1、12 LTI系统的框图结构表示。系统的框图结构表示。本章主要内容：本章主要内容：LTI系统的时域分析系统的时域分析卷积积分与卷积和。卷积积分与卷积和。LTI系统的微分方程及差分方程表示。系统的微分方程及差分方程表示。奇异函数。奇异函数。信号的时域分解信号的时域分解用用 表示离散时间信号；表示离散时间信号；用用 表示连续时间信号。表示连续时间信号。()t()n32.0 引言引言 (Introduction)基本思想：基本思想：如果能把任意输入信号分解成基本信号如果能把任意输入信号分解成基本信号的线性组合，那么只要得到了的线性组合，那么只要得到了LTI系统对基本信系统对基本信号的响应，就可以利用系
2、统的线性特性，将系统号的响应，就可以利用系统的线性特性，将系统对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信对任意输入信号产生的响应表示成系统对基本信号的响应的线性组合。号的响应的线性组合。由于由于LTI系统满足齐次性和可加性，并且具有系统满足齐次性和可加性，并且具有时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的时不变性的特点，因而为建立信号与系统分析的理论与方法奠定了基础。理论与方法奠定了基础。4问题的实质：问题的实质：1.研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成研究信号的分解：即以什么样的信号作为构成任任 意信号的基本信号单元，如何用基本信号单意信号的基本信号单元，如何用基本信号单元的线性组合来构
3、成任意信号；元的线性组合来构成任意信号；2.如何得到如何得到LTI系统对基本单元信号的响应。系统对基本单元信号的响应。作为基本单元的信号应满足以下要求：作为基本单元的信号应满足以下要求：1.本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示本身尽可能简单，并且用它的线性组合能够表示（构成）尽可能广泛的其它信号；（构成）尽可能广泛的其它信号；2.LTI系统对这种信号的响应易于求得。系统对这种信号的响应易于求得。5如果解决了信号分解的问题，即：若有如果解决了信号分解的问题，即：若有()()iiix ta x t()()iix ty t则则()()iiiy ta y t 将信号分解可以在时域进行，也可以在频
4、域或变将信号分解可以在时域进行，也可以在频域或变换域进行，相应地就产生了对换域进行，相应地就产生了对LTI系统的时域分析系统的时域分析法、频域分析法和变换域分析法。法、频域分析法和变换域分析法。分析方法分析方法：62.1 离散时间离散时间LTI系统：卷积和系统：卷积和 离散时间信号中离散时间信号中,最简单的是最简单的是 ,我们已经看到我们已经看到可以由它的线性组合构成可以由它的线性组合构成 ，即：，即：()n()u n0()()()nkku nknk一一.用单位脉冲表示离散时间信号用单位脉冲表示离散时间信号 对任何离散时间信号对任何离散时间信号 ,如果每次从其中取出如果每次从其中取出一个点，就
5、可以将信号拆开来，每次取出的一个点一个点，就可以将信号拆开来，每次取出的一个点都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。都可以表示为不同加权、不同位置的单位脉冲。()x n（Discrete-Time LTI Systems:The Convolution Sum）78二二.卷积和卷积和（Convolution sum）于是有于是有：()()()kx nx knk表明：表明：任何信号任何信号 都可以被分解成移位加权的都可以被分解成移位加权的单位脉冲信号的线性组合。单位脉冲信号的线性组合。()x n 如果一个线性系统对如果一个线性系统对 的响应是的响应是 ，由线性特性就有系统对任何输入由线性特性
6、就有系统对任何输入 的响应为：的响应为：()n k()kh n()x n()()()kky nx k h n若系统具有时不变性，即若系统具有时不变性，即：()()nh n若若 ，则则()()nkh nk9因此，只要得到了因此，只要得到了LTI系统对系统对 的响应的响应()n()h n单位脉冲响应单位脉冲响应(impulse response)，就可以得到就可以得到LTI系统对任何输入信号系统对任何输入信号 的响应：的响应：()x n()()()()()ky nx k h nkx nh n 这表明：这表明：一个一个LTI系统可以完全由它的单位脉冲系统可以完全由它的单位脉冲响应来表征。这种求得系统
