1、第五章第五章 贝塞尔函数贝塞尔函数2023-2-5 讨论瞬时状态圆盘上的热传导问题,导出贝塞尔方程；讨论贝塞尔(Bessel)方程的解以及解的性质。稳恒状态圆域上热传导问题欧拉方程。瞬时状态圆域上热传导问题贝塞尔方程。2023-2-55.1 贝塞尔方程的引入 设有半径为 R 的薄圆盘，其侧面绝缘，边界上温度始终保持为零，且初始温度已知，求圆盘的温度分布规律。可归结为求解如下定解问题22222222,Ryxyuxuatuyxut,00222Ryxu2023-2-5令 ，代入方程得 tTyxVtyxu,TyVxVaVT22222VVVTaTyyxx20进而得齐次偏微分方程化为两个微分方程:taAe
2、tT2它的解为 02tTatT(1)2023-2-5(2)亥姆霍兹方程(Helmholtz)02222VyVxV0222RyxV由边界条件，可知 在极坐标系下，问题可以写成 222221100|0RVVVVRV 2023-2-5再次分离变量,令 ,代入化简得 PV,0 022PPP 22()0PPPP 211()()()()0PPPP引入参数 分解2023-2-5本征值 ，2nn 200a nbnannnsincos,1,2,n 0222PnPP将 代入另一方程得2nnn 阶贝塞尔方程.02 结合自然周期条件，得本征值问题本征函数2023-2-50RV由条件由条件 得得0P R 0P 由温度是
3、有限的，得由温度是有限的，得原问题就转化为求贝塞尔方程在条件 下的特征值和特征函数.()0(0)P RP r rF rP做代换 ,并记 0222PnPP考虑贝塞尔方程2023-2-5n阶贝塞尔方程的标准形式.0222rFnrrFrrFr方程转化为2222d Pd PddrdPdP drdPddr ddrr 0222PnPPr rF rP2023-2-5 022222xynxdxdyxdxydx 用 x 表示自变量,y=y(x)表示未知函数,则n阶贝塞尔方程为其中n为任意实数或者复数,我们仅讨论 的情形.0n 01ckky xxaa xa x0kkckxa0(0)a 假定方程有如下形式的级数解：
4、其中 为常数。kac,2023-2-5 01kkckxkcaxy逐项求导,有代入方程确定系数 和 ：kac 021kkckxkckcaxy 220()(1)()()0c kkkck ckckxna x 022222xynxdxdyxdxydx 22221012222()(1)()0ccc kkkkcn a xcn a xckn aax 0022anc22110cn a比较系数得00a cn 10a 2220kkcknaa2,3,k 2023-2-5取取c=n由01aknkaakk2201231kaaa 0221.2!12mmmaamnnnm 022 22aan 042 4 2224aann 2
5、220kkcknaa11!21122mnmamnmm1210nan选取 1zzz 由得 12(1)(1)1nmnmnnnnm 因此 10()xppexdx 2023-2-5220201112!11()!12mnmnnmmmnmmJxxmnmxmnm这样，得到方程的一个特解称 为 阶第一类贝塞尔函数(n=0).xJnn2023-2-5 220201112!11()!12mnmnnmmmnmmJxxmnmxmnm ,cn 取指标得方程的另一特解 当 n 不为整数时,和 线性无关 xJn xJn所以方程的通解可以表示为 xBJxAJynn结论：结论：0121nan 2023-2-5,Actgn如果选
6、取1(1,2,)sinBnn nxJnxJxYnnnsincos得到称 为 n 阶第二类贝塞尔函数或者牛曼函数,xYn方程的通解也可表示为 xDYxCJynn当 n 不为整数时,和 线性无关 xJn nYx2023-2-5由广义积分定义由广义积分定义 10pxpxedx GammaGamma 函数有如下性质函数有如下性质：1ppp 111100 1 22,(,)mm (1)()!nmnm 当m,n为整数时，有GammaGamma函数的定义与性质函数的定义与性质 2023-2-522011()12!mnmnnmmJxxmnm(1)由(1)()!nmnm 得22142411()12!1(1)2!2
7、(1)!2(2)!2!(1)()mNmNNmm NNNNNNNNNNJxxmNmxxxNNNJx 101Nm（）取n=N,在中,由于mN时，nJx 所以级数从m=N开始2023-2-5所以，当n为整数时,与 线性相关 xJn xJn此时定义第二类贝塞尔函数为 coslimsinnnJxJxYx xDYxCJynn 不为整数.可以证明 和 线性无关，通解可写为 xJn xYn2023-2-5 2102011coslimsin21(1)!(ln)2!21(1)11!()!2nnnmnnmnmmn mmmkkJxJxYxxnmxJxCmxm nmkk 其中其中C为欧拉常数为欧拉常数 C =0.577
8、216 210020122(1)1(ln)2(!)2mmnmmkxxYxJxCmk 2023-2-5建立不同阶的贝塞尔函数之间递推公式.首先考虑零阶和一阶贝塞尔函数之间关系.2201112!mnmnnmmJxxmnm分别令 及 得:0n1n 35211352122 2!22!3!2!1!kkkxxxxJxkk 221222121!kkkdxdxk微分 J0 的第 2k+2 项22122212(2)!kkkxk212112!1!kkkxkk 21222(22)121!kkkkxk 24620222246211222!23!2!kkkxxxxJxk （）（）所以 xJxJdxd102023-2-5
