1、出版社 理工分社复变函数与积分变换页复变函数与积分变换第4章解析函数的级数展开及其应用出版社 理工分社复变函数与积分变换页本章首先介绍复数项级数和复变函数项级数的一些基本概念与性质；其次介绍幂级数的概念及其收敛性的判别、解析函数的Taylor级数和Laurent级数展开；最后应用Taylor级数与Laurent级数研究解析函数的一些性质出版社 理工分社复变函数与积分变换页 4.1复级数的概念及基本性质4.1.1复数数列与实数列一样，把顺序排列的一串复数：称为复数列，记为zn(n=1,2,)，zn称为数列的通项或一般项.定义4.1设zn(n=1,2,)为一复数列，zC如果对任意0，存在自然数N，
2、当nN时，有则z称为复数列zn的极限，记为此时也称复数列zn收敛于z如果复数列zn没有极限，则称zn发散出版社 理工分社复变函数与积分变换页定理4.1假设 则 的充分必要条件是 且证必要性由 即得，充分性由可知.证毕.出版社 理工分社复变函数与积分变换页例4.1复数列 (n=1,2,)收敛于2i，因为收敛的复数列与收敛实数列有类似的性质，比如：收敛复数列zn的极限是唯一的；收敛复数列zn一定有界,即存在正数M，使得zn M对任意自然数n成立.出版社 理工分社复变函数与积分变换页4.1.2复数项级数定义4.2设zn为复数列，定义为复数项级数，如果其部分和数列收敛于有穷复数S，则称复数项级数 收敛
3、于S，且称S是该级数的和，此时记为如果部分和数列Sn发散，则称复数项级数 发散.出版社 理工分社复变函数与积分变换页利用复数数列的知识，可得到复数项级数的一系列结论，列举如下.定理4.2假设 (n=1,2,)，则 收敛的充分必要条件是 和 都收敛.证因为 由定理4.1及级数收敛的定义即知定理结论成立.出版社 理工分社复变函数与积分变换页例4.2讨论级数 的敛散性.解因为 发散，故原级数发散.由定理4.2及实数项级数收敛的必要条件易得下面结论.定理4.3 收敛的必要条件是定理4.4若 收敛，则 收敛.出版社 理工分社复变函数与积分变换页证假设 (n=1,2,)，则 (n=1,2,)，因 收敛，由
4、正项级数的收敛判别法知 和 都绝对收敛，再由定理4.2知 收敛.定义4.3若 收敛，则称 绝对收敛，若 收敛,而 发散，则称 条件收敛.定理4.5假设zn=xn+iyn(n=1,2,)，则 绝对收敛的充分必要条件是 和 都绝对收敛.出版社 理工分社复变函数与积分变换页证必要性因为 (n=1,2,)，故由 绝对收敛可推得 和 绝对收敛.充分性由 和 绝对收敛知 收敛，又 从而 收敛，即 绝对收敛.出版社 理工分社复变函数与积分变换页收敛复级数有下述性质，其证明与实数项级数完全相同.设 收敛，,为常数，则 收敛，且设 绝对收敛，则它的Cauchy乘积 也绝对收，且出版社 理工分社复变函数与积分变换
5、页4.1.3复变函数项级数定义4.4设fn(z)(n=1,2,)是定义在平面点集E上的复变函数列，称为点集E上的（复变）函数项级数，称为部分和函数.如果对 收敛，称z0为级数式(4.1)的一个收敛点.收敛点的全体称为函数项级数的收敛域.在收敛域内级数收敛于一个复变函数f(z)，称f(z)为级数式(4.1)的和函数，记为 .出版社 理工分社复变函数与积分变换页例4.3讨论 的收敛域，并求出和函数.解当 1时，故 发散;当 1时,又部分和函数故和函数为 于是 的收敛域为z0，使得设 ，则 ，注意到而级数 收敛.由定理4.6知，级数 在开圆 盘 内绝对收敛，证毕.出版社 理工分社复变函数与积分变换页
