1、人教版 数学 七年级（下）第第8 8章章 二元一次方程二元一次方程组组8.4 8.4 三元一次方程组的解法三元一次方程组的解法1 1.了解三元一次方程组的了解三元一次方程组的概念概念。2 2.能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步步体会体会“消元消元”思想思想。3 3.会解会解较复杂较复杂的三元一次方程组的三元一次方程组。学习目标学习目标问问题题：1题目中有几个条件？题目中有几个条件？2问题中有几个未知量？问题中有几个未知量？3根据等量关系你能列出方程组吗？根据等量关系你能列出方程组吗？小强手小强手头有头有12张面额分别是张面额分别是1元、元、2
2、元、元、5元的纸币，共元的纸币，共计计22元，其中元，其中1元纸币的数量是元纸币的数量是2元纸币数量的元纸币数量的4倍求倍求1元、元、2元、元、5元的纸币各多少张？元的纸币各多少张？新知一新知一 三三元一次方程组的概念元一次方程组的概念合作探究合作探究1元元2元元5元元合合 计计（三个量关系）每张面值（三个量关系）每张面值 张数张数 =钱数钱数5z12221元纸币的数量是元纸币的数量是2元纸币数量的元纸币数量的4倍，倍，即即x=4y面值面值张数张数钱数钱数xyzx2y注注分析分析：在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们在这个题目中，要我们求的有三个未知数，我们自然会想到设自然会想到设1元、
3、元、2元、元、5元的纸币分别是元的纸币分别是x张、张、y张、张、z张，根据题意可以得到下列三个方程张，根据题意可以得到下列三个方程:x+y+z=12,x+2y+5z=22,x=4y.对对于这个问题于这个问题的解必的解必须同时满足上面三个条件，因须同时满足上面三个条件，因此，我们把三个方程合在一起写成此，我们把三个方程合在一起写成 12,2522,4.xyzxyzxy 这这个方程组中含有个方程组中含有 个未知数，每个方程中含未知数个未知数，每个方程中含未知数的项的次数是的项的次数是 .三三1 含含有有三三个未知数个未知数，且每个方程中含未知，且每个方程中含未知数的项的数的项的次数都是次数都是1，
4、并且一共有，并且一共有三个方程三个方程，像这样的方程组叫做像这样的方程组叫做三元一次方程组三元一次方程组 由此，我们得出由此，我们得出三元一次方程组三元一次方程组的定义的定义例例 下下列是三元一次方程组的是列是三元一次方程组的是()A.B.C.D.典例精析典例精析 三三元一次方元一次方程组的程组的判断判断67522zyxyxx7134xyzxyzxy219xyyzxzD4-2-239-3yzxxyzy 下列下列方程组不是三元一次方程组的方程组不是三元一次方程组的是是()1210 xx yx z A.B.321240323xyzx yzxy z C.10215x yx zy z D.134712
5、x y zxyzxyz D提示提示：组成三元一次方程组的三个一次方程中，组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定不一定要要求每一个一次方程都含有三个未知数求每一个一次方程都含有三个未知数巩固新知巩固新知 类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个的公共解，叫做这个三元一次方程组的解三元一次方程组的解.怎样解三元一次方程组呢？怎样解三元一次方程组呢？23,1,220.xyzxyxyz能不能像以前一样能不能像以前一样“消元消元”，把把“三元三元”化成化成“二元二元”呢？呢？新知二新知二 三三元一次方程组的解法元一次方程组的解
6、法合作探究合作探究3472395978xzxyzxyz，例例1 解解三元一次方程组三元一次方程组解解：3，得，得 11x10z=35.与组成方程组与组成方程组解这个方程组，得解这个方程组，得347,111035.xzxz5,-2.xz典例精析典例精析1 1 三三元一次方程组的解法元一次方程组的解法分析：分析：方程中方程中只含只含x,z,因此因此,可可以由消去以由消去y,得到一个只含得到一个只含x,z的方程的方程,与方程与方程组成一个二元一组成一个二元一次方程组次方程组.把把 x5，z-2 代入，得代入，得 因此，三元一次方程组的解为因此，三元一次方程组的解为513-2xyz，1.3y你还有其它
