1、 第 1 页（共 19 页） 2019-2020 学年广东省深圳市罗湖区高三 （上） 期末数学试卷 （文学年广东省深圳市罗湖区高三 （上） 期末数学试卷 （文 科） （科） （A 卷）卷） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上. 1 （5 分）设复数 1 1 zi i ，则| (z ) A 1 2 B 1 4 C2 D 2 2 2 （5 分）设全集UR，集合 2 |28 0Mx xx ，
2、 | 13Nxx ，则( RM N ) A | 12xx B |23xx C | 41xx D |23xx 3 （5 分）中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为：宫、商、角、徵、羽；如果把这五 个音阶全用上，排成一个 5 个音阶的音序在所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个 音序中宫、羽两音阶在角音阶的同侧的概率为( ) A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 2 5 4 （5 分）已知平面向量(2,0)a ，| 2b ，2a b ，则|2 | (ab ) A2 3 B3 2 C2 2 D2 7 5 （5 分）为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异，召集了男女志愿者各 200 名，要 求他
3、们同时完成多个任务，包括解题、读地图、接电话如图表示了志愿者完成任务所需的 时间分布以下结论，对志愿者完成任务所需的时间分布图表理解正确的是( ) 总体看女性处理多任务平均用时更短； 所有女性处理多任务的能力都要优于男性； 男性的时间分布更接近正态分布； 女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数 第 2 页（共 19 页） A B C D 6 （5 分）已知 n S为等差数列 n a的前n项和，若 9 4a ， 15 30S，则 15 (a ) A6 B15 C16 D18 7 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该 多面体的各面中，面
4、积最大的面的面积为( ) A6 B4 2 C2 5 D4 8 （5 分）已知函数( )f x是定义域为R的奇函数，当0x 时， 2 ,01 ( ) ,1 xxx f x lnx x 函 数( )( )g xf xa，若( )g x存在 3 个零点，则a的取值范围是( ) A 1 1 (, ) 4 4 B 1 1 , 2 2 C 1 1 (, ) 2 2 D 1 1 , 4 4 9（5 分） 记不等式 22 (1)(2)4xy表示的平面区域为D 命题:( , )px yD，28xy ； 命题: ( , )qx yD，21xy，下面给出了四个命题 pqpq pqpq 这四个命题中，所有真命题的编号
5、是( ) A B C D 10 （5 分）设函数( )cos(0)f xx，已知( )f x在0, 2 有且仅有 2 个极小值点，则的 第 3 页（共 19 页） 取值范围是( ) A3，5) B6，8) C 3 5 ,) 2 2 D6，10) 11 （5 分） 在ABC中， 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 222 2cosacbacC 且2 sinabA，则(A ) A 4 B 6 C 3 D 2 3 12 （5 分）已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 的左，右焦点分别为 1 F、 2 F，以 12 F F为直径的圆与C 的一条渐近线交于点P， 1221 2PFFPF
6、 F ，则该双曲线的离心率为( ) A2 B3 C2 D3 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）cos1275 14 （5 分）已知( )(1)f xxln x，则曲线( )yf x在点(2，f（2）)处的切线方程是 15 （5 分）已知直线:1(0)l ykxk经过抛物线 2 :2C xpy的焦点F，且l与C交于A、 B两点，l与C的准线交于点E，若EFFB，则p ，k 16（5 分） 已知三棱锥PABC中，3PAPBPC， 当三棱锥PABC体积最大值时， 三棱锥PABC的外接球的体积为 三、 解答题： 共三、
7、解答题： 共 70 分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题，共（一）必考题，共 60 分分. 17 （12 分）如表是我国 2012 年至 2018 年国内生产总值（单位：万亿美元）的数据： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号x 1 2 3 4 5 6 7 国内生产总值y （单位：万亿美元） 8.5 9.6 10.4 1
