1、专题一 遇中点作辅助线的方法一、边上的中点，考虑构造中位线图 示 说 明在ABC中，给出边的中点，常考虑构造三角形的中位线，得到DEBC，且DE=BC，ADEABC. 例1 如图1，在边长为的正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接EC，FD，G，H分别是EC，FD的中点，连接GH，则GH的长为 .解析：连接CH并延长交AD于点P，连接PE，如图1所示.因为四边形ABCD是正方形，所以A=90，ADBC，AB=AD=BC=.因为E，F分别是边AB，BC的中点，所以AE=CF=.因为ADBC，所以DPH=FCH，PDH=CFH.因为H是FD的中点，DH=FH.所以PDHCFH.所以
2、PD=CF=，PH=CH.所以AP=AD-PD=.所以PE=2.因为G，H分别是EC，CP的中点，所以GH=PE=1.故填1.2. 直角三角形斜边上的中点，考虑构造斜边上的中线图 示说 明在RtABC中，给出斜边上的中点，常考虑构造斜边上的中线，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即CD=AB”来求解线段之间的数量关系. 例2 如图2，CE，BF分别是ABC的高线，连接EF，EF=6，BC=10，D，G分别是EF，BC的中点，则DG的长为 .解析：连接EG，FG，如图2所示.因为CE，BF分别是ABC的高线，所以BEC=90，BFC=90.因为G是BC的中点，BC=10，所以EG=FG
3、=BC=5.因为D是EF的中点，EF=6，所以ED=EF=3，GDEF.由勾股定理，得DG=4.故填43. 倍长中线、类中线（与中点有关的线段），构造全等三角形图 示 作 法延长AD至点E，使DE=AD，连接BE延长ED至点F，使DF=ED，连接CF说 明通过作辅助线，得到一对全等三角形（EBDACD，CFDBED），从而将题中已知条件和所求解的结论转化到同一个三角形中，使问题得解例3 问题探究：小红遇到这样一个问题：如图3-，在ABC中，AB=6，AC=4，AD是中线，求AD的取值范围.她的作法：延长AD到点E，使DE=AD，连接BE，证明BEDCAD，经过推理和计算使问题得到解决（1）小红
4、证明BEDCAD的判定定理是 ；（2）AD的取值范围是 .方法运用：（3）如图3-，AD是ABC的中线，在AD上取一点F，连接BF并延长交AC于点E，使AE=EF，求证：BF=AC（4）如图3-，在矩形ABCD中，在BD上取一点F，以BF为斜边作RtBEF，且，G是DF的中点，连接EG，CG，求证：EG=CG 图3解析：（1）因为AD是ABC的中线，所以BD=CD.又BDE=CDA，DE=DA，所以BEDCAD（SAS）.故填SAS.（2）因为BEDCAD，所以BE=AC=4.在ABE中，AB-BEAEAB+BE，所以22AD10.所以1AD5.故填1AD5.（3）延长AD至点H，使DH=AD
5、，连接BH，如图4-所示.因为AD是ABC的中线，所以BD=CD.又BDH=CDA，DH=DA，所以BDH CDA.所以BH=AC，H=CAD.因为AE=EF，所以EAF=AFE.又BFH=AFE，所以H=BFH.所以BF=BH.所以BF=AC. 图4（4）延长CG至点N，使NG=CG，连接EN，CE，NF，如图4-所示.因为G是DF的中点，所以FG=DG.又NGF=CGD，NG=CG，所以NGFCGD.所以NF=CD，CDG=NFG.因为四边形ABCD是矩形，所以AB=CD，AD=BC，ADBC，BCD=90.因为，所以tanADB=，tanEBF=.所以ADB=EBF.因为ADBC，所以A
6、DB=DBC.所以EBF=DBC.所以EBC=2DBC.因为EBF+EFB=90，DBC+CDB=90，所以EFB=CDB=NFG，EBF+EFB+DBC+CDB=180.所以2DBC+EFB+NFG=180.又NFG+EFB +EFN=180，所以EFN=2DBC.所以EFN=EBC.因为，CD=NF，所以.所以FENBEC.所以FEN =BEC.所以NEC =BEF =90.又CG=NG，所以EG=NC.所以EG=GC. 4. 圆中弦或弧的中点 图 示 作 法连接半径，利用圆周角定理或垂径定理解题.如图，C是的中点，连接OC，得到1=2=3，AC=BC，=；如图，E为AB的中点，OC垂直平
7、分AB，=.说 明通过作辅助线，得到一对全等三角形（EBDACD，CFDBED），从而将题中已知条件和所求解的结论转化到同一个三角形中，使问题得解例4 （2021营口）如图5，在O中，C为弦AB的中点，连接OC，OB，COB=56，D是上任意一点，则ADB的度数是（）A112B124C122D134解析：作所对的圆周角APB，连接OC，如图所示.因为C为AB的中点，OA=OB，所以OCAB，OC平分AOB.所以AOC=BOC=56.所以APB=AOB=56.因为APB+ADB=180，所以ADB=180-56=124.故选B跟踪训练如图，点A，B，C，D均在O上，AB是O的直径，且AB=4，C是的中点，点D关于AB对称的点为E.若DCE=100，则弦CE的长是（）AB2CD1参考答案：专题一 遇中点作辅助线的方法A 解析：连接AD，AE，OD，OC，OE，过点O作OHCE于点H，如图所示.因为DCE=100，所以DAE=80.因为点D关于AB对称的点为E，所以BAD=BAE=40.所以BOD=BOE=80.因为C是的中点，所以BOC=COD=40.所以COE=BOC+BOE=120.因为OE=OC，OHCE，所以EH=CH，OEC=OCE=30.因为AB是O的直径，AB=4，所以OE=OC=2.所以EH=CH=.所以CE=. 第4页
