1、3.3 函数的单调性及其极值一、函数单调性一、函数单调性二、函数的极值及其求法二、函数的极值及其求法aa)(xfy )(xfy xyxyoo在某区间的切线在某区间的切线 轴正向角是锐角，则该曲线在该区间内是上升轴正向角是锐角，则该曲线在该区间内是上升如图（如图（a），），x与与)(a)(b如果曲线如果曲线)(xfy 若这个角是钝角，则该曲线在该区若这个角是钝角，则该曲线在该区间内是下降的如图（间内是下降的如图（b）。）。猜想：猜想：一、函数的单调性xyo)(xfy xyo)(xfy abABabBA.,)()(),()(单调减少单调减少上上在在，则函数，则函数时，时，若当若当baxfxfbax
2、02证证),(,21baxx ,12xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理,得得)()()()(211212xxxxfxfxf xx,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf.,)(上上单单调调增增加加在在baxfy ,0)(),(xfba内，内，若在若在,0)(f则则).()(12xfxf xfx，）（）时时，（）因因为为当当（013 xfx），（11 x，）（0 xf）的的递递增增区区间间（）是是，和和，所所以以（xf11 ）的的递递减减区区间间。（是是，xf11 例例2.xxxf的的单单调调性性）（）（讨讨论论函函数数321 解解.），（）该该函函数数的的定定
3、义义区区间间为为（1.xxxxxx f313231325)1(32)()2(子子区区间间分分定定义义区区间间为为三三个个，于于是是的的不不可可导导点点）（为为，此此外外，显显然然得得）（令令5200520 xx,xfxxxf).,52()52(0,),0(,.520520 xf,0 xf520 x0 xf520 x)3(内内单单调调递递增增，增增，在在）内内递递，和和，）在在（所所以以）（时时），（，）（）时时，）和和（，（因因为为 确定某个函数单调性的一般步骤是：确定某个函数单调性的一般步骤是：（1）确定函数的定义域。）确定函数的定义域。）不不存存在在的的点点，并并（和和）（）求求出出使使（
4、xfxf 02这些点为分界点，将定义域分为若干个区间这些点为分界点，将定义域分为若干个区间。（3）确定）确定)(xf 在各个子区间内的符号，从而判断在各个子区间内的符号，从而判断）的的单单调调性性。（出出xf例例3 3证明不等式证明不等式).0()1(ln1 xxfxxxlnxf21111)()(xxxxxf2)1(111xx 0)1(2 xx 即即）（时时恒恒有有单单调调递递增增的的，因因此此当当开开始始内内是是从从，）在在区区间间（，所所以以）（且且00000 xfxxfxf（2）设）设在在类类似似地地证证明明)(,)1ln()(xxxx xxln,xx ）（即即时时恒恒有有此此，当当开开
5、始始的的单单调调递递减减的的，因因内内是是从从，区区间间10)(000综综上上所所述述，可可知知).0()1(ln1 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.二、函数极值的定义oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6x定义定义).()()(),()()()(),(,)(00000或或极极小小值值的的一一个个极极大大值值是是函函数数就就称称或或恒恒有有对对该该邻邻域域内内的的任任何何点点如如果果的的某某邻邻域域有有定定义义在在设设函函数数xfxfxfxfxfxfxxxxxf 极值是局部区域极值是局部区域上的最大或
6、最值；上的最大或最值；在间断点或端点在间断点或端点处不考虑极值。处不考虑极值。三、函数极值的求法三、函数极值的求法 设设)(xf在在点点0 x处处具具有有导导数数,且且在在0 x处处取取得得极极值值,那那末末必必定定0)(0 xf.定理定理2(2(必要条件必要条件)定义定义.)()0)(的的驻驻点点做做函函数数叫叫的的实实根根即即方方程程使使导导数数为为零零的的点点xfxf 注意注意:例如例如,3xy ,00 xy.0不不是是极极值值点点但但 x.,)(是是极极值值点点但但函函数数的的驻驻点点却却不不一一定定点点的的极极值值点点必必定定是是它它的的驻驻可可导导函函数数xf定理定理3(3(第一充
7、分条件第一充分条件)xyoxyo0 x0 x (是极值点情形是极值点情形)xyo0 x (不是极值点情形不是极值点情形)(2)(2)如果如果),(00 xxxd d 有有;0)(xf，则，则)(xf在在0 x 处取得极小值处取得极小值.(3)(3)如果当如果当),(00 xxxd d 及及),(00d d xxx时时,)(xf 符号相同符号相同,则则)(xf在在0 x 处无极值处无极值.(1)(1)如果如果),(00 xxxd d 有有;0)(xf而而),(00d d xxx,有有0)(xf，则，则)(xf在在 处取得极大值处取得极大值.0 x运用定理运用定理3求函数极值的一般步骤是：求函数极
8、值的一般步骤是：（1）确定定义域并找出所给函数的驻点和导数不）确定定义域并找出所给函数的驻点和导数不 存在的点；存在的点；（2）考虑上述点两侧导数的符号，确定极值点；）考虑上述点两侧导数的符号，确定极值点；（3）求出函数极值点处的函数值，得到极值。）求出函数极值点处的函数值，得到极值。例例4 4解解.593)(23的的极极值值求求出出函函数数 xxxxf963)(2 xxxf，令令0)(xf.3,121 xx得得驻驻点点列表讨论列表讨论x)1,(),3()3,1(1 3)(xf )(xf 00极大值极大值极小值极小值)3(f极小值极小值.22 )1(f极大值极大值,10)3)(1(3 xx例例
9、5 5解解.)2(1)(32的的极极值值求求出出函函数数 xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不存在不存在时时当当xfx 时，时，当当2 xf时，时，当当2 x.0)(xf.)(1)2(的的极极大大值值为为xff.)(在在该该点点连连续续但但函函数数xf注意注意:函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.M定理定理4(4(第二充分条件第二充分条件)证证)1(000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx ,0 异异号号，与与故故0)(xxxf 时，时，当当0 xx xf有有时，时，当当0 xx .0)(f0;-20(0)f为为极极大大值值点点。为为极极小小值值点点和和可可知知：故故由由定定理理0554 xxx（3）计算极值：）计算极值：；）（）（）（极极小小值值2055105524 f；）（极极大大值值550100024 f.f2055105524 ）（）（）（极极小小值值小 结单调性的判别是拉格朗日中值定理定单调性的判别是拉格朗日中值定理定理的重要应用理的重要应用.定理中的区间换成其它有限或无限区定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立间，结论仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式些方程实根的个数和证明不等式.