6、推论4.8若幂级数(4.2)在z=z2(z0)时发散，则它在区域zz0z2z0内任一点发散.事实上，若存在使得z0z2z0，且 收敛，则由定理4.7知级数 在zz00，使得a.当zz0R 时，幂级数（4.2）发散.出版社 理工分社复变函数与积分变换页定义4.5如果存在R:0R+，使得当zz0R 时，幂级数式式（4.2）发散，则称R为幂级数式（4.2）的收敛半径，而圆盘zz0R 称为幂级数式（4.2）的收敛圆.注：若幂级数式（4.2）的收敛半径为R，则在圆周zz0=R 上，幂级数式（4.2）可能收敛可能发散.出版社 理工分社复变函数与积分变换页下面的定理给出了求收敛半径的方法，其证明完全类似于实
7、函数的情形.定理4.9如果幂级数式（4.2）的系数满足则幂级数式（4.2）的收敛半径出版社 理工分社复变函数与积分变换页定理4.10如果幂级数式（4.2）的系数满足 则幂级数式（4.2）的收敛半径出版社 理工分社复变函数与积分变换页例4.4求幂级数 的收敛半径与收敛域.解因为 ，故原级数的收敛半径R=1，即收敛圆为 .而当 时，因 ，而 收敛，由定理4.6知 在 上处处收敛，故它的收敛域为z1.出版社 理工分社复变函数与积分变换页例4.5求幂级数 的收敛半径与收敛域.解因为故原级数的收敛半径R=1e，即收敛圆为z11e.当z1=1e 时，因为故 ，由级数收敛的必要条件知 上处处发散，从而原级数
8、的收敛域即为收敛圆z11e.出版社 理工分社复变函数与积分变换页例4.6求幂级数 的收敛半径，并讨论它在z=0和z=2处的敛散性解因为 ，故原级数的收敛半径R=1,即收敛圆为 z11.当z=2时，原级数为 ，它是调和级数，故发散；当z=0时，原级数为 ，由交错级数的Leibniz判别法知级数收敛，即在收敛圆的边界z1=1 上，原级数既有收敛点，也有发散点.出版社 理工分社复变函数与积分变换页4.2.2幂级数的性质（1）幂级数的运算性质 设 与 的收敛半径分别为R1和R2，则 ,为常数；其中出版社 理工分社复变函数与积分变换页（2）幂级数的分析性质定理4.11设幂级数 的收敛半径为R，和函数为S
9、(z)，则S(z)在zz0R 内解析，且S(z)可逐项求导S(z)在zz0R 内可逐项积分，即对收敛圆内任一点z有证明从略.出版社 理工分社复变函数与积分变换页4.2.3Taylor级数定理4.11表明幂级数式（4.2）的和函数S(z)在收敛圆zz0R 内解析，一个自然的问题是，圆内解析的函数能表达成幂级数吗？下面的Taylor定理肯定地回答了此问题.定理4.12（Taylor定理）设f(z)在圆NR(z0)=z:zz0R 内解析，则f(z)在NR(z0)内可展开成幂级数其中 ，并且展式（4.4）是唯一的.出版社 理工分社复变函数与积分变换页证取：0R,并令：z0=,使得z落在的内部（图4.2
10、），则由Cauchy积分公式，得 图4.2出版社 理工分社复变函数与积分变换页因为 ，故由例4.3可知于是由Cauchy导数公式得出版社 理工分社复变函数与积分变换页其中令 则q与积分变量无关且0q0，使得f(z)M 在成立，于是出版社 理工分社复变函数与积分变换页故 在式（4.6)两端令N+，得式（4.4）和式（4.5），证毕.出版社 理工分社复变函数与积分变换页最后证明展式（4.4）的唯一性.设另有展式则由幂级数性质（定理4.11）有故展式是唯一的.称式（4.4）中的级数为f(z)在点z0的Taylor展式，称式（4.5）中的系数为其Taylor系数，而等式（4.4）右边的级数称为Tayl
11、or级数.由Taylor定理可得到刻画解析函数的第四个等价命题.出版社 理工分社复变函数与积分变换页定理4.13f(z)在区域D内解析的充要条件是f(z)在区域D内任何一点z0的某个邻域内可展成zz0的幂级数.推论4.14f(z)在点a解析的充要条件是f(z)在点a的某个邻域内可展成za的幂级数其中收敛半径R为从a到f(z)的距a最近的奇点的距离.出版社 理工分社复变函数与积分变换页下面应用Taylor定理来求一些初等函数的Taylor展式，这种方法称为直接展开法.例4.7求f(z)=在 处的Taylor级数.解因为f(z)=在全平面上解析且出版社 理工分社复变函数与积分变换页故有时我们也可以