7、响应的运算关系称为响应来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷卷积和（积和（The convolution sum）。10三三.卷积和的计算卷积和的计算计算方法计算方法：有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。有图解法、列表法、解析法（包括数值解法）。运算过程运算过程：将一个信号将一个信号 不动不动，另一个信号经反转后成另一个信号经反转后成为为 ,再随参变量再随参变量 移位。在每个移位。在每个 值的情况值的情况下，将下，将 与与 对应点相乘，再把乘积的对应点相乘，再把乘积的各点值累加各点值累加，即即得到得到 时刻的时刻的 。()x k()hknn()x k()h nkn()y n例例1：()
8、()nx nu n01()()h nu n1110()()()()()()()1()1kkknnkky nx nh nx k h nku k u nku n01k()()kx ku k.01nk()()h nku nk12例例2：104()0nx notherwise1,06()0nnh notherwise0n6n 014()x kkk()n kh nk13 时时，0n()0y n 时时，04n00(1)11()1111nnn knkkknnny n 时时，46n5410411()11n knknny n 时时，610n4746()1nn kk ny n 时，时，10n()0y n 14 通
9、过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对通过图形帮助确定反转移位信号的区间表示，对于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是于确定卷积和计算的区段及各区段求和的上下限是很有用的。很有用的。例例3.列表法列表法分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：分析卷积和的过程，可以发现有如下特点：与与 的的所有各点都要遍乘一次；所有各点都要遍乘一次；()x n()h n()()kx k h nk 在遍乘后，各点相加时，根据在遍乘后，各点相加时，根据 ，参与相加的各点都具有参与相加的各点都具有 与与 的宗量之的宗量之和为和为 的特点。的特点。()x k()h nkn151021102120420000306
10、3102112031()h n()x n(0)x(1)x(2)x(3)x(1)h(0)h(1)h(2)h(3)h(1)y(0)y(1)y(2)y(3)y(4)y(5)y(6)y优点：优点：缺点缺点：计算非常简单。计算非常简单。只适用于两个有限长序列的卷积和；只适用于两个有限长序列的卷积和；一般情况下，无法写出一般情况下，无法写出 的封闭表达式。的封闭表达式。()y n16（Continuous-Time LTI Systems:The convolution integral）一一.用冲激信号表示连续时间信号用冲激信号表示连续时间信号0()()()tu tdtd 与离散时间信号分解的思想相一致
11、，连续时间信与离散时间信号分解的思想相一致，连续时间信号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号号应该可以分解成一系列移位加权的单位冲激信号的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这种的线性组合。至少单位阶跃与单位冲激之间有这种关系：关系：对一般信号对一般信号 ，可以将其分成很多，可以将其分成很多 宽度的区宽度的区段，用一个阶梯信号段，用一个阶梯信号 近似表示近似表示 。当。当 时时，有有()x t()x t0()()xtx t()x t2.2 连续时间连续时间LTI系统：卷积积分系统：卷积积分17引用引用 ，即：，即：()t1/0()0ttotherwise 则有则有：10()0ttoth
12、erwise ()x t0k(1)k t()x k()xt18 第第 个矩形可表示为：个矩形可表示为：这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号这些矩形叠加起来就成为阶梯形信号 ，即：即：k()()x ktk ()xt()()()kxtx ktk 表明：表明：任何连续时间信号任何连续时间信号 都可以被分解成移位都可以被分解成移位加权的单位冲激信号的线性组合。加权的单位冲激信号的线性组合。()x t()()()x txtd 于是：于是：当当 时，时，0 k()()tkt d()()x tx t19二二.卷积积分卷积积分（The convolution integral）与离散时间系统的分析类似，如果一个线
