1、第七章第七章点的合成运动点的合成运动 工程实例AA重重物物AA0 xy0 xyA1vv1v1 工程实例 工程实例 工程实例 工程实例 工程实例分析的点或刚体相对于一个定参考系的运动，可称为简单运动。物体相对于不同参考系的运动是不同的。研究物体相对于不同参考系的运动，分析物体相对于不同参考系运动之间的关系，是解决复杂问题必须的。相对于某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动。7-17-1相对运动相对运动牵连运动牵连运动绝对运动绝对运动两个坐标系两个坐标系定坐标系（定系）定坐标系（定系）固定在地球上动坐标系（动系）动坐标系（动系）固定在相对于地球运动的参考体上三
2、种运动三种运动绝对运动绝对运动：动点相对于定系的运动。相对运动相对运动：动点相对于动系的运动。牵连运动牵连运动：动系相对于定系的运动。动点动点 研究对象一点二系三运动一点二系三运动一点一点AA重物重物AA0 xy0 xyA1vv1v1在动参考系上与动点相重合的那一点（牵连点牵连点）的速度和加速度称为动点的牵连速度和牵连加速度。aaa Vrra Veea V绝对运动（absolute）绝对轨迹 绝对速度 绝对加速度aaa V相对运动（relative）相对轨迹 相对速度 相对加速度牵连运动点的运动范畴牵连运动是刚体运动范畴。牵连速度 牵连加速度牵连点实例一：曲柄摇杆机构一点一点?二系二系?三运动
3、三运动?一点一点?二系二系?三运动三运动?实例二：桥式起重机搬运重物绝对运动：直线运动牵连运动：定轴转动相对运动：曲线运动（螺旋运动）动点：车刀刀尖动系：工件实例三：车刀的运动分析实例四：回转仪的运动分析动点：点动系：框架相对运动：圆周运动牵连运动：定轴转动绝对运动：空间曲线运动实例五1、两个刚体相接触时，一个刚体以固定接触点与另一刚体相接触，选固定接触点为动点，另一刚体选固定接触点为动点，另一刚体为动系为动系，这样相对运动轨迹明显。2、两个刚体相接触时，无固定接触点时，选运动中与动系的距离保持不变的点与动系的距离保持不变的点（如圆心）为动点。xx tyy t绝对运动运动方程 xx tyy t
4、相对运动运动方程cossinsincosOOxxxyyyxy动点：M 动系：O x y绝对、相对和牵连运动之间的关系绝对、相对和牵连运动之间的关系由坐标变换关系有例8-1 点M相对于动系 沿半径为r的圆周以速度v作匀速圆周运动(圆心为O1），动系相对于定系以匀角速度绕点O作定轴转动，如图所示。初始时 与重合，点M与O重合。yxOyxOOxyyxOOxy求：点M的绝对运动方程。解:MOx y 动点：动系：点点相对运动方程sincos111MOyMOOOx代入rvt求：点M的绝对运动方程。已知：r，相对速度v，t，00t。rvtryrvtrxsincos1 绝对运动方程trvtrtrvtryxyt
5、rvtrtrvtryxxcossinsincos1cossinsinsincoscos1sincos求：点M的绝对运动方程。已知：r，相对速度v，t，00t。例7-1 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖M沿水平轴x作往复运动，如图所示。设Oxy为定坐标系，刀尖的运动方程为 。工件以等角速度 逆时针转向转动。tbxsin相对运动轨迹相对运动方程解:动点：M动系：工件 Ox y 绝对运动方程tbsinx）（tcos2-12b-ttcos-bsin t-xsint-OMsinytsin22bttcossin txcostOMcosx 4b2byx222）（7-27-2点的速度合成定理点的速度合成定理
6、例：小球在金属丝上的运动定系：Oxyz 动系：O O1 1x x1 1y y1 1z z1 1 动点：M 牵连点M1绝对运动方程1OMrrr11111111kzjyixr111111OMkzjyixrr1 111111OMMkzjyixrrr11相对运动方程牵连运动方程绝对运动方程动点M，从定系上看，动点在动系中的三个坐标 x1、y1、z1 是变量；动系在运动，动系的三个 单位矢量的方向也在不断变化，是变量。111kji、111kji、牵连点M1是动系上一个固定的点，因此它在动系 上的坐标x1、y1、z1是常量，而相对于定 系上，为变量。动点M，从动系上看，x1、y1、z1 是变量，是常量。1
7、11kji、1111111rkdtdzjdtdyidtdxdtrdVdtkdzdtjdydtidxkdtdzjdtdyidtdxdtrddtrddtrddtrdV111111111111O1OMa11dtkdzdtjdydtidxdtrddtrdV111111OMe11 reaVVV相对速度牵连速度绝对速度动点的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。即动点的绝对速度可以由牵连速度与相对速度所构成的平行四边形的对角线来确定。这个平行四边形称为速度平行四边形。速度合成定理为平面矢量式，计算用矢量投影式，可以写出两个分量式，用于求解两个未知量。reaVVV a a以OA上A为动点，动系
