1、|数列极限概念|收敛数列的性质|数列极限存在的条件 1使学生初步掌握数列极限这一重要概念使学生初步掌握数列极限这一重要概念 的内涵与外延；的内涵与外延；2使学生学会用定义证明极限的基本方法使学生学会用定义证明极限的基本方法3通过知识学习，加深对数学的抽象性特通过知识学习，加深对数学的抽象性特 点的认识；体验数学概念形成的抽象化思点的认识；体验数学概念形成的抽象化思 维方法；体验数学维方法；体验数学“符号化符号化”的意义及的意义及“数数 形结合形结合”方法；方法；4了解我国古代数学家关于极限思想的论了解我国古代数学家关于极限思想的论 述，增强爱国主义观念。述，增强爱国主义观念。第二章数列极限第二
2、章数列极限教学目标教学目标：我我们已经有了函数的概念，但如果我们只停留在函数概念本身去们已经有了函数的概念，但如果我们只停留在函数概念本身去研究运动，即如果仅仅把运动看成物体在某一时刻在某一地方，那我研究运动，即如果仅仅把运动看成物体在某一时刻在某一地方，那我们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的目的，我们就们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的目的，我们就事实上还没事实上还没有脱离初等数学的领域，只有我们用动态的观点揭示出函数有脱离初等数学的领域，只有我们用动态的观点揭示出函数 yf(x)所确定的两个变量之间的变化关系时，我们才算真正开始进入高等数所确定的两个变量之间的变化关系时，我们才算真
3、正开始进入高等数学的研究领域。极限是进入高等数学的钥匙和工具。我们从最简单的学的研究领域。极限是进入高等数学的钥匙和工具。我们从最简单的也是最基本的数列极限开始研究。也是最基本的数列极限开始研究。1.1.数列极限的概念数列极限的概念 课题引入课题引入 1预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。v数列 如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列 x1,x2,x3,xn,这一序列叫做数列,记为xn,其中第n项xn叫做数列的一般项.数列举例:2,4,8,2n,;21,41,81,n21,;1,-1,1,(-1)n
4、1,.21,32,43,1nn;x1 x5 x4 x3 x2 xn 数列xn可以看作数轴上的一个动点,它依次取数轴上的点x1,x2,x3,xn,.数列的几何意义v数列 如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列 x1,x2,x3,xn,这一序列叫做数列,记为xn,其中第n项xn叫做数列的一般项.数列xn可以看作自变量为正整数n的函数 xn=f(n),nN.数列与函数v数列 如果按照某一法则,对每一nN,对应着一个确定的实数xn,则得到一个序列 x1,x2,x3,xn,这一序列叫做数列,记为xn,其中第n项xn叫做数列的一般项.2数列极限来自实践，它有丰富的实际背景。
5、我们的祖先很早就对数数列极限来自实践，它有丰富的实际背景。我们的祖先很早就对数列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念列进行了研究，早在战国时期就有了极限的概念 例例 1 战国时代哲学家庄周所著的战国时代哲学家庄周所著的庄子。庄子。天下篇天下篇引用过一句话：引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，一尺之棰，日取其半，万世不竭万世不竭。”也就是说一根一尺也就是说一根一尺 长的木棒，每长的木棒，每天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行天截去一半，这样的过程可以一直无限制的进行下去。将每天截后的木棒排成一下去。将每天截后的木棒排成一 列列,如图所示如图所示,其长度组成的数列为其长度组成的数列为 n
6、21,截丈问题：截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211=X第一天截下的杖长为第一天截下的杖长为;212122=X为为第二天截下的杖长总和第二天截下的杖长总和;2121212nnXn =天截下的杖长总和为天截下的杖长总和为第第nnX211-=1024681000.20.40.60.81分析分析：1、n21随随 n增大而增大而减减 小，且无限接近于常数小，且无限接近于常数0；2数数轴轴上描点，将其上描点，将其 形象形象 表示表示：1 0 1/2 1/4 -1 1 81 8EBanan+1AD例例 2 2 三国时期，我国科学家三国时期，我国科学家刘徽刘徽 就提
