1、扫描隧道显微镜（扫描隧道显微镜（STMSTM）12.1 分子运动的基本概念分子运动的基本概念分子运动的基本观点分子运动的基本观点1.宏观物体由大量粒子（分子、原子等）组成，分子之间存在宏观物体由大量粒子（分子、原子等）组成，分子之间存在 一定的空隙一定的空隙2.分子在永不停息地作无序热运动分子在永不停息地作无序热运动(1)气体、液体、固体的扩散气体、液体、固体的扩散水和墨水的混合水和墨水的混合 相互压紧的金属板相互压紧的金属板例如：例如：(1)1cm3的空气中包含有的空气中包含有2.71019 个分子个分子(2)水和酒精的混合水和酒精的混合例如：例如：(2)布朗运动布朗运动NO2OABC3.分
2、子间存在相互作用力分子间存在相互作用力 假定分子间的相互作用力有球对称性时，分子间的相互作假定分子间的相互作用力有球对称性时，分子间的相互作用用(分子力分子力)可近似地表示为可近似地表示为(布朗运动布朗运动)(tsrrfts 、式中式中r 表示两个分子中心的距离，表示两个分子中心的距离，、s、t 都是正数，其都是正数，其值由实验确定。值由实验确定。0r斥力斥力引力引力r(分子力与分子间距离的关系分子力与分子间距离的关系)strr10)(0f0rr 0rr 分子力表现为斥力分子力表现为斥力 分子力表现为引力分子力表现为引力 由分子力与分子距离的关系，有由分子力与分子距离的关系，有m10100r(
3、平衡位置平衡位置)一切宏观物体都是由一切宏观物体都是由大量分子大量分子组成的，分子都在组成的，分子都在永不停息地永不停息地作无序热运动，分子之间有作无序热运动，分子之间有相互作用相互作用的分子力。的分子力。结论结论12.2 气体分子的热运动气体分子的热运动气体分子运动的规律气体分子运动的规律1.气体分子热运动可以看作是在惯性支配下的自由运动气体分子热运动可以看作是在惯性支配下的自由运动(1)由于气体分子间距离很大，而分子力的作用范围又很小，由于气体分子间距离很大，而分子力的作用范围又很小，除分子与分子、分子与器壁相互碰撞的瞬间外，气体分除分子与分子、分子与器壁相互碰撞的瞬间外，气体分 子间相互
4、作用的分子力是极其微小的子间相互作用的分子力是极其微小的。(2)由于气体分子质量一般很小，因此重力对其作用一般可由于气体分子质量一般很小，因此重力对其作用一般可 以忽略以忽略。2.气体分子间的相互碰撞是非常频繁的气体分子间的相互碰撞是非常频繁的 一秒内一个分子和其它分子一秒内一个分子和其它分子大约大约要碰撞几十亿次要碰撞几十亿次(10109 9次次/秒秒)3.气体分子热运动服从统计规律气体分子热运动服从统计规律 统计的方法统计的方法物理量物理量M 的统计平均值的统计平均值 NMNMNMBBAANMNMNMBBAAN)(lim状态状态A出现的概率出现的概率)(limNNWANA归一化条件归一化条
5、件 1iiWNi 是是M 的测量值为的测量值为 Mi 的次数，实验总次数为的次数，实验总次数为N BANNN例如例如平衡态下气体分子速度分量的平衡态下气体分子速度分量的统计统计平均值平均值为为NNNNNNNNiixiiixixxxvvvvv212211NNNNNNNNiiyiiiyiyyyvvvvv212211NNNNNNNNiiziiizizzzvvvvv212211气体处于气体处于平衡状态平衡状态时，气体分子沿各个方向运动的概率时，气体分子沿各个方向运动的概率相等，故有相等，故有 0zyxvvvNNiii22vv222zyxvvv222zyxvvv222231vvvvzyx由于气体处于由于
6、气体处于平衡状态平衡状态时，气体分子沿各个方向运动的概时，气体分子沿各个方向运动的概率相等，故有率相等，故有 NNNNNNiziiiyiiixii222vvv又如又如平衡态下气体分子速度分量平方的统计平均值为平衡态下气体分子速度分量平方的统计平均值为 12.3 统计规律的特征统计规律的特征伽耳顿板实验伽耳顿板实验 若无小钉：若无小钉：必然事件必然事件若有小钉：若有小钉：偶然事件偶然事件一个小球落在哪里有偶然性一个小球落在哪里有偶然性实验现象实验现象少量小球的分布每次不同少量小球的分布每次不同大量小球的分布近似相同大量小球的分布近似相同(1)统计规律是统计规律是大量大量偶然事件的偶然事件的总体总
