1、第1章 数理经济学的性质l 数理经济学(mathematical economics)n 指采用数学符号描述经济问题，并运用已有的数学原理进行推理的分析方法及其体系。1.1 数学与经济学1.2 数理经济模型1.3 最优化问题1.1 数学与经济学1.1.1 经济学的数学化1.1.2 数学之于经济学的意义1.1.3 经济学数学化的代价l 1.1.1 经济学的数学化l 20世纪30年代后，经济学开始数学化l 今天，高等数学是从事学术研究的基本技能l 经济学在总体上具备物理学研究的架构1. 借助数学模型，提出理论假说，刻画经济事实2. 概括观察结果，用实际数据(一般指统计数据)检验理论假说的真伪。l
2、数学在经济学中的应用1. 理论研究(theoretical analysis )工具2. 经验研究(empirical analysis)工具1.1.2 数学之于经济学的意义l 建模是经济学家的首要工作l 经济模型集中于探讨经济问题的核心方面l 建模形式 文字描述 物理模型 数学模型l 理论研究采用文字描述、物理模型或运用数学符号，无实质差别l 数学模型更便于演绎推理，并使表述更言简意赅l 数理模型的优势 促使分析者在推理过程中做出明确假设 揭示了直觉判断的局限性，有时能够挖掘出与直觉判断相悖的特例 便于交流1.1.3 经济学数学化的代价l 让经济理论变得狭隘n 经济理论变得更简单，逻辑性更强
3、，数量更多n 对数理模型进行统计检验逐渐成为标准的程序l 一种批评：借助数学推导的理论是不现实的n 理论在本质上是不现实的n “不现实”既适用于数理经济理论，也适用非数理性的经济理论n 关于数理性的经济理论缺乏现实性的批评不是一种有效的批评1.2 数理经济模型1.2.1 超越几何学方法l 使我们能够处理个变量的一般情形。1.2.2 经济模型l 经济模型的构成 n 经济主体:消费者、工人、厂商和政府等。n 经济环境：对经济主体产生影响，但又在主体的可控能力之外n 选择(choices)：反映主体对环境时的判断 决策理性假设。 有时直接表示选择来建模：如消费者效用最大化 有时以选择的结果来建模：如
4、供求模型或一些宏观经济模型n 均衡解(equilibrium solution) 均衡是经济主体的选择及其相互作用的后果 均衡表明，除非经济环境发生变化，否则经济变量不会有变动的趋势 均衡可以表示两类情形 经济主体的最优决策是由经济环境决定 表示经济变量(比如，供求模型中的价格和数量，或者宏观经济模型中的国内生产总值)如何由经济环境决定。n 分析 分析目的是预测经济行为的变化，借助这种预测，经济学家能够回答重要的经济问题l 例子：厂商n 厂商：寻求利润最大化目标的主体n 经济环境 生产技术，投入品的供应单，产出的需求曲线，可能的税收或政府管制等。n 选择 投入品的使用，产出水平，研究与开发支出
5、，广告支出等 均衡反映厂商的决策如何由经济环境决定。n 模型的价值取决于其预测能力 比如，提高工薪税如何影响厂商的劳动与资本组合及其产出水平，或者，技术变化对利润水平的影响。l 经济模型复杂程度的控制方法(1) 简化数学假设 如假定产品需求曲线是线性的。(2) 将特定要素放在经济环境而非选择集中 如假定产品质量由技术决定，而非厂商决定(3) 假定有些问题已经在其他的模型中得以解决 如：将成本刻画为产出的函数，并假定，无论产出水平如何，厂商总是通过调整投入以最小化其成本(4) 包含以上所有方法，按步骤建模。这意味着以非常简单的假定开始建模，然后放松假定，再次求解。1.2.3 数理模型l 建模有其
6、自身的术语和定义l 例：厂商决策n 目标假定：利润最大化 n 经济环境界定u 可供选择的经济环境 是竞争性市场？还是垄断市场？ 是否存在研发投入？是否存在广告投入？ 厂商是否受到政府管制或税收的约束？u 简单假设(a) 完全竞争市场；(b) 生产技术固定(c) 厂商(在模型之外)选择使其成本最小化的劳动资本组合(d) 不存在税收或管制。l 数学表示n 假设(a)意味厂商以价格出售任意数量的产品；n 假设(b)和(c)表明厂商的总成本可视为产出的函数；n 假设(d)意味着可在厂商不受政府影响的情况下建模。l 经济环境的数学表示 l 外生变量(exogenous variables)内生变量(en