13、性系统与离散时间系统的分析类似，如果一个线性系统对对 的响应为的响应为 ，则该系统对，则该系统对 的响应可的响应可表示为：表示为：()t()h t()x t()()()y txh t d 表明表明:LTI系统可以完全由它的系统可以完全由它的单位冲激响应单位冲激响应 来表征。这种求得系统响应的运算关系称为来表征。这种求得系统响应的运算关系称为卷积积卷积积分分（The convolution integral）。()h t()()th t()()th t()x t()()()()()y txh tdx th t 若系统是时不变的，即：若若系统是时不变的，即：若 ，则有，则有:于是系统对任意输入于是
14、系统对任意输入 的响应的响应可表示为：可表示为：20三三.卷积积分的计算卷积积分的计算 运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中，运算过程的实质也是：参与卷积的两个信号中，一个不动，另一个反转后随参变量一个不动，另一个反转后随参变量 移动。对每一移动。对每一个个 的值，将的值，将 和和 对应相乘，再计算相对应相乘，再计算相乘后曲线所包围的面积。乘后曲线所包围的面积。tt()x()h t 卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、卷积积分的计算与卷积和很类似，也有图解法、解析法和数值解法。解析法和数值解法。通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很通过图形帮助确定积分区间和积分上下限是很有用的。有
15、用的。210()()()()()()()1(1)()ataaty tx th txh teuu tdedeu tat01()u t01()x例例1:()(),0atx teu ta()()h tu t22例例2:10()0tTx totherwise 02()0ttTh totherwise()()()()()()()y tx th txh tdx thd02T2T()h()x t01tTt23 当当 时，时，0t()0y t 当当 时，时，0tT 201()2ty tdt 当当 时，时，2TtT 21()2tt Ty tdTtT 当当 时，时，23T tT 2221()2()2Tt Ty t
16、dTtT 当当 时，时，3tT()0y t 212T232TT3T2T0t()y t242.3 线性时不变系统的性质线性时不变系统的性质（Properties of Linear Time-Invariant Systems）()()()()()()()()()kky nx nh nx k h nkx nk h kh nx n一一.卷积积分与卷积和的性质卷积积分与卷积和的性质1.交换律：交换律：()()()()()()()()()y tx th txh tdx thdh tx t25结论：结论：一个单位冲激响应是一个单位冲激响应是 的的LTI系统对输入系统对输入信号信号 所产生的响应，与一个单
17、位冲激响应所产生的响应，与一个单位冲激响应是是 的的LTI系统对输入信号系统对输入信号 所产生的响应所产生的响应相同。相同。()h t()x t()h t()x t()x t()y t()h t()x n()y n()h n()h t()y t()x t()h n()x n()y n26()x n12()()h nh n12()()()()y nx nh nh n()x t12()()h th t12()()()()y tx th th t()x n1()h n2()h n1()()x nh n2()()x nh n()y n()x t1()h t2()h t()y t2.分配律：分配律：12
18、121212()()()()()()()()()()()()()()x nh nh nx nh nx nh nx th th tx th tx th t27结论：结论：两个两个LTI系统并联，其总的单位脉冲系统并联，其总的单位脉冲(冲激冲激)响响应等于各子系统单位脉冲应等于各子系统单位脉冲(冲激冲激)响应之和。响应之和。3.结合律结合律:12121212()()()()()()()()()()()()x nh nh nx nh nh nx th th tx th th t()x t1()h t2()h t1()()x th t12()()()()y tx th th t()x n1()h n2
