1、2.3.12.3.1平面向量的基平面向量的基本定理本定理1e2e OCABMN OCOMON 如图111OMOAe 1122OCee 1122 +aee 即222ONOBe a12e ea 思考：一个平面内的两个不共线的向量、与该平面 内的任一向量 之间的关系.1e2e OCABMNa OCOMON 如图111OMOAe 1122OCee 1122 +aee 即222ONOBe 1122+aee 1122+aee 这就是说平面内任一向量 都可以表示成的形式平面向量基本定理：12121 122 +e eaaee 如果、是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数
2、、，使12e e 这里不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.不共线向量有不同的方向,它们的位置关系可用夹角来表示,关于向量的夹角,我们规定:向量的夹角：向量的夹角：已知两个非零向量已知两个非零向量 和和 ，作，作 ，abOAa OBb 则则AOB=AOB=(0(0180)180)叫做向量叫做向量 与与 的夹角的夹角.ababOabAB当当=0时，时，与与 同向；同向；ab当当=180时，时，与与 反向；反向；ab当当=90时，时，与与 垂直，记作垂直，记作 。ababababab共起点1212,3 .e eee 例1：已知向量（如图），求作向量-2.5作法:1e2eOA2.OAC
3、B作 BC1e-2.51.O如图，任取一点23e 1,2.5OAe 作OC则，就是所求的向量2,3.OBe 112212121122112212121122121200AaaeeBeeCaaeeDeee e .对平面中的任一向量，使 的实数、有无数对.对实数、，不一定在平面内.空间任一向量 可以表示为，这里、是实数.若实数、使则如果、是平面内所有向量的一组基底，那么（）,D练习:2.3.2 平面向量的正交分解平面向量的正交分解及坐标表示及坐标表示 把一个向量分解为两个互相垂直的向把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫作把向量正交分解量，叫作把向量正交分解ABCDoxyij思考：思考：如图如图，
4、在直角坐标系中在直角坐标系中，已知已知A(1,0),B(0,1),C(3,4),D(5,7).设设 ，填空：，填空：,OAi OBj （1）|_,|_,|_;ijOC（2）若用）若用 来表示来表示 ，则：，则：,i j,OC OD _,_.OCOD34ij 57ij 1153547（3）向量）向量 能否由能否由 表示出来？可以的话表示出来？可以的话，如何表示？如何表示？CD,i j 23CDij ABCDoxyija平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示如图，如图，是分别与是分别与x轴、轴、y轴方向相同轴方向相同的单位向量，若以的单位向量，若以 为基底，则为基底，则,i j,i j +aaijx
5、yxy 对于该平面内的任一向量 ，有且只有一对实数、，可使 这里，我们把（这里，我们把（x,y）叫做向量）叫做向量 的（直角）坐标，记作的（直角）坐标，记作a(,)ax y其中其中，x x叫做叫做 在在x x轴上的坐标轴上的坐标，y y叫做叫做 在在y y轴上的坐标，轴上的坐标，式叫做式叫做向量的坐标表示。向量的坐标表示。aa那么那么i=（，）j=(，)0=（，）1 00 10 0OxyijaA(x,y)a1以原点以原点O为起点作为起点作 ，点，点A的位置由谁确定的位置由谁确定?aOA 由由a 唯一确定唯一确定2点点A的坐标与向量的坐标与向量a 的坐标的关系？的坐标的关系？两者相同两者相同向量
6、向量a坐标（坐标（x，y）一一 一一 对对 应应概念理解概念理解3两个向量相等的等价条件，利用坐标如何表示？两个向量相等的等价条件，利用坐标如何表示？2121yyxxba 且且 4.符号(x,y)在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一点又可以表示一个向量，为加以区分，在叙述中常说点(x,y)或向量(x,y).OxyAijaxy+axiy j+OAxiy j(1)若向量+OAxiy j 经过原点,则向量OA的坐标(x,y)就是终点的坐标（）假若向量不经过原点,如左图，（x1,y1）(x2,y2),(1212yyxxa结论：结论：一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标例例2.如图，分别用基底如图，分别用基底 ，表示向量表示向量 、，并求出，并求出 它们的坐标。它们的坐标。ijabcd AA1A2解：如图可知解：如图可知1223aAAAAij(2,3)a同理同理23(2,3);23(2,3);23(2,3).bijcijdij 1.平面向量基本定理：12121 122 +e eaaee 如果、是同一平面内的两个线的向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数、，可使不共12e e 这里不共线的向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.小结小结:2.向量的正交分解作业：作业：课本P101 习题2.3 A组 1，2
