1、1典型例题典型例题 体体 积积平面曲线的弧长平面曲线的弧长第二节第二节 定积分在几何学上的应用定积分在几何学上的应用第六章第六章 定积分的应用定积分的应用2圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台一、体一、体 积积这直线叫做这直线叫做旋转轴旋转轴由一个平面图形绕由一个平面图形绕这平面内一条直线这平面内一条直线旋转一周而成的立体旋转一周而成的立体1.旋转体的体积旋转体的体积3)(xfy ba,bax Vdxxd 旋转体的体积旋转体的体积xxfVd)(2 采用元素法采用元素法如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线),(xfy 直线直线bxax ,及及 x 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一
2、周而成的立体轴旋转一周而成的立体,体积为多少体积为多少?取积分变量为取积分变量为x,上上任任取取小小区区间间在在,ba,d,xxx xd取以取以为底的为底的小曲边梯形小曲边梯形绕绕 x 轴轴旋转而旋转而成的薄片的成的薄片的体积元素体积元素 2)(xfxdab(1)Oxyx4yyVd)(2 )(yx 如果旋转体是由连续曲线如果旋转体是由连续曲线),(yx dycy ,及及 y 轴所围成的曲边梯形绕轴所围成的曲边梯形绕y 轴旋转一周而成的立体轴旋转一周而成的立体,体积为多少体积为多少?(2)直线直线 Vd体积元素体积元素 2)(y yd旋转体的体积旋转体的体积cdOxycd5解解1,0 x.1,0
3、2轴轴旋旋转转形形成成的的体体积积上上绕绕在在求求xxy xyVdd2 体积元素体积元素xx d4 dxxV4 例例取积分变量为取积分变量为x,5 01oxy12xy 旋转体的体积：旋转体的体积：dxxfVba2)(6轴轴所围成图形绕所围成图形绕和和求抛物线求抛物线yxyxy 2.旋旋转转所所得得旋旋转转体体的的体体积积解解 两曲线的交点为两曲线的交点为).1,1()0,0(和和绕绕y轴旋转轴旋转 V 1022d)(yy 2xy xy 1yyd)(102 103)1,1(xyO 1 04d)(yyy 例例7 例例 连接坐标原点连接坐标原点O及点及点P(h,r)的直线、直线的直线、直线x h及及
4、x轴轴围成一个直角三角形围成一个直角三角形 将它绕将它绕x轴旋转构成一个底半径为轴旋转构成一个底半径为r、高为高为h的圆锥体的圆锥体 计算这圆锥体的体积计算这圆锥体的体积 圆锥体的体积公式推导：圆锥体的体积公式推导：解解 解 直角三角形斜边的直线方程为xhry dxxhrVh20)(hxhr032231231hrhxhr032231231hr 8aaaadxxaabdxyV)(22222解（解（1）则旋转椭球体的体积为则旋转椭球体的体积为 椭球体的体积公式推导：椭球体的体积公式推导：例例 计算由椭圆计算由椭圆 所成的图形分别绕所成的图形分别绕x,y 轴旋转轴旋转而成的旋转体的体积。而成的旋转体
5、的体积。12222byaxaaxxaab313222234abaaaadxxaabdxyV)(22222 aaxxaab313222234ab x ()若椭圆 绕轴旋转 只需用上半椭圆9此题也可利用椭圆的参数方程求解tbytaxsincos则xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特别当b=a 时,就得半径为a 的球体的体积.343a10)(只需用右半椭圆轴旋转绕若椭圆y .,aax :积分区间 :微分元素 dd2yxV .d)(2222yybbaOxyaabb2 2222 4d ()d.3 bbbbaVVbyya bb解（解（2）11Oxya 2解解 xV 20
6、323d)coscos3cos31(tttta.532a 例例求摆线求摆线的一拱的一拱与与y=0所围成的图形分别绕所围成的图形分别绕x轴、轴、y轴旋转而成的轴旋转而成的旋转体的体积旋转体的体积.绕绕 x轴轴旋转的旋转体体积旋转的旋转体体积 xxyd)(2 0a 2)sin(ttax 变量代换变量代换0 20a 2ttad)cos1(22)cos1(ta)cos1(),sin(tayttax 12Oxya 2a a2o yVyyxd)(21 )(2yxx .633a 绕绕 y轴轴旋转的旋转体体积旋转的旋转体体积ABC可看作平面图可看作平面图OABC与与OBC分别绕分别绕 y轴轴旋转构成的旋转旋转
7、构成的旋转体的体积之差体的体积之差.BCoyyxd)(22 )cos1()sin(tayttax摆线摆线22)sin(tta ttadsin 2 22)sin(tta ttadsin 00)(Aa2)(B0)(Oa2)(B 20322d)sinsin2sin(tttttt tu令令)(1yxx 2 023dsin)sin(tttta132.平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积上垂直于一定轴的各个截面面积上垂直于一定轴的各个截面面积,xxAVd)(d.d)(xxAV立体体积立体体积如果一个立体不是旋转体如果一个立体不是旋转体,但却知道该立体但却知道该立体的体积也可用定积分