19、()h n12()()()()y nx nh nh n2812()()h th t()x t()x n12()()()()y tx th th t12()()()()y nx nh nh n12()()h nh n 两个两个LTI系统级联时，系统总的单位冲激系统级联时，系统总的单位冲激(脉冲脉冲)响响应等于各子系统单位冲激应等于各子系统单位冲激(脉冲脉冲)响应的卷积。响应的卷积。由于卷积运算满足交换律，因此，系统级联的先后由于卷积运算满足交换律，因此，系统级联的先后次序可以调换。次序可以调换。结论：结论：2912211221()()()()()()()()()()()()x nh nh nx
20、nh nh nx th th tx th th t()x n()y n1()h n2()hn()x t()y t1()h t2()h t()x n()y n2()h n1()h n()x t()y t1()h t2()h t产生以上结论的前提条件：产生以上结论的前提条件：系统必须是系统必须是LTI系统；系统；所有涉及到的卷积运算必须收敛。所有涉及到的卷积运算必须收敛。30如如：()x t平方平方乘乘22()2()y tx t()x t乘乘2平方平方2()4()y tx t若交换级联次序，即成为：若交换级联次序，即成为：又如：若又如：若 ，虽然系统虽然系统都是都是LTI系统。当系统。当 时，如果
21、交换时，如果交换级联次序，则由于级联次序，则由于 不收敛，因而也是不不收敛，因而也是不允许的。允许的。12()()(1),()()h nnnh nu n()1x n()()x nu n()1x n 1()h n2()hn0()0y n 显然与原来是不等价的。因为系统不是显然与原来是不等价的。因为系统不是LTI系统。系统。314.卷积运算还有如下性质：卷积运算还有如下性质：若若 ，则，则()()()x th ty t000()()()()()x tth tx th tty tt卷积积分满足微分、积分及时移特性：卷积积分满足微分、积分及时移特性：()()()x th ty t()()()()()(
22、)()()()()tttx th tx th ty txdh tx thdyd若若 ，则，则32 若若 ，则，则()()()x nh ny n000()()()()()x nnh nx nh nny nn卷积和满足差分、求和及时移特性：卷积和满足差分、求和及时移特性：恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：恰当地利用卷积的性质可以简化卷积的计算：()()()x nh ny n()()()()()nnnkkkx kh nx nh ky k 若若 ，则，则()(1)()()()(1)()(1)x nx nh nx nh nh ny ny n33将将 微分一次有微分一次有:()x t()()()x
23、tttT()x ttT0(1)(1)()()()()()()()()y tx th th tttTh th tT例如：例如：2.2 中的例中的例2根据微分特性有根据微分特性有:02T2Tt()h t34T2TT2T()y t3T2TT0t212T232TT3T2T0t()y t()()ty tyd利用积分特性即可得利用积分特性即可得:35二二.LTI系统的性质系统的性质1.记忆性：记忆性：LTI 系统可以由它的单位冲激系统可以由它的单位冲激/脉冲响应来表征，脉冲响应来表征，因而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）因而其特性（记忆性、可逆性、因果性、稳定性）都应在其单位冲激都应在其单位冲激/
24、脉冲响应中有所体现。脉冲响应中有所体现。()()()ky nx k h nk则在任何时刻则在任何时刻 ，都只能和都只能和 时刻的输入有关，时刻的输入有关，和式中只能有和式中只能有 时的一项为非零，因此必须有：时的一项为非零，因此必须有：根据根据 ，如果系统是无记忆的，如果系统是无记忆的，n()y nnkn()0,h nkkn即：即：()0,0h nn36所以，无记忆系统的单位脉冲所以，无记忆系统的单位脉冲/冲激响应为：冲激响应为：()()()()h nknh tkt 如果如果LTI系统的单位冲激系统的单位冲激/脉冲响应不满足上述要脉冲响应不满足上述要求，则系统是求，则系统是记忆的记忆的。2.可
