1、因素分析多變量分析管理上的應用3因素分析的架構因素分析的架構(1)(1)u單一共同因子模型lp p個指標及一個共同因子個指標及一個共同因子lX為為指標指標l為共同因子為共同因子(common factor)l則為獨特因子則為獨特因子(unique factor)l為型態負荷為型態負荷(pattern loading)pppXXX222111多變量分析管理上的應用4因素分析的架構因素分析的架構(2)(2)l假設假設X、及及的平均數都為的平均數都為0，X與與的變異數均為的變異數均為1(1(即二者都是即二者都是標準化後的變數標準化後的變數)，且，且E(E()=0)=0、E(E(i ij j)=0)=
2、0，則則X的變異數可以拆的變異數可以拆解成兩個部份，其中一部份是源自共同因子解成兩個部份，其中一部份是源自共同因子，而另一部份則是來而另一部份則是來自獨特因子自獨特因子l源自共同因子的部份恰等於型態負荷的平方，也稱為共通性源自共同因子的部份恰等於型態負荷的平方，也稱為共通性(communality)。共通性通常可以用來檢視指標是否為該共同因子共通性通常可以用來檢視指標是否為該共同因子的一個可靠測量的一個可靠測量(measure)，共通性愈大，則該指標愈具有代表性共通性愈大，則該指標愈具有代表性l指標指標XiXi與共同因子與共同因子之間的相關係數為之間的相關係數為 l指標與共同因子間的相關係數恰
3、等於型態負荷，而此一相關係數一指標與共同因子間的相關係數恰等於型態負荷，而此一相關係數一般也稱之為該指標的結構負荷般也稱之為該指標的結構負荷(structure loading)structure loading)l任兩個指標任兩個指標XiXi與與XjXj相關係數恰等於二者型態負荷之乘積相關係數恰等於二者型態負荷之乘積 )()(2iiiVarXVariiiiiiEEEXE)()()()(2jijiijjijijjiijiEEEEEXXE)()()()()()(2多變量分析管理上的應用5因素分析的架構因素分析的架構(3)(3)u多共同因子模型l假設有假設有p個指標及個指標及q個共同因子個共同因子
4、l如果所有的如果所有的q個共同因子相互之間沒有相關，稱為正交個共同因子相互之間沒有相關，稱為正交(orthogonal)模型，否則稱為斜交模型，否則稱為斜交(oblique)模型模型lpqpq為第為第p p個指標在第個指標在第q q個共同因子的型態負荷個共同因子的型態負荷l矩陣的型式矩陣的型式X是(p1)的指標向量，是(pq)的型態負荷矩陣，是(q1)的共同因子向量，而則是(p1)的獨特因子向量pqpqpppqqqqXXX2211222221212112121111X多變量分析管理上的應用6因素分析的架構因素分析的架構(4)(4)l假設共同因子與獨特因子間是無關的，且指標、共同因子的平均數假設
5、共同因子與獨特因子間是無關的，且指標、共同因子的平均數都為都為0、變異數均為、變異數均為1，則指標間的相關係數矩陣，則指標間的相關係數矩陣R為為lR等於共變異矩陣，等於共變異矩陣，是共同因子的相關係數矩陣，是共同因子的相關係數矩陣，是獨特因子是獨特因子變異數所組成的對角矩陣變異數所組成的對角矩陣(diagonal matrix)diagonal matrix)。如果是正交模型，如果是正交模型，為為一單位矩陣一單位矩陣(identity matrix)identity matrix)，上式則可縮減為上式則可縮減為l指標與共同因子間的相關性指標與共同因子間的相關性(以共變異數表示以共變異數表示)為
6、為l正交模型而言，因為正交模型而言，因為=I=I，因此因此A=A=。其型態負荷矩陣其型態負荷矩陣()等於結等於結構負荷矩陣構負荷矩陣(A)A)lR R=矩陣中的對角線數值即為各指標的矩陣中的對角線數值即為各指標的共通性共通性 )()()()()(EEEEXXERR即R)()()()(EEEXEA多變量分析管理上的應用7因素分析求解的相關問題因素分析求解的相關問題(1)(1)l兩個指標及兩個共同因子的情況兩個指標及兩個共同因子的情況l對對X1而言，而言，11、12及及e e1分別是向量分別是向量X1在在1、2及及1軸上的投影，而向量軸上的投影，而向量X1、X2長度長度(端點至原點的距離端點至原點
