1、 1 六年级数学上册组合图形的周长和面积六年级数学上册组合图形的周长和面积 例例 1.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：这是最基本的方法： 圆面积减去等腰直角三角形的面积， -21=1.14（平方厘米） 例例 2.正方形面积是 7 平方厘米，求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：这也是一种最基本的方法用正方形的面积减去 圆的面积。 设圆的半径为 r，因为正方形的面积为 7 平方厘米，所以 =7， 所以阴影部分的面积为：7-=7-7=1.505 平方厘米 例例 3.求图中阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：最基本的方法之一。用四个 圆组成一个圆，用正方形的面积减去圆的 面积， 所以阴影部分的
2、面积：22-0.86 平方厘米。 例例 4.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：同上，正方形面积减去圆面积， 16-()=16-4 =3.44 平方厘米 例例 5.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：这是一个用最常用的方法解最常见的题，为方便起见， 我们把阴影部分的每一个小部分称为“叶形”，是用两个圆减去一个正方 形， ()2-16=8-16=9.12 平方厘米 另外：此题还可以看成是 1 题中阴影部分的 8 倍。 2 例例 6.如图：已知小圆半径为 2 厘米，大圆半径是小圆的 3 倍，问：空白部分甲比乙的面积 多多少厘米？ 解：两个空白部分面积之差就是两圆面积之差（全加上阴影部分） -(
3、)=100.48 平方厘米 （注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关）（注：这和两个圆是否相交、交的情况如何无关） 例例 7.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：正方形面积可用(对角线长对角线长2，求) 正方形面积为：552=12.5 所以阴影面积为：4-12.5=7.125 平方厘米 (注注:以上几个题都可以直接用图以上几个题都可以直接用图形的差来求形的差来求,无需割、补、增、减变形无需割、补、增、减变形) 例例 8.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：右面正方形上部阴影部分的面积，等于左面正方形下部空白部分面 积，割补以后为 圆， 所以阴影部分面积为： ()=3.14 平方厘米 例例
4、 9.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：把右面的正方形平移至左边的正方形部分，则阴影部分合成一个长方形， 所以阴影部分面积为：23=6 平方厘米 例例 10.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：同上，平移左右两部分至中间部分，则合成一个长方形， 所以阴影部分面积为 21=2 平方厘米 (注: 8、9、10 三题是简单割、补或平移) 例例 11.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解： 这种图形称为环形，可以用两个同心圆的面积差或差的一部分来求。 （ -）= 3.14=3.66 平方厘米 3 例例 12.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：三个部分拼成一个半圆面积 () 14.13 平方厘
5、米 例例 13.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解: 连对角线后将“叶形“剪开移到右上面的空白部分,凑成正方形的一半. 所以阴影部分面积为：882=32 平方厘米 例例 14.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：梯形面积减去 圆面积， (4+10)4- =28-4=15.44 平方厘米 . 例例 15.已知直角三角形面积是 12 平方厘米，求阴影部分的面积。 分析: 此题比上面的题有一定难度,这是“叶形“的一个半. 解: 设三角形的直角边长为 r，则=12，=6 圆面积为：2=3。圆内三角形的面积为 122=6， 阴影部分面积为：(3-6) =5.13 平方厘米 例例 16.求阴影部分的面