7、解你还有其它解法吗？试一试，法吗？试一试，并与这种解法并与这种解法进行比较进行比较.3472395978xzxyzxyz，例例1 解解三元一次方程组三元一次方程组 解解三元一次方程组的基本思路是：通过三元一次方程组的基本思路是：通过“代入代入”或或“加减加减”进行进行 ，把，把 转化为转化为 ，使解三元一次方程组转化为解使解三元一次方程组转化为解 ，进而再，进而再转化为解转化为解 .三元一次三元一次方程组方程组二元一次二元一次方程组方程组一元一次一元一次方程方程消元消元消元消元消元消元“三元三元”“二元二元”二元一次方程组二元一次方程组一元一次方程一元一次方程 解解方程组方程组解解：由方程得由
8、方程得 x=y+1.把把分别代入得分别代入得 2y+z=22,3y-z=18.解解由组成的二元一次方程组，得由组成的二元一次方程组，得 y=8,z=6.把把y=8代入，得代入，得x=9.x=9,y=8,z=6.23,1,220.xyzxyxyz类似二元一次方程组类似二元一次方程组的的“消元消元”,把把“三三元元”化成化成“二元二元”.所以原方程组的解是所以原方程组的解是巩固新知巩固新知已知 是方程组D.典例精析1 三元一次方程组的解法含有三个未知数，且每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组8(六盘水中考)为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送
9、方发出一组密码a，b，c时，则接收方对应收到的密码为A，B，C.分析：方程中只含x,z,因此,可以由消去y,得到一个只含x,z的方程,与方程组成一个二元一次方程组.这个方程组中含有 个未知数，每个方程中含未知数的项的次数是 .4a2bc=3，已知该农场计划在设备上投入67万元,应该怎样安排三种农作物的种植面积,才能使所有的职工都有工作,而且投入的资金正好够用?把分别代入得 2y+z=22,4a2bc=3，每个方程中含未知数的项的次数都是1解:根据题意，得三元一次方程组把 x5，z-2 代入，得25a5bc=60.把 代入，得例 下列是三元一次方程组的是()这个方程组中含有 个未知数，每个方程中
10、含未知数的项的次数是 .了解三元一次方程组的概念。把y=8代入，得x=9.例1 解三元一次方程组能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？例例2 在在等等式式 y=ax2bxc中中,当当x=1时时,y=0;当当x=2时时,y=3;当当x=5时时,y=60.求求a,b,c的值的值.解解:根据题意，得三元一次方程组根据题意，得三元一次方程组abc=0，4a2bc=3，25a5bc=60.，得得 ab=1;，得，得 4ab=10.与组成二元一次方程组与组成二元一次方程组ab=1，4ab=10.典例精析典例精析2 2 三三元一次方程组求字母的值元一次方程组求字母的值合作探究合作探究ab=1，
11、4ab=10.a=3，b=-2.解这个方程组，得解这个方程组，得把把 代入，得代入，得a=3，b=-2c=-5.a=3，b=-2，c=-5.因此因此即即a,b,c的的值分别为值分别为3，-2，-5.已知已知 是是方程组方程组 的解的解,则则a+b+c的值是的值是_.321zyx732azcxczbybyax3巩固新知巩固新知对于这个问题的解必须同时满足上面三个条件，因此，我们把三个方程合在一起写成例2 在等式 y=ax2bxc中,当x=1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60.A2ab，B2b，Cbc，例如发出1，2，3，则收到0，4，5.每个方程中含未知数的项的次数都是1含有三
12、个未知数，且每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组你还有其它解法吗？试一试，并与这种解法进行比较.分析：方程中只含x,z,因此,可以由消去y,得到一个只含x,z的方程,与方程组成一个二元一次方程组.了解三元一次方程组的概念。能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想。能不能像以前一样“消元”，把“三元”化成“二元”呢？例 下列是三元一次方程组的是()答:安排15公顷种水稻,20公顷种棉花,16公顷种蔬菜.新知二 三元一次方程组的解法例2 在等式 y=ax2bxc中,当x=1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60.