9、222221122(!)kkkxxxk 则 xxJxxJdxd01又24221321(22)()1222!2!1!kkkddxxkxxJ xdxdxkk 321222122(!)kkkxxxk 2023-2-5一般的,有 xJxxJxdxdnnnn1 xJxxJxdxdnnnn1上面两式左边的导数求出来,并经过化简,则得 xxJxnJxxJnnn1 xxJxnJxxJnnn12023-2-5 xJn xJn分别消去 和 ,可以得到两式相加减贝塞尔函数的递推公式若知道 xJn 1 xJn的值,就可以求出 xJn 1进而得到任意正整数阶贝塞尔函数的值.xJxnxJxJnnn211 xJxJxJnn
10、n2112023-2-5对于第二类贝塞尔函数,也有相应的递推公式.112nnnnYxYxYxx 112 nnnYxYxYx 2023-2-5例例2023-2-5 211xJx dxxJx dxJx dx 例 求不定积分 .2xJx dx解 由 ，可得 112xJxJxxJx 102xJxJxc 01()102JxJxxJxJx dx 11xdJxJx dx 112xJxJx dx 2023-2-5 在本章开始，我们从薄圆盘温度分布的定解问题中，导出了贝塞尔方程的特征值问题：0222rPnrrPrrPr 0,0PRP rDYrCJrPnn方程的通解为 nP rCJr 0nY0D由于 ,由条件 知
11、 ,从而|(0)|P 0RJn为了求出特征值问题,必须判明 的零点是否存在,分布情形如何 xJn由可得:0P R 2023-2-5贝塞尔函数的零点的结论：贝塞尔函数的零点的结论：(1)Jn(x)有无穷多个单重实零点,这些零点在x 轴上关于原点对称分布,因而Jn(x)有无穷多个正的零点;(2)Jn(x)的零点和 Jn+1(x)的零点是彼此相间分布.(3)设 ()为 的正零点,则有 nm,2,1m xJn 1limnnmmm2023-2-5 nmR,2,1m与这些特征值相应的特征函数为 nmmnPrJrR,2,1m0RJn的解为2023-2-5贝塞尔函数的正交性 kmJRJRkmdrrRJrRrJ
12、nmnnmnRnknnmn.22,02122120 20nRmnrJr drR rRJnmn的正平方根称为函数 的模值.nmmnPrJrR的正交性讨论 rRJrPnmnm n 阶贝塞尔函数序列 (m=1,2)在区间(0,R)上带权 r 正交,即结论结论2023-2-5结论结论2.2.在区间，R上具有一阶连续导数以及分段连续的二阶导数的函数 f(r),如果在 r=0 处有界,在 r=R 处等于零,则它必可以展开为如下形式的一致收敛的级数：1mnmnmrRJArf其中 drrRJrrfJRARnknnknk0212212023-2-5例例1 1 设有半径为1 的薄均匀圆盘，其侧面绝缘，边界上的温度
13、始终保持为零度，初始圆盘内温度分布为1-r2，其中 r 为圆盘内任一点的极半径，求圆盘的温度分布规律。分析:由于是在圆域内求解问题,故采用极坐标.考虑到定解条件和 无关,所以温度 只能是 和 的函数.urt2023-2-5解解:问题可归结为求下列定解问题问题可归结为求下列定解问题:设设truu,10,11222222rurrurruatu由于由于 和和 无关无关,可以化简为问题可以化简为问题u0u2222011,0110truuuartrrruru2023-2-5由物理意义由物理意义,且当且当 时时,ut0uFFrFTaT1202TaT022FrrFFr解解(1)(1)得：得：,因为因为 时时
14、,taCetT2t0u.(1).(2)令令 tTrFtru,代入方程得代入方程得02所以所以 ,令令 ,即即2023-2-5(2)(2)为零阶非标准的贝塞尔方程为零阶非标准的贝塞尔方程,通解为通解为 rYCrJCrF0201由由 的有界性的有界性,可以知道可以知道 ,tru,02C由条件由条件 得得 ,即即 是是 的零点的零点.10ru00J xJ0 0n用用 (n=1,2)=1,2)表示表示 的正零点的正零点,综合以综合以上结果可得上结果可得:xJ02023-2-5 00nnFrJr 02nanntTtC e 0020,nannntur tC eJr 02001,nannntu r tC e
15、Jr从而从而由叠加原理由叠加原理,可得原问题的解为可得原问题的解为 0,n2023-2-5由初始边界条件得由初始边界条件得 rJCrnnn0012112(0)02(0)012(1)()()nnnCrrJr drJ1(0)02(0)012()()nnrJr drJ13(0)02(0)012()()nnr Jr drJ故故2023-2-5因为因为 xJxxJxdxdnnnn1所以所以 0000010()nnnnndr JrrJr dr 001100011000nnnnnJrrJdrrrJ drrJrn10003 001102nnrrJdr001nnJ 2002)(2nnJ2023-2-5 02120024nnnnJJC从而从而 tarJJJtrunnnnnn2020002120021exp4,所求定解问题的解为所求定解问题的解为 0n rJ0其中其中 是是 的正零点的正零点.