7、体所遵从的规律所遵从的规律 (2)统计规律和统计规律和涨落涨落现象是分不开的。现象是分不开的。结论结论12.4 理想气体的压强理想气体的压强公式公式一一.理想气体的微观模型理想气体的微观模型(1)不考虑分子的内部结构并不考虑分子的内部结构并忽略其大小忽略其大小(2)分子力的作用距离很短，可以认为气体分子之间除了分子力的作用距离很短，可以认为气体分子之间除了 碰撞的一瞬间外，其相互作用力可忽略不计。碰撞的一瞬间外，其相互作用力可忽略不计。(3)碰撞为完全弹性碰撞为完全弹性 理想气体分子理想气体分子好像是一个个没有大小并且除碰撞瞬间外没好像是一个个没有大小并且除碰撞瞬间外没有相互作用的弹性球。有相
8、互作用的弹性球。二二.平衡态气体分子的统计性假设平衡态气体分子的统计性假设1.每个分子的运动速度各不相同，且通过碰撞不断发生变化每个分子的运动速度各不相同，且通过碰撞不断发生变化2.分子按位置的均匀分布分子按位置的均匀分布（重力不计）（重力不计）在忽略重力情况下，分子在各处出现的概率相同在忽略重力情况下，分子在各处出现的概率相同,容器内容器内各处的分子数密度相同各处的分子数密度相同 VNVNn3.分子速度按方向的分布均匀分子速度按方向的分布均匀 由于碰撞由于碰撞,分子向各方向运动的概率相同，所以分子向各方向运动的概率相同，所以 222231vvvvzyx0zyxvvv三三.理想气体的压强公式理
9、想气体的压强公式气体的压强是由大量分子在和器壁碰撞中不断给器壁以力气体的压强是由大量分子在和器壁碰撞中不断给器壁以力的作用所引起的。的作用所引起的。例例:雨点对伞的持续作用雨点对伞的持续作用1.从气体分子运动看气体压强的形成从气体分子运动看气体压强的形成2.理想气体的压强公式理想气体的压强公式设体积为设体积为V 的容器的容器,内贮分子总数为内贮分子总数为 N，分子质量分子质量 为为，分子，分子数密度数密度 n 的平衡态理的平衡态理想气体想气体速度为速度为 的分子的分子数为数为 ,分子数密分子数密度为度为 ivtidvivnAd 在在dt 时间内，速度为时间内，速度为 vi 的分子与的分子与 面
10、元面元dA 碰撞的分子数为碰撞的分子数为 zyixvAtVNixiddv)0(ixvyzxOiN in在在dt 时间内，与面元时间内，与面元dA 碰撞的所有分子所受的冲量碰撞的所有分子所受的冲量dI 为为iixiixiAtVNAtVNixdddd2202vvv22xiixinNNVNvv 由压强定义得由压强定义得tAIpddd)31(2v n n32 nn32(1)压强压强 p 是一个统计平均量。它反映的是是一个统计平均量。它反映的是宏观量宏观量 p 和微和微 观量观量 的关系的关系。对大量分子，压强才有意义。对大量分子，压强才有意义。说明说明(2)压强公式无法用实验直接验证压强公式无法用实验
11、直接验证一容积为一容积为 V=1.0m3 的容器内装有的容器内装有 N1=1.01024 个个 氧分子氧分子N2=3.01024 个个氮分子的混合气体，氮分子的混合气体，混合气体的压强混合气体的压强 p=2.58104 Pa 。(1)由压强公式由压强公式,有有np23 例例求求(1)分子的平均平动动能；分子的平均平动动能；(2)混合气体的温度混合气体的温度解解VNNp)(2321J1068.921(2)由理想气体的状态方程得由理想气体的状态方程得kVNNpnkpT21K467一一.分布的概念分布的概念气体系统是由大量分子组成，气体系统是由大量分子组成，而各分子的速率通过碰撞而各分子的速率通过碰
12、撞不断地改变，不断地改变，不可能逐个加以描述不可能逐个加以描述,只能给出分子数按只能给出分子数按速率的分布。速率的分布。问题的提出问题的提出分布的概念分布的概念例如学生人数按年龄的分布例如学生人数按年龄的分布 年龄年龄 15 16 17 18 19 20 2122 人数按年龄人数按年龄 的分布的分布 2000 3000 4000 1000 人数比率按人数比率按 年龄的分布年龄的分布 20%30%40%10%12.5 麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律 速率速率v1 v2 v2 v3 vi vi+v 分子数按速率分子数按速率 的分布的分布 N1 N2 Ni 分子数比率分子数比率按速率的分布
13、按速率的分布N1/N N2/N Ni/N 例如气体分子按速率的分布例如气体分子按速率的分布 Ni 就是就是分子数按速率的分布分子数按速率的分布二二.速率分布函数速率分布函数 f(v)设某系统处于平衡态下，设某系统处于平衡态下，总分子数为总分子数为 N ，则在则在vv+dv 区区间内分子数的比率为间内分子数的比率为NNd)(vfvdvvdd)(NNff(v)称为称为速率分布函数速率分布函数意义：意义：分布在速率分布在速率v 附近单位速率间隔内的分子数与总附近单位速率间隔内的分子数与总分子数的比率。分子数的比率。三三.气体速率分布的实验测定气体速率分布的实验测定1.实验装置实验装置2.测量原理测量