7、出了就提出了“割圆求周割圆求周”的思想的思想:用用直径为直径为1 的圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长的圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长,再平分各弧再平分各弧量出内接正十二边形的周长，这样无限制的分割下去，量出内接正十二边形的周长，这样无限制的分割下去，就得到一个就得到一个(内内接多边形接多边形的周长组成的）的周长组成的）数列数列.R正六边形的面积正六边形的面积1A正十二边形的面积正十二边形的面积2A正正 形的面积形的面积126-nnA,321nAAAAS那么这一串圆的内接正多边形与该圆有什么关系呢？那么这一串圆的内接正多边形与该圆有什么关系呢？刘徽说刘徽说:“:“割之弥细割之弥
8、细,所失弥少所失弥少,割之又割割之又割,以至于不可割以至于不可割,则与则与圆合体而无所失矣圆合体而无所失矣.”.”很明显很明显,当圆的内接正多边形的边数成倍无限当圆的内接正多边形的边数成倍无限增加时增加时,这一串圆的内接正多边形将无限地趋近该圆周这一串圆的内接正多边形将无限地趋近该圆周.从内接正多从内接正多边形的面积来说边形的面积来说,当边数当边数n无限增大时无限增大时,这一串圆的内接正多边形的这一串圆的内接正多边形的面积数列将渐趋稳定于某个数面积数列将渐趋稳定于某个数a.换句话说换句话说,“,“割之弥细割之弥细”,用圆的内用圆的内接正多边形的面积近似代替圆的面积接正多边形的面积近似代替圆的面
9、积,而圆的面积而圆的面积“所失弥少所失弥少”,当当“割之又割割之又割,以至于不可割以至于不可割,”,”这一串圆的内接正多边形的极限位置这一串圆的内接正多边形的极限位置“则与圆合体则与圆合体”.此时此时,这一串圆的内接正多边形的面积数列稳定于这一串圆的内接正多边形的面积数列稳定于某个数某个数a,a就应该是该圆的面积就应该是该圆的面积.只有在无限的过程中只有在无限的过程中,才能真正做到才能真正做到“无所失矣无所失矣”.圆是曲边形圆是曲边形,它的内接正多边形是直边形它的内接正多边形是直边形,二者有本质的区别二者有本质的区别.但是这个区别又不是绝对的但是这个区别又不是绝对的,在一定条件下在一定条件下,
10、圆的内接正多边形圆的内接正多边形的面积能够转化成该圆面积的面积能够转化成该圆面积.这个条件就是这个条件就是“当圆的内接正多边当圆的内接正多边形的边数形的边数无限无限增加时增加时”,注意其中注意其中“无限无限”二字。因此在无限过二字。因此在无限过程中程中,直边形才能转化为曲边形直边形才能转化为曲边形,即在无限的过程中即在无限的过程中,由直边形的由直边形的面积数列面积数列 Pn 得到了曲边形的面积得到了曲边形的面积,如果仅停留在有限过程或如果仅停留在有限过程或没完没了的变化下去没完没了的变化下去,人们永远也认识不了圆的面积人们永远也认识不了圆的面积,但是飞跃但是飞跃式的思维方法式的思维方法,不仅使
11、人们看到数列不仅使人们看到数列 Pn 的变化是没完没了的变化是没完没了,永永无终结的无终结的.同时它又使人们看到了无限变化过程中飞跃式的同时它又使人们看到了无限变化过程中飞跃式的“终终结结”,从而人们也就认识了圆的面积。这就是极限的思想和方法从而人们也就认识了圆的面积。这就是极限的思想和方法在计算圆的面积上的应用。在计算圆的面积上的应用。根据以上的分析，圆的面积可以这样定义：若圆根据以上的分析，圆的面积可以这样定义：若圆的内接正多边形的面积数列的内接正多边形的面积数列 Pn 稳定于某个数稳定于某个数a（当（当n无限增大时），则称无限增大时），则称a是该圆的面积。是该圆的面积。一般地一般地,若数
12、列若数列xn,当当n无限增大时无限增大时,稳定于某个常稳定于某个常数数a,称数列称数列xn收敛收敛,a为数列为数列xn的极限的极限.当当n无限增大时无限增大时,如果数列如果数列xn的一般项的一般项xn无限接近无限接近于常数于常数a,则常数则常数a称为数列称为数列xn的极限的极限,或称数列或称数列xn收敛收敛a,记为记为axnn=lim.v数列极限的通俗定义 下面我们对数列极限定义作几点说明：下面我们对数列极限定义作几点说明：(1)(1)将上述将上述实例实例一般化可得一般化可得：我们在以前的学习生活中我们在以前的学习生活中,很少遇到无限的数学模型很少遇到无限的数学模型,也也很少无限变化过程的实践
