1、 数学是思维的体操，学数学离不开思维，没有数学数学是思维的体操，学数学离不开思维，没有数学思维，就没有真正的数学学习。思维，就没有真正的数学学习。训练人的思维训练人的思维增强分析问题和解决问题的能力增强分析问题和解决问题的能力培养学生的思维能力培养学生的思维能力培养学生创新意识培养学生创新意识是数学教学中极为重要的任务是数学教学中极为重要的任务 即以某一知识为端点，将若干项即以某一知识为端点，将若干项知识经过联想活动纵向组合起来，形成知识经过联想活动纵向组合起来，形成有层次有过程、动态发展的思维的方法，有层次有过程、动态发展的思维的方法，体现出逻辑递进关系。体现出逻辑递进关系。11（一）由因导
2、果演化延展（一）由因导果演化延展以果为因演化延展。如要求学生口述平面几何图以果为因演化延展。如要求学生口述平面几何图形的演化过程；平面几何图形（长方形、平行四边形、形的演化过程；平面几何图形（长方形、平行四边形、梯形、三角形）面积计算公式的推演过程。梯形、三角形）面积计算公式的推演过程。比如问：长方形的一边延长时，变成怎样的几何图形？比如问：长方形的一边延长时，变成怎样的几何图形？当此几何图形的一个底逐渐缩小到一点时，变成了什当此几何图形的一个底逐渐缩小到一点时，变成了什么样的几何图形？么样的几何图形？1（二）由易到难逐层延展（二）由易到难逐层延展如：如：1)一班一班40人，二班比一班多人，二
3、班比一班多10人人,二班有多少人？二班有多少人？2)一班有一班有40人，二班比一班多人，二班比一班多10人，两班共有多少人？人，两班共有多少人？3)一班二班共有一班二班共有90人人,二班比一班多二班比一班多10人人,两班各有多少人两班各有多少人?4)一班二班共有一班二班共有90人人,从二班调从二班调5人到一班后人到一班后,两班人数相等两班人数相等,两个班原来各两个班原来各有多少人有多少人?5)一班二班共有一班二班共有90人人,从二班调从二班调3人到一班后人到一班后,二班比一班多二班比一班多4人人,两个班原来两个班原来各有多少人各有多少人?6)两个班共有两个班共有90人，二班调给一班人后，二班比
4、一班少人，两个班原人，二班调给一班人后，二班比一班少人，两个班原来各有多少人来各有多少人?这样的练习思考题，有目的，有针对性地训练学生的思维能力，同时，这样的练习思考题，有目的，有针对性地训练学生的思维能力，同时，练习也能够让学生在掌握书本知识的基础上起到练习也能够让学生在掌握书本知识的基础上起到“举一反三举一反三”的作用，是书的作用，是书本知识的巩固和延伸。这种方法是依照思维递进的程序性和数学的逻辑性的本知识的巩固和延伸。这种方法是依照思维递进的程序性和数学的逻辑性的统一，以及学生的认识水平，对学生思维能力的培养应由浅入深，由易到难统一，以及学生的认识水平，对学生思维能力的培养应由浅入深，由
5、易到难的原则。的原则。1（三）注重逻辑推理延展。（三）注重逻辑推理延展。数学运算、证明以及数学发现活动都离不开推理，教数学运算、证明以及数学发现活动都离不开推理，教学中注重逻辑推理能力的培养，就是很好的思维能力的培学中注重逻辑推理能力的培养，就是很好的思维能力的培养。养。如：甲车从城到城，乙车从城到城，两车共如：甲车从城到城，乙车从城到城，两车共行使行使1620千米千米,甲车行了甲车行了4/5，乙车行了，乙车行了3/4后，没走的路程后，没走的路程相等。甲乙两车各行了多少千米？相等。甲乙两车各行了多少千米？即以某一知识为中心，向四面八方自由即以某一知识为中心，向四面八方自由的扩展开，形成多方面、
