1、第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学第十五章第十五章结构的稳定计算第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学15-1 15-1 两类稳定问题概述两类稳定问题概述15-2 15-2 两类稳定问题计算简例两类稳定问题计算简例15-3 15-3 有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定 静力法和能量法静力法和能量法第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学高强度高强度材料应用、结构形式的发展，结构趋于材料应用、结构形式的发展，结构趋于轻型轻型、薄壁化薄壁化，更易失稳，稳定计算日益重要。更易失稳，稳定计算日益重要
2、。失稳失稳大到整个结构，小到局部构件！大到整个结构，小到局部构件！u 钢筋的失稳（纵筋与箍筋的绑扎箍筋的间距）；钢筋的失稳（纵筋与箍筋的绑扎箍筋的间距）；u 柱模板（沿高度方向加箍）柱模板（沿高度方向加箍）;u 桁架中的受压杆件（上弦杆）；桁架中的受压杆件（上弦杆）；u 高层结构中受压柱的失稳（轴压比）。高层结构中受压柱的失稳（轴压比）。共性：共性：受压；受压；几何特征问题。（强度与长细比的关系）几何特征问题。（强度与长细比的关系）第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学一、结构设计应满足三方面的要求一、结构设计应满足三方面的要求 1、强度、强度 2、刚度、刚度
3、3、稳定性。、稳定性。二、基本概念二、基本概念 1、失稳：当荷载达到某一数值时，体系由稳定、失稳：当荷载达到某一数值时，体系由稳定平衡状态转变为不稳定状态，而丧失原始平衡状平衡状态转变为不稳定状态，而丧失原始平衡状态的稳定性，简称态的稳定性，简称“失稳失稳”2、临界状态：由稳定平衡状态过度到不稳定状、临界状态：由稳定平衡状态过度到不稳定状态的中间状态（中性平衡状态）。态的中间状态（中性平衡状态）。3、临界荷载：临界状态时相应的荷载。、临界荷载：临界状态时相应的荷载。第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学 强度问题与稳定问题强度问题与稳定问题 我国我国规范规范规定
4、：在进行建筑结构设计时必须考虑规定：在进行建筑结构设计时必须考虑两种两种极限状态极限状态。1）承载能力极限状态承载能力极限状态（Ultimate limit state）指结构或构件达到指结构或构件达到最大承载力最大承载力或达到不适合继续承载的或达到不适合继续承载的变形变形的极限状态。主要包括结构、构件的的极限状态。主要包括结构、构件的强度强度（Strength）和）和稳定稳定（Stability）的计算。）的计算。2）正常使用极限状态正常使用极限状态（Serviceability limit state）指结构或构件达到正常使用或耐久性的某项指结构或构件达到正常使用或耐久性的某项规定限值规定
5、限值，如，如 0li2 轴心受压杆的长细比：轴心受压杆的长细比：2 梁的挠度：梁的挠度：ff2 梁的裂缝宽度：梁的裂缝宽度：第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学 1）强度问题）强度问题 指由指由作用作用（Action）对结构或构件产生的）对结构或构件产生的截面截面最大内力最大内力（或截面上某点的最大应力）是否超过截面的承载能力（或（或截面上某点的最大应力）是否超过截面的承载能力（或材料强度），因此，材料强度），因此，强度问题是应力问题强度问题是应力问题。2）稳定问题）稳定问题 是要找出是要找出作用作用与结构与结构内部抵抗力内部抵抗力之间的不稳定平衡状态之间的不
6、稳定平衡状态即变形开始急剧增大的状态，从而设法避免进入该状态，因即变形开始急剧增大的状态，从而设法避免进入该状态，因此，此，稳定问题是一种变形问题稳定问题是一种变形问题。说明：说明：作用作用 直接作用：如：永久荷载、可变荷载，等直接作用：如：永久荷载、可变荷载，等 间接作用：如：地震、基础沉降、砼收缩、间接作用：如：地震、基础沉降、砼收缩、温度变化，等温度变化，等第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学 一阶分析一阶分析（FOAFirst Order Analysis）以以未变形未变形的结构变形分析它的平衡，的结构变形分析它的平衡，不考虑不考虑变形对作用效变形对作