6、积。(单位:厘米) 解： = (116-36)=40=125.6 平方厘米 例例 17.图中圆的半径为 5 厘米,求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：上面的阴影部分以 AB 为轴翻转后，整个阴影部分成为梯形减去直 角三角形，或两个小直角三角形 AED、BCD 面积和。 所以阴影部分面积为：552+5102=37.5 平方厘米 4 例例 18.如图，在边长为 6 厘米的等边三角形中挖去三个同样的扇形,求阴影 部分的周长。 解：阴影部分的周长为三个扇形弧，拼在一起为一个半圆弧， 所以圆弧周长为：23.1432=9.42 厘米 例例 19.正方形边长为 2 厘米，求阴影部分的面积。 解：右半部分上
7、面部分逆时针，下面部分顺时针旋转到左半部分，组成一个 矩形。 所以面积为：12=2 平方厘米 例例 20.如图，正方形 ABCD 的面积是 36 平方厘米，求阴影部分的面积。 解：设小圆半径为 r，4 =36, r=3，大圆半径为 R，=2 =18, 将阴影部分通过转动移在一起构成半个圆环, 所以面积为:(- )2=4.5=14.13 平方厘米 例例 21.图中四个圆的半径都是 1 厘米，求阴影部分的面积。 解：把中间部分分成四等分，分别放在上面圆的四个角上，补成一个正方形， 边长为 2 厘米， 所以面积为：22=4 平方厘米 例例 22. 如图，正方形边长为 8 厘米，求阴影部分的面积。 解
8、法一: 将左边上面一块移至右边上面,补上空白,则左边为一三角形,右 边一个半圆. 阴影部分为一个三角形和一个半圆面积之和. ()2+44=8+16=41.12 平方厘米 解法二: 补上两个空白为一个完整的圆. 所以阴影部分面积为一个圆减去一个叶形,叶形面积为:()2-44=8-16 5 所以阴影部分的面积为:()-8+16=41.12 平方厘米 例例 23.图中的 4 个圆的圆心是正方形的 4 个顶点，它们的公共点是该正方形的中心，如果 每个圆的半径都是 1 厘米，那么阴影部分的面积是多少？ 解：面积为个圆减去个叶形，叶形面积为： -11= -1 所以阴影部分的面积为:4-8( -1)=8 平
9、方厘米 例例 24.如图，有 8 个半径为 1 厘米的小圆，用他们的圆周的一部分连成一个花瓣图形，图中 的黑点是这些圆的圆心。如果圆周 率取 3.1416，那么花瓣图形的的面积是多少平方厘 米？ 分析：连接角上四个小圆的圆心构成一个正方形，各个小圆被切去个圆， 这四个部分正好合成个整圆，而正方形中的空白部分合成两个小圆 解：阴影部分为大正方形面积与一个小圆面积之和 为：44+=19.1416 平方厘米 例例 25.如图，四个扇形的半径相等，求阴影部分的面积。(单位:厘米) 分析：四个空白部分可以拼成一个以为半径的圆 所以阴影部分的面积为梯形面积减去圆的面积， 4(4+7)2-=22-4=9.4
10、4 平方厘米 例例 26.如图，等腰直角三角形 ABC 和四分之一圆 DEB，AB=5 厘米，BE=2 厘米，求图中阴影 部分的面积。 解: 将三角形 CEB 以 B 为圆心，逆时针转动 90 度，到三角形 ABD 位置, 阴影部分成为三角形 ACB 面积减去 个小圆面积, 为: 552-4=12.25-3.14=9.36 平方厘米 例例 27.如图，正方形 ABCD 的对角线 AC=2 厘米，扇形 ACB 是以 AC 为直径 的半圆，扇形 DAC 是以 D 为圆心，AD 为半径的圆的一部分，求阴影部分 的面积。 解: 6 因为 2=4，所以=2 以 AC 为直径的圆面积减去三角形 ABC 面