12、借助已知函数的展开式，利用幂级数的运算性质及和函数的分析性质来求另一些函数的Taylor级数，即间接展开法，下面举例说明这种方法：出版社 理工分社复变函数与积分变换页例4.8求sin z，cos z在 处的Taylor级数.解利用f(z)=sin z的定义及展开式（4.7）得但当n为偶数时 于是出版社 理工分社复变函数与积分变换页因为所以有应用定理4.11中的逐项微分性质，在等式（4.8）两边微分有即cos z在z0=0处的Taylor级数为出版社 理工分社复变函数与积分变换页例4.9求ln(1+z)在 =0处的Taylor级数.解因为ln(1+z)在 =0处解析，且它的离z0=0最近的奇点为
13、z1=1，故由推论4.14知它在z1 在内可展成关于z的幂级数.由例4.3知若在上式中用z代替z，则有在式（4.10）两端同时积分并应用定理4.11中逐项积分性质得出版社 理工分社复变函数与积分变换页例4.10展开函数 成为z1的幂级数.解由 得出版社 理工分社复变函数与积分变换页下面再举一个用待定系数法展开函数成Taylor级数的例子.例4.11求 (为复数）的主值支在z0=0处的Taylor级数.解因为 的主值支f(z)=在z1 解析，且在圆周z=1 上有一个奇点z=1，故必能展成z的幂级数且收敛半径为R=1.因为即(1+z)f(z)=f(z)，将f(z)用式（4.9）左端代入得出版社 理
14、工分社复变函数与积分变换页即比较上式两端同次幂的系数得于是出版社 理工分社复变函数与积分变换页4.2.4解析函数的唯一性定理定义4.6如果f(z)在点z=a解析，且有则称a是解析函数f(z)的m阶零点.定理4.15不恒为零的解析函数f(z)以a为m阶零点的充要条件是其中(z)在点z=a处解析且(a)0.出版社 理工分社复变函数与积分变换页证明必要性：假设f(z)以a为m阶零点，则由上述定义及Talory定理，在a的某个邻域zaR 内，有其中 在点a处解析且 .充分性的证明略.出版社 理工分社复变函数与积分变换页例如f(z)=zsin z以z=0为3阶零点.这是因为又如函数 以z=1为2阶零点，
15、这是因为 其中 在点z=1处解析且 0.同理可知f(z)以z=3为5阶零点.出版社 理工分社复变函数与积分变换页定理4.16（解析函数零点的孤立性）设f(z)在zaR 内解析且以a为零点，则存在r(0rR),使得f(z)在Nr（a）a内无零点，除非f(z)0.证明若f(z)不恒为零，不失一般性，设f(z)以a为m阶零点，则由定理4.15可知，其中(z)在点z=a处解析且（a）0，由此存在a的一个充分小的邻域Nr（a）:zar 上绝对收敛.当rR时，双边幂级数式（4.12）在圆环H:r R上绝对收敛于圆环H内解析的和函数.一个自然的问题是，圆环内解析的函数能表达成双边幂级数吗？下面的Lauren
16、t定理肯定地回答了此问题.出版社 理工分社复变函数与积分变换页4.3.2Laurent级数定理4.19（Laurent定理）设f(z)是圆环域H:r R内的解析函数，则 zH，有其中为圆周 =(rR)，并且展式(4.13）是唯一的.出版社 理工分社复变函数与积分变换页证明对 H，取1,2，使得 由Cauchy积分公式，得 图4.3其中j:zz0=j(j=1,2).出版社 理工分社复变函数与积分变换页同式（4.6）证明类似可得其中当1时，于是出版社 理工分社复变函数与积分变换页故其中令出版社 理工分社复变函数与积分变换页则q与积分变量无关且0q0，使得f(z)M在1成立，于是故 ，在式（4.17