7、用效应的影响。应力问题通常采用一阶分析，也称应的影响。应力问题通常采用一阶分析，也称线性分析线性分析。二阶分析二阶分析（SOASecond Order Analysis）针对针对已变形已变形的结构变形分析它的平衡，的结构变形分析它的平衡，考虑考虑变形对作用效变形对作用效应的影响。稳定问题则采用应的影响。稳定问题则采用二阶分析二阶分析，也称，也称几何非线性分析几何非线性分析。1）稳定问题采用）稳定问题采用二阶分析二阶分析小变形，可用一阶分析计算。小变形，可用一阶分析计算。叠加原理适用条件：叠加原理适用条件：材料符合虎克定律：材料符合虎克定律：E 强度问题强度问题（应力）（应力）稳定问题稳定问题（
8、变形）（变形）2）不能不能应用叠加原理应用叠加原理 3）稳定问题）稳定问题不必区分不必区分静定和超静定结构静定和超静定结构第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学15-1 15-1 两类稳定问题概述两类稳定问题概述平衡状态从稳定性角度考察从稳定性角度考察稳定平衡状态：干扰消失后，结构能够回到原来的平衡位置。干扰消失后，结构能够回到原来的平衡位置。不稳定平衡状态：结构继续偏离，不能回到原来的位置。结构继续偏离，不能回到原来的位置。中性平衡状态：由稳定平衡到不稳定平衡过渡的中间状态由稳定平衡到不稳定平衡过渡的中间状态假设结构原来处于某个平衡状态，后来由于受到轻微干扰而
9、稍微偏离其原来位置分析方法分析方法大挠度理论。大挠度理论。小挠度理论。小挠度理论。静力法静力法能量法能量法第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学刚性小球平刚性小球平衡状态衡状态(1)稳定平衡状态稳定平衡状态(2)不稳定平衡状态不稳定平衡状态(3)随遇平衡状态随遇平衡状态第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学根据受力状态根据受力状态稳定问题分类稳定问题分类1.完善体系：完善体系：理想中心受压杆，无初曲率或弯曲变形理想中心受压杆，无初曲率或弯曲变形第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学分分支支点点失失稳
10、稳失稳前后平衡状态的变形性质发生变化失稳前后平衡状态的变形性质发生变化第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学2.非完善体系非完善体系 受压杆受压杆有初曲率有初曲率或受偏心或受偏心荷载，为荷载，为压弯联合压弯联合受力状态受力状态第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学极值点失稳极值点失稳失稳前后变形性质没有变化失稳前后变形性质没有变化第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学FPcr cr突突跳跳失失稳稳FPcr cr由由受受压压变变成成受受拉，拉，系系统统产产生生翻翻转转C3 3、失稳、失稳:随着荷载的逐
11、渐增大随着荷载的逐渐增大,结构的原始平衡位置由稳定平衡结构的原始平衡位置由稳定平衡 转为不稳定平衡转为不稳定平衡.这时原始平衡状态丧失其稳定性这时原始平衡状态丧失其稳定性.分支点失稳分支点失稳：（第一类失稳）（第一类失稳）完善体系完善体系（或称理想体系）（或称理想体系）直杆（无初曲率），直杆（无初曲率），中心受压（无初偏心）中心受压（无初偏心）。Pl/2l/2POP1Pcr=22lEI1Pcr(稳定稳定)(不稳定不稳定)(大挠度理论大挠度理论)(小挠度理论小挠度理论)DDP2原始平衡状态是不原始平衡状态是不稳定的。存在两种稳定的。存在两种不同形式的平衡状不同形式的平衡状态态(直线、弯曲）。直线
12、、弯曲）。分支点分支点B将原始平衡路径将原始平衡路径 分为两段。在分支点分为两段。在分支点B出现出现 平衡的二重性。原始平衡由平衡的二重性。原始平衡由 稳定转变为不稳定。稳定转变为不稳定。临界荷载、临界状态临界荷载、临界状态2 Pcr由于荷载自由于荷载自P Pcrcr至压溃历程极短，至压溃历程极短，故故P Pcrcr就成了失稳的标志。而大就成了失稳的标志。而大挠度理论和小挠度理论求出的挠度理论和小挠度理论求出的临界荷载十分贴近，可采用简临界荷载十分贴近，可采用简单的小挠度理论求单的小挠度理论求P Pcrcr。第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学 Pcr Pcr