8、1 11.1 12.1 13.6 （1） 从表中数据可知x和y线性相关性较强， 求出以x为解释变量y为预报变量的线性回归 方程； （2）已知美国 2018 年的国内生产总值约为 20.5 万亿美元，用（1）的结论，求出我国最早 在那个年份才能赶上美国 2018 年的国内生产总值？ 第 4 页（共 19 页） 参考数据： 7 1 76.3 i i y ， 7 1 326.2 ii i y x ， 参 考 公 式 ： 回 归 方 程 yb xa中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 ： 11 222 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii yy
9、xxy xnyx b xxxnx ， a ybx 18 （12 分） 已知等比数列 n a的各项均为正数， n S为等比数列 n a的前n项和， 若 2 2 3 a ， 346 2a aa （1） n St恒成立，求t的最小值； （2）设 n n n b a ，求数列 n b的前n项和 n T 19（12 分） 如图， 在矩形ABCD中，22ABAD，E为边CD的中点， 以EB为折痕把CEB 折起，使点C到达点P的位置，且使平面PEB 平面ABED （1）证明：PB 平面PEA； （2）求点E到平面PAD的距离 20 （12 分）已知函数 1 ( )(1)f xalnx x ，a为常数 （1）
10、讨论函数( )f x的单调区间； （2）若( ) 0f x 恒成立，求实数a的取值范围 21（12 分） 已知圆 22 27 :(3) 2 Mxy的圆心为M， 圆 22 3 :(3) 2 Nxy的圆心为N， 一动圆与圆M内切，与圆N外切 （1）求动圆圆心C的轨迹方程； （2） 过点(2,0)P的直线l与曲线C交于A，B两点， 点Q是直线3x 上任意点， 直线QA， QP，QB的斜率分别为 1 k， 2 k， 3 k，试探求 1 k， 2 k， 3 k的关系，并给出证明 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任
11、选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程 第 5 页（共 19 页） 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线 1 l的参数方程为 2 ( xt t ykt 为参数） ，直线 2 l的参数 方程为 2 ( xm m m y k 为参数） ，设 1 l与 2 l的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线 1 C以 坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为4sin （1）写出 1 C的普通方程； （2）求曲线 1 C和曲线 2 C交点的极坐标 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知0ab，
12、函数 2 1 ( ) | () f xxxa b ab （1）若1b ，2a ，求函数( )f x的最小值； （2）证明：( ) 4f x 第 6 页（共 19 页） 2019-2020 学年广东省深圳市罗湖区高三 （上） 期末数学试卷 （文学年广东省深圳市罗湖区高三 （上） 期末数学试卷 （文 科） （科） （A 卷）卷） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分分.在每小题给出的四个选项中，只有一在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，请将答案涂在答题卡上项是符合题目要求的，请将答案
13、涂在答题卡上. 1 （5 分）设复数 1 1 zi i ，则| (z ) A 1 2 B 1 4 C2 D 2 2 【解答】解： 1111 1(1)(1)22 i ziii iii 则 2 | 2 z 故选：D 2 （5 分）设全集UR，集合 2 |28 0Mx xx ， | 13Nxx ，则( RM N ) A | 12xx B |23xx C | 41xx D |23xx 【解答】解：全集UR，集合 2 |28 0 | 42Mx xxxx剟?， | 13Nxx ， 则|4 RM xx 或2x ， 所以 |23 RM Nxx 故选：B 3 （5 分）中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为：宫