13、很少无限变化过程的实践.可是在数列极限的定义中可是在数列极限的定义中,恰巧有恰巧有两个两个“无限无限”:一个是一个是“自然数自然数n无限无限增大增大”;另一个是另一个是“xn无无限限趋近于趋近于a”.而这两个而这两个“无限无限”又是数列极限定义的核心又是数列极限定义的核心.从字面来说从字面来说,这两个这两个“无限无限”似乎并不难理解似乎并不难理解,但要追究其实但要追究其实质又觉得茫然质又觉得茫然.我们通过一些实例我们通过一些实例,逐步对无限有个全面正确逐步对无限有个全面正确的认识的认识,这是深刻理解数列极限定义的前提这是深刻理解数列极限定义的前提.,.nnxanxaa对于数列若存在某常数 当
14、无限增大时能无限接近常数则称该数列为收敛数列 为它的极限.)1(11时的变化趋势时的变化趋势当当观察数列观察数列 -nnn思考 1 1、第几项后面的所有项与、第几项后面的所有项与1 1的差的绝对值小于的差的绝对值小于0.01?0.01?2 2、第几项后面的所有项与、第几项后面的所有项与1 1的差的绝对值小于的差的绝对值小于0.0010.001？3 3、第几项后面的所有项与、第几项后面的所有项与1 1的差的绝对值小于的差的绝对值小于0.00010.0001？4 4、第几项后面的所有项与、第几项后面的所有项与1 1的差的绝对值小于任意小的正的差的绝对值小于任意小的正数数?,1001给定给定,100
15、11 n由由,100时时只要只要 n,10011 -nx有有,10001给定给定,1000时时只要只要 n,100011 -nx有有,100001给定给定,10000时时只要只要 n,1000011 -nx有有,0 给定给定,)1(时时只要只要=Nn.1成立成立有有 -nx 这就是这就是“当当n无限增大时，无限增大时，xn无限地接近于无限地接近于1”的实的实质和精确的数学描述。质和精确的数学描述。=-1nxnnn11)1(1=-当n无限增大时,xn无限接近于a.当n无限增大时,|xn-a|无限接近于0.当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度以后,|xn-a
16、|能小于事先给定的任意小的正数.分析 因此,如果 n 增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限接近于常数a.当n无限增大时,如果数列xn的一般项xn无限接近于常数a,则数列xn收敛a.a为它的极限.(2)(2)将将“n无限增大无限增大 时时”，数学，数学“符号化符号化”为为“存在存在 N，当，当nN时时”将将“xn 无限接近无限接近 a”，数学，数学“符号化符号化”为为”“任给任给 0 0，|axn-|(3 3)“抽象化抽象化”得得“数列数列极限极限”的的 定义定义 定义定义：设设nx 是一个数列是一个数列，a 是一个确定的常数是一个确定的常数,
17、若若对对任给的正数任给的正数，总存在某一正整数总存在某一正整数 N，使得当使得当nN时时，都有都有 a|xn-|则称数列则称数列 nx 收敛收敛于于a，a为它的为它的极限极限。记作记作axnn=lim(或 xna,n)若数列若数列 nx没有没有极限极限，则则称该数列称该数列为为发散数列发散数列。数列极限定义的数列极限定义的“符号化符号化”记法记法：axnn=lim 0,NN,当nN时,有|xn-a|.注注(i)此定义习惯上称为极限的此定义习惯上称为极限的N定义，它用两个动定义，它用两个动态指标态指标和和N刻画了极限的实质，用刻画了极限的实质，用|xna|定定量地刻画了量地刻画了xn与与a之间的
18、距离任意小之间的距离任意小,即任给即任给0 0标标志着志着“要多小要多小”的要求，用的要求，用nN表示表示n充分大。这充分大。这个定义有三个要素：个定义有三个要素：1 10 0，正数，正数，2 20 0，正数，正数N，3 30 0，不等式不等式|xna|（n N）axnn=lim 0,NN,当nN时,有|xn-a|.(ii)定义中的定义中的具有二重性：一是具有二重性：一是的的任意性任意性，二，二是是的的相对固定性相对固定性。的二重性体现了的二重性体现了xn 逼近逼近a时时要经历一个无限的过程（这个无限过程通过要经历一个无限的过程（这个无限过程通过的任的任意性来实现），但这个无限过程又要一步步地
