1、2020 届高三数学（理）“小题速练”3 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 13. 14. 15. 16. 一、单选题 1已知集合|10Ax x x， |lnBx yxa，若ABA，则实数a的 取值范围为（ ） A,0 B,0 C1, D1, 2已知 AB 是抛物线 2 2yx的一条焦点弦，4AB ，则 AB 中点 C 的横坐标是 ( ) A2 B 3 2 C 1 2 D 5 2 3如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成 角的余弦值为（ ） A 3 3 B 5 5 C 30 6 D 6 6 5设 ， .若对任意实数 x 都
2、有 ，则满足条件的有序 实数对（a,b）的对数为（ ）. A1 B2 C3 D4 6 已知F是双曲线 22 :1 45 xy C-=的一个焦点， 点P在C上，O为坐标原点， 若 =OPOF， 则OPF的面积为（ ） A 3 2 B 5 2 C 7 2 D 9 2 7 已知等差数列 n a的公差不为零， 其前n项和为 n S， 若 3 S， 9 S， 27 S成等比数列， 则 9 3 S S （） A3 B6 C9 D12 8在ABC中，点P满足3BPPC uuvuuu v，过点 P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点 M、N，若AM AB ，0,0ANAC uuu ruuu r ，则的最小值
3、为（ ） A 2 1 2 B 3 1 2 C 3 2 D 5 2 9如图，点 P 在正方体 1111 ABCDABC D的面对角线 1 BC上运动，则下列四个结论： 三棱锥 1 AD PC的体积不变； 1 / /AP平面 1 ACD； 1 DPBC； 平面 1 PDB 平面 1 ACD 其中正确的结论的个数是( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 10过三点(1,3)A， (4,2)B，(1, 7)C的圆截直线20xay所得弦长的最小值等于 （ ） A2 3 B4 3 C13 D2 13 11 如图， 三棱柱 111 ABCA B C的高为6， 点D， E分别在线段 11 A C， 1
4、 B C上， 111 A C3DC， 11 B C4BE.点 A， D， E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分， 若底面ABC 的面积为 6，则较大部分的体积为( ) A22 B23 C26 D27 12设 2 2 D22 x xaeaa ,其中2.71828e，则D的最小值为( ) A 2 B3 C 21 D 31 二、填空题 13已知函数 2 log,0 42 ,0 x x x f x x ，则 1 8 ff _. 14已知 1 F， 2 F分别为椭圆 22 :1 259 xy C的左、右焦点，且点 A 是椭圆 C 上一点，点 M 的坐标为(2,0)，若AM为 12 F AF
5、的角平分线，则 2 AF _. 15如图（1），在等腰直角ABC中，斜边4AB ，D 为AB的中点，将ACD沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥CABD，若三棱锥CABD的外接球的半径为5， 则A DB_. 图（1） 图（2） 16 设定义在 D 上的函数( )yh x在点 00 (, ()P x h x处的切线方程为:( )lyg x， 当 0 xx 时，若 0 ( )( ) 0 h xg x xx 在 D 内恒成立，则称 P 点为函数( )yh x的“类对称中心点”，则函 数 2 2 ( )ln 2 x f xx e 的“类对称中心点”的坐标是_. 2020 届高三数学（理）“小题速练”
6、3（答案解析） 一、单选题 1已知集合|1 0Ax x x，|lnBx yxa，若ABA，则实数a的 取值范围为（ ） A,0 B,0 C1, D1, 【答案】A 【解析】|1001Ax x xx |lnBx yxaxa ABAAB 所以0a 2已知 AB 是抛物线 2 2yx的一条焦点弦，4AB ，则 AB 中点 C 的横坐标是 ( ) A2 B 3 2 C 1 2 D 5 2 【答案】B 【解析】设 1122 A,B,x yx y，C 的横坐标为 0 x，则 12 0 2 x x x ， 因为AB是抛物线 2 2yx的一条焦点弦，所以 1212 14ABxxpxx ， 所以 12 3xx，
7、故 12 0 3 22 x x x . 3如图，圆柱的轴截面ABCD为正方形，E为弧BC的中点，则异面直线AE与BC所成 角的余弦值为（ ） A 3 3 B 5 5 C 30 6 D 6 6 【答案】D 【解析】取BC的中点H，连接,90 ,EH AHEHA 设2,AB 则1,5,BHHEAH所以6,AE 连接,6,ED ED 因为/ /,BCAD所以异面直线AE与BC所成角即为,EAD 在EAD中 6466 cos, 62 26 EAD 故选:D 4已知 、 都为锐角，且 21 7 sin、 21 14 cos，则 （ ） A 3 B 3 C 6 D 6 【答案】C 【解析】因为 、 都为锐
