1、大学物理学大学物理学第第14章章 光的衍射光的衍射14.1 光的衍射现象光的衍射现象 惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理光的衍射现象光的衍射现象惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理 光遇到障碍物时，能绕过障碍物边缘而进入几光遇到障碍物时，能绕过障碍物边缘而进入几何阴影传播，并且产生何阴影传播，并且产生强弱不均的光强分布强弱不均的光强分布，这种，这种现象称为现象称为光的衍射光的衍射。一一.光的衍射现象光的衍射现象*Sl ll l 10-3 a*Sl l衍射屏衍射屏观察屏观察屏aLL衍射屏衍射屏观察屏观察屏L 惠更斯原理惠更斯原理：媒质中波所传到的：媒质中波所传到的各点都可看作是发各点都可看作是发射
2、子波的波源射子波的波源,其后任一时刻其后任一时刻,这些这些子波的包迹就决定子波的包迹就决定新的波阵面新的波阵面。P点的合振动：点的合振动：P点的合成光强：点的合成光强：Q设初相为零设初相为零S(S(波前波前)dS npdE(p)菲涅耳指出菲涅耳指出:波阵面上各点发出的子波在空间相遇波阵面上各点发出的子波在空间相遇时会产生干涉。时会产生干涉。“子波相干子波相干叠加叠加”这就是这就是惠更斯惠更斯-菲菲涅耳原理涅耳原理。dSrtrKCdEl2cos)(SdEEdSrtrKCSl2cos)(二二.惠更斯惠更斯-菲涅耳原理菲涅耳原理2EI u 衍射的分类衍射的分类光源光源障碍物障碍物观察屏观察屏有限远有
3、限远有限远有限远无限远无限远有限远有限远无限远无限远有限远有限远菲涅耳衍射：菲涅耳衍射：无限远无限远无限远无限远夫琅和费衍射：夫琅和费衍射：观观察察屏屏*S干涉和衍射的主要区别干涉和衍射的主要区别:干涉是干涉是有限有限多条光线的相干叠加；衍射是多条光线的相干叠加；衍射是无限无限多多条光线的相干叠加。条光线的相干叠加。14.2 单缝的夫琅和费衍射单缝的夫琅和费衍射单缝衍射的实验装置单缝衍射的实验装置菲涅耳半波带法菲涅耳半波带法*单缝衍射光强的推导单缝衍射光强的推导fopAaB*SCu 实验装置组成：实验装置组成：一个线光源一个线光源S，一个狭缝，两个透镜，一个接收屏。，一个狭缝，两个透镜，一个接
4、收屏。一一.单缝衍射的实验装置单缝衍射的实验装置u 透镜的作用：透镜的作用：构造夫琅和费衍射条件。构造夫琅和费衍射条件。第一个透镜获得平行光入射单缝；第二个透镜将平行第一个透镜获得平行光入射单缝；第二个透镜将平行光在聚焦在焦平面上。光在聚焦在焦平面上。u单缝衍射过程：单缝衍射过程：干涉与衍射的区别：干涉与衍射的区别：干涉是有限条光线的相干叠加；衍射是干涉是有限条光线的相干叠加；衍射是无限条光线的相干叠加。无限条光线的相干叠加。平行光垂直入射时，平行光垂直入射时，从线光源从线光源S到单缝的各条光线的光程差相到单缝的各条光线的光程差相同，因此单缝处各条光线的初始相位相同。同，因此单缝处各条光线的初
5、始相位相同。可将单缝划分成许多个缝宽为可将单缝划分成许多个缝宽为dx的微元，的微元，每个微元辐射出不每个微元辐射出不同衍射角同衍射角 的光线。各个微元发出的相同衍射角的平行光线经过的光线。各个微元发出的相同衍射角的平行光线经过透镜后在焦平面的观测屏上会聚于一点透镜后在焦平面的观测屏上会聚于一点P，点与衍射角一一对应点与衍射角一一对应。单缝单缝透镜透镜观测屏观测屏 fau单缝衍射要点单缝衍射要点 不同衍射角的光线不同衍射角的光线在观测屏在观测屏上会聚点的相对光程差不同，上会聚点的相对光程差不同，相干叠加后的光强不同，由此相干叠加后的光强不同，由此产生观测屏上不同位置的产生观测屏上不同位置的明暗明