13、qcr原始平衡：轴向受压原始平衡：轴向受压新平衡形式：压弯组合新平衡形式：压弯组合 Pcr原始平衡：轴向受压原始平衡：轴向受压新平衡形式：压弯组合新平衡形式：压弯组合原始平衡：平面弯曲原始平衡：平面弯曲新平衡形式：斜弯曲加扭转新平衡形式：斜弯曲加扭转 结构的变形产生了结构的变形产生了质质的改变。即原来的平衡形式成为不稳的改变。即原来的平衡形式成为不稳定而可能出现新的与原来平衡形式有定而可能出现新的与原来平衡形式有质质的区别的平衡形式，同的区别的平衡形式，同时，这种现象带有突然性时，这种现象带有突然性质变失稳质变失稳。分支点失稳的特点：分支点失稳的特点：其它结构的分支点失稳其它结构的分支点失稳极
14、值点失稳：极值点失稳：（第二类失稳）（第二类失稳）非完善体系：非完善体系：具有初曲率的压杆具有初曲率的压杆承受偏心荷载的压杆承受偏心荷载的压杆 P PPOPcr(大挠度理论)(小挠度理论)PePe接近于中心压杆的欧拉临界荷载接近于中心压杆的欧拉临界荷载稳定问题与强度问题的区别：稳定问题与强度问题的区别：强度问题是在稳定平衡状态下：强度问题是在稳定平衡状态下：max当当 ,小变形小变形，进行线性分析（一阶分析）。，进行线性分析（一阶分析）。P当当 ,大变形大变形，进行几何非线性分析（二阶分析）。，进行几何非线性分析（二阶分析）。P重点是求重点是求 内力、内力、应力应力稳定问题重点是研究稳定问题重
15、点是研究荷载荷载与与结构抵抗力结构抵抗力之间的平衡；找出变之间的平衡；找出变形急剧增长的临界点及相应的临界荷载。在形急剧增长的临界点及相应的临界荷载。在变形后变形后的几何位的几何位置上建立平衡方程，属于几何非线性分析（二阶分析）。置上建立平衡方程，属于几何非线性分析（二阶分析）。非线性分析，叠加原理不再适用。非线性分析，叠加原理不再适用。极值点失稳的特点：结构一开始受极值点失稳的特点：结构一开始受压就处于压弯状态，失稳与稳定无明显压就处于压弯状态，失稳与稳定无明显的界限，只是当接近失稳时，荷载增加的界限，只是当接近失稳时，荷载增加很小，而挠度迅速增加。很小，而挠度迅速增加。P-曲线具有曲线具有
16、极值点。由于结构的变形过大，结构将极值点。由于结构的变形过大，结构将不能正常使用不能正常使用量变失稳量变失稳。第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学一、分支点失稳lEIEIP P22lEIPcr-临界荷载临界荷载crPP 稳定平衡稳定平衡crPP 中性平衡中性平衡crPP 不稳定平衡不稳定平衡qP PP P完善体系完善体系结构变形产生了性质上的突变，带有突结构变形产生了性质上的突变，带有突然性。然性。第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学二、极值点失稳偏心受压偏心受压P PP P有初曲率有初曲率非完善体系非完善体系虽不出现新的变形
17、形式，但结构原来虽不出现新的变形形式，但结构原来的变形将增大或材料的应力超过其许的变形将增大或材料的应力超过其许可值，结构不能正常工作。可值，结构不能正常工作。pcrpep o第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学稳定自由度稳定自由度P PEI1 1个自由度个自由度P PP PEI2 2个自由度个自由度无限自由度无限自由度15-2 15-2 两类稳定问题计算简例两类稳定问题计算简例在稳定计算中，一个体系产生弹性变在稳定计算中，一个体系产生弹性变形时，确定其变形状态所需的独立几形时，确定其变形状态所需的独立几何参数的数目。何参数的数目。第第十五十五章章 结构的稳定
18、计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学 稳定问题的分析方法稳定问题的分析方法 Plk1 1、单自由度完善体系的分支点失稳、单自由度完善体系的分支点失稳EI=1 1）按大挠度理论分析）按大挠度理论分析 PRA0)cos()sin(lRlPsinklR0)sin)(cos(lklPPOAPcrB(稳定稳定)(不稳定不稳定)(大挠度理论大挠度理论)不稳定平衡不稳定平衡(小挠度理论小挠度理论)随遇平衡随遇平衡0:可能解cosklPklPcr 分支点分支点A A处的临界平衡也是处的临界平衡也是不稳定不稳定的。的。2 2）按小挠度理论分析）按小挠度理论分析(1)0)(lklP0RlPl0klPcr 小