8、角，且 21 7 sin、 21 14 cos， 所以 2 7 cos 7 ， 5 7 sin 14 ， 由 21212 7 5 7491 sinsincoscossin 714714982 ， 且 、 都为锐角， 所以 6 5设 ， .若对任意实数 x 都有 ，则满足条件的有序 实数对（a,b）的对数为（ ）. A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】 ， 又 ， ， 注意到 ，只有这两组故选 B 6 已知F是双曲线 22 :1 45 xy C-=的一个焦点， 点P在C上，O为坐标原点， 若 =OPOF， 则OPF的面积为（ ） A 3 2 B 5 2 C 7 2 D 9 2 【答案】B
9、 【解析】设点 00 ,P x y，则 22 00 1 45 xy 又453OPOF， 22 00 9xy由得 2 0 25 9 y，即 0 5 3 y， 0 1155 3 2232 OPF SOFy 7 已知等差数列 n a的公差不为零， 其前n项和为 n S， 若 3 S， 9 S， 27 S成等比数列， 则 9 3 S S （） A3 B6 C9 D12 【答案】C 【解析】由题意，知 3 S， 9 S， 27 S成等比数列，所以 2 9327 SSS， 即 2 1913127 9()3()27() 222 aaaaaa ， 整理得 2 5214 37821aaa，所以 2 111 (4
10、 )()(13 )adad ad，解得 1 2da， 所以 919135 32 9()3()9 223 Saaaaa Sa 11 11 3(4 )27 9 3 ada ada ， 8在ABC中，点P满足3BPPC uuvuuu v，过点 P的直线与AB、AC所在的直线分别交于点 M、N，若AM AB ，0,0ANAC uuu ruuu r ，则的最小值为（ ） A 2 1 2 B 3 1 2 C 3 2 D 5 2 【答案】B 【解析】如下图所示： 3BPPC uuruuu r Q ，即 3APABACAP uu u ruu u ruuu ruu u r ， 13 44 APABAC uuu
11、ruuu ruuu r ， AMAB uuuruu u r Q ，0,0ANAC uuu ruuu r ， 1 ABAM uu u ruuur ， 1 ACAN uuu ruuu r ， 13 44 APAMAN uu u ruuuruuu r ，M、P、N三点共线，则 13 1 44 . 13333 1211 4444442 ， 当且仅当3时，等号成立，因此，的最小值为 3 1 2 ，故选 B. 9如图，点 P 在正方体 1111 ABCDABC D的面对角线 1 BC上运动，则下列四个结论： 三棱锥 1 AD PC的体积不变； 1 / /AP平面 1 ACD； 1 DPBC； 平面 1 P
12、DB 平面 1 ACD 其中正确的结论的个数是( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】C 【解析】 对于，由题意知 11 / /ADBC，从而 1/ / BC平面 1 ADC， 故 BC 1上任意一点到平面1 ADC的距离均相等， 所以以 P 为顶点，平面 1 ADC为底面，则三棱锥 1 AD PC的体积不变，故正确； 对于，连接 1 AB， 11 AC， 111 / /ACAD且相等，由于知： 11 / /ADBC， 所以 11/ / BAC面 1 ACD，从而由线面平行的定义可得，故正确； 对于，由于DC 平面 11 BCBC，所以 1 DCBC， 若 1 DPBC，则 1
13、 BC 平面 DCP， 1 BCPC，则 P 为中点，与 P 为动点矛盾，故错 误；对于，连接 1 DB，由 1 DBAC且 11 DBAD， 可得 1 DB 面 1 ACD，从而由面面垂直的判定知，故正确 10过三点(1,3)A， (4,2)B，(1, 7)C的圆截直线20xay所得弦长的最小值等于 （ ） A2 3 B4 3 C13 D2 13 【答案】B 【解析】 设圆心坐标 P 为 （a,-2） ， 则 r2 2222 132422aa， 解得 a=1， 所以 P（1，-2）.又直线过定点 Q（-2，0），当直线 PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内 特征三角形可知弦长 22 l=2
14、r -PQ =2 25-13=4 3直线 20xay 被圆截得的弦长为 4 3故选 B 11 如图， 三棱柱 111 ABCA B C的高为6， 点D， E分别在线段 11 A C， 1 B C上， 111 A C3DC， 11 B C4BE.点 A， D， E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分， 若底面ABC 的面积为 6，则较大部分的体积为( ) A22 B23 C26 D27 【答案】B 【解析】如图，延长 AD 与 1 CC的交点为 P，连接 PE 与 11 C B的交点为 N， 延长 PE 交 1 B B为 M，与面 ABC 交于点 Q，得到截面为 DNMA， 111 A