6、暗相间的条纹分布相间的条纹分布。衍射角衍射角 =0时时，所有光线相互所有光线相互加强，形成加强，形成中央明纹中央明纹2l 两个两个相邻波带相邻波带所发出的光线所发出的光线会会聚于屏幕上时聚于屏幕上时全部相干相消。全部相干相消。如果单缝被分成如果单缝被分成偶数个波带偶数个波带，相邻波带成对相干相邻波带成对相干相消，屏相消，屏幕幕上对应点出现上对应点出现暗纹暗纹。如果单缝被分成如果单缝被分成奇数个波带奇数个波带，相邻波带相干相消相邻波带相干相消的结果，还剩下一个波带的作用，于是屏的结果，还剩下一个波带的作用，于是屏幕幕上对应点上对应点出现出现亮纹亮纹。单缝相应就被分成若干等单缝相应就被分成若干等宽
7、的窄带宽的窄带菲涅耳半波带。菲涅耳半波带。2l2lABaC 作一系列相距作一系列相距l l/2且垂直于且垂直于BC的平面的平面,二二.菲涅耳半波带法菲涅耳半波带法u 单缝衍射明暗纹的中心位置单缝衍射明暗纹的中心位置22sinl l ka 2)12(sinl l ka0 暗纹暗纹(k=1,2,3,)亮纹亮纹(k=1,2,3,)零级零级(中央中央)亮纹亮纹 直线条纹直线条纹波带数波带数fopAaB*SCu 讨论讨论直线条纹直线条纹fopAaB*SC次级亮纹与暗纹次级亮纹与暗纹表达式中表达式中k 0，k=0对应零级（中央）对应零级（中央）亮纹，单独考虑。亮纹，单独考虑。中央亮纹中央亮纹是窄缝所有光线
8、同相叠加的结果，而两边的亮是窄缝所有光线同相叠加的结果，而两边的亮纹只是一个波带叠加（还没有完全同相叠加）的结果，纹只是一个波带叠加（还没有完全同相叠加）的结果，因此中央亮纹的亮度远大于两边亮纹的亮度。因此中央亮纹的亮度远大于两边亮纹的亮度。次级次级k可正可负。可正可负。单缝衍射条纹单缝衍射条纹是明暗相间的直条纹是明暗相间的直条纹.波带数波带数为奇数时对应亮纹，为奇数时对应亮纹，为偶数时对应暗纹。为偶数时对应暗纹。中央明纹又亮又宽中央明纹又亮又宽(约为其它明纹宽度的约为其它明纹宽度的2 倍倍)。u 光强分布光强分布 sin 相对光强曲线相对光强曲线1.00.0470.0170.0470.017
9、olala2la2la暗纹,sinlka 这是由于这是由于k越大越大,分成的波带数越多分成的波带数越多,而而未被抵消的未被抵消的波带面积越小波带面积越小的缘故。的缘故。中央两旁，明纹的亮度随着级次的增大迅速减小。中央两旁，明纹的亮度随着级次的增大迅速减小。中央亮纹范围：中央两中央亮纹范围：中央两旁两个第一级暗纹间的旁两个第一级暗纹间的区域，即区域，即 -l l asin l l(很很小小,有有sin )中央亮纹半角宽度：中央亮纹半角宽度：al l 中央亮纹的线宽度：中央亮纹的线宽度：afxl2l lx单缝单缝透镜透镜观测屏观测屏 fau 中央亮纹宽度中央亮纹宽度暗纹,sinlka设窄带设窄带d
10、x的光振动为的光振动为taxAEo cosdd 此坐标为此坐标为x 处的窄带处的窄带(子波源子波源)在在P点产生的光振动为点产生的光振动为)2cos(ddl l rtaxAEo 用用ro表示从单缝中心表示从单缝中心o点到点到P点的光程，则点的光程，则r=ro+xsin，上，上式变为式变为 xdxABPErroo)2(sin2cosdtrxadxAEoo l l l l 将上式对整个缝宽积分，就得将上式对整个缝宽积分，就得P点的合振动：点的合振动：u *单缝衍射光强的推导单缝衍射光强的推导)2(sin2cos22trxadxAEooaa l l l l xdxABPErroo)2cos(sin)