6、多角度的思维活动方的扩展开，形成多方面、多角度的思维活动方式。平时有些学生思维狭窄，只知其一，不知式。平时有些学生思维狭窄，只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。注意引导学生其二，稍有变化，就不知所云。注意引导学生沟通前后单元、此单元和彼单元的知识联系，沟通前后单元、此单元和彼单元的知识联系，打破知识单元的框框，促使学生在多思的过程打破知识单元的框框，促使学生在多思的过程中培养思维的灵活性和发散性。中培养思维的灵活性和发散性。22（一）（一）叙述理解延展叙述理解延展如根据：如根据：“甲相当于乙的甲相当于乙的3/5”我要求我要求学生改变角度叙述学生改变角度叙述:“甲相当于乙的甲相当于乙的60
7、”“甲与乙的比是：甲与乙的比是：5”“乙相当于甲的乙相当于甲的5/3倍倍”“甲比乙少甲比乙少/”“甲与乙的和相当于乙的甲与乙的和相当于乙的8/5”“甲与乙的差相当于乙的甲与乙的差相当于乙的2/5”。2（二）（二）转化基准多向延展转化基准多向延展如如“乙筐西瓜的个数是甲筐的乙筐西瓜的个数是甲筐的3/5”:以甲筐为单位以甲筐为单位“”，则乙是甲的几分之几，则乙是甲的几分之几?(3/5)，以乙为单位以乙为单位“”，则甲是乙的几分之几，则甲是乙的几分之几?(5/3),甲比乙多多少甲比乙多多少?(5/3-1=2/3)，总数是乙的几分之几总数是乙的几分之几?如果以总数为单位如果以总数为单位“”，则，则甲是
8、总数的几分之几甲是总数的几分之几,乙是总数的几分之几等。乙是总数的几分之几等。2（三）思路辐射延展（三）思路辐射延展 感受解决问题策略的多样化与灵活性感受解决问题策略的多样化与灵活性,并比较不同并比较不同方法的特点方法的特点,来培养学生的数学思维。来培养学生的数学思维。如如“有两人各自骑自行车行走。当甲车轮滚动有两人各自骑自行车行走。当甲车轮滚动40圈时，乙车轮在同样的距离中滚动了圈时，乙车轮在同样的距离中滚动了30圈，如果乙车圈，如果乙车轮的周长比甲车轮的周长长轮的周长比甲车轮的周长长0.32米米,求这段距离。求这段距离。”2解法一：解法一：用归一法解。先求出甲车轮旋转一周的距离，再求总距离
9、。用归一法解。先求出甲车轮旋转一周的距离，再求总距离。0.3230(4030)40.解法二解法二:用倍比法解。先求出甲车轮旋转用倍比法解。先求出甲车轮旋转10圈的距离，再求出总距离。圈的距离，再求出总距离。0.323040（4030).解法三：解法三：用分数法解。以这段距离为单位用分数法解。以这段距离为单位“1”。0.32（1/301/40）。）。解法四：解法四：用列方程求解。根据车轮滚动的距离相等关系，设甲车轮的周长用列方程求解。根据车轮滚动的距离相等关系，设甲车轮的周长为为X米，那么可以列出这样的方程：米，那么可以列出这样的方程：40 x=30(x+0.32).解法五：解法五：运用比例来解
10、。根据距离一定，车轮周长与周数成反比例关系，运用比例来解。根据距离一定，车轮周长与周数成反比例关系，设甲车轮的周长为设甲车轮的周长为X米，则米，则30：40=x:（x0.32）。）。解法六：解法六：根据求最小公倍数方法解。根据求最小公倍数方法解。有有30和和40的最小公倍数的最小公倍数=2534=120，0.32120=38.4（米）。（米）。许多教育者认为如果我们的学生有了解许多教育者认为如果我们的学生有了解题后反思的良好习惯，就能很好地促进思维能题后反思的良好习惯，就能很好地促进思维能力的提高，从而学好数学。解题后反思是指解力的提高，从而学好数学。解题后反思是指解题后对审题过程和解题方法及
11、解题所用知识的题后对审题过程和解题方法及解题所用知识的回顾与思考。回顾与思考。33如：如：“给你一段给你一段20厘米长的细铁丝做成不同的长方形厘米长的细铁丝做成不同的长方形或正方形，你能做几个？它们的面积分别是多少？或正方形，你能做几个？它们的面积分别是多少？”学生通过思考，有以下几种：学生通过思考，有以下几种：长方形：长方形：长长9厘米厘米 宽宽1厘米厘米 面积面积9平方厘米平方厘米 长长8厘米厘米 宽宽2厘米厘米 面积面积16平方厘米平方厘米 长长7厘米厘米 宽宽3厘米厘米 面积面积21平方厘米平方厘米 长长6厘米厘米 宽宽4厘米厘米 面积面积24平方厘米平方厘米 正方形：正方形：边长边长