8、来计算的体积也可用定积分来计算.那么那么,这个立体这个立体)(xA表示过点表示过点x且垂直于且垂直于x轴的轴的截面面积截面面积,)(xA为为x的已知连续函数的已知连续函数.采用元素法采用元素法体积元素体积元素baa xbxxd xOx)(xA14解解 取坐标系如图取坐标系如图 底圆方程底圆方程222Ryx x,22xRy ,tan22 xRh 例例 一平面经过半径为一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角并与底面交成角,计算这平面截圆柱体所得计算这平面截圆柱体所得立体的体积立体的体积.垂直于垂直于x轴的截面为直角三角形轴的截面为直角三角形.底底高高 截面面积截
9、面面积,tan)(21)(22 xRxA 立体体积立体体积.tan323 R hxxRdtan)(2122 R02RR Oxyh V15 作一下垂直于作一下垂直于y轴轴的截面是的截面是截面长为截面长为,2x宽为宽为.tan y矩形矩形截面面积截面面积 tan2)(yxyA tan222yRy yyAVd)(RyyRy022dtan2.tan323 R 可否选择可否选择y作积分变量作积分变量?此时截面面积函数是什么此时截面面积函数是什么?如何用定积分表示体积如何用定积分表示体积?R0R OxyR(,)x y16解解 取坐标系如图取坐标系如图底圆方程为底圆方程为222Ryx 截面面积截面面积)(x
10、A立体体积立体体积xxRhVRRd22 hR221 垂直于垂直于x轴的截面为等腰三角形轴的截面为等腰三角形例例 yh22xRh 求以半径为求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆直径的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积的正劈锥体的体积.xOxyR17,10iMMMA 二、平面曲线的弧长二、平面曲线的弧长设设A、B是曲线弧上是曲线弧上在弧上在弧上插入分点插入分点并依次连接相邻分点得一内接折线并依次连接相邻分点得一内接折线,当分点的数目当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时无限增加且每个小弧段都缩向一点时,此折线的长此折线的长的极限存在的极限存在,则称则
11、称此极限此极限为曲线弧为曲线弧AB|11iniiMM 的弧长的弧长.1.平面曲线弧长的概念平面曲线弧长的概念BMMnn ,1的两个端点的两个端点,定理定理 光滑曲线弧是可求长光滑曲线弧是可求长.OxyAB0M nM 1M 2M iM 1 nM 18xoyabxxxd yd22)d()d(yx xy d12 弧长元素弧长元素,d1d2xys 弧长弧长.d12xysba 2.直角坐标情形直角坐标情形小切线段的长小切线段的长以对应小以对应小切线段的长代替小线段的长切线段的长代替小线段的长)(xfy 设曲线弧为设曲线弧为)(xfy ),(bxa 其中其中)(xf上上在在,ba有有一阶连续导数一阶连续导
12、数.取积分变量为取积分变量为x,ba在在任取小区间任取小区间,d,xxx xd19例 1 计算曲线2332xy上相应于 x 从 a 到 b 的一段弧的 例例 长度长度 因此因此,所求弧长为所求弧长为 解解 曲线曲线y f(x)(a x b)的弧长：的弧长：badxys21 解 21xy,从而弧长元素 dxxdxyds112 babaxdxxs)1(32123)1()1(322323abbabaxdxxs)1(32123)1()1(322323abbabaxdxxs)1(32123)1()1(322323ab 20例例.求连续曲线段求连续曲线段ttyxdcos2解解:,0cosx22xxysd1
13、222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x421曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )(t22)d()d(dyxs tttd)()(22 弧长弧长tttsd)()(22 3.参数方程情形参数方程情形其中其中)(),(tt 具有连续导数具有连续导数.上上在在,ba22解解 星形线的参数方程为星形线的参数方程为 taytax33sincos)20(t对称性对称性14ss tyxd)()(422 tttadcossin3420 .6a 02 例例 求星形线求星形线的全长的全长.323232ayx )0(aOxya22323曲线曲线x (t)、y (t)(t )
14、的弧长：的弧长：例例 求摆线求摆线x a(q q sinq q),y a(1 cosq q)的一拱的一拱(0 q q 2 )的的长度长度 解解 于是所求弧长为于是所求弧长为dttts)()(22 弧长元素为弧长元素为qqqdaads2222sin)cos1(qqda2sin2qq202sin2das q202cos22 aqqqdaads2222sin)cos1(qqda2sin2 q202cos22 a8a 24曲线弧为曲线弧为)(q q )(q q q q q q sincosyx)(q q 22)d()d(dyxs q qq q q q d)()(22 弧长弧长.d)()(22q qq
