1、2023-2-21函数的凹凸性、渐近线函数的凹凸性、渐近线与作图与作图一、函数的凹凸性一、函数的凹凸性二、曲线的渐近线二、曲线的渐近线三、函数作图三、函数作图若在某区间内若在某区间内,曲线上每一点的切线都位曲线上每一点的切线都位于该曲线的下方于该曲线的下方,则称曲线在该区间内是凹的；则称曲线在该区间内是凹的；若曲线上每一点的切线都位于该曲线的上方，若曲线上每一点的切线都位于该曲线的上方，则称曲线在该区间内是凸的则称曲线在该区间内是凸的一、函数的凹凸性一、函数的凹凸性2023-2-23(a)中曲线上任意两点的割线在曲线的上方中曲线上任意两点的割线在曲线的上方(b)中曲线上任意两点的割线在曲线的下
2、方中曲线上任意两点的割线在曲线的下方2023-2-241212121212(),()()22()()()22()f xIIx xxxf xf xff xxxf xf xff x设在区间 上连续 如果对 上任意两点恒有:则称在该区间上的图形是凹的;如果恒有:则称在该区间上的图形是凸的.（一）（一）凹凸性定义凹凸性定义2023-2-25(),()f xfx若是凹函数 则单调增加；凹曲线的一阶导数变化规律：凹曲线的一阶导数变化规律：2023-2-26凸曲线的一阶导数变化规律：凸曲线的一阶导数变化规律：(),()f xfx若是凸函数 则单调减少.2023-2-27定理定理1：(用二阶导数判定函数的凹凸
3、性用二阶导数判定函数的凹凸性)(),(,)f xabab设函数在上连续 在内二阶可导,那么 (1)(,)()0,(),abfxf xab若在内则在是凹函数;(2)(,)()0,(),abfxf xab若在内则在是凸函数.（二）凹凸性的判定（二）凹凸性的判定2023-2-280000 (,()(),(,()().xf xyf xxf xyf x设点是曲线上的一个点，在该点两侧曲线凹凸性相反 则称点为曲线的拐点0 xxy)(,(00 xfxo)(xfy （三（三）拐点拐点定理定理1：（拐点必要条件）（拐点必要条件）.0)(,)()(,(,)(000 xfxfxfxxf则则有有拐拐点点的的为为若若有
4、有二二阶阶导导数数设设2023-2-29.)(,(,0000个个拐拐点点的的一一是是则则两两侧侧异异号号在在若若的的某某邻邻域域内内有有二二阶阶导导数数在在点点设设fxfxxfxf 定理定理2（拐点的充分条件）（拐点的充分条件）例例1.1.判断曲线判断曲线的凹凸性的凹凸性.解解:故曲线故曲线在在上是凹的上是凹的.说明：说明：若在某点二阶导数为若在某点二阶导数为0,在其两侧二在其两侧二阶导数不变号阶导数不变号,则曲线的凹凸性不变则曲线的凹凸性不变 .xyO4yx34,yx 212yx 0 x 当时，0;y 0,x 时0,y 4yx(,)求拐点的一般步骤：求拐点的一般步骤：（2 2）求二阶导数；）
5、求二阶导数；（5 5）求出拐点的纵坐标）求出拐点的纵坐标（1 1）求函数的定义域；）求函数的定义域；（3 3）求定义域内使二阶导数等于零）求定义域内使二阶导数等于零 或二阶导数不存在的点；或二阶导数不存在的点；（4 4）检验各点两侧二阶导数的符号）检验各点两侧二阶导数的符号,如果如果 符号不同符号不同,该点就是拐点的横坐标；该点就是拐点的横坐标；凹、凸区间凹、凸区间(,)21567,yxx306yx解：函数的定义域为解：函数的定义域为0,y 1,5x 令令得得是拐点是拐点 15x 18(,)5 25在在两侧两侧例例2.2.求曲线求曲线325371yxxx及拐点及拐点没有二阶导数不存在的点没有二