12、5厘米厘米 面积面积25平方厘米平方厘米 就是教师以一组一组的题目呈现，通过题组训练，就是教师以一组一组的题目呈现，通过题组训练，打破思维定势的一种思维训练方式。学生在用某种思打破思维定势的一种思维训练方式。学生在用某种思维模式多次解决同类问题而形成思维定势后，再遇到维模式多次解决同类问题而形成思维定势后，再遇到相类似的新问题时，往往会出现机械套用以前思维模相类似的新问题时，往往会出现机械套用以前思维模式的倾向，而且同一方法使用次数越多，这种倾向越式的倾向，而且同一方法使用次数越多，这种倾向越明显。思维有了较多的定势，就会阻碍数学思维的发明显。思维有了较多的定势，就会阻碍数学思维的发展。采用题
13、组进行教学，选取的题型一般为基本题与展。采用题组进行教学，选取的题型一般为基本题与变式题整体出现。变式题整体出现。44基本题：基本题：甲车间一月份加工食品甲车间一月份加工食品240吨，二月份比一月份多加工吨，二月份比一月份多加工1/4，二月份加工多少吨？二月份加工多少吨？变式题：变式题：去年，甲厂收入比乙厂多去年，甲厂收入比乙厂多1/5，乙厂收入，乙厂收入1000万元，甲厂收万元，甲厂收入多少万元？入多少万元？结构变式题：结构变式题：甲车间一月份加工食品甲车间一月份加工食品240吨，二月份比一月份少加工吨，二月份比一月份少加工1/4，二月份加工多少吨？二月份加工多少吨？叙述变式题：叙述变式题：
14、甲车间一月份加工食品甲车间一月份加工食品240吨，二月份如果再多加工一月份吨，二月份如果再多加工一月份加工吨数的加工吨数的1/4，就和一月份一样多，二月份加工多少吨？，就和一月份一样多，二月份加工多少吨？通过这样的题组练习，训练学生思维，提高思维能力，使学通过这样的题组练习，训练学生思维，提高思维能力，使学生不因结构的定型化而产生思维定势。生不因结构的定型化而产生思维定势。常规求异法，不是指一题多解的求异思常规求异法，不是指一题多解的求异思维训练，是指摆脱常规思维的支配，独辟溪径，维训练，是指摆脱常规思维的支配，独辟溪径，既在意料之外，又在情理之中，引导学生从新既在意料之外，又在情理之中，引导
15、学生从新的思维角度去思考问题，以求得问题的解决的的思维角度去思考问题，以求得问题的解决的思维训练方式。思维训练方式。55案例案例1：用：用12根火柴棒摆根火柴棒摆6个相等的正方形，你能摆出来吗？个相等的正方形，你能摆出来吗？”（正方体）（正方体）案例案例2：张师傅要加工一批零件，每小时加工：张师傅要加工一批零件，每小时加工240个，小时个，小时完成。如果要在小时完成完成。如果要在小时完成,平均每小时应加工多少个？学生平均每小时应加工多少个？学生都是这样做的：都是这样做的：24076=280(个个)。觉得容易，不再思维。觉得容易，不再思维。我在学生不再思维时，在黑板上写了这样一个算式：我在学生不
16、再思维时，在黑板上写了这样一个算式：240+2406=280(个个)。问：你认为这样做对吗？请说明你的。问：你认为这样做对吗？请说明你的理由。许多学生傻眼了。我就引导学生思考、合作讨论。通理由。许多学生傻眼了。我就引导学生思考、合作讨论。通过讨论、交流学生终于知道了这样做正确的理由，而且简便。过讨论、交流学生终于知道了这样做正确的理由，而且简便。经过一番思维，体验到了常规求异法的精彩。经过一番思维，体验到了常规求异法的精彩。简要截录条件把复杂的问题简单化。简要截录条件把复杂的问题简单化。画简易图理解题意。画简易图理解题意。画批，标出相关的数量。画批，标出相关的数量。画线段图，理解题意。画线段图