8、固定于导杆上BC并随BC一起运动。（4）根据速度平行四边形的几何关系，求出未知量。（1）选取动点，动系和定系。恰当地选择动点、动系是求解合成运动 问题的关键。求解步骤：动点、动系的选取原则A、动点、动系不能同时固连在同一个刚体上。B、动点相对于动系的相对运动轨迹要明显。（2）分析三种运动、三种速度。（3）根据速度合成定理做出速度平行四边形。由已知量做起，绝对速度在平行四边形对角 线方向。例7-2A、B两船分别沿夹角的两条直线航行。A船的速度为V1，B船在A的右侧，且AB的连线始终与速度V1垂直，如图所示。求B的速度及B相对于A的速度。tgVVcosVV1BA1B几何法和解析法。解析法（运动方程
9、）求解，必须知道全全程程的运动规律，而不是瞬时的。例7-3牛头刨床机构如图，O1A200mm，2rad/s。求图示位置时滑枕CD的速度。）（sm0.325VCD两个刚体相接触时，一个刚体以固定接触点与另一刚体相接触，选固定接触点为选固定接触点为动点，另一刚体动点，另一刚体为动系为动系，这样相对运动轨迹明显。例7-3AB以 V1沿垂直于AB的方向向上移动，CD以 V2沿垂直于CD的方向向左上方移动，AB、CD的夹角为。在AB、CD上套一小环，求小环M的速度。sincosV2V-VVV212221a例8-3刨床的急回机构如图所示。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度绕固定轴O转动
10、时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。求：曲柄在水平位置时摇杆的角速度。12、运动分析：绝对运动绕O点的圆周运动；相对运动沿O1B的直线运动；牵连运动绕O1轴定轴转动。sinsinrvvae22211rlrAOve已知:11,:?OAr OOl OA水平。求。?aervvvr大小方向3、解:1、动点：滑块 A动系：摇杆1O B例8-4 如图所示半径为R、偏心距为e的凸轮，以角速度绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求：在图示位置时，杆AB的速度。解：1、动点：AB杆上A 动系：凸轮cot
11、aeevvOAeOA 牵连运动：定轴运动（轴O）相对运动：圆周运动（半径R）2、绝对运动：直线运动（AB）已知：,ABe ACRv。求：。aervvvOA大小?方向 3、求：矿砂相对于传送带B的速度。例8-5 矿砂从传送带A落入到另一传送带B上，如图所示。站在地面上观察矿砂下落的速度为，方向与铅直线成300角。已知传送带B水平传动速度。sm41vsm32v解：1、动点：矿砂M 动系：传送带Barcsin(sin60)46 12ooervv2v 牵连运动：平移（）1v 2、绝对运动：直线运动（）相对运动：未知12aervvvvv大小?方向?3、已知：124m s,3m srvvv。求：。sm6.
12、360cos222eaearvvvvv例8-6圆盘半径为R，以角速度1绕水平轴CD转动，支承CD的框架又以角速度2绕铅直的AB轴转动，如图所示。圆盘垂直于CD，圆心在CD与AB的交点O处。求：当连线OM在水平位置时，圆盘边缘上的点M的绝对速度。解：1、动点：M点 动系：框架 BACD222212aervvvR21arctanarctanervv 牵连运动：定轴转动（AB轴)相对运动：圆周运动（圆心O点）2、绝对运动：未知 已知：12,MROMv水平。求：。21aervvvRR大小?方向?3、6-5 6-5 以矢量表示角速度和角加速度以矢量表示角速度和角加速度以矢积表示点的速度和加速度以矢积表示
13、点的速度和加速度一、角速度矢量和角加速度矢量一、角速度矢量和角加速度矢量角速度矢量ddt大小作用线 沿轴线滑动矢量指向右手螺旋规则k角加速度矢量ddddkkttaa二、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度二、绕定轴转动刚体上点的速度和加速度ddddvarttddddrrttrvasinrRvvr大小方向 右手法则速度加速度aaaaRsinrrn2oaRsin90VVaarnaV方向：右手定则方向：右手定则1OAkrr1dtkddtrddtrd1OA1A1AArVdtrd111O1OOrVdtrddtkdrr1O1A1111OA1O1A11kr-rrrdtkd11）（idtid111 jdtjd11