15、 C3DC， 11 B C4B E， M，N 分别为 11 C B， 1 B B的中点， 下部分体积 11 P AQCP DNCM ABQAQCABQDNC 11111h VVVVShhShS23 323232 下 故选 B 12设 2 2 D22 x xaeaa ,其中2.71828e，则D的最小值为( ) A 2 B3 C 21 D 31 【答案】C 【解析】由题意0a， 2 ()(2)2 x Dxaeaa ， 由 2 ()(2) x xaea 表示两点( ,) x C x e与点( ,2)A aa的距离， 而点A在抛物线 2 4yx上，抛物线的焦点 (1,0)F ，准线为1x， 则D表示
16、A与C的距离和A与准线的距离的和加上 1， 由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上 1， 由图象可知,F A C三点共线时，且QF为曲线 x ye的垂线，此时D取得最小值， 即Q为切点，设( ,) m m e，由 0 1 1 m m e e m ，可得 2 1 m me， 设 2m g mme，则 g m递增，且(0)1g，可得切点(0,1)Q， 即有1 12FQ ，则D的最小值为 21 ，故选 C. 二、填空题 13已知函数 2 log,0 42 ,0 x x x f x x ，则 1 8 ff _. 【答案】-4 【解析】因为函数 2 log,0 42 ,0 x x x f x x ，
17、则 2 11 log3 88 f 1 34 8 fff .故答案为-4. 14已知 1 F， 2 F分别为椭圆 22 :1 259 xy C的左、右焦点，且点 A 是椭圆 C 上一点，点 M 的坐标为(2,0)，若AM为 12 F AF 的角平分线，则 2 AF _. 【答案】 5 2 【解析】由题意可知：F1AMMAF2，设 A 在 y 轴左侧， 11 22 AFFM AFMF 3，由|AF1|+|AF2|2a10，A 在 y 轴右侧时，|AF2| 105 42 ， 故答案为： 5 2 15如图（1），在等腰直角ABC中，斜边4AB ，D 为AB的中点，将ACD沿CD 折叠得到如图（2）所示
18、的三棱锥CABD，若三棱锥CABD的外接球的半径为5， 则A DB_. 图（1） 图（2） 【答案】 2 3 【解析】球是三棱锥 CABD 的外接球，所以球心 O 到各顶点的距离相等，如图 根据题意，CD平面 ABD，取 CD 的中点 E，AB 的中点 G，连接 CG，DG， 因为 ADBD，CD平面 ABD，所以 A和 B 关于平面 CDG 对称， 在平面 CDG 内，作线段 CD 的垂直平分线，则球心 O 在线段 CD 的垂直平分线上，设为图 中的 O 点位置，过 O 作直线 CD 的平行线，交平面 ABD 于点 F， 则 OF平面 ABD，且 OFDE1，因为 AF 在平面 ABD 内，
19、所以 OFAF， 即三角形 AOF 为直角三角形，且斜边 OAR 5 ，AF 22 5 1ROF 2， 所以，BF2，所以四边形 ADBF 为菱形，又知 ODR，三角形 ODE 为直角三角形， OE 22 5 1RDE 2，三角形 ADF 为等边三角形，ADF 3 ， 故ADB 2 3 ，故填： 2 3 16 设定义在 D 上的函数( )yh x在点 00 (, ()P x h x处的切线方程为:( )lyg x， 当 0 xx 时，若 0 ( )( ) 0 h xg x xx 在 D 内恒成立，则称 P 点为函数( )yh x的“类对称中心点”，则函 数 2 2 ( )ln 2 x f xx
20、 e 的“类对称中心点”的坐标是_. 【答案】 3 ( , ) 2 e 【解析】由题意得，f（x） 2 1x ex ，f（x0） 2 0 0 2 2 x lnx e （x0）， 即函数 yf（x）的定义域 D（0，+）， 所以函数 yf（x）在点 P（x0，f（x0）处的切线方程 l 方程为： y（ 2 0 0 2 2 x lnx e ）（ 0 2 0 1x ex ）（xx0）， 则 g（x）（ 0 2 0 1x ex ）（xx0）+（ 2 0 0 2 2 x lnx e ）， 设 F（x）f（x）g（x） 2 2 2 x e lnx（ 0 2 0 1x ex ）（xx0）+（ 2 0 0 2
21、 2 x lnx e ）， 则 F（x0）0， 所以 F（x）fx）g（x） 2 1x ex （ 0 2 0 1x ex ） 0 2 0 11xx exx 0 00 22 00 111xxx xxxx exxxex 当 0x0e 时，F（x）在（x0， 2 0 e x ）上递减， x（x0， 2 0 e x ）时，F（x）F（x0）0，此时 0 0 f xg x xx ， 当 x0e 时，F（x）在（ 2 0 e x ，x0）上递减； x（ 2 0 e x ，x0）时，F（x）F（x0）0，此时 0 0 f xg x xx ， yF（x）在（0，e）（e，+）上不存在“类对称点” 若 x0e， 2 22 11()xxe xe xeexe 0，则 F（x）在（0，+）上是增函数， 当 xx0时，F（x）F（x0）0，当 xx0时，F（x）F（x0）0， 故 0 0 f xg x xx ， 即此时点 P 是 yf（x）的“类对称点”， 综上可得，yF（x）存在“类对称点”，e 是一个“类对称点”的横坐标， 又 f（e） 2 2 3 22 e lne e ，所以函数 f（x）的“类对称中心点”的坐标是 3 2 e ，
