1、第一部分：初等代数研究赣南师范学院数计学院 曾建国 2010年8月中学数学研究中学数学研究2绪 言问题：问题：1.自然数是如何产生的？自然数是如何产生的？2.为什么为什么1+1=2？3.为什么为什么“负负得正负负得正”？4.什么是解析式、代数式？二者有无差别？什么是解析式、代数式？二者有无差别？5.两直线平行，则同位角相等。为什么？两直线平行，则同位角相等。为什么？作为未来的中学数学教师，我们必须掌握中学课本以外的一些知识,如：数学知识的历史背景数学知识的历史背景对有关知识的更深层次的理解对有关知识的更深层次的理解 教给学生一杯水，教师必须先有一桶水！教给学生一杯水，教师必须先有一桶水！3绪
2、言 1 关于代数学发展的几个历史观点关于代数学发展的几个历史观点 0、代数学简史、代数学简史 代数学起源可以追溯到公元前1800年左右，代数学奠基于16世纪和17世纪初。公元820年前后时，花剌子模（穆罕默德伊本穆斯阿里花剌子模-数学家和天文学家）的著作Kitab al jabrwal-mugabala，意思是“整理”和“对比”。到14世纪，aljabr演变成了algebra，这就是拉丁文的“代数学”。其中Algoritmi是花拉子模的拉丁译名，现代术语“算法”（Algorithm）即源于此。1859年 清代数学家李善兰译algebra为“代数学”。4绪 言 1 关于代数学发展的几个历史观点关
3、于代数学发展的几个历史观点 0、代数学简史、代数学简史 初等代数的形成高等代数的创建抽象代数的产生和深化用字母代替数、方程的出现九章算术中正负数的使用（公元1世纪）丢番图采用符号（公元250年）16世纪方程理论的形成（矩阵、行列式）1618世纪近世代数研究各种代数结构19世纪至今5绪 言 1 关于代数学发展的几个历史观点关于代数学发展的几个历史观点 一、代数学是研究字母运算的科学一、代数学是研究字母运算的科学（18世纪后期）韦达是第一个系统使用字母，从而使符号化代数实现的数学家。1768年，欧拉发表对代数的完整的介绍，系统地论述了方程理论和其它代数知识，表明初等代数已经完全形成。认为代数学是研
4、究字母运算的科学，这是代数学的原始观点，这种观点一直延续到18世纪后期。6二、代数学是研究方程理论的科学二、代数学是研究方程理论的科学（18世纪后期19世纪后期）三、代数学是研究各种代数结构的科学三、代数学是研究各种代数结构的科学（19世纪 ）1 关于代数学发展的几个历史观点关于代数学发展的几个历史观点代数学以研究方程理论为中心，包括矩阵、行列式、二次型在内的高等代数内容。19世纪，在伽罗瓦群以后，代数的研究内容从原来以研究代数方程的理论为中心，转变到研究定义在任意性质的元素集上的代数运算规律和性质。绪 言7第一章 数1 数系的扩展2 整数的整除性8数的概念的形成大约是在30万年以前最早是手指
5、计数。十进制、五进制多发于此石子计数。但计数的石子堆很难长久保存 信息结绳计数、刻痕计数1、数的形成和发展1 数系的扩展91937年，捷克出土的幼狼胫骨上边有55道刻痕。距今约3万年。日本琉球群岛的结绳。1 数系的扩展1、数的形成和发展台湾高山族的结绳（现藏中央民族大学）中国古籍上记有伏羲“结绳而治”。10一、数的发展简史1 数系的扩展1、数的形成和发展正整数正有理数非负有理数实数复数添负数添零添正分数有理数添无理数添虚数从历史上看，人类对于数的认识，大体上是按照如下顺序进行的:11一、数的发展简史1 数系的扩展1、数的形成和发展以下是按时间顺序列举的世界上几种古老文明的早期记数系统：12世界
6、上几种古老文明的早期记数系统：13世界上几种古老文明的早期记数系统：14一、数的发展简史1 数系的扩展2、数的扩展方法与扩展原则 不同于历史上人们认识数的过程中数集扩充的顺序，“数系”的逻辑扩展应该如下所示的顺序:*1,2,3,NZQRC 数系（number system）通常是指对加法和乘法运算封闭的数集。主要有自然数系、整数系、有理数系、实数系和复数系。15一、数的发展简史1 数系的扩展1、数的形成和发展 数系（集）扩充一般有两种方法数系（集）扩充一般有两种方法：一是添加元素法。二是构造法。所谓构造法指的是先用旧数集A中的数为材料构成一个新数集B，然后指出新数集B中某一真子集与A相等（严格