7、dogenous variables)n 外生变量：不受经济主体影响或控制，通常指给定参数n 内生变量：依赖主体的选择，由模型决定n 变量是外生或内生，随模型而定，因模型而异l 选择：最优产出(optimal output)，表达为供给函数： l 比较静态分析(comparative statics)：预测环境变化怎样影响该变量n 数学上对参数进行求导： n 多数情形下我们感兴趣于定性结果，即外生变量变动时导数的符号n 只在少数场合中，我们才感兴趣于定量结果1.3 最优化问题1.3.1 符号l 所有向量都为列向量l 内积(inner product)l ,l ,l ,l ,l 为的向量值的函数
8、，即，则的阶Jacobi矩阵 其中是关于的偏导数在点的取值，同时是的第行列元素l ，为实值函数，则：为行向量，或者等价地为矩阵。n 表明实值函数关于列向量的导数为行向量n 称为梯度(gradient)，表示为。l 符号扩展n 设为函数，其中和n 则是由式(1-1)给出的雅可比矩阵n 而则是由同一定义给出的雅可比矩阵。l 设为函数，它在点处的Hessi矩阵其中的二阶偏导数。n Hessi矩阵通常表示为n Hessi矩阵是阶实对称的。1.3.2 参数约束最优化问题l 参数约束最优化问题(parametric constrained optimization problem，PCOP) 是目标函数(
9、objective function) 是选择变量(choice variables) 是可行集(feasible set)，约束着选择变量的活动范围 是能够影响目标函数和选择集的外生参数 例1.1 消费者问题(the consumers problem)l 消费组合(consumption bundle)， l 消费集(consumption set)是所有可行的消费组合的集合，l 消费者问题:在中选择可行的消费组合，获得最大满足。n 消费者的满足表示为连续效用函数n 预算集(budget set)l 消费者问题其中，效用函数是消费者的目标函数，预算集可行集，是选择变量，价格和收入是外生参数
10、。例1.2 竞争性厂商 l 生产计划(production plan) ：净产出(net output)，即产出减去投入。l 生产可能性集(production possibility set)l 净收入函数l 竞争性厂商的行为净收入函数是厂商的目标函数，是选择变量，是可行集，是外生参数。l 最优化问题分析的主要对象n 解集(solution set)如果问题有多个解，则是具有多个元素的集合。n 值函数(value function)例1.3 (间接效用函数) 例1.1 消费者问题的最优解衡量消费者在给定价格和收入时的最佳消费组合。一般将称为商品的需求函数。而这一问题的值函数称为消费者的间接效
11、用函数(indirect utility function)。例1.3 (利润函数) 例1.2 中的竞争性厂商的值函数：称为厂商的利润函数(profit function)。例1.4 (成本函数) n 种投入，一种产出，生产计划n 生产可能性集：l 投入要求集(input requirement set)： ，l 成本最小化厂商n 一种产出，投入价格n 投入组合n 成本最小化问题:l 值函数：称为成本函数(cost function)。l 数理经济模型关注的问题n 解的存在性：，最优化问题是否有解？n 解的连续性：解集和值函数是否随参数连续变动？ n 求解方法：如何求出最优化问题的解？n 比较
12、分析：解集和值函数如何随参数变化？l 最大化问题与最小化问题1.3.3 静态优化问题l 静态优化问题(static optimization problems) (1.3)l 可行集即目标函数的定义域、个约束函数的定义域，以及使个不等式成立的变量的集合之交。l 拟凹规划问题n 拟凹，n 拟凹规划问题(convex programming problems)：目标函数拟凹，约束函数拟凸。1.3.4 动态优化问题n 动态优化问题：不同时点决策的最优化问题n 动态优化模型通常较复杂n 远见型n 随机n 非线性n 动态优化与静态优化方法之间的联系n 动态优化模型同样关注解的存在性、解的性质、求解方法、比较分析等四个方面n 一类形式较简单的动态优化模型可以按照静态优化问题来处理n 拟凹规划问题的解题依据Kuhn-Tucher原理的拓展而成的Lagrange方法，是解决动态优化模型的有力工具。36
