳猜想，归纳猜想Tn与与2n2n的关系，再用数学归纳的关系，再用数学归纳法证明法证明.3 解T2n1223222432422n222n31222422n24(12n)3n1 4n?n 1?412 4 3n 2nn.2331 4n 1n所以所以T2n(2n)(4 4n 1).331n1当当n 1时，时，(4 4n 1)0，331n51当当n 3时，时，(4 4n 1)0，332nnn猜想当猜想当n 2时，时，T2n2 n，32即即n2时，时，4n4n1.下面用数学归纳法证明：下面用数学归纳法
26、证明：当当n2时，时，4216,4219,169，成立；，成立；假设当假设当nk(k2)时成立，即时成立，即4k4k1.则当则当nk1时，时，4k144k4(4k1)16k44k54(k1)1，所以所以nk1时成立时成立.由得，当由得，当n2时，时，4n4n1成立成立.n综上，当综上，当n 1时，时，T2n2 n.32在使用数学归纳法证明问题时，在归纳假设后在使用数学归纳法证明问题时，在归纳假设后,思维纳假设当已知条件证明后续结论时，可以使用纳假设当已知条件证明后续结论时，可以使用升华归纳假设就是证明归纳假设就是证明nk1时的已知条件，把归时的已知条件，把归综合法、分析法、反证法综合法、分析法
27、、反证法.变式训练4111131*已知已知 f(n)1333 3，g(n)2，n N.2342 2nn(1)当当n1,2,3时，试比较时，试比较f(n)与与g(n)的大小关系；的大小关系；解当当n1时，时，f(1)1，g(1)1，所以，所以f(1)g(1)，911当当n 2时，时，f(2)，g(2)，所以，所以f(2)g(2)，88251312当当n 3时，时，f(3)，g(3)，所以，所以f(3)g(3).216216(2)猜想猜想f(n)与与g(n)的大小关系，并给出证明的大小关系，并给出证明.解由由(1)，猜想，猜想f(n)g(n)，下面用数学归纳法给，下面用数学归纳法给出证明出证明当当
28、n1,2,3时，不等式显然成立时，不等式显然成立假设当假设当nk(k3)时不等式成立，时不等式成立，1111 31即即1333 3 2，234k 2 2k那么，当那么，当nk1时，时，1311f(k 1)f(k)3 23，?k 1?2 2k?k 1?111因为因为2(23)2?k 1?2k?k 1?k 31 3k 1323 20.2?k 1?2k2?k 1?k所以所以f(k 1)3212?k 1?2g(k1)，nk1时，不等式成立时，不等式成立.nN*，都有，都有f(n)g(n)成立成立.即当即当由可知，对一切由可知，对一切本讲规律总结1.合情推理的精髓是合情推理的精髓是“合情合情”，即得到的
29、结论符合，即得到的结论符合“情情理理”，其中主要是归纳推理与类比推理，其中主要是归纳推理与类比推理.归纳推理是由归纳推理是由部分得到整体的一种推理模式部分得到整体的一种推理模式.类比推理是由此及彼的类比推理是由此及彼的推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式推理模式；演绎推理是一种严格的证明方式.2.直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，直接证明的最基本的两种证明方法是综合法和分析法，这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式这两种方法也是解决数学问题时常见的思维方式.在实在实际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合际解题时，通常先用分析法寻求解题思路，再用综合法有条理地表述解题
30、过程法有条理地表述解题过程.3.数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题的一种方法，在遇到与正整数有关的数学命题时，要考虑是方法，在遇到与正整数有关的数学命题时，要考虑是否可以使用数学归纳法进行证明否可以使用数学归纳法进行证明.(1)在证明过程中突出两个在证明过程中突出两个“凑凑”字，即一字，即一“凑凑”假设，假设，二二“凑凑”结论，关键是在证明结论，关键是在证明nk1时要用上时要用上nk时的假设时的假设,其次要明确其次要明确nk1时证明的目标，充分考时证明的目标，充分考虑由虑由nk到到nk1时，命题形式之间的区别和联系，时，命题形式之间的区别和联系，