19、实现，意性来实现），但这个无限过程又要一步步地实现，而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通而且每一步的变化都是有限的（这个有限的变化通过过的相对固定性来实现）。的相对固定性来实现）。axnn=lim 0,NN,当nN时,有|xn-a|.(iii)定义中的定义中的N是一个特定的项数，与给定的是一个特定的项数，与给定的有关。有关。重要的是它的重要的是它的存在性存在性，它是在，它是在相对固定后才能确定相对固定后才能确定的，且由的，且由|xna|来选定，一般说来，来选定，一般说来，越小，越小，N越大，越大，但须注意，对于一个固定的但须注意，对于一个固定的，合乎定义要求的，合乎定义要求的N不是不是
20、唯一唯一的。用定义验证的。用定义验证xn 以以a 为极限时，关键在于设法为极限时，关键在于设法由给定的由给定的，求出一个相应的，求出一个相应的N，使当，使当n N时，不等式时，不等式|xna|成立。成立。axnn=lim 0,NN,当nN时,有|xn-a|.(iv)定义中的不等式定义中的不等式|xna|（n N）是指下面）是指下面一串不等式一串不等式 -|1axN -|2axN -|3axN都成立，都成立，而对而对 -|1ax -|axN则不要求它们一定成立则不要求它们一定成立(v)数列极限的几何意义数列极限的几何意义都落在都落在a点的点的邻域邻域内内),(-aa因而在这个邻域之外至多能有数列
21、中的有限个点因而在这个邻域之外至多能有数列中的有限个点x-a aa 22 Nx1x2x1 Nx3x 这就表明数列这就表明数列xn所对应的点列除了前面有限个点外所对应的点列除了前面有限个点外都能凝聚在点都能凝聚在点a的任意小邻域内，同时也表明数列的任意小邻域内，同时也表明数列xn中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定中的项到一定程度时变化就很微小，呈现出一种稳定的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的的状态，这种稳定的状态就是人们所称谓的“收敛收敛”。注意：注意：数列极限的定义未给出求极限的方法数列极限的定义未给出求极限的方法.,321 NNNxxx,0N 使得使得 N 项以后的所有项项以
22、后的所有项以下几种叙述与极限以下几种叙述与极限 的定义是否等价的定义是否等价?并并说明理由说明理由.axnn=lim 0,NN,当nN时,有|xn-a|.limnnxa=(1)0,;nNNnNxa-当时 有1(2),;kknkNNNnNxak-当时 有(3)0,(),();nNNnNxa-有无限多个对每个存在任给有(4)0,;nnxxa-有无限多个使(5)0,(,)naaax-的 邻域都含有的无限多项.axnn=lim 0,NN,当nN时,有|xn-a|.()lim?nnvixa如何用肯定的语句叙述000000,nNnnNxa-尽管但0000,()0,aRaNnnN=尽管()?nviix如何用
23、肯定的语句叙述数列发散00nxa-但:学习极限要注意的几个问题1).正确认识无限2).掌握辩证的方法3).学会用数学语言描述无限,0,.,nnnnaaaaaaaa-我们知道 无限不能脱离有限而存在 没有有限也就没有无限.因此,定量地描述无限,必须借助一系列无限多个定数来完成.例如,定量地描述无限趋近于必须借助一系列无限多个(每个都是定数)任意小的总有的数学语言正是因为正数 具有任意性 所以不等式才描述了趋近于 无限性.,.nnaaaa-从整个过程来说,正数 是任意的变化的,但是从过程的每个瞬间来说,正数 又是固定的有限的正数的这种两重性 再结合不等式就把无限地趋近于描述的既准确又简明,数学中有
24、些概念就其数学意义并不难理解 甚至是显而易见的,但是将这些概念用数学语言描述出来,反倒不容易为初学者所理解.极限定义就是如此.,nxa数列的极限是 的定义 是这样的四句话:0,NN,nN当时.nxa-有这是完整的,前后有密切联系的四句话,如果改变前后顺序,或改变某段话的说法,意义就变了.,0,.nNNnNxa-例如把定义改为:当时 有,nnxaxa-=因为 是任意的正数,所以不等式,.nNNnNxa=意义是当时 有lim.nnxa=当然有,naxa反之 以 为极限的数列自然不必从某项起以后的项都是1.n数列就是如此nxa表明这是数列以 为极限的充分条件,而不是必要条件.,0,.nNNnNxa-
25、再例如若改为:当时 有,nnxax-不难看出因为 是正常数 所以不等式表明数列有界,.有界只是数列收敛的必要条件 而非充分条件分析:例1例 1.证明1)1(lim1=-nnnn.证明|xn-1|=-nnnn1|1)1(|1,所以1)1(lim1=-nnnn.证证明明 因为 0,证证明明 因为 0,1=NN,当 nN 时,有 N,当 nN 时,有 axnn=lim 0,NN,当nN时,有|xn-a|.对于0,要使|xn-1|,只要|xn-1|=nnnn1|1)1(|1=-.0,要使|xn-1|,只要n1,即1n.三、用极限定义证明极限的例题三、用极限定义证明极限的例题 例例2 2 证明证明要使要