14、1三、动系坐标轴单位矢量对时间的一阶导数三、动系坐标轴单位矢量对时间的一阶导数定系：Oxyz 动系：O O1 1x x1 1y y1 1z z1 1 动点：M 牵连点M1绝对运动方程1OMrrr11111111kzjyixr111111OMkzjyixrr1 111111OMMkzjyixrrr11相对运动方程牵连运动方程绝对运动方程7-7-点的加速度合成定理点的加速度合成定理2121212121211111111212121212122O21111111111112O22M2adtkdzdtjdydtidx dtkddtdzdtjddtdydtiddtdx2kdtzdjdtydidtxddt
15、rddtkdzdtjdydtidxkdtdzjdtdyidtdxdtddtrddtrda11）（）（121212121212212rkdtzdjdtydidtxddtrda2121212121212O22M2edtkdzdtjdydtidxdtrddtrda11）（dtkddtdzdtjddtdydtiddtdx2aaa111111reacreaaaaa点的加速度合成定理：动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。V2 kdtdzjdtdyidtdx2 kdtdzjdtdyidtdx2 dtkddtdzdtjddtdydtiddtdx2are111111
16、111111111111c）（）（）（）（）（牵连运动为任意运动时都成立，它是点的加速度合成定理的普遍形式。方向垂直于 、组成平面，指向按右手法则确定。科氏加速度大小 V2 arec sin V2 arec e Vrac=0 0e（1），动系平动。（2）Vr=0 瞬时。（3）瞬时。1800度时，或 e Vr地球绕地轴转动，地球上的物体相对于地球运动，这些都是牵连运动为转动的合成运动。地球自转角度很小，一般情况下其自转的影响可略去不计；但是在某些情况下，却必须给予考虑。tV-VlimtV-Vlim tV-VV-Vlim tV-VlimdtVdrr10tr1r0trr1r1r0trr0trrr1r
17、V2sinV2Vcrr0tr0tr1r0ta21VtVlim tVlimtV-Vlimcrra21adtVd的方向。，即于垂直的方向趋近时，craOMV0t tV-VlimtV-Vlim tV-VV-Vlim tV-VlimdtVdee20te2e0tee2e2e0tee0teceea21adtVdcr20t20te2e0ta21VtMMlim tOM-MOlimtV-Vlim atV-Vlimce2e0tcrnreneanaaaaaaaa a2anaVae2eneVar2rnrVa sin V2 arec加速度合成定理为矢量式，计算用矢量投影式，可以写出两个分量式，用于求解两个未知量。最复杂
18、的加速度分析情况，共有14个因素，必须知道12个因素时，问题才能求解。科氏加速度是已知的，一般法向加速度是已知的，此时相对运动轨迹明确是就非常重要。rradtVdeeadtVdaaadtVd（4）加速度分析。并根据动系的运动，确定是否有 科氏加速度。指向未知的加速度指向假设，由 加速度合成定理的投影定理求解求出未知量。求加速度、角加速度（1）选取动点，动系和定系。求解步骤：（2）分析三种运动。（3）速度分析。根据速度合成定理做出速度平行 四边形，由几何关系求解。求速度、角速度。注意加速度投影定理与力平衡方程不同。求加速度一般要先进行速度分析。例7-4 滑块B沿水平面按s10t-2t2（路程s以
19、cm计，时间t以s计）向右作直线平动，长为20cm的杆OA绕O轴转动，且始终与B的斜面接触。图示时，t1s，60O，求OA的角速度和角加速度。（顺）（逆）2srad0.133 srad0.173a例7-5 如图平面机构，O1AO2B15cm，O1O2AB，O1A以匀角速度 rad/s绕O1轴转动，半圆板半径r cm，O1、O2在同一水平线上。求在图示位置时CD的速度和加速度。335）（）（2aascm30ascm30V例7-6 圆盘按1.5t2（单位为弧度）绕垂直于盘面的O轴转动。动点M沿半径按r=1+t2（r以cm计，时间t以s计）的规律运动。求t1s，M的速度和加速度。2MMscm580a
20、scm40V例7-8 半径为R的圆盘C以匀角速度绕O轴转动，从而带动AB绕A轴转动。图示瞬时，A、C在同一水平线上，AB与AC及CO与水平夹角均为30o。求该瞬时AB的角速度和角加速度。（顺）（逆）2ABAB0.7432a求：该瞬时AB的速度及加速度。例7-7如图所示凸轮机构中，凸轮以匀角速度绕水平O轴转动，带动直杆AB沿铅直方向上、下运动，且O、A、B 共线。凸轮上与AB的接触点为 ，图示瞬时凸轮上点 曲率半径为A，点 的法线与OA夹角为，OA=l。AAA绝对运动：直线运动（AB）相对运动：曲线运动（凸轮外边缘）牵连运动：定轴转动（O轴）解：1、动点（AB杆上A点）动系：凸轮O2、速度?ae