25、逆性：可逆性：如果如果LTI系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且系统是可逆的，一定存在一个逆系统，且逆系统也是逆系统也是LTI系统，它们级联起来构成一个恒等系系统，它们级联起来构成一个恒等系统。统。()()()()()()x nh nkx nx th tkx t当当 时系统是时系统是恒等系统恒等系统。1k 此时，此时，37()x t()x t()h t()g t因此有：因此有：()()()()()()h tg tth ng nn例如：例如：延时器是可逆的延时器是可逆的LTI系统，系统，其逆系统是其逆系统是 ，显然有：，显然有：0()()h ttt0()()g ttt00()()()()()h
26、tg tttttt 累加器是可逆的累加器是可逆的LTI系统，其系统，其 ，其逆，其逆系统是系统是 ，显然也有：，显然也有：()()h nu n()()(1)g nnn()()()()(1)()(1)()h ng nu nnnu nu nn383.因果性：因果性：由由 ，当，当LTI系统是因果系统系统是因果系统时，在任何时刻时，在任何时刻 ，都只能取决于，都只能取决于 时刻及其时刻及其以前的输入，即和式中所有以前的输入，即和式中所有 的项都必须为零，的项都必须为零，即：即：()()()ky nx k h nkn()y nnkn()0,h nkkn()0,0h nn或或:对连续时间系统有对连续时间
27、系统有:这是这是LTI系统具有因果性的充分必要条件系统具有因果性的充分必要条件。()0,0h tt但差分器是不可逆的。微分器也是不可逆的。但差分器是不可逆的。微分器也是不可逆的。39 根据稳定性的定义，由根据稳定性的定义，由 ，若若 有界，则有界，则 ;若系统稳定，则要若系统稳定，则要 求求 必有界，由必有界，由()()()ky nh k x nk()x n()x nkA()y n()()()()()()kkky nh k x nkh kx nkAh k可知，必须有可知，必须有:()nh n 对连续时间系统，相应有对连续时间系统，相应有:()h t dt 这是这是LTI系统稳定的充分必要条件系
28、统稳定的充分必要条件。4.稳定性：稳定性：405.LTI系统的单位阶跃响应：系统的单位阶跃响应：在工程实际中，也常用单位阶跃响应来描述在工程实际中，也常用单位阶跃响应来描述LTI系统。单位阶跃响应就是系统对系统。单位阶跃响应就是系统对 或或 所产生所产生的响应。因此有的响应。因此有:()u t()u n()()()()()()s tu th ts nu nh n()()()()tds thdh ts tdtLTI系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述。系统的特性也可以用它的单位阶跃响应来描述。()()()()(1)nks nh kh ns ns n412.4 用微分和差分方程描述的因果用微分
29、和差分方程描述的因果LTI系统系统 在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型在工程实际中有相当普遍的一类系统，其数学模型可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来可以用线性常系数微分方程或线性常系数差分方程来描述。分析这类描述。分析这类LTI系统，就是要求解线性常系数微系统，就是要求解线性常系数微分分方程方程或差分方程。或差分方程。一一.线性常系数微分方程线性常系数微分方程（Linear Constant-Coefficient Differential Equation）00()(),kkNMkkkkkkd y td x tabdtdt,kkab均为常数均为常数(Causal LTI
30、 Systems Described by Differential and Difference Equations)42 求解该微分方程，通常是求出求解该微分方程，通常是求出通解通解 和和一个特一个特解解 ，则，则 。特解。特解 是与输是与输入入 同类型的函数，通解同类型的函数，通解 是齐次方程的解，是齐次方程的解，即即 的解。的解。欲求得齐次解，可根据齐欲求得齐次解，可根据齐次方程建立一个特征方程：次方程建立一个特征方程：求出其特求出其特征根。在特征根均为单阶根时，可得出齐次解的形征根。在特征根均为单阶根时，可得出齐次解的形式为：式为：()pyt()hy t()()()phy tyty
31、t()pyt()x t()hy t0()0kNkkkd y tadt00Nkkka1(),kNthkky tC e其中其中 是待定的常数。是待定的常数。kC43 要确定系数要确定系数 ，需要有一组条件，暂且称为，需要有一组条件，暂且称为附附加条件加条件。仅仅从确定待定系数。仅仅从确定待定系数 的角度来看，这一的角度来看，这一组附加条件可以是任意的，包括附加条件的值以及组附加条件可以是任意的，包括附加条件的值以及给出附加条件的时刻都可以是任意的。给出附加条件的时刻都可以是任意的。kCkC()0 x t kC()0y t 当微分方程描述的系统是线性系统时，必须满足系当微分方程描述的系统是线性系统时