26、使（为简化（为简化,限定限定)只要只要证证取取,当当nN时时,有有由定义由定义223lim3.4nnn=-222312344nnn-=-12n3n 分析分析:12n0,12max,3N=222312344nnn-=-12n223lim3.4nnn=-例例3 3 证明证明(k为正实数为正实数）由于由于,当当nN时时,便有便有分析分析:110,-=kknn令11.kn则有1lim0knn=证：证：110kknn-=0,11kN=10.kn-1lim0knn=取例例4 4 证证明明 nnq lim=0=0，这这里里 1|11q 证证 若若 q=0=0 ,结结果果显显然成立然成立 若若0 0q 1 1
27、，令，令 q=hh(11 0 0)由于由于 (贝努利不等式贝努利不等式)nnnhqq)1(1=nhnh111 所以，所以，0 0，取取N=Nnh 当当,1，有，有 0-nq11 1 注：注：1 1特特别别地当地当q=21时时，此即，此即为为上述上述实实例中的例中的0)2(lim=nn 贝贝努利不等式努利不等式 nhhn 1)1(1分析:例4 设|q|1,证明等比数列 1,q,q2,qn-1,的极限是0.对于 0,要使|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1log|q|1就可以了.所以0lim1=-nnq.|qn-1-0|=|q|n-1,当nN时,有因为 0,证明 N=log|q|1N,由上
28、面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤:;nxa-第一 化简:,;nnMxaxan-第二 适当放大通常放大成的形式0,)nn(为放大方便 有时要限定:.MNn第三 解,求出需要的在证明极限时在证明极限时，n，N之间的逻辑关系如下图所示之间的逻辑关系如下图所示|xna|n N5例lim1,0nnaa=证明其中证1,.a=当时 结论显然成立1.a 当11,nnaa-=-令1,na即1lnln(1)anlnln(1)anln0,1.ln(1)naNnNa=-取当时101,(1)aabb=当时 令1111111nnnnbabb-=-=1nb-()i()
29、ii()iii(),.ii由知 结论亦成立1,lim1nnaa=即当时0246800.511.522.5a1/n1+a/n可以看出，可以看出，且有且有 naan 1 即即 naan-|1|随着随着n的无限增大的无限增大，na无限的接近无限的接近1 1，1lim=nna.因为 0,例6 例 2.证明0)1()1(lim2=-nnn.分析:|xn-0|=-11)1(1|0)1()1(|22nnnn,所以0)1()1(lim2=-nnn.证明 axnn=lim 0,NN,当nN时,有|xn-a|.|xn-0|0)1()1(|2-=nn11)1(12=nn.对于 0,要使|xn-0|,只要 0,要使|
30、xn-0|,只要11n,即11-n.0,11-=NN,当 nN 时,有 N,当 nN 时,有 aa-a()v数列极限的几何意义存在 NN,当nN时,点an全都落在邻域(a-,a)内任意给定a的邻域(a-,a),axnn=lim 0,NN,当nN时,有|xn-a|.数列极限的一个等价定义0,(;).nnU aaaa定义1 任给若在之外数列中的项至多只有有限个,则称数列收敛于极限00,(;).nnaU aaa0由定义1 可知,若存在某个使得数列中有无穷多个项落在之外,则一定不以 为极限7例2(1).nn-证明和都是发散数列证,aR对任何01,=取201()(;),nnaU a则数列中所有满足的项有
31、无穷多个 显然都落在之外2,na故不以任何数为极限2.n即为发散数列(1),n-至于数列011,a=当时取0(;)(1);nU a-则在之外有中的所有奇数项0111,2aa=-当时取0(;)(1)nU a-则在之外有中的所有偶数项.(1).na-所以不以任何数 为极限(1).n-即为发散数列8例limlim,:nnnnnxyaz=设作数列如下1122:,.nnnzx y xyxylimnnza=证明证limlim,nnnnxya=因0,(;),nnxyU a故对任给数列和中落在之外的项至多只有有限个(;)nzU a所以中落在之外的项也至多只有有限个.lim.nnza=由定义1 可知9例,:,.