17、）两端令N+，得其中出版社 理工分社复变函数与积分变换页取为圆周z0=(rR)，因为f（）在rz0R内解析，故由多连通区域的Cauchy积分定理知于是式(4.16)、式(4.18)可统一为式(4.14)，证毕.出版社 理工分社复变函数与积分变换页最后证明展式（4.13）的唯一性.设另有展式取为圆周z0=(rR)，由逐项可积性定理得或 故cn=cn(n=0,1,2,).出版社 理工分社复变函数与积分变换页称式(4.13)中的级数为f(z)在点z0的Laurent展式，称式(4.14)中的系数为其Laurent系数，而等式(4.13)右边的级数称为Laurent级数.注：（1）当f(z)在圆NR(
18、z0)内解析时，NR(z0)可视为圆环的特殊情形，于是f(z)在NR(z0)内可展成Laurent级数，且由式(4.14)及Cauchy定理可知，当n0时，cn=0，表明此时的Laurent级数就是Taylor级数.因此，Taylor级数是Laurent级数的特例.（2）一般来说，出版社 理工分社复变函数与积分变换页例4.13因为函数 在0z内解析，则由Laurent定理可知，此函数在0z内能表达成Laurent级数，且由sin z的Taylor展式得例4.14在z=0的去心邻域：0z1内，函数 的Laurent级数为出版社 理工分社复变函数与积分变换页例4.15求 的Laurent级数，其中
19、0z.解在 的Taylor级数中用 代替z，我们有 的Laurent级数形式例4.16求函数分别在域 内的Laurent级数.出版社 理工分社复变函数与积分变换页解显然函数f(z)在 C上有两个奇点z=1和z=2，在域 (1)z1;(2)1z2;(3)2z+;(4)1z1+内均解析，则f(z)在上述区域内均可展成Laurent级数.首先注意出版社 理工分社复变函数与积分变换页（1）（2）出版社 理工分社复变函数与积分变换页（3）即（4）出版社 理工分社复变函数与积分变换页例4.17将函数 在z=1的去心邻域内展成Laurent级数.解利用正余弦函数的展开式得出版社 理工分社复变函数与积分变换页
20、例4.18求积分 其中C 为绕原点的正向简单闭曲线.解f(z)=在圆环0z0，使得对 zNR(z0)z0，有f(z)M，且 ，其中于是当n0时，即cn=0,(n=1,2,),f(z)在z0的主要部分为零.出版社 理工分社复变函数与积分变换页对于极点，有下述定理.定理4.21设z0是f(z)的孤立奇点，则下列三种说法等价.f(z)在点z0的主要部分为 其中(z)在点z=z0处解析且(z0)0;z0是函数1f(z)的m阶零点.出版社 理工分社复变函数与积分变换页证明 ：由假设有其中 在点z=z0处解析且(z0)=cm0.出版社 理工分社复变函数与积分变换页 ：由假设知，在点z=z0处解析且(z0)
21、0，因为由定理4.15可知，z0是函数 的m阶零点.出版社 理工分社复变函数与积分变换页 ：设z0是函数 的m阶零点，根据定理4.15可设其中(z)在点z=z0处解析且(z0)0，那么 也在点z=z0处解析，从而有出版社 理工分社复变函数与积分变换页其中1(z0)=a00.故可见f(z)在点z0的主要部分为式(4.19)的形式.出版社 理工分社复变函数与积分变换页推论4.22函数f(z)以孤立奇点z0为极点的充要条件是注意本性奇点是既不为可去奇点，又不为极点的孤立奇点，因此，对本性奇点有定理4.23.定理4.23设z0是f(z)的孤立奇点，则下列说法等价.f(z)在点z0的主要部分为无限多项;