19、挠度理论能够得出正确的临界荷载小挠度理论能够得出正确的临界荷载,但不能反映当但不能反映当较大较大时平衡路径时平衡路径的下降的下降(上升上升)趋势。随遇平衡状态是简化假设带来趋势。随遇平衡状态是简化假设带来的假象。的假象。注注:1）平衡方程是对）平衡方程是对变形以后变形以后的结构新位置建立的。的结构新位置建立的。2）建立平衡方程时方程中各项应是）建立平衡方程时方程中各项应是同量级同量级的，的，主要力项主要力项（有限量）要考虑结构变形对几何尺寸的微量变化，（有限量）要考虑结构变形对几何尺寸的微量变化，次要力项次要力项（微量）不考虑几何尺寸的微量变化。（微量）不考虑几何尺寸的微量变化。3524:si
20、n;1!3!5cos12!4!泰勒公式 Plk2 2、单自由度非完善体系的极值点失稳、单自由度非完善体系的极值点失稳EI=1 1）按大挠度理论分析）按大挠度理论分析 P RA0)cos()sin(RlPlsin)sin(klR)sin(sin1)cos(klP0:dPd由知P/klO=0=0.1=0.210.7850.380.6600.421.37 1.47/231sin)sin(2332)sin1(klPcrP/klO10.20.6600.10.7850.30.556这个非完善体系是极值点失稳这个非完善体系是极值点失稳.P Pcrcr 随随增大而减小增大而减小.)sin(sin1)cos(k
21、lP2332)sin1(klpcr PlkEI=2 2）按小挠度理论分析）按小挠度理论分析 PRAsin)sin(klRP/klO设：设：1，0（0），体系能），体系能恢复原位置，平衡是稳定的；恢复原位置，平衡是稳定的；如总势能如总势能Ep=U+UP=0（=0），体系能），体系能在任意位置平衡，平衡为中性的；在任意位置平衡，平衡为中性的；如总势能如总势能Ep=U+UP 0（0），体系不），体系不能恢复原位置，平衡是不稳定的。能恢复原位置，平衡是不稳定的。用能量法求临界荷载，依据于临界状态的用能量法求临界荷载，依据于临界状态的平衡条件，它等价于势能驻值原理：平衡条件，它等价于势能驻值原理：弹性体
22、系在临界状态，其总势能为驻值，即Ep=0PlABklMA=kPABBEI=0第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学弹性体系的平衡方程弹性体系的平衡方程势能驻值原理势能驻值原理：对于弹性体系，对于弹性体系，在一切微小的可能位移中，同时又满足平衡条件的位移（真在一切微小的可能位移中，同时又满足平衡条件的位移（真实位移）使结构的势能实位移）使结构的势能为驻值，即：为驻值，即：Ep=0,Ep=应变能应变能U+外力势能外力势能UPMA=k22l2sin22l)cos1(l MA=k弹性应变能弹性应变能22121kMUA荷载势能荷载势能:221PlPUP221)(PlkUU
23、EPP应用势能驻值条件应用势能驻值条件:0)(:,0PlkddEP得位移有非零解得：位移有非零解得：lkPPlABkBEI=第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学 总势能是位移总势能是位移的二次函数，的二次函数，1 1）Pk/l PUUUP P表表示体系具有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢复到原有示体系具有足够的应变能克服荷载势能，使压杆恢复到原有平衡位置平衡位置)当当=0=0，EpEp为极小值为极小值0 0。221)(PlkUUEPP对于稳定平衡状态，真实的位移使对于稳定平衡状态，真实的位移使Ep为极小值为极小值2）Pk/l，当，当0，Ep恒小于零（恒小于零
24、（Ep为负定）为负定）(即即UUP表示体系表示体系缺少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置缺少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置)。当当=0，Ep为极大值为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。原始的平衡状态是不稳定的。3）P=k/l，当，当为任意值时，为任意值时，Ep恒等于零恒等于零(即即U=UP)。体系处体系处于中性平衡（临界状态）这时的荷载称为临界荷载于中性平衡（临界状态）这时的荷载称为临界荷载Pcr=k/l。PPcrP=Pcr 结论：结论：1）当体系处于稳定平衡状态时，其总势能必为最小。）当体系处于稳定平衡状态时，其总势能必为最小。2）临界状态的能量特征是：势能