7、的距離)的平方為的平方為l上式中，上式中，11112 2+12122 2為指標為指標X X1 1的總共通性的總共通性，21212 2+22222 2為指標為指標X X2 2的總共通性，而的總共通性，而e e1 1與與e e2 2則在共通性決定後便會跟著確定則在共通性決定後便會跟著確定2222121212121111XX22222221222121221121eXeX多變量分析管理上的應用8因素分析求解的相關問題因素分析求解的相關問題(2)(2)l如果如果e1與與e2已確定，則向量已確定，則向量X1與與X2可以用二度空間的座標來表可以用二度空間的座標來表示示l圖圖7-3中的座標軸中的座標軸1和和
8、2如果如果整個依逆時鐘方向旋轉一個角整個依逆時鐘方向旋轉一個角度，則在向量度，則在向量X1與與X2 的方向、的方向、長度不變下，其總共通性也不長度不變下，其總共通性也不會改變，改變的只是會改變，改變的只是X1與與X2在在新因子軸上的共通性新因子軸上的共通性2122112*122*11多變量分析管理上的應用9實例與應用實例與應用7-17-1u共通性u特徵值與解釋變異CommunalitiesCommunalities1.000.7841.000.8201.000.8471.000.8641.000.814EXCSIMPROTECTFINVESTVENTUREInitialExtractionEx
9、traction Method:Principal Component Analysis.T To ot ta al l V Va ar ri ia an nc ce e E Ex xp pl la ai in ne ed d2.82256.44156.4412.82256.44156.4412.42548.50748.5071.30726.14082.5811.30726.14082.5811.70434.07482.581.3967.91890.499.2635.26195.759.2124.241100.000Component12345Total%of VarianceCumulati
10、ve%Total%of VarianceCumulative%Total%of VarianceCumulative%Initial Eigenvalues Extraction Sums of Squared LoadingsRotation Sums of Squared LoadingsExtraction Method:Principal Component Analysis.多變量分析管理上的應用10實例與應用實例與應用7-17-1u因素負荷 旋轉後因素負荷u各個變數的共通性在旋轉前後並不會改變Component MatrixComponent Matrixa a.606.646.5
11、34.731.864-.317.793-.485.892-.138EXCSIMPROTECTFINVESTVENTURE12ComponentExtraction Method:Principal Component Analysis.2 components extracted.a.R Ro ot ta at te ed d C Co om mp po on ne en nt t M Ma at tr ri ix xa a.190.8658.507E-02.901.905.169.929-1.093E-02.837.337EXCSIMPROTECTFINVESTVENTURE12Compon
12、entExtraction Method:Principal Component Analysis.Rotation Method:Varimax with Kaiser Normalization.Rotation converged in 3 iterations.a.784.08652.01897.06462.06057.0h22222EXCS820.09015.00851.07310.05344.0h22222IM814.0h864.0h847.0h2VENTURE2FINVEST2PROTECT多變量分析管理上的應用11因素分析的目的因素分析的目的u找出導致一組指標變數間具有關聯的潛
