1、第四章第四节大数定律与中心极限定理 概率论与数理统计是概率论与数理统计是研究随机现象统计研究随机现象统计规律性的学科规律性的学科.随机现象的统计规律性只有随机现象的统计规律性只有在相同条件下进行在相同条件下进行大量的重复大量的重复试验试验才能呈现才能呈现出来出来.所以，要从随机现象中去寻求这种规律，所以，要从随机现象中去寻求这种规律，就应该对随机现象进行就应该对随机现象进行大量的观测大量的观测.研究随机现象的大量观测研究随机现象的大量观测,常采用极限常采用极限形式，由此导致了极限定理的研究形式，由此导致了极限定理的研究.极限定极限定理的内容很广泛理的内容很广泛,其中最重要的有两种其中最重要的有
2、两种:“大数定律大数定律”与与“中心极限定理中心极限定理”在介绍在介绍“大数定律大数定律”与与“中心极限定理中心极限定理”之前，我们先介绍一个重要的不等式之前，我们先介绍一个重要的不等式。一、切比雪夫不等式一、切比雪夫不等式 设随机变量设随机变量X有期望有期望E(X)和方差和方差 ，则对于，则对于任给任给 0,2 或或 由切比雪夫不等式可以看出，若由切比雪夫不等式可以看出，若 越越小，则事件小，则事件|X-E(X)|的概率越大，即的概率越大，即随机变量随机变量X集中在期望附近的可能性越大集中在期望附近的可能性越大.2 221|)(|XEXP22|)(|XEXP由此可体会方差的概率意义：由此可体
3、会方差的概率意义：它刻划了随机变量取值的离散程度它刻划了随机变量取值的离散程度.当方差已知时，切比雪夫不等式给出了当方差已知时，切比雪夫不等式给出了r.v X与它的期望的偏差不小于与它的期望的偏差不小于 的概率的估的概率的估计式计式.如取如取 322|)(|XEXP111.093|)(|22XEXP 可见，对任给的分布，只要期望和方差可见，对任给的分布，只要期望和方差 存在，则存在，则 r.v X取值偏离取值偏离E(X)超过超过 3 的的概率小于概率小于0.111.2 例例1 已知正常男性成人血液中，每一毫升已知正常男性成人血液中，每一毫升白细胞数平均是白细胞数平均是7300，均方差是，均方差
4、是700.利用利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率之间的概率.解：设每毫升白细胞数为解：设每毫升白细胞数为X依题意，依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为所求为 P(5200 X 9400)P(5200 X 9400)=P(5200-7300 X-7300 9400-7300)=P(-2100 X-E(X)2100)2)2100()(1XD=P|X-E(X)|2100由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式 P|X-E(X)|21002)2100700(198911即估计每毫升白细胞数在即估计每毫升白细胞数在52009400之
5、间的之间的概率不小于概率不小于8/9.例例2 在每次试验中，事件在每次试验中，事件A发生的概率为发生的概率为 0.75,利用切比雪夫不等式求：利用切比雪夫不等式求：n需要多么大时，需要多么大时，才能使得在才能使得在n次独立重复试验中次独立重复试验中,事件事件A出现的出现的频率在频率在0.740.76之间的概率至少为之间的概率至少为0.90?解：设解：设X为为n 次试验中，事件次试验中，事件A出现的次数，出现的次数，E(X)=0.75n,的最小的的最小的n.900760740.).(nXP则则 XB(n,0.75)所求为满足所求为满足D(X)=0.75*0.25n=0.1875n =P(-0.0