11、积加上弓形 AC 面积， -224+4-2 = -1+( -1) =-2=1.14 平方厘米 例例 28.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解法一：设 AC 中点为 B,阴影面积为三角形 ABD 面积加弓形 BD 的面 积, 三角形 ABD 的面积为:552=12.5 弓形面积为:2-552=7.125 所以阴影面积为:12.5+7.125=19.625 平方厘米 解法二：右上面空白部分为小正方形面积减去 小圆面积，其值为：55- =25- 阴影面积为三角形 ADC 减去空白部分面积，为：1052-（25-）=19.625 平方厘米 例例 29.图中直角三角形 ABC 的直角三角形的直角边 A
12、B=4 厘米，BC=6 厘米，扇形 BCD 所在圆 是以 B 为圆心，半径为 BC 的圆，CBD=，问：阴影部分甲比乙面积小多少？ 解: 甲、乙两个部分同补上空白部分的三角形后合成一个扇形 BCD，一个成为三角形 ABC， 此两部分差即为： 465-12=3.7 平方厘米 例例 30.如图， 三角形 ABC 是直角三角形， 阴影部分甲比阴影部分乙面积大 28 平方厘米， AB=40 厘米。求 BC 的长度。 7 解：两部分同补上空白部分后为直角三角形 ABC，一个为半圆，设 BC 长为 X，则 40X2-2=28 所以 40X-400=56 则 X=32.8 厘米 例例 31.如图是一个正方形
13、和半圆所组成的图形，其中 P 为半圆周的中点， Q 为正方形一边上的中点，求阴影部分的面积。 解：连 PD、PC 转换为两个三角形和两个弓形， 两三角形面积为： APD 面积+QPC 面积= （510+55） =37.5 两弓形 PC、PD 面积为： -55 所以阴影部分的面积为：37.5+-25=51.75 平方厘米 例例 32.如图，大正方形的边长为 6 厘米，小正方形的边长为 4 厘米。求阴影部分的面积。 解：三角形 DCE 的面积为: 410=20 平方厘米 梯形ABCD的面积为: (4+6)4=20平方厘米 从而知道它们面积相 等,则三角形 ADF 面积等于三角形 EBF 面积， 阴
14、影部分可补成 圆 ABE 的 面积，其面积为： 4=9=28.26 平方厘米 例例 33.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解:用 大圆的面积减去长方形面积再加上一个以 2 为半径的 圆 ABE 面积，为 (+)-6 = 13-6 =4.205 平方厘米 例例 34.求阴影部分的面积。(单位:厘米) 解：两个弓形面积为：-342=-6 阴影部分为两个半圆面积减去两个弓形面积，结果为 8 +-（-6）=（4+-）+6=6 平方厘米 例例 35.如图，三角形 OAB 是等腰三角形，OBC 是扇形，OB=5 厘米，求阴影部分的面积。 解：将两个同样的图形拼在一起成为 圆减等腰直角三角形 4-552
15、=（-）2=3.5625 平方厘米 例例 36.如图 1910 所示，两圆半径都是 1 厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。求长方 形 ABO1O 的面积。 B 解：因为两圆的半径相等，所以两个扇形中的空白部分相等。又因为图中两个阴影部分的 面积相等，所以扇形的面积等于长方形面积的一半（如图 1910 右图所示） 。 所以 3.14121 4 21.57（平方厘米） 答：长方形长方形 ABO1O 的面积是 1.57 平方厘米。 例例 37.如图 1914 所示，求阴影部分的面积（单位：厘米） 。 解：我们可以把三角形 ABC 看成是长方形的一部分，把它还原成长方形后（如右图所示） ， 因为原大
16、三角形的面积与后加上的三角形面积相等，并且空白部分的两组三 角形面积分别相等，所以 I 和 II 的面积相等。 6424（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 24 平方厘米。 例例 38 如图 1918 所示，图中圆的直径 AB 是 4 厘米，平行四边形 ABCD 的面积是 7 平方 A O O 1914 C D A B E 4 6 II I 9 厘米，ABC30 度，求阴影部分的面积（得数保留两位小数） 。 解：阴影部分的面积等于平行四边形的面积减去扇形 AOC 的面积，再减去三角形 BOC 的 面积。 半径：422（厘米） 扇形的圆心角：180（180302）60（度） 扇形的面积：223.