14、、商、角、徵、羽；如果把这五 个音阶全用上，排成一个 5 个音阶的音序在所有的这些音序中随机抽出一个音序，则这个 音序中宫、羽两音阶在角音阶的同侧的概率为( ) A 1 2 B 1 3 C 2 3 D 2 5 【解答】解：中国古代的五音，一般指五声音阶，依次为：宫、商、角、徵、羽， 如果把这五个音阶全用上，排成一个 5 个音阶的音序 在所有的这些音序中随机抽出一个音序，基本事件总数 5 5 120nA， 要使得音序中宫、羽两音阶在角音阶的同侧， 先考虑音序中宫、羽两音阶在角音阶的左侧，且宫、羽两音阶间也有顺序， 第 7 页（共 19 页） 则通过除序法得到 5 25 2 3 3 40 A A
15、A ， 这个音序中宫、羽两音阶在角音阶的同侧包含的基本事件个数为 5 25 2 3 3 280 A mA A ， 则这个音序中宫、羽两音阶在角音阶的同侧的概率为 802 1203 m p n 故选：C 4 （5 分）已知平面向量(2,0)a ，| 2b ，2a b ，则|2 | (ab ) A2 3 B3 2 C2 2 D2 7 【解答】解：平面向量(2,0)a ，| 2b ，2a b ， | 2a； 22222 |2 |4424 24 212abaa bb ； |2 | 2 3ab； 故选：A 5 （5 分）为了研究不同性别在处理多任务时的表现差异，召集了男女志愿者各 200 名，要 求他们
16、同时完成多个任务，包括解题、读地图、接电话如图表示了志愿者完成任务所需的 时间分布以下结论，对志愿者完成任务所需的时间分布图表理解正确的是( ) 总体看女性处理多任务平均用时更短； 所有女性处理多任务的能力都要优于男性； 男性的时间分布更接近正态分布； 女性处理多任务的用时为正数，男性处理多任务的用时为负数 A B C D 第 8 页（共 19 页） 【解答】解：女性处理多任务平均用时集中在23分钟，男性的集中在34.5分钟，即 正确； 从图中可以看到男性与女性处理任务所需的时间有交叉， 所以并不是 “所有女性都优于男 性” ，即错误； 根据正态分布的性质可知正确； 女性和男性处理多任务的用时
17、均为正数，即错误 故选：C 6 （5 分）已知 n S为等差数列 n a的前n项和，若 9 4a ， 15 30S，则 15 (a ) A6 B15 C16 D18 【解答】解：因为 9 4a ， 15 30S， 1 1 84 1510530 ad ad ， 解可得，2d ， 1 12a ， 则 151 14122816aad 故选：C 7 （5 分）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该 多面体的各面中，面积最大的面的面积为( ) A6 B4 2 C2 5 D4 【解答】解：由三视图可得在长方体中，多面体为三棱锥，如图所示：且4BD ，2AC ， 2CD ，
18、 则可得2 5BC ，2 62 2ABAD， 11 2 5 22 5 22 ABC SBC AC ， 11 4 24 22 BCD SDB CD ， 11 2 21 22 ACD SAC CD ， 11 4 2 24 2 22 ABD SBD AD ， 第 9 页（共 19 页） 由以上可得，三角形ABD 的面积最大， 故选：B 8 （5 分）已知函数( )f x是定义域为R的奇函数，当0x 时， 2 ,01 ( ) ,1 xxx f x lnx x 函 数( )( )g xf xa，若( )g x存在 3 个零点，则a的取值范围是( ) A 1 1 (, ) 4 4 B 1 1 , 2 2
19、C 1 1 (, ) 2 2 D 1 1 , 4 4 【解答】解：根据函数( )f x为奇函数，则可得 2 2 ,01 ,1 ( ) , 10 (),1 xxx lnx x f x xxx lnx x ， 作出函数的图象如图： 根据图象可知，要想函数( )f x图象与直线ya有 3 个交点，则 1 ( 4 a ， 1 ) 4 ， 故选：A 9（5 分） 记不等式 22 (1)(2)4xy表示的平面区域为D 命题:( , )px yD，28xy ； 第 10 页（共 19 页） 命题: ( , )qx yD，21xy，下面给出了四个命题 pqpq pqpq 这四个命题中，所有真命题的编号是( )
20、 A B C D 【解答】解：不等式 22 (1)(2)4xy表示的平面区域为D 该区域为以(1,2)为圆心，2 为半径的圆及其内部， 令2zxy，(2)yxz 当直线2yxz 与圆 22 (1)(2)4xy相切时， 所以 22 |2 12| 2 21 z ， 解得42 51 min z ，42 58 max z， 所以命题p，q均为假命题 所以pq为假命题，pq 为真命题，pq为假命题，pq 为真命题 故选：B 10 （5 分）设函数( )cos(0)f xx，已知( )f x在0, 2 有且仅有 2 个极小值点，则的 取值范围是( ) A3，5) B6，8) C 3 5 ,) 2 2 D6