6、1nX-0.75n 0.01n)2)01.0()(1nXD=P|X-E(X)|0.01n20001.01875.01nnn18751 P(0.74n X0.76n)76.074.0(nXP)76.074.0(nXP可改写为可改写为在切比雪夫不等式中取在切比雪夫不等式中取n，则，则0.01 =P|X-E(X)|0，有，有 该大数定律表明：对独立随机变量序该大数定律表明：对独立随机变量序列列Xn，若其方差有共同上界，则，若其方差有共同上界，则niiXn11与其数学期望与其数学期望niiXEn1)(1 偏差很小的偏差很小的 概率接近于概率接近于1.niiXn11随机变量，其取值接近于其数学期望的概率
7、随机变量，其取值接近于其数学期望的概率接近于接近于1.即当即当n充分大时，充分大时，差不多不再是差不多不再是切比雪夫大数定律给出了切比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的概率描述平均值稳定性的概率描述.证明切比雪夫大数定律的数学工具证明切比雪夫大数定律的数学工具是切比雪夫不等式是切比雪夫不等式.设随机变量设随机变量X有期望有期望E(X)和方差和方差 ，则对于任给则对于任给 0,2.1|)(|22XEXP等价形式为等价形式为.|)(|22XEXP 作为切比雪夫大数定律的特殊情况，作为切比雪夫大数定律的特殊情况，有如下定理有如下定理.1|Xn1|Plimn1iin定理定理2（也称独立同分布下大数定律）
8、（也称独立同分布下大数定律）设设X1,X2,是独立同分布的随机变量是独立同分布的随机变量序列，序列，且且E(Xi)=，D(Xi)=，i=1,2,则对任给则对任给 0,有有2 下面再给出定理下面再给出定理2的一种特例的一种特例贝努里大数定律贝努里大数定律.设设 Sn 是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生的频数，发生的频数，p是事件是事件A发生的概率发生的概率.发发生生,次次试试验验A A i i 若若第第 次次试试验验A A发发生生,i i 若若第第不0，1Xi引入引入i=1,2,n则则 ,1niinXSniinXnnS11是事件是事件A发生的频率发生的频率.于是于是,有下面定理有下
9、面定理.设设Sn是是n重贝努里试验中事件重贝努里试验中事件A发生发生的频数，的频数，p是事件是事件A发生的概率，对任给的发生的概率，对任给的 0，有，有定理定理3（贝努里大数定律）（贝努里大数定律），1|pn/S|Plimnn或或.0|pn/S|Plimnn 贝努里大数定律表明：当重复试验次贝努里大数定律表明：当重复试验次数数n充分大时，事件充分大时，事件A发生的频率发生的频率Sn/n与事与事件件A发生的概率发生的概率 p 有一定偏差的概率很小有一定偏差的概率很小.下面给出的独立同分布条件下的大数下面给出的独立同分布条件下的大数定律，不要求随机变量的方差存在定律，不要求随机变量的方差存在.设随
10、机变量序列设随机变量序列 X1,X2,独立独立同分布，有有限的数学期同分布，有有限的数学期E(Xi)=,i=1,2,，则对任给则对任给 0，定理定理4（辛钦大数定律）（辛钦大数定律）.1|1|lim1niinXnP辛钦辛钦 辛钦大数定律为寻找随机变量的期辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径望值提供了一条实际可行的途径.例如要估计某地区的平均亩产量，要例如要估计某地区的平均亩产量，要收割某些有代表性的地块，例如收割某些有代表性的地块，例如n 块块.计计算其平均亩产量，则当算其平均亩产量，则当n 较大时，可用它较大时，可用它作为整个地区平均亩产量的一个估计作为整个地区平均亩产