13、（1）如果设食谱中A、B、C三种食物各为x、y、z份，请列出方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿营养标准中的要求.例 下列是三元一次方程组的是()2问题中有几个未知量？1(5分)下列方程组中是三元一次方程组的是()解：3，得 11x10z=35.abc=0，提示：组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数(1)当发送方发出一组密码为2，3，5时，则接收方收到的密码是多少？例例3 幼幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含含35单位的铁、单位的铁、70单位的钙和单位的钙和35单位的维
14、生素单位的维生素.现有一批营养现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（三种食物，下表给出的是每份（50g)食物食物A、B、C分别所含的分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）铁、钙和维生素的量（单位）食物食物铁铁钙钙维生素维生素A5205B51015C10105典例精析典例精析3 3 利利用三元一次方程组解答实际问题用三元一次方程组解答实际问题合作探究合作探究解解：(1)由该食谱中包含由该食谱中包含35单位的铁、单位的铁、70单位的钙和单位的钙和35单位单位的维生素，得方程组的维生素，得方程组55
15、1035,20101070,515535.xyzxyzxyz（1）如果设食谱中）如果设食谱中A、B、C三种食物各为三种食物各为x、y、z份，请列出份，请列出方程组，使得方程组，使得A、B、C三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿三种食物中所含的营养量刚好满足幼儿营养标准中的要求营养标准中的要求.（2）解该三元一次方程组，求出满足要求的）解该三元一次方程组，求出满足要求的A、B、C的份数的份数.(2)-4,-,得得551035,103070,1050.xyzyzyz+,得得551035,103070,3570.xyzyzz通过回代，得通过回代，得 z=2,y=1,x=2.答：答：该食谱中包含该食谱中
16、包含A种食物种食物2份，份，B种食物种食物1份，份，C种食物种食物2份份.分析：方程中只含x,z,因此,可以由消去y,得到一个只含x,z的方程,与方程组成一个二元一次方程组.现有一批营养师根据上面的标准给幼儿园小朋友们配餐，其中包含A、B、C三种食物，下表给出的是每份（50g)食物A、B、C分别所含的铁、钙和维生素的量（单位）(2)-4,-,得能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想。已知该农场计划在设备上投入67万元,应该怎样安排三种农作物的种植面积,才能使所有的职工都有工作,而且投入的资金正好够用?答:安排15公顷种水稻,20公顷种棉花,16公顷种蔬菜.典例精析2 三元
17、一次方程组求字母的值把y=8代入，得x=9.例 下列是三元一次方程组的是()与组成二元一次方程组例2 在等式 y=ax2bxc中,当x=1时,y=0;当x=2时,y=3;当x=5时,y=60.4a2bc=3，典例精析2 三元一次方程组求字母的值通过代入消元法或加减消元法转化为二元一次方程组答:安排15公顷种水稻,20公顷种棉花,16公顷种蔬菜.含有三个未知数，且每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组提示：组成三元一次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数2问题中有几个未知量？已知该农场计划在设备上投入67万元,应该怎样
18、安排三种农作物的种植面积,才能使所有的职工都有工作,而且投入的资金正好够用?类似二元一次方程组的解，三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解.2问题中有几个未知量？x+y+z=12,x+2y+5z=22,x=4y.某某农场农场300名职工耕种名职工耕种51公顷土地公顷土地,计划种植水稻计划种植水稻,棉花和蔬菜棉花和蔬菜,已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金已知种植农作物每公顷所需的劳动力人数及投入的设备资金如下表如下表:农作物品种农作物品种每公顷需劳每公顷需劳动力动力每公顷需投每公顷需投入资金入资金水稻水稻4人人1万元万元棉花棉花8人人1万元万元蔬菜蔬菜5人