21、，10) 【解答】解：函数( )cos(0)f xx，已知( )f x在0, 2 有且仅有 2 个极小值点， 35 2 ，610， 故选：D 11 （5 分） 在ABC中， 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 222 2cosacbacC 且2 sinabA，则(A ) A 4 B 6 C 3 D 2 3 【解答】 解： 在ABC中， 内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 222 2cosacbacC， 则： 2222 2cos2cosacacacBacC， 整理得：2cos2cosacBacC，所以coscosCB， 则：BC 由于2 sinabA，所以sin2sinsin
22、ABA， 第 11 页（共 19 页） 所以 1 sin 2 B 故： 5 66 B 或 当 6 B 时， 6 C ，所以 2 3 A 当 5 6 B 时，与三角形内角和定理矛盾 故： 2 3 A 故选：D 12 （5 分）已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 的左，右焦点分别为 1 F、 2 F，以 12 F F为直径的圆与C 的一条渐近线交于点P， 1221 2PFFPF F ，则该双曲线的离心率为( ) A2 B3 C2 D3 【解答】解：以 12 F F为直径的圆与C的一条渐近线交于点P，如图所示：可得 12 PFPF， 又 1221 2PFFPF F ，可得 21 30PF
23、F， 112 1 2 PFFFc， 2 3PFc， 由于双曲线的对称性设P在x轴的上方，由题意可得以 12 F F为直径的圆的方程为： 222 xyc； 由题意可得直线OP的方程为： b yx a 代入圆 222 xyc中可得， 2 22 2 (1) b xc a ，又 222 abc， 解得xa ，yb，即(, )Pa b， 属于 22 1 ()PFcab， 22 2 ()PFcab， 所以可得 2222 3()()cabcab，又 222 bca，整理可得2ca， 第 12 页（共 19 页） 所以离心率2 c e a ， 故选：A 二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小
24、题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13 （5 分）cos1275 26 4 【解答】解：cos1275cos(3 360195 )cos195cos15 ， cos(4530 )cos45 cos30sin45 sin30 ， 232126 22224 故答案为： 26 4 14 （5 分）已知( )(1)f xxln x，则曲线( )yf x在点(2，f（2）)处的切线方程是 24yx 【解答】解：( )(1)f xxln x的导数为( )(1) 1 x fxln x x ， 可得曲线( )yf x在点(2，f（2）)处的切线的斜率为122kln， 切点为(2,0)，则切线的方程为
25、02(2)yx， 即为24yx 故答案为：24yx 15 （5 分）已知直线:1(0)l ykxk经过抛物线 2 :2C xpy的焦点F，且l与C交于A、 B两点，l与C的准线交于点E，若EFFB，则p 2 ，k 【解答】解：抛物线 2 :2C xpy的焦点F为(0,) 2 p ， 直线:1(0)l ykxk恒过点(0,1)， 由题意可得1 2 p ，即2p ， 抛物线的方程为 2 4xy，焦点(0,1)F，准线方程为1y ， l与C的准线交于点E，可得 2 (E k ，1)， 若EFFB，可得F为EB的中点，即有 2 0 B x k ，21 B y ， 可得 2 (B k ，3)，代入 2
26、4xy，可得 2 4 12 k ， 解得 3 3 k （负值舍去） 第 13 页（共 19 页） 故答案为：2， 3 3 16（5 分） 已知三棱锥PABC中，3PAPBPC， 当三棱锥PABC体积最大值时， 三棱锥PABC的外接球的体积为 9 2 【解答】解：3PAPBPC，当PA，PB，PC两两相互垂直时三棱锥PABC体积 最大值，放在正方体中， 如图所示，可得棱长为3的正方体， 由外接球的直径2R是正方体的对角线可得，233R ，解得 3 2 R ； 所以外接球的体积为 3 49 32 VR 胡答案为： 9 2 三、 解答题： 共三、 解答题： 共 70 分， 解答应写出文字说明、 证明
27、过程或演算步骤分， 解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.第第 1721 题为必考题，题为必考题， 每个试题考生都必须作答每个试题考生都必须作答.第第 22、23 为选考题，考生根据要求作答为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题，共（一）必考题，共 60 分分. 17 （12 分）如表是我国 2012 年至 2018 年国内生产总值（单位：万亿美元）的数据： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号x 1 2 3 4 5 6 7 国内生产总值y （单位：万亿美元） 8.5 9.6 10.4 11 11.1 12.1 13.6 （1） 从表中数据