7、讲，是B的某个真子集与A同构），复数系的建立就是采用这一种方法.16一、数的发展简史1 数系的扩展1、数的形成和发展 数集扩充应遵循的原则：数集扩充应遵循的原则：从数集A扩充为数集B，必须遵循下列原则：（1）AB，即A是B的真子集；（2）A中已定义的元素之间的基本关系和运算，在B中也有相应的定义，并且B中的定义，对于B的子集A中的元素来说，与原来A中的定义一致；（3）在A中不是总能施行的某种运算，在B中总能施行 （在A中无解的某类方程，在集B中有解）；（4）B是满足上述三个原则的A的所有扩充中的最小扩充.17二、正整数理论1 数系的扩展 尽管早在30万年以前，人们可能已经开始形成了数的概念，但
8、自然数理论的完善、即把自然数作为严格的逻辑系统，采用公理化的方法来研究，却直到19世纪末才得以实现。18建立自然数（正整数）理论的几种方案康托尔的集合论为基础建立自然数基数理论皮亚诺以公理法为基础建立自然数序数理论罗素等人试图用纯逻辑学建立自然数理论二、正整数理论1 数系的扩展191 数系的扩展二、正整数理论1、正整数的基数理论18741874年年康托尔康托尔创立了集合论，在此基础上，建创立了集合论，在此基础上，建立起自然数（正整数）的基数理论：立起自然数（正整数）的基数理论：（1）集合等价）集合等价 如果集合A和B的元素之间可以建立一一对应的关系，就称集合A和B等价，记作AB集合的等价具有性
9、质：AA（反身性）AB，则BA（对称性）AB，BC，AC（传递性）（小学如何教：（小学如何教：认识认识“2”）201 数系的扩展（2）集合的基数（势）集合的基数（势）彼此等价的所有集合的共同特征的标志共同特征的标志叫做基数基数（3）正整数的定义定义1.非空有限集合的基数叫做正整数。空集的基数叫做0，集合的A的基数记作|A|。1、正整数的基数理论一切正整数组成的集合，叫做正整数集，记为N*。21（4）正整数的顺序定义2 设非空有限集合A和B的基数分别a和b （1）若A B，则称a等于b，记作a=b （2）若AA B，则称a大于b，记作ab（图示）（3）若A B B，则称a小于b，记作ab 定理1
10、 自然数顺序关系具有下列性质：设a，b N*当且仅当ab时，ba(对逆性)设a，b N*若ab且bc，则a c(传递性)对任意a，b N*，在ab，a=b，ab中有 且只有 一个成立（正整数的全序性（三歧性）1 数系的扩展1、正整数的基数理论22（5）正整数的加法运算 定义3 设A和B是非空有限集，AB=，|A|=a，|B|=b，如果AB=C，则称|C|=c为a与b的和，记作a+b=c其中a，b叫做加数，求和的运算叫做加法.定理2 自然数的加法满足交换律、结合律和加法单调律（1）a+b=b+a 交换律（2）（a+b)+c=a+(b+c)结合律（3）ab a+cb+c a=b a+c=b+c 加
11、法单调律 ab a+cb 则 a cb c a=b 则 a c=b c ab 则 a cb c 25（7）正整数的减法和除法定义5 设a、bN*，如果存在一个正整数c，使得b+c=a，那么c叫做a与b的差，记作a-b=c。a叫做被减数，b叫做减数。求两数差的运算叫做减法定义6 设a、bN*，如果存在一个正整数c，使得b c=a，那么c叫做a除以b的商，记作ab=c（或a/b=c）。a叫做被除数，b叫做除数。求两数商的运算叫做除法。1 数系的扩展1、正整数的基数理论26 基数理论刻画了自然数在数量上的意义，但没有很好地揭示自然数在顺序上的意义。也没有给出加法、乘法运算的具体方法。序数理论弥补了这
12、一缺陷。自然数的序数理论，是意大利数学家皮亚诺在他的算术原理新方法（1889年）中提出的他用公理化方法从顺序着眼揭示了自然数的意义，并给出自然数加、乘运算的归纳定义.1 数系的扩展2、正整数的序数理论二、正整数理论27（一）皮亚诺公理（一）皮亚诺公理 定义7 一个非空集合N*的元素叫做自然数,如果N*的元素之间有一个基本关系“后继”(b后继于a,记为b=a)，并满足下列公理：（1）1N*。即N*中存在一个元素1；（2）a N*，有a1。即1不是任何元素的后继；（3）a N*，存在a N*；（4）若a=b（a，b N*），则a=b。即N*中任一元素不会是两个不同元素的后继。1 数系的扩展2、正整