32、，必须满足系统零输入统零输入零输出的特性。也就是系统在没有输入，零输出的特性。也就是系统在没有输入，即即 时，时，。此时，微分方程就蜕变成。此时，微分方程就蜕变成齐次方程，因而描述线性系统的微分方程其齐次解齐次方程，因而描述线性系统的微分方程其齐次解必须为零，这就要求所有的必须为零，这就要求所有的 都为零。都为零。44 可以证明：当这组可以证明：当这组零附加条件在信号加入的时刻零附加条件在信号加入的时刻给出时，给出时，LCCDE描述的系统不仅是线性的，也是因描述的系统不仅是线性的，也是因果的和时不果的和时不变的。变的。也就是要求确定待定系数所需的一组也就是要求确定待定系数所需的一组附加条件的附
33、加条件的值必须全部为零值必须全部为零，因此，因此，LCCDE具有一组零附加具有一组零附加条件时，才能描述线性系统。条件时，才能描述线性系统。在信号加入的时刻给出的零附加条件称为在信号加入的时刻给出的零附加条件称为零初始零初始条件条件。45结论：结论：LCCDE具有一组全部为零的初始条件可以描述具有一组全部为零的初始条件可以描述一个一个因果因果的的LTI系统。这组条件是：系统。这组条件是：(1)(0)0,(0)0,(0)0NyyyL L如果一个因果的如果一个因果的LTI系统由系统由LCCDE描述，且方程描述，且方程具有零初始条件，就称该系统具有零初始条件，就称该系统初始是静止的初始是静止的或或最
34、初最初是松弛的。是松弛的。如果如果LCCDE具有一组具有一组不全为零的初始条件不全为零的初始条件，则可，则可以证明它所描述的系统是以证明它所描述的系统是增量线性的增量线性的。46二二.线性常系数差分方程线性常系数差分方程:(Linear Constant-Coefficient Difference Equation)一般的线性常系数差分方程可表示为：一般的线性常系数差分方程可表示为：与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个与微分方程一样，它的解法也可以通过求出一个特特解解 和通解，即齐次解和通解，即齐次解 来进行，其过程与解来进行，其过程与解微分方程类似。微分方程类似。00()()NMkk
35、kka y nkb x nk()pyn()hy n 要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组要确定齐次解中的待定常数，也需要有一组附加附加条件条件。同样地，。同样地，当当LCCDE具有一组全部为零的初始具有一组全部为零的初始条件时，所描述的系统是线性、因果、时不变的条件时，所描述的系统是线性、因果、时不变的。47对于差分方程，还可以将其改写为：对于差分方程，还可以将其改写为：0101()()()MNkkkky nb x nka y nka()x n(1),(2),()yyyNL L(0)y 可以看出：要求出可以看出：要求出 ，不仅要知道所有的，不仅要知道所有的 ，还要知道还要知道 ，这就是一组，
36、这就是一组初始条初始条件件，由此可以得出，由此可以得出 。进一步，又可以通过。进一步，又可以通过 和和 求得求得 ,依次类推可求出依次类推可求出所有所有 时的解。时的解。(0)y(0)y(1),(2),(1)yyyNL L(1)y0n 若将差分方程改写为：若将差分方程改写为：481001()()()MNkkkkNy nNb x nka y nka 则可由则可由 求得求得 ，进而由，进而由 可求得可求得 ，依次可推出，依次可推出 时的解。时的解。由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称为由于这种差分方程可以通过递推求解，因而称为递归方程递归方程（recursive equation）。）。(1)
37、,(2),()yyy N(0),y(0)y(1),(2),(1)yyy N(1)y 0n 当当 时，差分方程变为：时，差分方程变为：0,0kak00()()Mkkby nx nka49 此时此时,解方程不再需要迭代运算，因而称为解方程不再需要迭代运算，因而称为非递非递归方程归方程（nonrecursive equation）。）。显然，此时方显然，此时方程就是一个卷积和的形式，其中程就是一个卷积和的形式，其中 此时，系统单位脉冲响应此时，系统单位脉冲响应 是有限长的是有限长的,因而因而把这种方程描述的把这种方程描述的LTI系统称为系统称为FIR（Finite Impulse Response）