28、可知x和y线性相关性较强， 求出以x为解释变量y为预报变量的线性回归 方程； （2）已知美国 2018 年的国内生产总值约为 20.5 万亿美元，用（1）的结论，求出我国最早 在那个年份才能赶上美国 2018 年的国内生产总值？ 第 14 页（共 19 页） 参考数据： 7 1 76.3 i i y ， 7 1 326.2 ii i y x ， 参 考 公 式 ： 回 归 方 程 yb xa中 斜 率 和 截 距 的 最 小 二 乘 估 计 公 式 分 别 为 ： 11 222 11 ()() () nn iiii ii nn ii ii yyxxy xnyx b xxxnx ， a ybx
29、【解答】解： （1） 1234567 4 7 x ， 7 1 1 76.310.9 7 i i yy ， 7 1 7 2 1 ()() 21 0.75 28 () ii i i i xxyy b xx ，10.90.7547.9a 回归方程为0.757.9yx （2）由（1）可知0.757.9 20.5yx， 解得16.8x，即要在第 17 个年份才能超过 20.5 万亿 用线性回归分析我国最早也要在 2028 年才能赶上美国 2018 年的国内生产总值 18 （12 分） 已知等比数列 n a的各项均为正数， n S为等比数列 n a的前n项和， 若 2 2 3 a ， 346 2a aa
30、（1） n St恒成立，求t的最小值； （2）设 n n n b a ，求数列 n b的前n项和 n T 【解答】解： （1） 34166 2a aa aa 所以 1 2a ， 又 2 2 3 a ，所以 1 3 q ， 所以 1 2(1( ) ) 1 3 3(1( ) )3 1 3 1 3 n n n S ，所以t的最小值是 3 （2）由（1）可知 1 2 3 n n a ，所以 1 3 2 n n n b ， 故 011 1 32 33 222 n n n T 121 1 32 3(1) 33 3 2222 nn n nn T 得： 011 1 3333 2 2222 nn n n T ，
31、 第 15 页（共 19 页） 化简 (21)31 8 n n n T （形式可以不唯一） 19（12 分） 如图， 在矩形ABCD中，22ABAD，E为边CD的中点， 以EB为折痕把CEB 折起，使点C到达点P的位置，且使平面PEB 平面ABED （1）证明：PB 平面PEA； （2）求点E到平面PAD的距离 【解答】 （1）证明：由题意2AEBE，又2AB ， 222 AEBEAB，则AEBE， 又平面PEB平面ABEDEB，且平面PEB 平面ABED，AE 平面PEB， 故AEPB， 又PBPE，且AEPEE，PB平面PEA； （2）过点P在平面PEB内向EB引垂线，垂足为O，连接DO、
32、AO， 又O为EB的中点， 2 2 PO， 10 2 DOAO， 由平面PEB 平面ABED，可得POABED， POOA，POOD， 故 22 210 ()()3 22 PDPA， 设F为AD的中点，连接FP，在等腰三角形PAD中， 22 111 3 42 PFPAAF， 设点E到平面PAD的距离为h， 由 E PADP ADE VV ，得 11 | 33 PADADE h SPO S ， 则 1111 | 3232 hADPFPOADDE， 解得 22 11 h 第 16 页（共 19 页） 20 （12 分）已知函数 1 ( )(1)f xalnx x ，a为常数 （1）讨论函数( )f
33、 x的单调区间； （2）若( ) 0f x 恒成立，求实数a的取值范围 【解答】解： （1）由题意0x ， 22 1 ( ) axa fx xxx ， 当0a时，( )0fx，函数( )f x在区间(0,)上单调递增， 当0a 时，在区间(0, )a上( )0fx，区间( ,)a 上( )0fx， 故当0a 时，在区间(0, )a上函数单调递减，区间( ,)a 上函( )f x单调递增 （2）由（1）可知 当0a时，函数( )f x在区间(0,)上单调递增， 又f（1）0，故当01x时，( )0f x 与题设矛盾， 当0a 时，在区间(0, )a上函数( )f x单调递减，区间( ,)a 上函
34、数( )f x单调递增， 所以函数( )f xf（a）10alna 即可， 设( )1g xxlnx ，0x ， 在区间(0,1)上( )0g x，区间(1,)上( )0g x， 故在区间(0,1)上函数( )g x单调递增，区间(1,)上函数( )g x单调递减， 所以( )g xg（1）0， 综上，当1a 时，f（a）10alna ，所以1a 时，( ) 0f x 恒成立 21（12 分） 已知圆 22 27 :(3) 2 Mxy的圆心为M， 圆 22 3 :(3) 2 Nxy的圆心为N， 一动圆与圆M内切，与圆N外切 （1）求动圆圆心C的轨迹方程； （2） 过点(2,0)P的直线l与曲线