11、量的一个估计.下面我们再举一例说明大数定律的下面我们再举一例说明大数定律的应用应用.定积分的概率计算法定积分的概率计算法求求的值的值10)(dxxgI 我们介绍我们介绍均值法，均值法，步骤是步骤是1)产生在产生在(0,1)上均匀分布的随机数上均匀分布的随机数rn,2)计算计算g(rn)，n=1,2,Nn=1,2,N即即IrgNINnn1)(13)用平均值近似积分值用平均值近似积分值求求的值的值10)(dxxgI因此，当因此，当n充分大时，充分大时，原理是什么呢？原理是什么呢？设设XU(0,1)由大数定律由大数定律1|)()(1|lim101dxxgrgNPNinNIrgNINnn1)(1其它,
12、010,1)(xxfX101)()(1dxxgrgNNnn,0 10)(dxxgdxxfxgXgE)()()(应如何近似计算？请思考应如何近似计算？请思考.问：若求问：若求的值的值badxxgI)(定积分计算演示定积分计算演示这一小节我们介绍了四个大数定律这一小节我们介绍了四个大数定律.它表达了随机现象最根本的性质之一它表达了随机现象最根本的性质之一 它是随机现象统计规律性的具体表现，在它是随机现象统计规律性的具体表现，在理论和实际中都有广泛应用理论和实际中都有广泛应用.平均结果的稳定性平均结果的稳定性 三、中心极限定理三、中心极限定理 在实际问题中，常常需要考虑许多随机在实际问题中，常常需要
13、考虑许多随机因素所产生总影响因素所产生总影响.例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受例如：炮弹射击的落点与目标的偏差，就受着许多随机因素的影响着许多随机因素的影响.空气阻力所产生的误差，空气阻力所产生的误差，对我们来说重要的是这些对我们来说重要的是这些随机因素的总影响随机因素的总影响.如瞄准时的误差，如瞄准时的误差，炮弹或炮身结构所引起的误差等等炮弹或炮身结构所引起的误差等等.在实际问题中，如果一个量是由大量相在实际问题中，如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每个因互独立的随机因素的影响所造成，而每个因素在总影响中所起的作用不大，素在总影响中所起的作用不大，则这种量一则这种量一
14、般都服从或近似地服从正态分布。般都服从或近似地服从正态分布。自从高斯指出测量误差服从正自从高斯指出测量误差服从正态分布之后态分布之后,人们发现人们发现:正态分布正态分布在自然界中极为常见在自然界中极为常见.现在我们来研究现在我们来研究独立同分布随机变量独立同分布随机变量之和之和所特有的规律性所特有的规律性.当当 n 无限增大时，无限增大时，独立同分布随机变独立同分布随机变量之和的极限分布量之和的极限分布是什么呢？是什么呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？在什么条件下极限分布会是正态的呢？由于无穷个随机变量之和可能趋于由于无穷个随机变量之和可能趋于，故我们不研究故我们不研究n个随机变量之和本身
15、，而只个随机变量之和本身，而只考虑其标准化的随机变量考虑其标准化的随机变量nkknknkkknXVarXEXZ111)()(的分布函数的极限的分布函数的极限.nkknknkkknXVarXEXZ111)()(的分布函数的极限的分布函数的极限.可以证明：当可以证明：当 Xk 满足一定条件时，满足一定条件时，上述极限分布是上述极限分布是标准正态分布标准正态分布.考虑考虑这就是下面要介绍的这就是下面要介绍的中心极限定理中心极限定理.概率论中，常把随机变量之和标准化概率论中，常把随机变量之和标准化后的分布收敛于正态分布的定理称为后的分布收敛于正态分布的定理称为中心中心极限定理极限定理.我们只讨论中心极
16、限定理的几种简单情形我们只讨论中心极限定理的几种简单情形.下面给出独立同分布随机变量序列和下面给出独立同分布随机变量序列和的中心极限定理，称作的中心极限定理，称作列维一林德伯格列维一林德伯格（LevyLindberg）定理）定理.xnnXPniin1lim定理定理1（列维一林德伯格定理）（列维一林德伯格定理）.dte-2t-221x设设X1,X2,是独立同分布的随机是独立同分布的随机变量序列变量序列,且且 E(X1)=,Var(X1)=，i=1,2,，则任给，则任给 x(-,),均有均有2 上式还有另一记法上式还有另一记法:.dtelim-2t-1221xniinxnnXP记记 有有,11nk