38、系统系统。将递归方程描述的系统。将递归方程描述的系统称为称为IIR（Infinite Impulse Response）系统系统,此时系此时系统的单位脉冲响应是一个无限长的序列。统的单位脉冲响应是一个无限长的序列。0(),0nbh nnMa()h n50 FIR系统与系统与IIR系统是离散时间系统是离散时间LTI系统中两类系统中两类很很重要的系统，它们的特性、结构以及设计方法重要的系统，它们的特性、结构以及设计方法都存在很大的差异。都存在很大的差异。由于无论微分方程还是差分方程的特解都具有由于无论微分方程还是差分方程的特解都具有与与输入信号相同的函数形式，即特解完全输入信号相同的函数形式，即特
39、解完全是由输是由输入信号决定的，因而特解所对应的这一部分响应入信号决定的，因而特解所对应的这一部分响应称为称为受迫响应受迫响应或或强迫响应强迫响应。齐次解所对应的部分。齐次解所对应的部分由于与输入信号无关，也称为系统的由于与输入信号无关，也称为系统的自然响应自然响应。51 增量线性系统的响应分为增量线性系统的响应分为零状态响应零状态响应和和零输入零输入响应响应。零输入响应由于与输入信号无关，因此它。零输入响应由于与输入信号无关，因此它属于自然响应。零状态响应既与输入信号有关，属于自然响应。零状态响应既与输入信号有关，也与系统特性有关，因而它包含了受迫响应，也也与系统特性有关，因而它包含了受迫响
40、应，也包含有一部分自然响应。包含有一部分自然响应。三三.由微分和差分方程描述的由微分和差分方程描述的LTI系统的方框图表示系统的方框图表示（Block-Diagram Respresentation of the LTI System described by LCCDE）52 由由LCCDE 描述的系统，其数学模型是由一些基描述的系统，其数学模型是由一些基本运算来实现的，如果能用一种图形表示方程的运本运算来实现的，如果能用一种图形表示方程的运算关系，就会更加形象直观；另一方面算关系，就会更加形象直观；另一方面,分析系统分析系统很重要很重要的的目的是为了设计或实现一个系统目的是为了设计或实现一
41、个系统,用图形用图形表示系统的数学模型表示系统的数学模型,将对系统的特性仿真、硬件将对系统的特性仿真、硬件或软件实现具有重要意义。或软件实现具有重要意义。不同的结构也会在设计和实现一个系不同的结构也会在设计和实现一个系统时带来不统时带来不同的影响：如系统的成本、灵敏度、误差及调试难同的影响：如系统的成本、灵敏度、误差及调试难度等方面都会有差异。度等方面都会有差异。531.由差分方程描述的由差分方程描述的LTI系统的方框图表示：系统的方框图表示：由由 可看出：可看出：方程中包括三种基本运算：乘系数、相加、移位方程中包括三种基本运算：乘系数、相加、移位（延迟）（延迟）。这些运算可用以下符号表示：。
42、这些运算可用以下符号表示：0101()()()MNkkkky nb x nka y nkaaababD()x n(1)x n若令若令 ,则则0()()Mkkw nb x nk54101()()()Nkky nw na y nkaDDD()x n()w n0b1b2b1MbMbDDD()w n()y n01/a1a2a1NaNa直接直接型型据此可得方框图：据此可得方框图：0()()Mkkw nb x nk55 将其级联起来将其级联起来,就成为就成为LCCDE描述的系统，它具描述的系统，它具有与差分方程完全相同的运算功能。显然有与差分方程完全相同的运算功能。显然,它可以它可以看成是两个级联的系统，
43、可以调换其级联的次序看成是两个级联的系统，可以调换其级联的次序,并将移位单元合并，于是得到：并将移位单元合并，于是得到：直接直接型型DDD()x n()y n0b1b2b1NbNb01/a1a2a1NaNa56 2.由微分方程描述的由微分方程描述的LTI系统的方框图表示：系统的方框图表示：由由 看出它也包括三种基本看出它也包括三种基本运算：微分、相加、乘系数。运算：微分、相加、乘系数。但由于微分器不仅在工程实现上有困难，而且对但由于微分器不仅在工程实现上有困难，而且对误差及噪声极为灵敏，因此，工程上通常使用积分误差及噪声极为灵敏，因此，工程上通常使用积分器而不用微分器。器而不用微分器。将微分方