6、阶导数不存在的点列表如下：列表如下：x1(,)5151(,)5yy825-0 0+凸凸 拐点拐点凹凹符号发生改变符号发生改变,则则y13yx(,)231,3yx解解:函数函数的定义域为的定义域为的拐点的拐点0 x y当当时，时，不存在不存在 0 x 0;y 0 x y(0,0)当当时，时，在在的两侧，的两侧，的符号发生改变的符号发生改变.点点是该曲线的拐点是该曲线的拐点 例例3.3.求曲线求曲线13yx5329yx 3229x x 0 x 0,y 当当时，时，2023-2-214-10-50510-3-2-10123xyy=x1/3x=linspace(-10,10);y=nthroot(x,
7、3);plot(x,y)1yx的拐点的拐点1yx(,0)(0,)解解 函数函数的定义域为的定义域为 2312,yyxx 1yx0 x 由于由于在在处没有定义处没有定义,所以该曲线所以该曲线例例4.4.求曲线求曲线没有拐点没有拐点 2023-2-216 ezplot(x*y=1,-10 10)-10-50510-10-50510 xyy=1/x2023-2-217预习：预习：P112115 P108 习题习题4 20(2)(3)21 作作 业业2023-2-218,.如果曲线上一动点沿曲线趋于无穷远时动点与某一直线的距离趋于零 则称该直线为曲线的一条渐近线xyo)(xfy bkxy PM二、曲线
8、的渐近线二、曲线的渐近线 2023-2-219(1)铅直渐近线lim()()(lim()()()xaxaf xf xxayf x 若或则直线为曲线的铅直渐近线.xyo)(xfy aax 曲线渐近线的分类曲线渐近线的分类2023-2-220 xyo22xytanxyo2xycot例例5.5.求曲线求曲线1()(1)f xx x的铅直渐近线的铅直渐近线解解 因为因为 01lim,(1)xx x 11lim(1)xx x 0 x 1x 所以所以和和是曲线的两条铅直渐近线是曲线的两条铅直渐近线2023-2-222 ezplot(x*(x-1)*y=1,-10 10)-10-50510-10-50510
9、 xyy=1/x(x-1)x=0 x=12023-2-223.)(,)(lim)(的的水水平平渐渐近近线线是是曲曲线线则则直直线线若若xfybybxfxx 水水平平渐渐近近线线)2(注意：注意：只有当函数的定义域是无穷区间时，只有当函数的定义域是无穷区间时，其曲线才有可能存在水平渐近线其曲线才有可能存在水平渐近线2023-2-224-200-1000100200-0.500.51xyy=sinx/x对于函数对于函数sin()xf xxsinlim0 xxx0y 所以，所以，是曲线的一条水平渐近线是曲线的一条水平渐近线由于由于2023-2-225(3)(3)斜渐近线斜渐近线 ()yf x lim
10、0,xf xax baxxfxlim lim0,xf xax baxxfxlimbaxy xfy 如果曲线如果曲线是曲线是曲线的一条斜渐近线的一条斜渐近线则则或或有有 例子见书例子见书9898页例页例6 62023-2-226;,)1(和和周周期期性性有有无无奇奇偶偶性性确确定定函函数数的的定定义义域域;)4(求求渐渐近近线线;,)2(极极值值求求函函数数的的单单调调区区间间(3);求函数的凹、凸区间和拐点.,)5(描描点点作作图图计计算算特特殊殊点点三、函数作图三、函数作图2023-2-22726xye作函数例的图形.),(是是偶偶函函数数定定义义域域：.0,0lim2是是水水平平渐渐近近线线所所以以直直线线因因为为 yexx22xxey )12(222 xeyx解解00 xy驻驻点点：令令210 xy令令2023-2-228y y y)21,(21)0,21(0)21,0(21),21(000极大极大凹凹凹凹凸凸凸凸拐点拐点拐点拐点1e1e1x2023-2-229xyo2222