11、sinsin(traaAoo l l l l l l P点合振动的振幅为点合振动的振幅为uAAosinu l l sinau 令令则则P点的光强可表示为点的光强可表示为 22sin uuIAIouAAosinu xdxABPErroo (1)当当=0时，时，u=0，I=Io，光强最大，此即，光强最大，此即中央中央(零级零级)明纹明纹中心中心。l l sinau ,sin(2)时时当当 l l kau 即即 asin=kl l (k=1,2,3,)，时，时,I=0，此即，此即暗纹暗纹中心的条件。中心的条件。22sin uuIAIo l l sinau (3)令令 ，可求得各级，可求得各级亮纹亮纹
12、的条件为的条件为 0sindd2 uuutgu=u asin 1=1.43l l ，I1=0.0472Io l l23asin 2=2.46l l ，I2=0.0165Io l l25即即asin 2)12(lk解解 由单缝的暗纹条件：由单缝的暗纹条件：k=1,=30,得：得：a=2l l。(半半)波带数波带数=2/sinl l a(半半)波带数波带数=2 一般一般计算计算波带数的方法是：波带数的方法是：2k=2。l ll l kka 22sin例题例题 波长波长l l的单色光垂直照射单的单色光垂直照射单缝，第一级暗纹缝，第一级暗纹衍衍射角为射角为30，求狭，求狭缝的缝宽及对应此缝的缝宽及对应
13、此衍射角狭衍射角狭缝的缝的波阵面可分为几个半波带。波阵面可分为几个半波带。暗纹,sinlka解解 (1)第三级第三级暗纹对应的衍射角暗纹对应的衍射角 ：asin =3l l o p fxafxdl623fda6l=5000例题例题14.2.2 单单缝宽缝宽a=0.15mm,透镜焦距透镜焦距f=400mm。测得测得中央明纹两侧的中央明纹两侧的两条第三级两条第三级暗纹间的距离暗纹间的距离d=8mm,求求:(1)入射光的波长入射光的波长;(2)中央明纹线宽度中央明纹线宽度;(3)第二级第二级暗纹到透镜焦点的距离。暗纹到透镜焦点的距离。暗纹,sinlkatan3fx al3sin 很小时，很小时，ta
14、nsin,3sin3affxl第三级第三级暗纹位置暗纹位置=2.67mm (2)中央明纹的线宽度为两侧两条一级暗纹的间距中央明纹的线宽度为两侧两条一级暗纹的间距:affl2sin21 a=0.15mm,f=400mm,l l=5000=2.67mm(3)求求第二级第二级暗纹到透镜焦点的距离。暗纹到透镜焦点的距离。o p fx11tan22fxxl1sinal2sin2a22tanxfaffl2sin2解解 明纹对应的衍射角明纹对应的衍射角:2)12(sinlkatanfx 121042)12(27kfkaxl在可见光波波长范围，取在可见光波波长范围，取 k=3，l l=6000,相应相应单缝被
15、划分为单缝被划分为7个半波带；个半波带；k=4，l l=4667,相应相应单缝被划分为单缝被划分为9个半波带。个半波带。o p fx例题例题 单缝宽单缝宽a=0.6mm，透镜焦距，透镜焦距f=40cm。平行光垂直。平行光垂直照射照射,距中心距中心o点点x=1.4mm的的P点处恰为一明纹中心点处恰为一明纹中心,求求入射光的波长及对应入射光的波长及对应P点单缝被划分为几个半波带。点单缝被划分为几个半波带。明纹位置明纹位置:afkf2)12(sinl14.3 圆孔衍射圆孔衍射 光学仪器的分辨本领光学仪器的分辨本领夫琅和费夫琅和费圆孔圆孔衍射衍射光学仪器的分辨本领光学仪器的分辨本领相对光相对光强曲线强
16、曲线I圆孔直径圆孔直径D一一.小圆孔的夫琅和费衍射小圆孔的夫琅和费衍射艾里斑的半角宽度：艾里斑的半角宽度：Dl l 22.1艾里斑艾里斑二二.光学成像仪器的分辨本领光学成像仪器的分辨本领几何光学：一个点通过透镜成像于一点。几何光学：一个点通过透镜成像于一点。衍射观点：一个点通过透镜形成衍射图样。衍射观点：一个点通过透镜形成衍射图样。.0.81.0不能分辨不能分辨恰能分辨恰能分辨瑞利判据瑞利判据:若一个点光源的衍射图样的中央最大处恰若一个点光源的衍射图样的中央最大处恰好与另一点光源衍射图样的第一极小处相重合好与另一点光源衍射图样的第一极小处相重合,则这则这两个点光源恰能被分辨。两个点光源恰能被分