17、kXnX.dte/lim-2t-221xnxnXP 虽然在一般情况下，我们很难求出虽然在一般情况下，我们很难求出X1+X2+Xn 的分布的确切形式，但当的分布的确切形式，但当n很大时，可以求出近似分布很大时，可以求出近似分布.第二章中介绍的第二章中介绍的棣莫佛拉普拉斯定理棣莫佛拉普拉斯定理（二项分布的正态近似）是上述定理的特殊（二项分布的正态近似）是上述定理的特殊 情况情况.它表明，当它表明，当n充分大时，充分大时，n个具有期望和方差个具有期望和方差的独立同分布的的独立同分布的r.v之和近似服从正态分布之和近似服从正态分布.定理定理2(棣莫佛拉普拉斯定理）棣莫佛拉普拉斯定理）xpnpnpYPn
18、n)1(lim 设随机变量设随机变量 服从参数服从参数n,p(0p1)的的二项分布，则对任意二项分布，则对任意x，有，有nYdtext2221 定理表明定理表明:当当n很大，很大，0p1是一个定值时是一个定值时(或或者说，者说，np(1-p)也不太小时也不太小时)，二项随机变量二项随机变量 Yn标准化后的分布近似正态分布标准化后的分布近似正态分布 N np,np(1-p).下面我们举例说明中心极限定理的应用下面我们举例说明中心极限定理的应用中心极限定理的客观背景中心极限定理的客观背景例例:20个个0-1分布的和的分布分布的和的分布X1 f(x)X1+X2g(x)X1+X2+X3 h(x)几个几
19、个(0,1)上均匀分布的和的分布上均匀分布的和的分布0123xfgh不知大家是否还记得街头赌博的演示不知大家是否还记得街头赌博的演示?现在我们用现在我们用中心极限定理中心极限定理来揭穿这个来揭穿这个赌博中的奥秘赌博中的奥秘.请看演示：请看演示：高尔顿钉板试验高尔顿钉板试验如图如图,钉板有钉板有n=1616层，可以层，可以求出标准差求出标准差 ,416 n次碰钉后小球的位置次碰钉后小球的位置Yn近似服从正态分布近似服从正态分布N(0,n).E(Yn)=0,Var(Yn)=n.左右左右8颗钉子以内的概率近似为颗钉子以内的概率近似为95.6%,根据正态分布的查表计算根据正态分布的查表计算知道知道,落
20、在落在2 以内即中线以内即中线说说,落在这以外的概率只有落在这以外的概率只有4%左右左右.即是即是如图钉板有如图钉板有n=1616层，可以层，可以求出标准差求出标准差 ,416 根据正态分布的查表计算根据正态分布的查表计算知道知道,落在落在2 以内即中线以内即中线左右左右8颗钉子以内的概率颗钉子以内的概率近似为近似为95.6%,即是说即是说,落落在这以外的概率只有在这以外的概率只有4%4%左左右右.现在你知道为什么摆摊的人敢于现在你知道为什么摆摊的人敢于在上面放那么值钱的东西了吧在上面放那么值钱的东西了吧!设一批产品的强度服从期望为设一批产品的强度服从期望为14,14,方差为方差为4 4的分布
21、的分布.每箱中装有这种产品每箱中装有这种产品100100件件.求求 (1).(1).每箱产品的平均强度超过每箱产品的平均强度超过14.514.5的概率的概率 是多少是多少.(2).(2).每箱产品的平均强度超过期望每箱产品的平均强度超过期望1414的概的概 率是多少率是多少.n=100,n=100,设设X Xi i是第是第i i件产品的强度件产品的强度.E(E(X Xi i)=14,Var()=14,Var(X Xi i)=4,)=4,i=1,2,i=1,2,100.,100.每箱产品的平均强度为每箱产品的平均强度为解解:例例3 3.,11XXnnii记记做做根据定理根据定理1 1，有，有2.