17、14 60 360 2.09（平方厘米） 三角形 BOC 的面积：7221.75（平方厘米） 7（2.09+1.75）3.16（平方厘米） 答：阴影部分的面积是 3.16 平方厘米。 组合图形的周长与面组合图形的周长与面积练习题积练习题 圆的周长和面积(一) 【知识要点】 ：用剪拼移补的方法计算组合图形的面积 1、计算下面图形中涂色部分的面积。 （单位：厘米） 3 1 5 3 2、求下面图形中涂色部分的面积。 （单位：厘米） 5 5 8 3、下面两个圆中直角等腰三角形的面积都是 5 平方厘米，求圆的面积。 O 4、如下图示，AB4 厘米，求涂色部分的面积。 1918 A B O C D A B
18、 O C D 10 （甲） （乙） A O B 5.求阴影面积 15 厘米 6、如下图所示，一个圆的周长是 15.7 厘米，求长方形的面积。 圆的周长和面积(二) 一、关键问题： 对于组合图形的面积，可以通过把其中的部分图形进行平移，翻折或旋转，化难为易。 二、典型例题： （一）基础部分： 1、例 1、将半径分别是 3 厘米和 2 厘米的两个半圆如图放置，求阴影部分的周长。 2、例 2、求图中阴影部分的面积（单位：厘米） 3、例 3、求图中阴影部分的面积（单位：厘米） （二）拓展部分： 1、例 1：两条细绳各自牢牢地绑住如（甲） （乙）两图所示的卷筒纸，每个卷筒纸的半径 是 10 。请问这两条
19、细绳的长度分别是几厘米？ 2 厘米 3 厘米 O1 O 6 6 6 4 o 11 三、热身演练： （一）基础练习： 1、如图：正方形的边长是 5 厘米，那么阴影部分的周长是多少厘米？ 2、求阴影部分的周长。 3、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米） 4、计算下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米） (二)拓展练习： 1、有 7 根直径都是 2 分米的圆柱形木棍，想用一根绳子把它们捆成一捆，最短需要多少米 长的绳子？（打结用的绳长不计） 2、直径均为 1 米的四根管子被一根金属带紧紧地捆在一起， （如图） ，试求金属带的长度。 3、求下面图形中阴影部分的面积（单位：厘米） 。 4 4 6 6
20、 6 6 5 o 2 45 3 o 12 4、下图：大圆直径上的所有小圆的周长之和与大圆的周长有什么关系？如果小圆的直径分 别是 3 厘米、1 厘米、4 厘米、2 厘米。请求出大圆直径上所有小圆的周长之和，以及大 圆的周长。 5、下图：小圆的周长是 12.56 厘米，环形的宽度是 2 厘米，请求出环形的面积。 6、下图：长方形的长是 6 厘米，宽是 3 厘米。请求出阴影部分的面积。 7、下图：大正方形的边长是 10 厘米，小正方形的边长是 8 厘米，请求出阴影部分的面积。 8、求出下图阴影部分的面积。 9、求出下图阴影部分的面积。 13 10、下图：正方形的边长是 5 厘米，请求出阴影部分的面
21、积。阴影部分占正方形的百分之 几？ 11、下图是由两个边长是 5 厘米正方形的拼成长方形，请求出阴影部分的面积。 12、下图正方形的面积是 8 平方厘米，画出其对称轴，并求出阴影部分的面积。 13、下面正方形的边长是 5 厘米，请求出阴影部分的面积。 14、根据上图，以及上图的条件求出阴影部分的面积。 15、下图：圆的周长是 25.15 厘米，请求出阴影部分的面积。 14 16、下图：直角三角形的两直角边分别是 8 厘米，6 厘米，斜边是三角形周长的 12 5 ，求出 阴影部分的面积。 17、下图：正方形的边长是 5 厘米，请求出阴影部分的面积。 18、 如图 8，已知 EO=8 ，求阴影部分
22、的周长和面积。 19、 如图 10，求阴影部分的周长和面积。（单位：） 20、如图 11，求阴影部分的面积及阴影弧线长的和。（单位：） 21、 如图 12，已经半圆的直径为 10 ，求阴部分的面积及阴影弧线长的和 15 。 22、如下图，已知 AB=12 厘米，且阴影部分甲的面积比阴影部分乙的面积大 12 平方厘米。 求 BC 的长是多少厘米？ 23、如下图，求出阴影部分的周长和面积。 （单位：） 24、如下图，已知 AC=CD=DB=2 ，求阴影部分的周长和面积。 25、已经半圆的直径为 9 ，求阴影部分的面积。 26、如下图，求阴影部分的周长与面积。（单位：） 27、如图所示，圆的周长为