25、为驻值）临界状态的能量特征是：势能为驻值Ep=0，且位移有非零，且位移有非零 解。即在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定。解。即在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定。3）如以原始平衡位置作为参考状态，当体系处于中性平衡）如以原始平衡位置作为参考状态，当体系处于中性平衡P=Pcr 时，必有总势能时，必有总势能=0。对于多自由度体系，结论仍然成立。对于多自由度体系，结论仍然成立。第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学Pkky1y2R1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/lABCD2 2）能量法）能量法在新的平衡位在新的平衡位 置各杆
26、端的相置各杆端的相 对水平位移对水平位移lylyllllll22122122122)(sin2cos)(1222121yyyyl)(212221221yyyylD D点的水平位移点的水平位移弹性支座应变能弹性支座应变能:)(22221yykU荷载势能荷载势能:)(222121yyyylPPUP体系总势能体系总势能:)2(2)2(21222121yPklyPyyPkllUUPEp势能驻势能驻 值条件值条件:0)2(21yPklPy0)2(21PyyPkl0,021yyEpEp以后的计算步骤同静力法以后的计算步骤同静力法能量法步骤能量法步骤:给出新的平衡形式给出新的平衡形式;写出写出总势能表达式总
27、势能表达式;建立势能驻建立势能驻值条件值条件;应用位移有非零解应用位移有非零解的条件的条件,得出特征方程得出特征方程;解解出特征值出特征值,其中最小的即临界其中最小的即临界荷载荷载Pcr。势能驻值条件等价于以位移表示的平衡方程。势能驻值条件等价于以位移表示的平衡方程。体系总势能体系总势能:)2(2)2(21222121yPklyPyyPkllUUPEp222221)2()3)()2(22PklPklPklyyPklPylPkl总势能总势能EpEp是位移是位移y y1 1、y y2 2的对称实数二次型。的对称实数二次型。1）如果）如果Pkl/3=Pcr，是正定的。是正定的。5）如果）如果kl/3
28、 Pkl，是负定的。是负定的。由此可见，多自由度体系在临界状态的能量特征仍然是：由此可见，多自由度体系在临界状态的能量特征仍然是：在荷载达到临界值的前后，势能在荷载达到临界值的前后，势能由正定过渡到非正定。由正定过渡到非正定。（或说：势能达驻值，位移有非零值）（或说：势能达驻值，位移有非零值）非正定P12PllABCk例例2 2：用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线。：用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线。1 1、静力法、静力法：两个自由度，取两个自由度，取1 1 2 2 为位移参数，设失稳曲为位移参数，设失稳曲 线如图。线如图。分析受力列平衡方程：分析受力列平衡方程：2k
29、()21kBC:()0211klPMBAC:0)(221klPMB)2(0)()1(0)(2121kPlPlkkPl由位移参数不全为零得稳定方程并求解：由位移参数不全为零得稳定方程并求解：)3(03022lklkPPkPlPlkkPl展开得：lkPPlkPlkPcr38.0,62.238.0121解得：求失稳曲线：求失稳曲线：。实际的失稳曲线。）得代入（将162.1138.0211lkP论上存在。这种失稳曲线只在理）得代入（将162.0162.2212lkP262.12实际失稳曲线262.02只是理论上存在的失稳曲线2 2、能量法：、能量法：外力势能：外力势能：P12PllABCk2k()21
30、kBCABPllPU22122sin2coslllll)(222121l()22212PlUP应变能：应变能：)22()(22212121221212221kkkU总势能：总势能：)()22(22212122212121PlkUUEPP根据势能驻值条件：根据势能驻值条件：0)2(00)(0212211kPlkEkkPlEPP由位移参数不全为零得稳定方程：由位移参数不全为零得稳定方程：式展开得：)3(02kPlkkkPl以下计算同静力法。以下计算同静力法。例例3：用静力法求图：用静力法求图示体系的临界荷载。示体系的临界荷载。两个自由度，取两个自由度，取1 1 2 2 为位移参数，设失稳曲为位移参