13、数的序数理论281 数系的扩展2、正整数的序数理论（一）皮亚诺公理（一）皮亚诺公理（5）（归纳公理）如果M是N*的一个子集，且 1M；若aM，则aM.那么，M=N*.有了这组公理就把正整数集里的元素完全定下来了。从1出发，记 1 =2，2 =3，如此继续下去，就得到正整数数列：1，2，3，4，29定义定义8 8.正整数的加法是指这样的对应：对于每一对正整数a、b，有且仅有一个正整数（记为a+b）与之对应，且具有下列性质：（1）对任意aN*，a+1=a，（2）对任意a、bN*，a+b=（a+b），其中a、b称为加数，a+b称为a、b的和.（二）正整数的加法2、正整数的序数理论1 数系的扩展30（
14、三）正整数的乘法定义定义9 正整数的乘法是指这样的对应：对于每一对正整数a、b，有且仅有一个正整数（记为ab）与之对应，且具有下述性质：（1）a1=a；（2）ab=ab+a.这里a、b称为乘数，ab称为a、b的积.2、正整数的序数理论1 数系的扩展31（四）正整数的减法与除法的定义减法减法 设a、bN*，如果存在xN，使b+x=a，则称x为a减去b的差，记作a-b，a叫做被减数，b叫做减数，求两数差的运算叫做减法.除法除法 设a、bN*，如果存在xN*，使bx=a，则称x是a除以b的商，记作a/b，a叫做被除数，b叫做除数，求两数商的运算叫做除法.2、正整数的序数理论1 数系的扩展32（五）（
15、五）、正整数的顺序关系正整数的顺序关系定义定义1010 设a、bN*，如果存在一个正整数k，使a=b+k，就说a大于b，记为ab；或说b小于a，记为ba.2、正整数的序数理论1 数系的扩展332、正整数的序数理论根据正整数的序数理论同样可以证明正整数的加法、乘法满足的各种运算律。例1.设a、b、cN*，证明 （a+b）+c=a+（b+c）.例2.设a、b、cN*，证明：ab=ba1 数系的扩展34性质性质1 1 在正整数集中，消去律成立.即（1）若a+c=b+c，则a=b；（2）若ac=bc，则a=b.性质性质2 2 在正整数集N*中，1是最小数，即对于任何正整数a，a1.3、正整数的性质1
16、数系的扩展35性质性质3 3（正整数的离散性）任两个相邻的正整数a与a之间，不存在正整数b，使得aba.性质性质4 4（阿基米德性质）对任意正整数a、b，必有正整数n，使nab.3、正整数的性质性质性质5 5（最小数原理）N*的任何一个非空子集必有最小数.1 数系的扩展36（1 1）、第一）、第一数学归纳法 设 f（n）是一个与正整数有关的命题，如果 1 f（l）成立；2若f（k）成立，则 f（k）成立.那么，f（n）对一切正整数n都成立.4、数学归纳法数学归纳法1 数系的扩展37 设 f（n）是一个与正整数有关的命题，如果 1 f（1）成立；2 假设 f（m）对所有m0时，称-a为“负数”，
17、即 a+(-a)=0(a0）；1、负数的引入数的引入44三、有理数集及其性质集及其性质1 数系的扩展（1）加法运算（2）乘法运算 “负负得正”的一种解释（3）顺序关系 1、负数的引入数的引入45三、有理数集及其性质集及其性质1 数系的扩展 根据上面的尝试、采用上述添元素法的设想可行，以下按照公理化方法给出有理数的概念。2、有理数的概念3、有理数的顺序4、有理数的运算46三、有理数集及其性质集及其性质5、有理数的性质47三、有理数集及其性质集及其性质1 数系的扩展 数系数系对某种运算封闭的数集。数环数环至少含有一个数的数集，对加法、减法、乘法封闭的数系。数域数域对除法封闭的数环。即对加减乘除运算
18、都封闭的数系。48三、有理数集及其性质集及其性质1 数系的扩展 性质性质1：有理数集是数域，且是最小的数域。注：Q、R、C都是数域。性质性质2：有理数域是一个有序域。性质性质3：对于a、bQ，有 （1）aba-b0；（2）a=ba-b=0；（3）aba-bb。性质性质5（有理数的稠密性）：在任意两个相异的有理数之间，总存在无限多个有理数。性质性质6：有理数集是一个可数集.可数集可与正整数列“1，2，3，”建立一一对应的集合。50四、实数集及其性质集及其性质1 数系的扩展 性质性质1：实数集是一个数域。性质性质2：实数集是有序域。性质性质3：（阿基米德性质）：对于两个正实数a，b，存在一个正整数