23、12.56 厘米，AC 两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分（1） 的面积与阴影部分（2）的面积相等，求平行四边形 ABCD 的面积。 C 16 28、如图所示，直径 BC8 厘米，ABAC，D 为 AC 的重点，求阴影部分的面积。 29、如图所示，ABBC8 厘米，求阴影部分的面积。 30、如图所示，求四边形 ABCD 的面积。 （单位：厘米） 31、如图 1916 所示，BE 长 5 厘米，长方形 AEFD 面积是 38 平方厘米。求 CD 的长度。 32.图 1917 是两个完全一样的直角三角形重叠在一起，按照图中的已知条件求阴影部分 的面积（单位：厘米） 。 D A C B 1 2 A
24、C B D 8 A B c 45 7 3 C D A B 30 40 B C D A E 38 F 1916 17 33、如图 1919 所示，115 度，圆的周长位 62.8 厘米，平行四边形的面积为 100 平方 厘米。求阴影部分的面积（得数保留两位小数） 。 34、如图 1920 所示，三角形 ABC 的面积是 31.2 平方厘米，圆的直径 AC6 厘米，BD： DC3：1。求阴影部分的面积。 35、如图 1921 所示，求阴影部分的面积（单位：厘米。得数保留两位小数） 。 三角形面积计算三角形面积计算 【例题 1】已知如图，三角形 ABC 的面积为 8 平方厘米，AEED，BD=2/3
25、BC，求阴影部分 的面积。 【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形 AEF 的面积无法 直接计算。 由于 AE=ED,连接 DF， 可知 SAEF=SEDF （等底等高） ， 采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形 BDF 的面积。 因为 BD=2/3BC，所以 SBDF2SDCF。又因为 AEED，所以 S ABFSBDF2SDCF。 因此，SABC5 SDCF。由于 SABC8 平方厘米，所以 S DCF851.6（平方厘米） ，则阴影部分的面积为 1.623.2 （平方厘米） 。 练习 1： 1如图，AEED，BC=3BD，SABC30 平方厘米。求阴影部分的面 积。 O A
26、B D C 1917 120 5 1919 A B O 1920 60 30 A B C 12 5.2 1921 18 2如图所示，AE=ED，DC1/3BD，SABC21 平方厘米。求阴影 部分的面积。 3如图所示，DE1/2AE，BD2DC，SEBD5 平方厘米。求三角 形 ABC 的面积。 【例题 2】两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形，如图所示，已知两个三角形的面积， 求另两个三角形的面积各是多少？ 【思路导航】已知 SBOC 是 SDOC 的 2 倍，且高相等，可知：BO 2DO；从 SABD 与 SACD 相等（等底等高）可知：SABO 等于 6，而ABO 与AOD 的高
27、相等，底是AOD 的 2 倍。所以AOD 的 面积为 623。 因为 SABD 与 SACD 等底等高 所以 SABO6 因为 SBOC 是 SDOC 的 2 倍 所以ABO 是AOD 的 2 倍 所以AOD623。 答：AOD 的面积是 3。 练习 2： 1两条对角线把梯形 ABCD 分割成四个三角形， （如图所示） ，已知两个三角形的面积，求 另两个三角形的面积是多少？ 2 已知 AO1/3OC， 求梯形 ABCD 的面积 （如图所示） 。 19 3已知三角形 AOB 的面积为 15 平方厘米，线段 OB 的长度为 OD 的 3 倍。求梯形 ABCD 的面 积。 （如图所示） 。 【例题
28、3】四边形 ABCD 的对角线 BD 被 E、F 两点三等分，且四 边形 AECF 的面积为 15 平方厘米。 求四边形 ABCD 的面积 （如图所示） 。 【思路导航】由于 E、F 三等分 BD，所以三角形 ABE、AEF、AFD 是等 底等高的三角形，它们的面积相等。同理，三角形 BEC、CEF、CFD 的面积也相等。 由此可知， 三角形 ABD 的面积是三角形 AEF 面积的 3 倍，三角形 BCD 的面积是三角形 CEF 面积的 3 倍，从而得出四边形 ABCD 的面积是四边形 AECF 面积的 3 倍。 15345（平方厘米） 答：四边形 ABCD 的面积为 45 平方厘米。 练习
29、3： 1 四边形 ABCD 的对角线 BD 被 E、 F、G 三点四等分，且四边形 AECG 的面积为 15 平方厘米。 求四边形 ABCD 的面积（如图） 。 2已知四边形 ABCD 的对角线被 E、F、G 三点四等分，且阴影部分面积为 15 平方厘米。求 四边形 ABCD 的面积（如图所示） 。 3如图所示，求阴影部分的面积（ABCD 为正方形） 。 【例题 4】如图所示，BO2DO，阴影部分的面积是 4 平方厘米。那么，梯形 ABCD 的面积 是多少平方厘米？ 【思路导航】因为 BO2DO，取 BO 中点 E，连接 AE。根据三角形等底等高面积相等的性质， 可知 SDBCSCDA；SCO