31、数，设失稳曲 线如图。线如图。分析受力列平衡方程：分析受力列平衡方程：BC:)1(0)3(0032122lEIPllEIPlMBAC:由位移参数不全为零得稳定方程：由位移参数不全为零得稳定方程：03630lEIPllEIPllEIPl2122213,63lEIPPlEIPlEIPcr解得：lllEI2EIEI=EI=ABCP12BABCP223lEI16lEI1036)(2121lEIlEIPlMA)2(0)3()6(21lEIPllEIPlP例例3：用能量法求图示体：用能量法求图示体 系的临界荷载。系的临界荷载。两个自由度，取两个自由度，取1 1 2 2 为位移参数，设失稳曲为位移参数，设失
32、稳曲 线如图。线如图。求变形能和外力势能：求变形能和外力势能：)2(2362132122211122lEIlEIlEIUlllEI2EIEI=EI=ABCP12BABCP223lEI16lEI1)(2)22(22212221PlllPPUPP222122212221)223()23()(2)2(23PllEIPllEIPllEIUUPcrPlEIPPllEIlEIPPllEI 220222101130)3(060)6(021当杆件上无外荷载作用时，杆端力的功=变形能。P例例4：用静力法求图示体：用静力法求图示体系的临界荷载。系的临界荷载。EI=两个自由度，取两个自由度，取1 1 2 2 为位移
33、参数，设失稳曲为位移参数，设失稳曲 线如图。线如图。分析受力列平衡方程：分析受力列平衡方程：)1(0)2(0)2()(:21122232lkPlklkPkPMDCC由位移参数不全为零得稳定方程：由位移参数不全为零得稳定方程：022lklkPlkPlklkPPlkPlkPcr121,3解得：AlllBCD123()21k()23klll2321211,00DARM整体：12BC)2(0)2(0)2()(:21211211lklkPlkPkPMBAB1-1P例例4 4：用能量法求图示体用能量法求图示体系的临界荷载。系的临界荷载。EIEI=两个自由度，取两个自由度，取1 1 2 2 为位移参数，设失
34、稳曲为位移参数，设失稳曲 线如图。线如图。由位移参数不全为由位移参数不全为零得稳定方程：零得稳定方程：AlllBCD123()21k()23klll2321211,12BC求变形能和外力势能：求变形能和外力势能：()()2122212223221222)(21)(21lkkkU)(22212221lPPUP()()2122212222lkUUP)(22212221lP0)2/5()/4(00)/4()2/5(0212211PlklkPlkPPlk02/5/4/42/5PlklkPlkPPlklkPPlkPlkPcr121,3解得：,1,12121第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结
35、构力学结构力学结构力学Dl/2EPlCEl/2DlP利用对称性求利用对称性求 EI=1 1、正对称失稳取半刚架如图：、正对称失稳取半刚架如图：取取1 1为位移参数，设失稳为位移参数，设失稳 曲线如图。曲线如图。0)(:111kPlklPMDCClkPPcr1 所以：00DRY整体：PAlllBCDC11k0lkP 1102 2、反对称失稳取半刚架如图：、反对称失稳取半刚架如图：取取1 1为位移参数，设失稳为位移参数，设失稳 曲线如图。曲线如图。C)(21k0C1212122,2ll0)3(:1211kPlklPMDCC）lkP3021第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力
36、学结构力学 0AM0sinPlk小挠度、小位移情况下：小挠度、小位移情况下：kP PEIlk1 1抗转弹簧抗转弹簧A sink0)(Plk00 Plk-稳定方程（特征方程）稳定方程（特征方程）lkPcr/-临界荷载临界荷载总结总结一、静力法第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学 0BM0)(121yyPlky2 2个自由度体系个自由度体系-稳定方程稳定方程02klPklPPklklAP PEIlk1y2y1ky2kyB 0AM02112Pylkylky0)(21PyyPkl0)2(21klyyPlkP P1 11.6181.618第第十五十五章章 结构的稳定计算