17、，理解题意。看条件，想问题。看条件，想问题。培养正向思维与逆向思维的能力。培养正向思维与逆向思维的能力。1.求异型求异型 这是在同一来源中产生各种各样的为数众多的输出这是在同一来源中产生各种各样的为数众多的输出的分析性的思维形式，而教师可以引导学生从不同的的分析性的思维形式，而教师可以引导学生从不同的方面探索问题的多种答案。方面探索问题的多种答案。如如1610，可以启发学生用不同的叙述方式表，可以启发学生用不同的叙述方式表述这道算式。述这道算式。16 减去减去10 等于几？等于几？16减去减去10 还剩多少？还剩多少？16 与与10 的差是多少？的差是多少？10 与什么数的和是与什么数的和是1
18、6？16比比10 多多少？多多少？10 比比16 少多少？少多少？16 减去什么数等于减去什么数等于10？10 加上什么数等于加上什么数等于16？1.求异型求异型 2.求同型求同型 这是一种进行综合、概括的思维形式。如上例，教师亦可这是一种进行综合、概括的思维形式。如上例，教师亦可以用几种不同的叙述方法提出几个问题，让学生归纳出以用几种不同的叙述方法提出几个问题，让学生归纳出1610 的算式来。此外，还可以通过一些异中有同的习题来训练的算式来。此外，还可以通过一些异中有同的习题来训练学生的抽象概括思维能力。如：学生的抽象概括思维能力。如：甲乙两人接到加工甲乙两人接到加工54 只零件任务，甲每天
19、加工只零件任务，甲每天加工10 只，乙只，乙每天加工每天加工8只，几天后完成任务？只，几天后完成任务？一件工程，甲独做一件工程，甲独做10 天完成，乙独做天完成，乙独做15 天完成，两人合天完成，两人合作几天完成？作几天完成？像这些形异质同的问题，要引导学生自己总结出：工作总像这些形异质同的问题，要引导学生自己总结出：工作总量量工作效率工作效率=工作时间。只有这样，学生才能以不变应万变，工作时间。只有这样，学生才能以不变应万变，解一题会多题，可以起到减轻学生负担的作用。解一题会多题，可以起到减轻学生负担的作用。3.递进型递进型 这是一种属于逻辑判断、推理的思维形式。例如，教师在这是一种属于逻辑
20、判断、推理的思维形式。例如，教师在讲授讲授“已知一个数的百分之几是多少，求这个数。已知一个数的百分之几是多少，求这个数。”一类题时，一类题时，叮以引导学生用已掌握的叮以引导学生用已掌握的“已知一个数几倍是多少，求这个数已知一个数几倍是多少，求这个数”的解题规律去进行逻辑推理，让学生自己发现新出现的百分数的解题规律去进行逻辑推理，让学生自己发现新出现的百分数应用题的解题规律。教师不要越俎代疱，否则吃力不讨好，反应用题的解题规律。教师不要越俎代疱，否则吃力不讨好，反而妨碍了学生思维能力的提高。而妨碍了学生思维能力的提高。4.逆反型逆反型 这是一种敢于和善于突破习惯性思维束缚的反向思维形这是一种敢于
21、和善于突破习惯性思维束缚的反向思维形式。在数学教学中，可供训练的材料比比皆是，如加减、式。在数学教学中，可供训练的材料比比皆是，如加减、乘除、通分约分、正反比例等，问题是教师如何善于运用乘除、通分约分、正反比例等，问题是教师如何善于运用它。如教验算时，它。如教验算时，16-10=6，学生习惯地用，学生习惯地用16-6=10来验算，来验算，这时教师可启发学生用这时教师可启发学生用610=16 来验算。经过训练，学来验算。经过训练，学生便可知道用加法验算减法、用减法验算加法、用乘法验生便可知道用加法验算减法、用减法验算加法、用乘法验算除法、用除法验算乘法了。算除法、用除法验算乘法了。5.激化型激化
22、型 这是一种跳跃性、活泼性、转移性很强的思维形式。教师这是一种跳跃性、活泼性、转移性很强的思维形式。教师可通过速问速答来训练练学生。如问：可通过速问速答来训练练学生。如问：3 个个5 相加是多少？相加是多少？学生答：学生答：555=15 或或53=15。教师又问：。教师又问：3 个个5 相乘相乘是多少？学生答：是多少？学生答：555=125。紧接着问：。紧接着问：3 与与5 相乘相乘是多少？学上答：是多少？学上答：35=15，或，或53=15。通过这样的速。通过这样的速问速答的训练，发现学生思维越来越活跃，越来越灵活，问速答的训练，发现学生思维越来越活跃，越来越灵活，越来越准确。越来越准确。6