22、014X100214XnX即即近似近似 N(0,1),N(0,1),故故,0062.0)5.2(15.22.01415.22.0142.0145.142.0145.14).1(XPXPXPXP.5.0)0(102.014XP12.014142.014XP14XP).2(例例4 一盒同型号螺丝钉共有一盒同型号螺丝钉共有 100 个个,已知该型号已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是期望值是100g,标准差是标准差是10g,求一盒螺丝钉的重量超过求一盒螺丝钉的重量超过 10.2kg的概率的概率.解解设设iX为第为第i个螺丝钉的重量个螺丝钉的重量,100,2,1
23、 i且它们之间独立同分布且它们之间独立同分布,于是一盒螺丝钉的重量于是一盒螺丝钉的重量为为,1001 iiXX且由且由,100)(iXE,10)(iXD,100 n知知,10000)(100)(iXEXE,100)(XD由中心极限定理有由中心极限定理有 nnnnXPXPnii 10200102001 100001020010010000Xp100 2100001210000XPXP100100.02275.097725.01)2(1 例例5 计算机在进行数学计算时计算机在进行数学计算时,遵从四舍五入原遵从四舍五入原则则.为简单计为简单计.现在对小数点后面第一位进行舍现在对小数点后面第一位进行舍
24、入运算入运算,则误差则误差X可以认为服从可以认为服从5.0,5.0 上的上的均匀分布均匀分布.若在一项计算中进行了若在一项计算中进行了 100 次数字计次数字计算算,求平均误差落在区间求平均误差落在区间20/3,20/3 上的上的概率概率.解解,100 n用用iX表示第表示第i次运算中产生的误差次运算中产生的误差.10021,XXX相互独立相互独立,都服从都服从5.0,5.0 上的上的均匀分布均匀分布,且且,0)(iXE,12/1)var(iX100,2,1 i从而从而).1,0(5312/100010010011001100NXXYiiii 近似近似故平均误差故平均误差 10011001ii
25、XX落在落在 203,203上上的概率为的概率为 20310012032032031001iiXPXP 35331001iiXP)3()3(.9973.0 某市保险公司开办一年人身保险业务某市保险公司开办一年人身保险业务.被保险人每年需交付保险费被保险人每年需交付保险费160160元元.若一年内若一年内发生重大人身事故发生重大人身事故,其本人或家属可获其本人或家属可获2 2万元赔万元赔金金.己知该市人员一年内发生重大人身事故的己知该市人员一年内发生重大人身事故的概率为概率为0.005.0.005.现有现有50005000人参加此项保险人参加此项保险.求求:保险公司一年内从此项业务所得到的保险公
26、司一年内从此项业务所得到的总收益在总收益在2020万元到万元到4040万元之间的概率万元之间的概率.解解:例例6 6.5000,2,1.事故个被保 险被保险人未发 i 第0险人发生重大事个被 i 第1iXi生事故，保令 X Xi i b(1,p),P=0.005,b(1,p),P=0.005,X X1 1,X,X2 2,X,X5000 5000 相互独立相互独立.则则:P20P20万元万元 总收益总收益 40 40万元万元=P20=P20万元万元 0.0160.016万元保险费万元保险费 参保人数参保人数 -2 -2万元赔金万元赔金 一年内发生重大人身事故的一年内发生重大人身事故的 人数人数
27、4040万元万元=P20=P200.0160.016 5000-25000-2(X(X1 1+X+X2 2+X X50005000)40)40 30X20P40X260P40X28020P50001ii50001ii50001ii np np=25 np(1-p)=25=25 np(1-p)=25 0.9950.995，.6826.01)1(2)1()1(995.0255995.02525X995.0255P)p1(npnp3)p1(npnpX)p1(npnp20P30X20Pn1iin1ii50001ii 总收益在总收益在2020万元到万元到4040万元之间的概率为万元之间的概率为 0.68
28、26.0.6826.这一讲我们介绍了中心极限定理这一讲我们介绍了中心极限定理 在后面的课程中，我们还将经常用到中心在后面的课程中，我们还将经常用到中心极限定理极限定理.中心极限定理是概率论中最著名的结果中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释的近似概率的简单方法，而且有助于解释为为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线线这一值得注意的事实这一值得注意的事实.作业 第116-117页习题44 1，5，10 作业要求 写出求解过程，问答题要说明原因 不用抄书本上的题目，写清序号即可