31、化异为同，中间的计算过程千万不能省略化异为同，中间的计算过程千万不能省略.(2)注意注意“两个步骤、一个结论两个步骤、一个结论”一个也不能少，切忌一个也不能少，切忌忘记归纳结论忘记归纳结论.真题与押题?真题感悟?押题精练12真题感悟1.(2019福建福建)若集合若集合a，b，c，d1,2,3,4，且下，且下列四个关系：列四个关系：a1；b1；c2；d4.有且只有一个有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的的个数是个数是_.12真题感悟解析由题意知中有且只有一个正确，其由题意知中有且只有一个正确，其余三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数余
32、三个均不正确，下面分类讨论满足条件的有序数组组(a，b，c，d)的个数：的个数：(1)若正确，即若正确，即a1，则都错误，即，则都错误，即b1，c2，d4.其中其中a1与与b1矛盾，显然此种情况矛盾，显然此种情况不存在；不存在；12真题感悟(2)若正确，即若正确，即b1，则都错误，即，则都错误，即a1，c2，d4，则当，则当b2时，有时，有a3，c1；当；当b3时，有时，有a2，c1，此时有，此时有2种有序数组种有序数组.(3)若正确，即若正确，即c2，则都错误，即，则都错误，即a1，b1，d4，则，则a3，即此种情况有，即此种情况有1种有序数组种有序数组.12真题感悟(4)若正确，即若正确，
33、即d4，则都错误，即，则都错误，即a1，b1，c2，则当，则当d2时，有时，有a3，c4或或a4，c3，有，有2种有序数组；当种有序数组；当d3时，有时，有c4，a2，仅仅1种有序数组种有序数组.综上可得，共有综上可得，共有21216(种种)有序数组有序数组.答案612真题感悟2.(2019陕西陕西)观察分析下表中的数据：观察分析下表中的数据：多面体多面体三棱柱三棱柱五棱锥五棱锥立方体立方体顶点数顶点数面数面数(F)(V)566668棱数棱数(E)91012猜想一般凸多面体中猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是所满足的等式是_.FVE2解析观察观察F，V，E的变化得的变化得FVE2.12
34、押题精练1.圆周上圆周上2个点可连成个点可连成 1条弦，这条弦可将圆面划分条弦，这条弦可将圆面划分成成2部分；圆周上部分；圆周上3个点可连成个点可连成3条弦，这条弦，这3条弦可将条弦可将圆面划分成圆面划分成4部分；圆周上部分；圆周上4个点可连成个点可连成6条弦，这条弦，这6条弦最多可将圆面划分成条弦最多可将圆面划分成 8部分部分.则则n个点连成的弦个点连成的弦最多可把圆面分成最多可把圆面分成 _部分部分.(n1A.2n1C.2nB.2n2D.2)12押题精练解析由已知条件得：由已知条件得：圆周上的点圆周上的点数数234连成的弦数连成的弦数2 1 12把圆面分成的部把圆面分成的部分数分数1212
35、2 223142 234182 23 232 6 4 3 212押题精练5105 416242512 n时，连成的弦数为时，连成的弦数为n?n 1?弦把圆面分成的部分数为弦把圆面分成的部分数为2n1，故选，故选A.2答案A由此可以归纳出，当点数为由此可以归纳出，当点数为；12押题精练2.在计算在计算“1 2 2 3 n(n 1)”时，某同学学到了如时，某同学学到了如1下一种方法：先改写第下一种方法：先改写第k项，项，k(k 1)k(k 1)(k 2)(k3 1)k(k 1)，1由此得由此得 1 2(1 2 3 0 1 2)，312 3(2 3 4 1 2 3)，3 1n(n 1)n(n 1)(n 2)(n 1)n(n 1).12押题精练相加，得相加，得1223n(n1)类比上述方法，计算类比上述方法，计算1n(n1)(n2).3“123234n(n1)(n2)”的结果为的结果为_.12押题精练解析类比类比k(k1)1k(k1)(k2)(k1)k(k1)，3 可得到可得到k(k1)(k2)1k(k1)(k2)(k3)(k1)k(k1)(k2)，4 先逐项裂项，然后累加即得先逐项裂项，然后累加即得1n(n1)(n2)(n3).4 答案14 n(n1)(n2)(n3)