17、辨。.光学仪器的光学仪器的最小分辨角最小分辨角恰能分辨时两光点对透恰能分辨时两光点对透镜中心所张的角镜中心所张的角(即为爱里斑的半角宽度即为爱里斑的半角宽度):Dl l 22.1分辨本领为分辨本领为l l 22.11DRS1S2透镜透镜L透镜直径透镜直径D例题例题 通常亮度下通常亮度下,人眼瞳孔的直径人眼瞳孔的直径D=3mm，同学同学们最多坐多远，才不会把黑板上写的相距们最多坐多远，才不会把黑板上写的相距1cm的等的等号号“=”号看成是减号号看成是减号“”？解解 只需只需“=”号对人眼所张号对人眼所张的角的角 最小分辩角就行。最小分辩角就行。DdLl22.1以视觉感受最灵敏的以视觉感受最灵敏的
18、5500的黄绿光来计算：的黄绿光来计算：1102.222.14 l l radDdL(人眼的最人眼的最小分辩角小分辩角)由上式算得：由上式算得：d=45.5m。人眼人眼dL等号等号14.4 光栅衍射光栅衍射光栅光栅光栅衍射光栅衍射光栅光谱光栅光谱光栅的分辨本领光栅的分辨本领 a 透光缝宽度；透光缝宽度；b 不透光部分宽度；不透光部分宽度；d=(a+b)光栅常数光栅常数。光栅常数的数量级为光栅常数的数量级为10-5 10-6m。一一.光光 栅栅abfoEp 大量等宽、等间距的平行狭缝排列起来的光学元件大量等宽、等间距的平行狭缝排列起来的光学元件称为称为光栅光栅。透射光栅透射光栅反射光栅反射光栅
19、光栅光栅设平行光线垂直入射。设平行光线垂直入射。二二.光栅衍射光栅衍射abfoEp d 不同狭缝相同衍射角不同狭缝相同衍射角 的平行光线经透镜后会聚于的平行光线经透镜后会聚于焦平面接收屏上一点焦平面接收屏上一点P。接收屏上各点的合成光强接收屏上各点的合成光强由单缝衍射与缝间干涉共同由单缝衍射与缝间干涉共同决定。决定。各单缝衍射在各单缝衍射在接收屏上接收屏上P点形成的光强相同，设为点形成的光强相同，设为Id()。abfoEp d 对于缝间干涉，各单缝可看做相距为对于缝间干涉，各单缝可看做相距为d的同相子波的同相子波波源。波源。光栅上光栅上N条缝干涉产生的条缝干涉产生的P点合成光强为：点合成光强为
20、：)()()(dFINI其中，其中，NF()为表征缝间干为表征缝间干涉光强分布的因子。涉光强分布的因子。若两相邻狭缝光线：若两相邻狭缝光线：=kl l,(k=0,1,2,)dsin 光栅方程光栅方程NF()=N2,主极大主极大(明明纹纹)光栅方程是衍射光栅合成光强光栅方程是衍射光栅合成光强出现亮纹出现亮纹(主极大主极大)的必要条件。的必要条件。主极大主极大(亮纹亮纹)极极小小(暗暗纹纹),.2,1,0 ),(sinkNkkNkdl,.2,1,0 ,sinkkdl两相邻主极大之间共有两相邻主极大之间共有N-1个极小值（暗纹）个极小值（暗纹）两个相邻极小值之间有一个次级大，因此在相两个相邻极小值之
21、间有一个次级大，因此在相邻的两个主极大之间共有邻的两个主极大之间共有N-2个次级大。个次级大。单缝衍射光强分布对多缝干涉光强分布调制的单缝衍射光强分布对多缝干涉光强分布调制的结果即为光栅产生的总光强分布。结果即为光栅产生的总光强分布。缝数愈多，缝数愈多，亮纹愈细。亮纹愈细。0Id-2-112单缝衍射光强单缝衍射光强asin/l lk=(a)dsin/l l04-8-48多缝干涉光强多缝干涉光强 亮纹亮纹(主极大主极大)k=(b)IN2I0单单048-4-8dsin(l l/d)单缝衍射单缝衍射 轮廓线轮廓线光栅衍射光栅衍射光强曲线光强曲线k=dsin/l l(c)()()(dFININF光强分