30、BSDOA4，类推可得每个三角形的 20 面积。所以， SCDO422（平方厘米） SDAB4312 平方厘米 S 梯形 ABCD12+4+218（平方厘米） 答：梯形 ABCD 的面积是 18 平方厘米。 练习 4： 1如图所示，阴影部分面积是 4 平方厘米，OC2AO。求梯形面积。 2 已知 OC2AO， SBOC14 平方厘米。 求梯形的面积 （如图所示） 。 3已知 SAOB6 平方厘米。OC3AO，求梯形的面积（如图所 示） 。 【例题 5】如图所示，长方形 ADEF 的面积是 16，三角形 ADB 的面积是 3，三角形 ACF 的面 积是 4，求三角形 ABC 的面积。 【思路导航
31、】连接 AE。仔细观察添加辅助线 AE 后，使问题可有如下解法。 由图上看出： 三角形 ADE 的面积等于长方形面积 的一半（162）8。用 8 减去 3 得到三角形 ABE 的面积为 5。同理，用 8 减去 4 得到三角形 AEC 的面积也为 4。因此可知三角形 AEC 与三角形 ACF 等底等高，C 为 EF 的中点，而三角 形 ABE 与三角形 BEC 等底，高是三角形 BEC 的 2 倍，三角形 BEC 的面积为 522.5，所 以，三角形 ABC 的面积为 16342.56.5。 练习 5： 1如图所示，长方形 ABCD 的面积是 20 平方厘米，三角形 ADF 的面积为 5 平方厘
32、米，三角 形 ABE 的面积为 7 平方厘米，求三角形 AEF 的面积。 2如图所示，长方形 ABCD 的面积为 20 平方厘米，SABE4 平方厘米，SAFD6 平方 厘米，求三角形 AEF 的面积。 21 3如图所示，长方形 ABCD 的面积为 24 平方厘米，三角形 ABE、AFD 的 面积均为 4 平方厘米，求三角形 AEF 的面积。 简单几何体的表面积与体积的计算简单几何体的表面积与体积的计算 一、四种常见几何体的平面展开图一、四种常见几何体的平面展开图 1.正方体 沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由 六个全等的正方形组成的，见图 61。 图
33、6l 只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。 2.长方体 沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。这一展开图是六 个两两彼此全等的长方形组成的，见图 62。图 62 只是长方体平面展开图的一种画法， 还有别的画法（从略）。 3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得 到圆柱体的平面展开图。它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底 22 面圆的周长，宽是圆柱体的高。这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。图 63 就是圆柱的平 面展开图。 4.（直）圆锥体 沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得
34、到圆锥的平面 展开图。它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个 圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。具体图形见图 64。 二、四种常见几何体表面积与体积公式二、四种常见几何体表面积与体积公式 1.长方体 长方体的表面积=2（ab+bc+ca） 长方体的体积=abc（这里 a、b、c 分别表示长方体的长、宽、高）。 2.正方体 正方体的表面积=6a 2 正方体的体积=a 3（这里 a 为正方体的棱长）。 3.圆柱体 圆柱体的侧面积=2Rh 23 圆柱体的全面积=2Rh+2R 2=2R（h+R） 圆柱体的体积=R 2h（这里 R 表示圆柱体底面圆的半径，h 表示圆
35、柱的高）。 4.圆锥体 圆锥体的侧面积=Rl 圆锥体的全面积=Rl+R 2 母线长与高）。 三、例题选讲三、例题选讲 例例 1 1 图 65 中的几何体是一个正方体，图 66 是这个正方体的一个平面展开图，图 67（a）、 （b）、 （c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。 分析与解：分析与解：从图 65 和图 66 中可知： 与；与；与互相处于相对面的位 置上。只要在图 67 24 （a）、（b）、（c）三个展开图中，判定谁与谁处在互为对面的位置上，则标有数字的四个空白 面上的图案便可以补上。 先看图 67 中的（a），仔细观察可知，1 与 4