44、程两边同时积分将微分方程两边同时积分 N 次，即可得到一个积次，即可得到一个积分方程：分方程：00()()kkNNkkkkkkd y td x tabdtdt()()00()()NNkNkkNkkka ytb xt571()()001()()()NNkN kkN kkkNy tb xta yta()w t ()w t()y t1/Na1Na2Na1a0a()x t()w tNb1Nb2Nb1b0b直接直接型型对此积分方程完全按照差分方程的办法有对此积分方程完全按照差分方程的办法有：58()x t()y t1/Na1Na2Na1a0aNb1Nb2Nb1b0b直接直接型型通过交换级联次序，合并积分
45、器可得直接通过交换级联次序，合并积分器可得直接型：型：59（Singularity function）例如例如:以下信号的面积都等于以下信号的面积都等于1 1，而且在，而且在 时，它们的极限都表现为单位冲激。时，它们的极限都表现为单位冲激。02.5 奇异函数奇异函数 在第一章中介绍单位冲激时，开始将在第一章中介绍单位冲激时，开始将 定义定义为为 显然是不严密的，因为显然是不严密的，因为 在在不连续。进而采用极限的观点，将不连续。进而采用极限的观点，将 视为视为 在在 时的极限。但这种定义或描述时的极限。但这种定义或描述 的方法的方法在数学上仍然是不严格的，因为有许多不同的函在数学上仍然是不严格
46、的，因为有许多不同的函数在数在 时都表现为与时都表现为与 有相同的特性。有相同的特性。()()du ttdt()u t0t()t()t0()t0()t()t6001t()t021t()()()r ttt0241t()()r tr t6101t 1teu t01tsintt62 之所以产生这种现象，是因为之所以产生这种现象，是因为 是一个理想化是一个理想化的非常规函数，被称为的非常规函数，被称为奇异函数奇异函数。通常采用在卷积。通常采用在卷积或积分运算下函数所表现的特性来定义奇异函数。或积分运算下函数所表现的特性来定义奇异函数。()t一一.通过卷积定义通过卷积定义()t 从系统的角度从系统的角度
47、,可以说可以说 是一个恒等系统的是一个恒等系统的 单位冲激响应单位冲激响应,因此，因此，这就是这就是在卷积运算下在卷积运算下 的定义。的定义。()t()()()x tx tt()t()t根据定义可以得出根据定义可以得出 的如下性质：的如下性质：6300()()()()()()()()()x ttx ttttttttt 当当 时，有时，有()1x t()()()()()1x ttx tdd ()1t dt 由此定义可得：由此定义可得：()()()()()gttgtdgt 若若 ，则有：，则有：0t(0)()()ggd 64 二二.通过积分定义通过积分定义()t 积分表达式积分表达式 也可以作为也
48、可以作为在积分运算下的定义，这就是在积分运算下的定义，这就是分配函数分配函数的定义方法。的定义方法。(0)()()gg tt dt()t 此式即可作为在积分运算下此式即可作为在积分运算下 的定义式。的定义式。()t 据此定义又可以推出：据此定义又可以推出：若若 是奇函数，则是奇函数，则 ，因此，因此 是偶函数是偶函数，即：即：()g t(0)0g()t()()tt()()gx t若令若令 ，代入积分定义式就有，代入积分定义式就有：65 这就是卷积运算下的定义。这就是卷积运算下的定义。()(0)()()()()()()x tggdx tdx tt ()f tt()0tt若若 ，则可推出，则可推出
49、12()()tf ttf t12()()()f tf tCt因此，若有因此，若有 ,则则(0)(0)()()()(0)()()gfg t f tt dtfg tt dt()()(0)()f ttft 根据积分下的定义有：根据积分下的定义有：66三三.单位冲激偶及其他奇异函数单位冲激偶及其他奇异函数 理想微分器的单位冲激响应应该是理想微分器的单位冲激响应应该是 的的微分，微分，记为记为 ，从卷积运算或，从卷积运算或LTI系统分析的角系统分析的角度应该有：度应该有：()t1()()du ttdt1()()()dx tu tx tdt0t(1)(1)1()u t1()u t 称为称为单位冲激偶单位冲
50、激偶（Unit doublet）微分器微分器()x t()dx tdt67 当当 时，有：时，有：()1x t 11()()()0 x tudud1()0u t dt 考察考察 当当 时，有时，有 ，此积分可，此积分可作为作为 在积分意义下的定义。在积分意义下的定义。11()()()()()()tgtu tgt udddgtgdtd 0t 1(0)()()ggud1()u t由此定义出发可以推出：由此定义出发可以推出：68 若若 是一个偶函数，则是一个偶函数，则 。由此可推。由此可推得得 是是奇函数奇函数，即：，即：11()()utu t(0)0g1()u t()g t 考察考察1001()(