22、布特点光强分布特点:亮纹又亮又细，中间隔着较宽的暗区亮纹又亮又细，中间隔着较宽的暗区(即在黑暗的背即在黑暗的背景上显现明亮细窄的谱线景上显现明亮细窄的谱线)。谱线的亮度还受到单缝。谱线的亮度还受到单缝衍射因子的调制。衍射因子的调制。IN2I0单单048-4-8dsin(l l/d)单缝衍射单缝衍射 轮廓线轮廓线光栅衍射光栅衍射光强曲线光强曲线k=(dsin)/l l 例：例：(1)a=b,d=a+b=2a,则则k=2k =2,4,6,级级缺缺 (2)b=2a,d=a+b=3a,则则k=3k =3,6,9,级级缺。缺。kadk ,.)2,1(,kdsin =kl l,(光栅光栅)亮纹亮纹(k=0
23、,1,2,)asin =kl l,(单缝单缝)暗纹暗纹(k=1,2,)则缺的级次为则缺的级次为u 谱线的缺级谱线的缺级k=0k=1k=2k=3k=-1k=-2k=-3如果用白光照射光栅如果用白光照射光栅,dsin =kl l,亮纹亮纹(k=0,1,2,)则同一级谱线中，不同波长的谱线则同一级谱线中，不同波长的谱线(除中央零级外除中央零级外)由中央向外波长由短到长的次序分开排列，形成颜色由中央向外波长由短到长的次序分开排列，形成颜色的光带的光带光栅光谱光栅光谱。这就是光栅的色散特性。这就是光栅的色散特性。三三.光栅光谱光栅光谱四四.光谱级的重叠光谱级的重叠k=0k=1k=2k=3k=-1k=-2
24、k=-3如果不同的波长如果不同的波长l l1，l l2同时满足：同时满足：dsin =k1l l1=k2l l2则则l l1的的k1级和级和l l2的的k2级同时出现在一个级同时出现在一个 角处，即角处，即l l1 的的k1级和级和l l2的的 k2级发生了级发生了重叠重叠。在可见光范围内，第二、三级光谱一定会发生重叠。在可见光范围内，第二、三级光谱一定会发生重叠。级次愈高，重叠愈复杂。级次愈高，重叠愈复杂。如：如：dsin =34000=26000解解：(1)dsin 1=kl l,dsin 2=(k+1)l l12sinsin l l d=10l l=610-6m(2)因第因第4级缺级，级
25、缺级，由缺级公式：由缺级公式：kadk =4，取取k =1(因要因要a最小最小)求求得：得：a=d/4=1.510-6m例题例题 l l=6000的的平行光垂直照射光栅平行光垂直照射光栅,发现两相邻发现两相邻的主极大分别出现在的主极大分别出现在sin 1=0.2和和sin 2=0.3处，而第处，而第4级缺级。求：级缺级。求：(1)光栅常数光栅常数 d=？(2)最小缝宽最小缝宽 a=？(3)屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数？屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数？dsin =kl l 最大最大k对应对应 =90，于是，于是 kmax=d/l l=10 缺级：缺级：d=610-6m a=1.510-6m
26、8,44 kkadk 屏上实际呈现屏上实际呈现:0，1，2，3，5，6，7，9共共8级，级，15条亮条亮纹纹(10在无穷远处，看不见在无穷远处，看不见)。(3)屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数屏上实际呈现的全部级别和亮纹条数:abfoEp k=370004000 dsin =3l l1=2l l2 第第2级光谱被第级光谱被第3级光谱重叠的波长范围：级光谱重叠的波长范围：6000 7000 第第3级光谱被第级光谱被第2级光谱重叠的波长范围：级光谱重叠的波长范围：4000 4667解：解：k=240007000.k=0中央例题例题 光栅光栅d=1.210-5m,用白光用白光(l l=4000 70