23、.类比型类比型 这是一种对并列事物相似性的个同实质进行识别的思维形这是一种对并列事物相似性的个同实质进行识别的思维形式。这项训练可以培养学生思维的准确性。如：式。这项训练可以培养学生思维的准确性。如：金湖粮店运来大米金湖粮店运来大米6吨。比运来的面粉少吨。比运来的面粉少1/4吨、运来面吨、运来面粉多少吨？粉多少吨？金湖粮店运来大米金湖粮店运来大米6吨，比运来的面粉少吨，比运来的面粉少1/4，运来面粉，运来面粉多少吨？多少吨？以上两题，虽然相似，实质不同，一字之差，解法全异，以上两题，虽然相似，实质不同，一字之差，解法全异，可以点拨学生自己辨析。通过训练，学生今后碰到类似的问可以点拨学生自己辨析
24、。通过训练，学生今后碰到类似的问题便会仔细推敲，这样就大大地提高了解题的准确性。题便会仔细推敲，这样就大大地提高了解题的准确性。7.转化型转化型 这是解决问题遇到障碍受阻时把问题由一种形式转换成另这是解决问题遇到障碍受阻时把问题由一种形式转换成另一种形式，使问题变得更简单、更清楚，以利解决的思维形一种形式，使问题变得更简单、更清楚，以利解决的思维形式。在教学中，通过该项训练，可以大幅度地提高学生解题式。在教学中，通过该项训练，可以大幅度地提高学生解题能力。如：某一卖鱼者规定，凡买鱼的人必须买筐中鱼的一能力。如：某一卖鱼者规定，凡买鱼的人必须买筐中鱼的一半再加半条。照这样卖法，半再加半条。照这样
25、卖法，4 人买了后，筐中鱼尽，问筐中人买了后，筐中鱼尽，问筐中原有鱼多少条？该题对一些没有受过转化思维训练的学生来原有鱼多少条？该题对一些没有受过转化思维训练的学生来说，会感到一筹莫展。即使基础较好的学生也只能复杂的方说，会感到一筹莫展。即使基础较好的学生也只能复杂的方程。程。但经过转化思维训练后，学生就变得聪明起来了，他们知但经过转化思维训练后，学生就变得聪明起来了，他们知道把买鱼人转换成道把买鱼人转换成1人，显然鱼人，显然鱼1条；然后转换成条；然后转换成2人，则鱼有人，则鱼有3条；再条；再3人，则人，则7条；再条；再4人，则人，则15条。条。8.系统型系统型 这是把事物或问题作为一个系统从
26、不同的层次或不同的角这是把事物或问题作为一个系统从不同的层次或不同的角度去考虑的高级整体思维形式。在高年级除结合综合应用题度去考虑的高级整体思维形式。在高年级除结合综合应用题以外还可编制许多智力训练题来培养学生系统思维能力。如：以外还可编制许多智力训练题来培养学生系统思维能力。如：1 2 3 4 5 6 7 8 9在不改变顺序前提下（即可以将几个相邻的在不改变顺序前提下（即可以将几个相邻的数合在一起成为一个数，但不可以颠倒），在它们之间划加数合在一起成为一个数，但不可以颠倒），在它们之间划加减号，使运算结果等于减号，使运算结果等于1OO。像像这道题就牵涉到系统思维的这道题就牵涉到系统思维的训练。教师可引导学生把训练。教师可引导学生把10 个数看成一个系统，从不同的层个数看成一个系统，从不同的层次去考虑、第一层次：找次去考虑、第一层次：找100 的最接近数，即的最接近数，即89 比比100 仅少仅少11。第二个层次：找。第二个层次：找11 的最接近数，很明显是前面的的最接近数，很明显是前面的12。第。第三个层次：解决多三个层次：解决多l 的问题。整个程序如下：的问题。整个程序如下：123456789100，经过像这样的训练，学生就会触类旁通，经过像这样的训练，学生就会触类旁通，碰到难题就能产生新的思路和设想。碰到难题就能产生新的思路和设想。