35、C交于A，B两点， 点Q是直线3x 上任意点， 直线QA， QP，QB的斜率分别为 1 k， 2 k， 3 k，试探求 1 k， 2 k， 3 k的关系，并给出证明 【解答】解： （1）设动圆C的半径为r，则 3 6 | 2 CMr， 6 | 2 CNr 第 17 页（共 19 页） 两式相加得| 2 6 |CMCNMN，由椭圆定义知，点C 的轨迹是以M、N为焦点， 焦距为2 3，长轴长为2 6 的椭圆， 动圆圆心C的轨迹方程为 22 1 63 xy ； （2）设 1 (A x， 1) y， 2 (B x， 2) y，(3, )Qt， 若l斜率为 0，则(6A ，0)，( 6B，0)， 得 1
36、 36 t k ， 3 36 t k ， 2 32 t kt ，所以 132 2kkk， 故猜想 1 k， 2 k， 3 k 成等差数列， 设直线l的方程设为2xmy， 由 22 2 1 63 xmy xy ，消去y得 22 (2)420mymy， 则有 12 2 4 2 m yy m ， 12 2 2 2 y y m ， 1 1 1 3 ty k x ， 2 3 2 3 ty k x ， 2 32 t kt ， 1212 13 121212 11 ()() 333333 tytyyy kkt xxxxxx ， 又 11 2xmy， 22 2xmy，所以 11 31xmy ， 22 31xmy
37、 ， 2 2 12 222 12121212 22 4 2 2()1111 2 2 4233111() 1 22 m m yy m mmxxmymym yym y y mm ， 22 1212 2 12121212 44 22 0 33111() mm yyyy mm xxmymym yym y y ， 132 22kktk， 故 1 k， 2 k， 3 k 成等差数列 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分分.请考生在第请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第 一题计分一题计分.选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参
38、数方程 22 （10 分）在直角坐标系xOy中，直线 1 l的参数方程为 2 ( xt t ykt 为参数） ，直线 2 l的参数 第 18 页（共 19 页） 方程为 2 ( xm m m y k 为参数） ，设 1 l与 2 l的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线 1 C以 坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为4sin （1）写出 1 C的普通方程； （2）求曲线 1 C和曲线 2 C交点的极坐标 【解答】解： （1）直线 1 l的参数方程为 2 ( xt t ykt 为参数） ，消去参数t可得普通方程： (2)ykx 直线 2 l的参数方程为 2 (
39、 xm m m y k 为参数） ，消去参数m可得普通方程： 1 (2)yx k 联立(2)ykx， 1 (2)yx k 消去参数k，可得： 22 4(0)xyy即为P的轨迹曲线 1 C （2）由（1）可得曲线 1 C的极坐标方程为：2(0, ) 由 4sin 2 ，解得 1 sin 2 ， 6 ，或 5 6 曲线 1 C和曲线 2 C交点的极坐标为(2,) 6 ，或 5 (2,) 6 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23已知0ab，函数 2 1 ( ) | () f xxxa b ab （1）若1b ，2a ，求函数( )f x的最小值； （2）证明：( ) 4f x 【解答】 （
40、1）解：由题意，当1b ，2a 时， 23,1 ( ) |1|4|5, 14 23,4 xx f xxxx xx 函数( )f x图象如下： 结合图象，可知函数( )f x的最小值为 5 （2） 证明： 由题意， 222 111 ( ) |()()| | ()()() f xxxaxxaa b abb abb ab 0ab， 2 0a， 1 0 ()b ab 2 1 ( ) () f xa b ab 第 19 页（共 19 页） () 2()ababb ab，当且仅当bab，即2ab时，等号成立 2 () 4 a b ab，即 2 14 ()b aba 222 22 144 ( )24 () f xaaa b abaa 厖?，当且仅当 2 2 4 a a ，即2a 时，等号成立 ( ) 4f x，当且仅当2a ， 2 2 b 时，等号成立