27、00)垂直照射垂直照射,f=0.6m,求第求第2级光谱与第级光谱与第3级光谱的重叠级光谱的重叠范围。范围。x因因 很小，很小，x=f tg f sin x1=f 3l l1/d,x2 =f 2l l2/d重叠区域的宽度：重叠区域的宽度：x=x2-x1=f(2l l2-3l l1)/d=10mm x为为4000的第的第3级与级与 7000的第的第2级谱线间的距级谱线间的距离。离。dsin 1=3l l1，l l1=4000 dsin 2=2l l2，l l2=7000重叠区域的宽度重叠区域的宽度:k=370004000k=240007000.k=0中央poEf x 四四.光栅的分辨本领光栅的分辨
28、本领 按照瑞利判断准则，要分辨第按照瑞利判断准则，要分辨第k级光谱中波长为级光谱中波长为l l和和l l+ll的两条谱线，就要求波长为的两条谱线，就要求波长为l l+ll的的第第k级主极大与波长为级主极大与波长为l l的最邻近的极小值相重合：的最邻近的极小值相重合：kNR l l l l 表征光栅性能的主要技术指标是它把靠得很近的表征光栅性能的主要技术指标是它把靠得很近的两个波长的谱线分辨清楚的本领。两个波长的谱线分辨清楚的本领。通常把恰能分辨的两条谱线的平均波长通常把恰能分辨的两条谱线的平均波长l l与这两与这两条谱线的波长差条谱线的波长差ll之比定义为光栅的色分辨本领。之比定义为光栅的色分
29、辨本领。用用R表示。表示。lll)1()(sinNkkd例题例题 设计一平面透射光栅。当用白光照射时，能在设计一平面透射光栅。当用白光照射时，能在30 的方向上观察到的方向上观察到l l=6000的第二级主极大，并能的第二级主极大，并能分辨该处分辨该处ll=0.05的两条谱线的两条谱线;但在该方向上观察不但在该方向上观察不到到4000的第的第3级主极大。级主极大。解解 dsin30 =2 6000d=24000kNR l l l l l l l l kN=6104光栅宽度：光栅宽度：Nd=14.4cm 4000的第的第3级缺级：级缺级：,k=1,a=80003 kadkb=d-a=16000X
30、射线是伦琴射线是伦琴(W.C.Rntgen)在在1895年发现的。年发现的。-+kAX射线射线 X射线不受电场和磁场的影响射线不受电场和磁场的影响,说明它不是带电粒说明它不是带电粒子流。子流。X射线射线能使一些物质发荧光，使照相底片感光，使能使一些物质发荧光，使照相底片感光，使空气电离，产生一些生物和化学反应。空气电离，产生一些生物和化学反应。14.5 X射线的衍射射线的衍射晶体晶体铅屏铅屏底片X射线既然射线既然是一种是一种电磁波动，就应当具有衍射现象。电磁波动，就应当具有衍射现象。由于由于X射线波长极短，射线波长极短，普通光栅无能为力普通光栅无能为力。1912年，劳厄年，劳厄(M.von.L
31、aue)突然想到突然想到:构成晶体的粒子是整齐排列的构成晶体的粒子是整齐排列的,粒子间的距离约为粒子间的距离约为1,它也许就是观察它也许就是观察X射线衍射的一个极好的光射线衍射的一个极好的光栅。栅。科学家认为科学家认为:X射线本质上和可见光一样射线本质上和可见光一样,是一种是一种波长波长极短极短(0.01埃到埃到100埃埃)的的电磁波。电磁波。d相长条件：相长条件：2dsin =kl l,k=1,2,.布喇格布喇格公式。式中公式。式中d 晶格常数。晶格常数。由于由于劳厄劳厄和和布喇格父子布喇格父子在研究在研究X射线射线晶体晶体衍射衍射方面的方面的突出贡献获得了诺贝尔物理学奖。突出贡献获得了诺贝尔物理学奖。1913年，布喇格父子又提出了一种观察年，布喇格父子又提出了一种观察X射线衍射线衍射的方法。射的方法。