14、原理(1)能通过细槽到达检测器能通过细槽到达检测器 D 的分子所满足的条件的分子所满足的条件LvvL通过改变角速度通过改变角速度的大小，的大小，选择速率选择速率v (3)通过细槽的宽度，选择不同的速率区间通过细槽的宽度，选择不同的速率区间vv2L(4)沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率沉积在检测器上相应的金属层厚度必定正比相应速率 下的分子数下的分子数 四四.麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律理想气体在理想气体在平衡态平衡态下分子的速率分布函数下分子的速率分布函数kTekTf2/22/32)2(4)(vvv (麦克斯韦速率分布函数麦克斯韦速率分布函数)式中式中为分子质量，为分
15、子质量，T 为气体热力学温度，为气体热力学温度，k 为玻耳兹曼常量为玻耳兹曼常量k=1.3810-23 J/K1.麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律说明说明(1)从统计的概念来看讲速率从统计的概念来看讲速率恰好恰好等于某一值的分子数多少，等于某一值的分子数多少，是没有意义的。是没有意义的。(2)麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律对处于平衡态下的混合气体的对处于平衡态下的混合气体的各各 组分组分分别适用。分别适用。(3)在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率在通常情况下实际气体分子的速率分布和麦克斯韦速率 分布能分布能很好的符合很好的符合。vvvvvd)2(4d)(d2/2
16、2/32kTekTfNN 理想气体在理想气体在平衡态平衡态下，气体中分子速率在下，气体中分子速率在vv+dv 区间区间内的分子数与总分子数的比率为内的分子数与总分子数的比率为这一规律称为这一规律称为麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律2.麦克斯韦速率分布曲线麦克斯韦速率分布曲线f(v)vOv(速率分布曲线速率分布曲线)由图可见，气体中由图可见，气体中速率很小、速率很速率很小、速率很大的分子数都很少。大的分子数都很少。NNdvv d)(f在在dv 间隔内间隔内,曲线下曲线下的面积表示速率分布的面积表示速率分布在在vv+dv 中的中的分子分子数与总分子数的比率数与总分子数的比率vdv 在在v1
17、v2 区间内区间内,曲线下的面积表示速率分布在曲线下的面积表示速率分布在v1v2 之间之间的的分子数与总分子数的比率分子数与总分子数的比率NNf21d)(vvvvv1v2TvOT(速率分布曲线速率分布曲线)曲线下面的总面积，曲线下面的总面积，等于分布在整个速等于分布在整个速率范围内所有各个率范围内所有各个速率间隔中的分子速率间隔中的分子数与总分子数的比数与总分子数的比率的总和率的总和 01d)(vvf最概然速率最概然速率v p f(v)出现极大值时出现极大值时,所对应的速率称为最概然速率所对应的速率称为最概然速率 pv(归一化条件归一化条件)f(v)不同气体不同气体,不同温度下的不同温度下的速
18、率分布曲线的关系速率分布曲线的关系 一定一定,T 越大越大,这时曲线向右移动这时曲线向右移动 T 一定一定,越大越大,这时曲线向左移动这时曲线向左移动v p 越大越大,v p 越小越小,T1f(v)vOT2(T1)1pv2pv1f(v)vO2(1)1pv2pv由于曲线下的面积不变由于曲线下的面积不变,由此可见由此可见五五.分子速率的三种统计平均值分子速率的三种统计平均值 1.平均速率平均速率MRTkT59.18 0d)(1dNNfNNNvvvvJ/K1038.1106.0228.3123230NRk0d)(Nf vvv式中式中M 为气体的摩尔质量，为气体的摩尔质量，R 为摩尔气体常量为摩尔气体