19、n，使得 nab。性质性质4：实数集具有稠密性。性质性质5：实数集具有连续性。性质性质6：实数集是不可数集不可数集.51四、复数集及其性质集及其性质1 数系的扩展 性质性质1：复数集是一个数域。性质性质2：复数集不是有序域。性质性质3：复数集内，开n次方运算总是可实施的，任何非零复数有n个不相等的n次方根。性质性质4：复数集具有稠密性。复平面上任一区域里，都有无限多个复数。性质性质5：复数在复平面上的分布是连续的。52韦达（1540-1603）法国数学家，年法国数学家，年青时学青时学习法律当过律师，后从事习法律当过律师，后从事政治活动，当过议会议员，政治活动，当过议会议员，在西班牙的战争中曾为
20、政在西班牙的战争中曾为政府破译敌军密码。韦达还府破译敌军密码。韦达还致力于数学研究，第一个致力于数学研究，第一个有意识地和系统地使有意识地和系统地使用字母来表示用字母来表示 已知数、未知数及其乘幂，带来已知数、未知数及其乘幂，带来了代数理论研究的重大进步。韦达讨论了方程了代数理论研究的重大进步。韦达讨论了方程根的多种有理变换，发现了方程根与分数的关根的多种有理变换，发现了方程根与分数的关系，韦达在欧洲被尊称为系，韦达在欧洲被尊称为“代数学之父代数学之父”。1579年，韦达出版年，韦达出版应用于三角形的数学定应用于三角形的数学定律律。http:/www.oursci.org/ency/peopl
21、e/017.htm53http:/www.oursci.org/ency/people/014.htm欧拉(Euler，17071783)，瑞士数学家及自然科学家 54康托尔简介康托尔，德国人。1846年3月3日出生于俄国彼得堡。康托尔曾先后就学于苏黎世大学、哥廷根大学、法兰克福大学和柏林大学，主要学习数学、物理、哲学等课程。1867年获得柏林大学的哲学博士学位。康托尔是集合论的创始人。为了将有穷集合的元素个数的概念推广到无穷集合，他以一一对应为原则，提出了集合等价的概念。康托尔在深入研究集合的势这个概念时，引进了基数与序数的理论。55A B B 则 ab A A B 则 ab ABBAAB5
22、6作 业习题一、3.（1）、（2）4.（1）572 整数的整除性一整数的整除性的概念、性质一整数的整除性的概念、性质1.整除的定义：整除的定义：对于两个整数a、b(b0），若存在一个整数q，使得 a=bq 成立，则称b整除a，或a被b整除，记作b|a。a叫做b的倍数，b叫做a的约数（因数）。若满足的整数q不存在，就称a不能被b整除，或b不能整除a，记作b a，如2|6，4 6。582 整数的整除性2.性质性质性质性质1 1 若b|ab除a的余数为0。性质性质2 2 若a|b，b|a，则|a|=|b|。性质性质3 3 若c|b，b|a，则c|a。（传递性）性质性质4 4 若m|a，m|b，则m|
23、（ka+lb），其中k、l为任意整数。推论推论1 1 若m|ai（i=1,2,n），则m|kiai。推论推论2 2 等式中除某一项外，其他所有项都能被m整除，则这一项也能被m整除。性质性质5 5 若m为质数，且m|ab，则m|a，或m|b。592 整数的整除性二、素数与合数二、素数与合数定义定义：一个大于1的数，如果它的正因数只有1和它本身，这样的数叫做质数（或素数），否则叫做合数。三、最大公约数与最小公倍数三、最大公约数与最小公倍数定理定理1818：若(a,b)=d，则必存在整数x，y，使ax+by=d推论推论 若(a,b)=1，则必存在整数x，y，使ax+by=1.反之也成立，即有 (a,
24、b)=1 存在整数x，y，使ax+by=1.定理定理1919 若a|bm，且（a，b）=1，则a|m；推论推论 若a|m，b|m，且（a，b）=1，则ab|m；602 整数的整除性习题习题:P7230 34;38,3934.设设p是大于是大于3的素数，求证：的素数，求证：24|（p2-1)整除的性质：整除的性质：若a|m，b|m，且（a，b）=1，则ab|m；612 整数的整除性六、同余六、同余622 整数的整除性六、同余六、同余632 整数的整除性六、同余六、同余642 整数的整除性六、同余六、同余652 整数的整除性六、同余六、同余例例.今天是星期四，则今天是星期四，则101000天后是星期几？天后是星期几？习题习题:P7344.求证：求证：5353-3333能被能被10整除。整除。66作 业习题习题：P73 第34题