13、在共同因子並加以適當的詮釋u經由因子轉軸、估計確認各指標之結構負荷、型態負荷、共通性及獨特性等u估算各觀測值針對各共同因子的因子分數（factor score），以利後續的分析(如將觀測值分群或分類)多變量分析管理上的應用12因素分析的估計方法因素分析的估計方法u主成份法(principle components factoring，PCF)l假設有五個變數，假設有五個變數，X1、X2、X3、X4及及X5，則其最多可以則其最多可以組五個主成份組五個主成份-1、2、3、4、5l(a11 a12 a13 a14 a15)是第一主成份是第一主成份1對應的特徵向量，對應的特徵向量，(a21 a22 a
14、23 a24 a25)是第二主成份是第二主成份2所對應的特徵向量，以此所對應的特徵向量，以此類推類推l標準化後的主成份標準化後的主成份555454353252151552542432322212125154143132121111XaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXaXa555222111SfSfSf多變量分析管理上的應用13主成份法主成份法l各主成份的標準差等於特徵值開方各主成份的標準差等於特徵值開方l假設前面兩個主成份已解釋全部變數變異的一定比假設前面兩個主成份已解釋全部變數變異的一定比例以上，因此只要保留兩個主成份即可例以上，因此只要保留兩個主成份即可iiS555222
15、111fff555454353252151552542432322212125154143132121111fffffXfffffXfffffX525215152222121212121111XXX555454353552542432325154143131多變量分析管理上的應用14因素分析的估計方法因素分析的估計方法u主因素軸法(principle axis factoring，PAF)l主因素軸法是一種利用反覆計算以估計共通性及其解的方法主因素軸法是一種利用反覆計算以估計共通性及其解的方法u主因素軸法估計步驟l設定各指標的共通性初始值為設定各指標的共通性初始值為1，以指標之相關係數矩陣及主
16、成份法，以指標之相關係數矩陣及主成份法估計。決定了共同因子的個數後，計算結構及形態負荷，然後再計算估計。決定了共同因子的個數後，計算結構及形態負荷，然後再計算各指標之共通性各指標之共通性l計算各指標共通性與初始共通性之間的差，將其中最大者與事先設定計算各指標共通性與初始共通性之間的差，將其中最大者與事先設定的收斂範圍比較的收斂範圍比較l如果步驟如果步驟2的最大值比設定的收斂範圍大，則將指標間相關係數矩陣的最大值比設定的收斂範圍大，則將指標間相關係數矩陣對角線的值對角線的值(原來均為原來均為1)以步驟以步驟1所估計得到的共通性取代，並以此新所估計得到的共通性取代，並以此新的相關係數矩陣再應用主成
17、份法估計，然後估計得到各指標新的共通的相關係數矩陣再應用主成份法估計，然後估計得到各指標新的共通性估計值性估計值l計算新的共通性估計值與之前步驟計算新的共通性估計值與之前步驟1所得估計值的差，然後取最大值所得估計值的差，然後取最大值與設定的收斂範圍比較，如果還是大於收斂範圍，則重覆步驟與設定的收斂範圍比較，如果還是大於收斂範圍，則重覆步驟3，直，直到新的共通性估計值與前一次估計值間差的最大值小於收斂範圍為止到新的共通性估計值與前一次估計值間差的最大值小於收斂範圍為止多變量分析管理上的應用15共同因子個數的選取共同因子個數的選取u設定總解釋變異比例需達某一水準設定總解釋變異比例需達某一水準u取到