22、不存在，也不为.出版社 理工分社复变函数与积分变换页例4.19求下列函数在C上的所有奇点并判别其类型解（1）f(z)的有限奇点为z=0，因为z=0为sin z的一阶零点，故z=0为f(z)的二阶极点.事实上f(z)可表为 ，其中(z)在点z=0处解析且(0)0.（2）g(z)的有限奇点为z=0,z=i，其中z=0为g(z)的三阶极点，z=i为g(z)的二阶极点，z=i为g(z)的一阶极点.出版社 理工分社复变函数与积分变换页（3）h(z)的所有有限奇点为z=2ki(k=0,1,2,3,).当z0=0时故z0=0为h(z)的可去奇点.当zk=2ki0时，因为zk是ez1的一阶零点，于是zk是 的
23、一阶极点，又zk是1z解析点，从而zk是h(z)的一阶极点.出版社 理工分社复变函数与积分变换页4.3.4解析函数在无穷远点的性态如果f(z)在的某个去心邻域N():0rz+内解析，则称是f(z)的孤立奇点.令=1z，则F（）=f1在原点的去心邻域 内解析,即=0是F（）的孤立奇点，自然地有如下定义.出版社 理工分社复变函数与积分变换页定义4.9如果=0是F（）的可去奇点(解析点)、m阶极点、本性奇点，则称z=是函数f(z)的可去奇点(解析点)、m阶极点、本性奇点.根据Laurent定理，可设于是有其中 (n=0,1,2,)，对应于F（）在=0的主要部分，我们称为f(z)在z=的主要部分.出版
24、社 理工分社复变函数与积分变换页根据定义4.9，类似定理4.20、定理4.21、定理4.23，可得下列定理.定理4.24设是f(z)的孤立奇点，则下列三种说法等价.f(z)在的主要部分为零；f(z)在的某个去心邻域内有界.出版社 理工分社复变函数与积分变换页定理4.25设是f(z)的孤立奇点，则下列三种说法等价.f(z)在的主要部分为f(z)=zm(z)，其中(z)在点处解析且0；是函数1f(z)的m阶零点.定理4.26函数f(z)以孤立奇点为极点的充要条件是定理4.27设是f(z)的孤立奇点，则下列说法等价.f(z)在的主要部分为无限多项；出版社 理工分社复变函数与积分变换页例4.20在 上
25、，函数 有奇点z=0，z=(n=1,2,)以及z=.对于z=0，因为 ，所以z=0是f(z)的非孤立奇点，从而f(z)在z=0的去心邻域内不能展开为Laurent级数；出版社 理工分社复变函数与积分变换页对于z=，因为而=0是F（）的一阶极点，由定义4.9知，z=是f(z)的一阶极点.出版社 理工分社复变函数与积分变换页例4.21将函数 在z=展开为Laurent级数.解f(z)在2z+内解析，即是f(z)的一个孤立奇点，此函数在2z+内可展开为Laurent级数.当2z+时，02z1，故即出版社 理工分社复变函数与积分变换页 习题41.讨论下列数列的敛散性，如果收敛，求出它们的极限.2.判别
26、下列级数敛散性.3.求下列级数的收敛半径.出版社 理工分社复变函数与积分变换页4.下列结论是否正确？为什么？（1）每一个幂级数在它的收敛圆内与收敛圆上收敛；（2）每一个幂级数收敛于一个解析函数；（3）每一个在z0连续的函数一定可以在z0的邻域内展开成Taylor级数.5.幂级数 能否在z=0收敛而在z=3发散？6.如果 的收敛半径为R，证明级数 的收敛半径R.7.函数 当x为任何实数时，都有确定的值，但它的Taylor展开式：却只当|x|0，和函数为f(z)，证明：出版社 理工分社复变函数与积分变换页18.求证如下不等式.（1）对任意的复数z有（2）当0|z|1时，证19.设 a0，求 其中C为任一条包含原点且落在圆周：z=a内的简单闭曲线。出版社 理工分社复变函数与积分变换页20.讨论下列各函数在扩充复平面上有哪些孤立奇点？各属于哪一种类型？如果是极点，请指出它的级.21.假设解析函数f(z)在z0点有m级零点，试问函数 在点z0的性质如何？