15、q q q s4.极坐标情形极坐标情形其中其中具有连续导数具有连续导数.上上在在,)(q q q qq q q qq q sin)(cos)(yx25)0(a)30(q q 解解q qq q q q d)()(22 s 3cos3sin2q qq q aq qq qq qq q d3cos3sin3sin3024262 aaq qq q d3sin302 a.23a 23sin3 q qa3cosq q 31 26 例例 求阿基米德螺线求阿基米德螺线 aq q(a0)相应于相应于q q从从0到到2 一段的一段的弧长弧长 解解 于是所求弧长为于是所求弧长为 弧长元素为弧长元素为qqqqdadaa
16、ds22221 qq2021das)412ln(412222aqq2021das)412ln(412222a qqqds)()(22 曲线曲线 (q q)(q q )的弧长：的弧长：27例解解 .)0 ,2(0 )cos1(的整个弧长求心形线aarqq d)()(0 22qqqrrs d)sin()cos1(0 222qqqaa d)cos1(2 0 2qqa d 2cos4 0 22qqa d2cosd2cos22 0 qqqqa .8a)cos1(q q axyO228.3;2;1)0(sincos00033体积体它绕轴旋转而成的旋转它的弧长它所围成的面积求已知：星形线例ataytaxa
17、aoyx三、典型例题选解三、典型例题选解29解解.10A设面积为设面积为由对称性由对称性,有有 aydxA04 0223)sin(cos3sin4dtttata 20642sinsin12dttta.832a .20L设设弧弧长长为为由对称性由对称性,有有 2022)()(4dtyxL 20sincos34tdtta.6a 30.30V设旋转体的体积为由对称性由对称性,有有 adxyV022 02262)sin(cos3sin2dtttata 20273)sin1(sin6dttta.105323a 31Oxy22xyxy 11Mx例解解 2 2轴所以及与抛物线求圆弧yxyxy ,轴旋转一周所
18、生成的旋绕轴围成的平面图形绕yx .转体的体积 )1 (轴旋转绕 x :积分区间 :微分元素 d)()2(dd2222xxxxyV .67d)2(d 21 0 aaxxxVV :计算体积 .之差可视为两个旋转体体积xy 22xy)1 ,1 (M交点 .1 ,0 x圆环的面积32Oxy22xyxy 11M )2 (轴旋转绕 y :积分区间 :微分元素 .dd)(dd42221yyyyyxV d d2 1 21 0 121VVVVV :计算体积 .2,1 1 ,0y ,1 0,上在区间 .d)2(dd222yyyxV ,2 1,上在区间.15 22220 d)2(d 2 1 21 0 4yyyy3
19、3例.求抛物线21xy在(0,1)内的一条切线,使它与两坐标轴和抛物线所围图形的面积最小.解解:设抛物线上切点为)1,(2xxM则该点处的切线方程为)(2)1(2xXxxY它与 x,y 轴的交点分别为,)0,(212xxA)1,0(2xB所指面积)(xSxx2)1(2122102d)1(xx324)1(22xx11MBAyx34)(xS)13()1(22412xxx,33x0)(xS,33x0)(xS且为最小点.故所求切线为34332XY,0)(xS令得 0,1 上的唯一驻点33x11MBAyx,1,0)(33上的唯一极小点在是因此xSx 35例.设非负函数设非负函数上满足在 1,0)(xf)
20、()(xfxfx曲线)(xfy 与直线1x及坐标轴所围图形(1)求函数;)(xf(2)a 为何值时,所围图形绕 x 轴一周所得旋转体解解:(1)时，当0 x由方程得axxfxfx23)()(2axxf23)(,223xa面积为 2,体积最小?即xCxaxf223)(故得36又又10d)(2xxfxxCxad2321022CaaC 4xaxaxf)4(23)(2(2)旋转体体积Vxxfd)(1021610132aa,01513aV令5a得又V 5a,0155 a为唯一极小点,因此5a时 V 取最小值.xoy1xoy137思考与练习1.用定积分表示图中阴影部分的面积 A 及边界长 s.提示提示:交
21、点为,)3,9(,)1,1(yAd 312yx 032 yxyxo13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧线段部分直线段部分)52ln()376ln(4155373s以 x 为积分变量,则要分两段积分,故以 y 为积分变量.382.试用定积分求圆试用定积分求圆)()(222bRRbyx绕 x 轴oxyRbR上上半圆为22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbRV02xdbR222求体积:提示提示:方法方法 利用对称性旋转而成的环体体积 V 及表面积 S.39,0)(2qr令3.求曲线1cosraq图形的公共部分的面积.解解：与2(cossin)raqq所围成)sin(cos2qq ar得所围区域的面积为S0422d)(21qqr2221a0422d)sin(cos2qqqa28a)22cos(22qqa4028a2(1)4a4qcos1ar o40设平面图形 A 由xyx222与xy 所确定,求图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积.提示：提示：选 x 为积分变量.旋转体的体积为V102d)2)(2(2xxxxx32212yox2114.若选 y 为积分变量,则 V1022d)11(2yy102d)2(yyxy