19、人2万元万元已知该农场计划在设备上投入已知该农场计划在设备上投入67万元万元,应该怎样安排三种农作应该怎样安排三种农作物的种植面积物的种植面积,才能使所有的职工都有工作才能使所有的职工都有工作,而且投入的资金正而且投入的资金正好够用好够用?巩固新知巩固新知解解:设安排设安排x公顷种水稻公顷种水稻,y公顷种棉花公顷种棉花,z公顷种蔬菜公顷种蔬菜.依题意依题意,得得 答答:安排安排15公顷种水稻公顷种水稻,20公顷种棉花公顷种棉花,16公顷种蔬菜公顷种蔬菜.51,485300,267.xyzxyzxyz15,20,16.xyz解得：解得：1(5分分)下列方程组中是三元一次方程组的是下列方程组中是三
20、元一次方程组的是()B课堂练习课堂练习D B A D 能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想。A2ab，B2b，Cbc，例如发出1，2，3，则收到0，4，5.把分别代入得 2y+z=22,例3 幼儿营养标准中要求每一个幼儿每天所需的营养量中应包含35单位的铁、70单位的钙和35单位的维生素.abc=0，能解简单的三元一次方程组，在解的过程中进一步体会“消元”思想。小强手头有12张面额分别是1元、2元、5元的纸币，共计22元，其中1元纸币的数量是2元纸币数量的4倍求1元、2元、5元的纸币各多少张？例1 解三元一次方程组新知一 三元一次方程组的概念25a5bc=60.3根据等
21、量关系你能列出方程组吗？含有三个未知数，且每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组8(六盘水中考)为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送方发出一组密码a，b，c时，则接收方对应收到的密码为A，B，C.已知该农场计划在设备上投入67万元,应该怎样安排三种农作物的种植面积,才能使所有的职工都有工作,而且投入的资金正好够用?这个方程组中含有 个未知数，每个方程中含未知数的项的次数是 .典例精析3 利用三元一次方程组解答实际问题把 x5，z-2 代入，得，得 4ab=10.A2ab，B2b，Cbc，例如发出1，2，3，则收到0，4，5.提示：组成三元一
22、次方程组的三个一次方程中，不一定要求每一个一次方程都含有三个未知数通过代入消元法或加减消元法转化为二元一次方程组4a2bc=3，三元一次方程组三元一次方程组三元一次方三元一次方程组的程组的概念概念三元一次方三元一次方程组的程组的解法解法三元一次方三元一次方程组的程组的应用应用含有含有三三个未知数个未知数每个方程中含未知数每个方程中含未知数的项的的项的次数都是次数都是1一共有一共有三个方程三个方程通过代入消元法或通过代入消元法或加减消元法加减消元法转化为转化为二二元元一次方程组一次方程组归纳新知归纳新知C A课后练习课后练习2 3 1 4(滨州中考滨州中考)某服装厂安排某服装厂安排210名工人进
23、行手工衬衣的缝制，每件衬衣由名工人进行手工衬衣的缝制，每件衬衣由2个个衣袖、衣袖、1个衣身和个衣身和1个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖个衣领组成，如果每人每天能够缝制衣袖10个，或衣身个，或衣身15个，或衣领个，或衣领12个，那么应该安排个，那么应该安排_名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的名工人缝制衣袖，才能使每天缝制出的衣袖、衣身、衣领正好配套衣袖、衣身、衣领正好配套1206有有甲、乙、丙三种货物甲、乙、丙三种货物，如果购甲如果购甲3件、乙件、乙7件、丙件、丙1件件，共共需元钱；若购需元钱；若购甲甲4件、乙件、乙10件、丙件、丙1件件，共需共需42元钱元钱现现在购甲、乙、丙各在购甲、乙、
24、丙各1件共需多少元？件共需多少元？7我我市某镇组织市某镇组织20辆汽车装运完辆汽车装运完A，B，C三种脐橙共三种脐橙共100吨吨到外到外地销售地销售，按按计划计划，20辆汽车都要装运辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一样脐橙每辆汽车只能装运同一样脐橙，且且必须装满每必须装满每辆汽车的运载量及每种脐橙每吨的获利如下表辆汽车的运载量及每种脐橙每吨的获利如下表：如：如何安排三种脐橙装运何安排三种脐橙装运，才才能使此次销售获利达到万元？能使此次销售获利达到万元？脐橙品种脐橙品种ABC每辆汽车运载量每辆汽车运载量/吨吨654每吨脐橙获利每吨脐橙获利/百元百元1216108(六盘水中考六盘水中考)为确保信息安全为确保信息安全，在传输时往往需加密在传输时往往需加密，发送方发出一发送方发出一组密码组密码a，b，c时时，则接收方对应收到的密码为则接收方对应收到的密码为A，B，C.双方约定：双方约定：A2ab，B2b，Cbc，例如发出例如发出1，2，3，则收到则收到0，4，5.(1)当发送方发出一组密码为当发送方发出一组密码为2，3，5时时，则接收方收到的密码是多少？则接收方收到的密码是多少？(2)当接收方收到一组密码当接收方收到一组密码2，8，11时时，则发送方发出的密码是多少？则发送方发出的密码是多少？