21、rvvvl大小方向 ,AAABABO A BOAlCAOva已知：常数共线。求：。tantanlvveacoscoslvver3、加速度22?2tnaerrCrAraaaaalvv大小方向 沿 轴投影Cnreaaaaacoscos232cos2cos1Aalla,AAABABO A BOAlCAOva已知：常数共线。求：。例7-3平底顶杆凸轮机构，凸轮为偏心轮，半径为R，偏心距为OCe。当OC与铅垂线夹角为，顶杆的速度为Vo，求此时凸轮的角速度。（逆）esinVo求：气体微团在点C的绝对加速度。例8-7 空气压缩机的工作轮以角速度绕垂直于图面的O轴匀速转动，空气的相对速度 沿弯曲的叶片匀速流动
22、，如图所示。如曲线AB在点C的曲率半径为，通过点C的法线与半径间所夹的角为，CO=r。rv相对运动：曲线运动（AB）牵连运动：定轴转动（O轴）绝对运动：未知,ravCOra 已知：。求：。解：1、动点：气体微团C，动系：Ox y22sin02sin2sinraxrxexCxrrrvaaaavvv 2、加速度22?2?nnaerCerCrraaaaaaar vv大小方向 ,ravCOra 已知：。求：。2222cos2cos2cosrayryeyCyrrrvaaaarvvvr22222242222cosaaxayrrrraaavvvrrv,ravCOra 已知：。求：。例8-8刨床的急回机构如图
23、所示。曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。当曲柄OA以匀角速度绕固定轴O转动时，滑块在摇杆O1B上滑动，并带动杆O1B绕定轴O1摆动。设曲柄长为OA=r，两轴间距离OO1=l。求:摇杆O1B在如图所示位置时的角加速度。解：1、动点：滑块A 动系：O1B杆绝对运动：圆周运动2、速度相对运动：直线运动（沿O1B）牵连运动：定轴转动（绕O1轴）?aervvvr大小方向 11,OAOAr OOl OAa已知：常数水平。求：。22cosrlrlvvar2222211rlrrlvAOvee3、加速度222sinrlrvvae22111?2ntnaeerCraaaaarO Av大小方向 11,OAOAr OO
24、l OAa已知：常数水平。求：。212costneCaxraaavr22222213222222221)terl lrarl lrO Alrlrlra（ntaxeCaaa沿轴投影x11,OAOAr OOl OAa已知：常数水平。求：。例8-9如图所示平面机构中，曲柄OA=r，以匀角速度O 转动。套筒A沿BC杆滑动。已知：BC=DE，且BD=CE=l。求：图示位置时，杆BD的角速度和角加速度。解：1、动点：滑块A 动系：BC杆绝对运动：圆周运动（O点）相对运动：直线运动（BC）牵连运动：平移2、速度?aerOvvvr大小方向 reaOvvvreOBDvrBDl,OAOBDBDOAr BCDE B
25、DCEla已知：常数。求：。3、加速度22?tnaeerOBDaaaarl大小方向 沿y轴投影30sin30cos30sinneteaaaa2sin303()cos303naetOeaar lral223()3teOBDar lrBDla,OAOBDBDOAr BCDE BDCEla已知：常数。求：。例8-11 圆盘半径R=50mm，以匀角速度1绕水平轴CD转动。同时框架和CD轴一起以匀角速度2绕通过圆盘中心O的铅直轴AB转动，如图所示。如1=5rad/s,2=3rad/s。求：圆盘上1和2两点的绝对加速度。解：1、动点：圆盘上点1（或2）动系：框架CAD绝对运动：未知相对运动：圆周运动（O点
26、）牵连运动：定轴转动（AB轴）2、速度（略）3、加速度12125rad s,3rad s,50mm,Ra a已知：。求：。22212?2aerCraaaaRRv大小方向22222121953mm saeCaaaR2smm1700reaaaa点1的牵连加速度与相对加速度在同一直线上，于是得点的牵连加速度0ea 相对加速度大小为2211250mm sraR科氏加速度大小为22sin901500mm sCe rav各方向如图，于是得arc tan5012Craa12125rad s,3rad s,50mm,Ra a已知：。求：。与铅垂方向夹角例8-2 用车刀切削工件的直径端面，车刀刀尖M沿水平轴x作往复运动，如图所示。设Oxy为定坐标系，刀尖的运动方程为 。工件以等角速度 逆时针转向转动。tbxsin求：车刀在工件圆端面上切出的痕迹。相对运动轨迹42222bbyx)2cos1(2sinsin2tbtbtOMyttbx,sin已知：求:0,yxf相对运动方程解:动点：M动系：工件 Ox y cossincossin22bxOMtbttt