36、，3 与处在互为对面的位置上。 再看图 67 中的（b），同上，1 与 3，2 与处在互为对面的位置上。 最后再看图 67 中的（c），同上，1 与，2 与 4 处在互为对面的位置上。 图 67（a）、（b）、（c）标有数字的空白面上的图案见图 68 中的（a）、（b）、（c）。 例例 2 2 图 69 中的几何体是一个长方体，四边形 APQC 是长方体的一个截面（即过长方体上四点 A、P、Q、 C 的平面与长方体相交所得到的图形），P、Q 分别为棱 A1B1、B1C1 的中点，请在此长方体的平面展图 上，标出线段 AC、CQ、QP、PA 来。 分析与解：分析与解：只要能正确画出图 69 中长
37、方体的平面展开图，问题便能迎刃而解。图 610 中的粗实线， 就是题目中所要标出的线段 AC、CQ、QP、PA。 25 例例 3 3 在图 611 中，M、N 是圆柱体的同一条母线上且位于上、下底面上的两点，若从 M 点绕圆柱体的 侧面到达 N，沿怎么样的路线路程最短？ 分析与解：分析与解：沿圆柱体的母线 MN 将圆柱的侧面剪开铺平，得出圆柱的侧面展开图，见图 612，从 M 点绕 圆柱体的侧面到达 N 点。实际上是从侧面展开图的长方形的一个顶点 M 到达不相邻的另一个顶点 N。而 两点间以线段的长度最短。所以最短路线就是侧面展开图中长方形的一条对角线，见图 612 和图 6 13。 例例 4
38、 4 图 614 中的几何体是一棱长为 4 厘米的正方体， 若在它的各个面的中心位置上， 各打一个直径为 2 厘米，深为 1 厘米的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少（=3.14）？ 26 分析与解：分析与解：因为正方体的棱长为 2 厘米，而孔深只有 1 厘米，所以正方体没有被打透。这一来打孔后所 得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积、这六个圆柱的高 为 1 厘米，底面圆的半径为 1 厘米。 正方体的表面积为 426=96（平方厘米） 一个圆柱的侧面积为 211=6.28（平方厘米） 几何体的表面积为 96+6.286=133.68（平方厘米） 答：
39、（略） 例例 5 5 图 615 是由 18 个边长为 1 厘米的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积是多少？ 分析与解：分析与解： 从图615中可以看出， 18个小正方体一共摆了三层， 第一层2个， 第二层7个， 因为18-7-2=9， 所以第三层摆了 9 个。另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后；左、右两个面的表面积 也是分别相同的。因为小正方体的棱长是 1 厘米，所以 上面的表面积为 129=9（平方厘米） 前面的表面积为 128=8（平方厘米） 左面的表面积为 127=7（平方厘米） 几何体的表面积为 92+82+72= 答：（略） 27 例例 6 6 图 616 中所
40、示图形，是一个底面直径为 20 厘米的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个 底面直径为 6 厘米，高 20 厘米的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降几厘米？（ =3.14） 分析与解：分析与解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底 面与玻璃杯的底面一样，是一直径为 20 厘米的圆，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱 的高就是水面下降的高度。 因为圆锥形铅锤的体积为 设水面下降的高度为 x，则小圆柱的体积为 x（202） 2x=100x（立方厘米） 所以有下列方程： 60=100x，解此方程得： x=0.6（厘米） 答：铅锤取出后，杯中水面下降了 0.6 厘米。 例例 7 7 横截面直径为 2 分米的一根圆钢，截成两段后，两段表面积的和为 75.36 平方分米，求原来那根圆 钢的体积是多少（=3.14）？ 分析与解：分析与解：根据圆柱体的体积公式，体积=底面积高。假设圆钢长为 x，因为将圆钢截成两段后，两段 表面积的和，等于圆钢的侧面积加上四个底面圆的面积，所以有下面式子： 2（22）x+4（22） 2 =2x+4 28 根据题目中给出的已知条件，可得下面方程：2x+4=75.36 解方程： 圆钢的体积为（22） 21031.4（立方分米） 答：（略）。