32、nnnnnababa设为给定数列为对增加,减少或改变有限项之后得到的数列.证明 数列与同时收敛或发散 且在收敛时两者的极限相等证,lim.nnnaaa=设为收敛数列 且0,(;).naU a按定义1,故对任给数列中落在之外的项至多只有有限个 nnba而数列为对增加,减少或改变有限项之后得到的,nnba故从某一项开始,中的每一项都是中确定的一项,(;)nbU a所以中落在之外的项也至多只有有限个.lim.nnba=这就证明了,nnab现设发散.倘若收敛 nnab则因可看成对增加,减少或改变有限项之后得到的数列,na故由刚才的所证,收敛,矛盾.nnab所以当发散时,也发散.此例是数列极限的又一性质
33、.在所有收敛数列中，有一类重要的极限，称在所有收敛数列中，有一类重要的极限，称为无穷小数列，定义如下：为无穷小数列，定义如下：lim0.,nnnaa=定义2 若则为无穷小数列称.:nnaaaa-定理2.1 数列收敛于 的充要条件是 为无穷小数列四、四、小结：小结：本节课重点在于本节课重点在于“数列极限的概念数列极限的概念”，而，而“用极限定义证明极限用极限定义证明极限”的的也是为了巩固极限概念。为此，同学们要注意：也是为了巩固极限概念。为此，同学们要注意：1极限概念的极限概念的“-N”叙述要熟练掌握，并注意理解叙述要熟练掌握，并注意理解，N的双重性的双重性。2用极限定义证明极限时，关键是由任给
34、的用极限定义证明极限时，关键是由任给的0通过反解不等式通过反解不等式an-a求求N，其中的若干技巧在于化简不等式。特别注意不等式的其中的若干技巧在于化简不等式。特别注意不等式的“放大放大”要适度要适度；即要尽即要尽可能化简，又不要过度，可能化简，又不要过度，N的表达式一定仅依赖于的表达式一定仅依赖于，当然当然N是否是自是否是自然数，倒是无关紧要的。然数，倒是无关紧要的。3同学们在学习这部分知识的同时要反复体验其中渗透着的重要数学思维同学们在学习这部分知识的同时要反复体验其中渗透着的重要数学思维方法，如：抽象化法，数形结合法，符号化法等，这对于大家体验数学的本方法，如：抽象化法，数形结合法，符号
35、化法等，这对于大家体验数学的本着特点及培养数学思维能力是十分有益的。关于这一点希望同学们在课下复着特点及培养数学思维能力是十分有益的。关于这一点希望同学们在课下复习时反复体会一下，并结合以前学过的知识中的类似方法对照思考。习时反复体会一下，并结合以前学过的知识中的类似方法对照思考。例题学习例题学习 作业：p27：2（1）、（2），3（2）、（3）、（4），4率”，后人总称“祖率”。祖冲之 的密率 要比欧洲最早得出这个近似值德人鄂图早 1100 余年。对于圆周率p的估计，我国古代数学家过出了很大贡献。我国最早的算书周髀算经（公元700 年）已经谈到“圆径一而周三”，即3p，三国时候（263），三国时期，我国科学家 刘徽就提出了“割圆求周”的思想，直径为1 的圆周分成六等份，量得圆内接正六边形的周长，再平分各弧量出内接正十二边形的周长，这样分割下去，算出了14.3p（称徽率）。南北朝时代的祖冲之（429-500）在缀术一书中求得 p在1415926.3与1415927.3之间，于是定 14159265.3p叫做圆率正数，133355p叫做“密率”，722p叫做“约