19、常量 21d)(vvvvvf思考：思考：是否表示在是否表示在v1 v2 区间内的平均速率区间内的平均速率？MRTkT73.132v3.最概然速率最概然速率 2.方均根速率方均根速率kTf3)d(022vvvv0d(dpvvvv)fMRTMRTkTp41.122vT(1)一般三种速率一般三种速率用途用途各各 不相同不相同 讨论分子的讨论分子的碰撞次数碰撞次数用用说明说明v讨论分子的讨论分子的平均平动动平均平动动能能用用2v讨论讨论速率分布速率分布一般用一般用pvpvv2vpvvv2f(v)vO(2)同一种气体分子的三种速率的大小关系同一种气体分子的三种速率的大小关系:氦气的速率分布曲线如图所示氦
20、气的速率分布曲线如图所示.解解例例求求(2)氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率氢气在该温度时的最概然速率和方均根速率1000He2Hm/s10001023RT3H10)(2RTpvm/s1041.13MRT3)(2H2vm/s1073.13MRT2pv)(vf)m/s(vO(1)试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况，试在图上画出同温度下氢气的速率分布曲线的大致情况，(2)0va有有N 个粒子，其速率分布函数为个粒子，其速率分布函数为00000202)(0vvvvvvvvvvafa(1)作速率分布曲线并求常数作速率分布曲线并求常数 a(2)速率大于速率大于v0 和速率小于和速率小
21、于v0 的粒子数的粒子数解解例例求求)(vf02v032va12100aavv(1)由归一化条件得由归一化条件得1dd000200vvvvvvvaavO(2)因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分因为速率分布曲线下的面积代表一定速率区间内的分 与总分子数的比率，所以与总分子数的比率，所以323200vv因此，因此，vv0 的分子数为的分子数为(2N/3)同理同理 vv0 的分子数为的分子数为(N/3)a0vNN0vv NN32的分子数与总分子数的比率为的分子数与总分子数的比率为根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值根据麦克斯韦速率分布律，试求速率倒数的平均值 。)1(v根据平均值
22、的定义，速率倒数的平均值为根据平均值的定义，速率倒数的平均值为 0d)(1)1(vvvvfvvvd)2(4022/32kTekT)2(d)()2(42022/32vvkTekTkTkTv4482kTkT 解解例例根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率根据麦克斯韦速率分布率，试证明速率在最概然速率vpvp+v 区间内的分子数与温度区间内的分子数与温度 成反比成反比(设设v 很小很小)T22/2/32)2(4)(vvvkTekTf2/3224vvvvpep114)(efppvv将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中，有将最概然速率代入麦克斯韦速率分布定律中，有例例证证vvv124)(ekT
23、NNfNpTN1金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容器中的金属导体中的电子，在金属内部作无规则运动，与容器中的气体分子很类似。设金属中共有气体分子很类似。设金属中共有N 个电子，其中电子的最大个电子，其中电子的最大速率为速率为vm，设电子速率在，设电子速率在vv+dv 之间的几率为之间的几率为式中式中A 为常数为常数vv d2ANNdmvv 0mvv 0解解例例求求 该电子气的平均速率该电子气的平均速率NNm)d(0vvvmAvvv03d44mAv因为仅在因为仅在（0，vm）区间分布有电子，所以区间分布有电子，所以五五.气体分子按平动动能的分布规律气体分子按平动动能的分布规律vvvkTekTNN2/22/32)2(4 麦克斯韦速率分布定律麦克斯韦速率分布定律221vvv kTekTfNN/2123)2(24)(上式表明理想气体在平衡态下，分子动能在上式表明理想气体在平衡态下，分子动能在 +区间内的分子数与总分子数的比率。区间内的分子数与总分子数的比率。意义：意义：代入上式得代入上式得思考思考最概然平动动能是否最概然平动动能是否等于等于最概然速率所对应的平最概然速率所对应的平动动能动动能?两边微分两边微分