37、结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学0)2()(plkPPklkl-临界荷载临界荷载03222lkklPPklklklP382.0618.2253klPcr382.0618.112yy-失稳形式失稳形式静力法静力法 1、定义：假定体系处于微弯失稳的临界状态，列出相应、定义：假定体系处于微弯失稳的临界状态，列出相应的平衡微分方程，进而求解临界荷载的方法。的平衡微分方程，进而求解临界荷载的方法。2、步骤：、步骤：（1）建立坐标系、取隔离体、绘受力图。）建立坐标系、取隔离体、绘受力图。（2）列静力平衡方程。）列静力平衡方程。（3）将挠曲线方程代入平衡方程后，利用边界条件求稳）将挠曲线方程代入平衡方
38、程后，利用边界条件求稳定方程。定方程。（4）解稳定方程，求临界荷载。）解稳定方程，求临界荷载。第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学lEIk3P PEIlEIkP Pk1 1练习练习:简化成具有弹簧支座的压杆简化成具有弹簧支座的压杆P PEIlEIlEIP PEIlEIEAkP PlEIk6P PEIk33lEIk 第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学试求图示结构的临界荷载。试求图示结构的临界荷载。2I1 pl32233 ;3lEIkEIl解：解：pEIEIlABCD EA23330 0lEIllEIkllklQplQpMApA
39、Bk kQB xyEI第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学2.2.外力势能外力势能1.1.应变能应变能弯曲应变能弯曲应变能P P2/PVeldxM021拉压应变能拉压应变能2/PVeldxN021P PP P剪切应变能剪切应变能2/PVeldxQ0211231P2P3P 外力从变形状态退回到无位移的外力从变形状态退回到无位移的原始状态中所作的功原始状态中所作的功.iipPV*y(x)q(x)lpdxxyxqV0*)()(3.3.结构势能结构势能*pePVVE二、能量法第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学EAlPPPViip21
40、11*结构势能结构势能例例:求图示桁架在平衡状态下的结构势能求图示桁架在平衡状态下的结构势能.EA=常数常数.45P P1 1llA45解解:杆件轴力杆件轴力2/211PN 杆件伸长量杆件伸长量EAlP112EAlPEAlN1122A点竖向位移点竖向位移外力势能外力势能应变能应变能EAlPNVe2221211*PePVVEEAlPEAlPEAlP22212121EAlPPPViie2111*结构势能结构势能45P P1 1llA45杆件轴力杆件轴力2/211PN杆件伸长量杆件伸长量EAlP112EAlPEAlN1122A点竖向位移点竖向位移外力势能外力势能应变能应变能EAlPNVe222121
41、1*PePVVEEAlPEAlPEAlP222121214.4.势能驻值原理势能驻值原理设设A A点发生任意竖向位移点发生任意竖向位移 是是 的函数的函数.PE,杆件伸长量杆件伸长量2/2lEAN/杆件轴力杆件轴力lEA2/2应变能应变能lEANVe22212外力势能外力势能1*PVe结构势能结构势能122PlEAEP)(22121lEAPE10)(1lEAddEP1EAlPPlEAEP22)(2111211EAlP221第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学4.4.势能驻值原理势能驻值原理设设A A点发生任意竖向位移点发生任意竖向位移 是是 的函数的函数.PE
42、,杆件伸长量杆件伸长量2/2lEAN/杆件轴力杆件轴力lEA2/2应变能应变能lEANVe22212外力势能外力势能1*PVe结构势能结构势能122PlEAEP)(22121lEA0)(1lEAddEP1EAlPPlEAEP22)(2111211PE1EAlP221 在弹性结构的一切在弹性结构的一切可能位移可能位移中，真实位移中，真实位移使结构势能取驻值。使结构势能取驻值。满足结构位移边界条件的位移满足结构位移边界条件的位移 对于稳定平衡状态对于稳定平衡状态,真实位移使结真实位移使结构势能取极小值构势能取极小值.第第十五十五章章 结构的稳定计算结构的稳定计算结构力学结构力学结构力学例例:求图示结构的临界荷载求图示结构的临界荷载.P PEIlkyP P解解:应变能应变能ykyVe21PPViie*外力势能外力势能2sin2cos2llllylyll2)(21)2(2222lPy22结构势能结构势能*PePVVE22ylPlk 0ylPlkdydEPlkPcr由势能驻值原理由势能驻值原理得临界荷载得临界荷载