18、第取到第m個因子，此因子的特徵值恰比所有特徵值的平均值相等或大個因子，此因子的特徵值恰比所有特徵值的平均值相等或大一些；如果使用相關係數矩陣進行分析，則選取特徵值大於一些；如果使用相關係數矩陣進行分析，則選取特徵值大於1的共同因的共同因素素u利用特徵值繪製陡坡圖利用特徵值繪製陡坡圖，假設自第假設自第m+1個特徵值開始，陡坡折線開始個特徵值開始，陡坡折線開始變得較為平坦，則變得較為平坦，則m個共同因子即為所求的數目個共同因子即為所求的數目u利用平行法（利用平行法（parallel procedure）u若資料屬於多變量常態分配，可利用最大概似法進行共同因子的選取若資料屬於多變量常態分配，可利用最
19、大概似法進行共同因子的選取;也可利用也可利用Akaikes information criterion(AIC)及及Schwarzs bayesian criterion(SBC)，做為判斷指標；若選取到第做為判斷指標；若選取到第m個共同因子個共同因子時，其時，其AIC值或是值或是SBC值最小，則值最小，則m為最適的共同因子個數為最適的共同因子個數多變量分析管理上的應用16因素分析結果與資料適合度之判定因素分析結果與資料適合度之判定uKaiser-Meyer-Olkin Measure of Sampling Adequacy(KMO或是稱為MSA)lKMOKMO愈高代表資料愈適合做因素分析，
20、最好是能夠高於愈高代表資料愈適合做因素分析，最好是能夠高於0.80.8，若，若KMOKMO小於小於0.50.5，表示資料不適合做因素分析，表示資料不適合做因素分析u平均殘差l平均殘差小於平均殘差小於0.050.05，則表示此資料適合因素分析，則表示此資料適合因素分析u相關係數矩陣l如果變數之間的相關性很低，表示彼此間的共同因子很少，不適合如果變數之間的相關性很低，表示彼此間的共同因子很少，不適合做因素分析做因素分析u偏相關係數矩陣l如果發現偏相關係數值很大，則通常應考慮增加萃取因素的個數如果發現偏相關係數值很大，則通常應考慮增加萃取因素的個數多變量分析管理上的應用17因素解非唯一的原因因素解非
21、唯一的原因u共通性估計l共通性的估計和獨特因素的估計具有循環的關係，因此共通性的估計和獨特因素的估計具有循環的關係，因此會造成共通性的估計問題會造成共通性的估計問題u因素旋轉l將原來的因素負荷矩陣乘上一個正交矩陣將原來的因素負荷矩陣乘上一個正交矩陣T（TT=I）後後仍為因素解仍為因素解u因素旋轉方式l正交旋轉法（正交旋轉法（orthogonal rotation）將原來的因素負荷矩陣乘上一個正交矩陣，故因素間仍互相獨立l斜交旋轉法（斜交旋轉法（oblique rotation）斜交轉軸後因素之間則不再為獨立關係多變量分析管理上的應用18變異最大旋轉法變異最大旋轉法l假設未旋轉前的因素負荷矩陣如
22、下假設未旋轉前的因素負荷矩陣如下l變異最大旋轉法的主要目的是希望將原始因素負荷矩陣乘上一個正交矩變異最大旋轉法的主要目的是希望將原始因素負荷矩陣乘上一個正交矩陣陣T T後，能使每一變數僅在單一因素具有很高的負荷，而在其餘因素的後，能使每一變數僅在單一因素具有很高的負荷，而在其餘因素的負荷則趨近於負荷則趨近於0 0l因素經旋轉過後，其共通性並不會改變因素經旋轉過後，其共通性並不會改變l變異最大旋轉法的公式變異最大旋轉法的公式m為共同因子個數lMaxMax2p1i2P1i2ij4ijp1i22j.2ijjP)(PP)(V m1j2m1j2P1i2ijm1jP1i4ijm1j2P1i2P1i2ij4
23、ijjP)(P)P)(P(V m1jP1im1j2P1i2ij4ijP)(PV多變量分析管理上的應用19四方最大旋轉法四方最大旋轉法l希望將原始因素負荷矩陣乘上一個正交矩陣希望將原始因素負荷矩陣乘上一個正交矩陣T後，能後，能使每一列的因素負荷平方變異數達到最大使每一列的因素負荷平方變異數達到最大l將每一列的變異數加總後可得將每一列的變異數加總後可得lMax212124122.2)()(mmmQmjmjijijmjiijiP1i2m1j2m1j2ij4ijP1iim)(mQQp1im1j4ijQ多變量分析管理上的應用20直交轉軸與斜交轉軸直交轉軸與斜交轉軸u實例與應用7-2多變量分析管理上的應用21
