1、信道编码概述信道编码概述1信道编码的基本概念信道编码的基本概念2线性分组码线性分组码3汉明码汉明码4循环码循环码56m序列序列信道编码概述信道编码概述信道编码：信道编码：信源编码：信源编码：为提高信号传输的为提高信号传输的有效性有效性而采取的措施。减小量化误差，而采取的措施。减小量化误差，尽可能压缩冗余度，降低数码率，压缩传输频带，提高尽可能压缩冗余度，降低数码率，压缩传输频带，提高通信的有效性。通信的有效性。为提高信号传输的为提高信号传输的可靠性可靠性而采取的措施而采取的措施,亦称差错控亦称差错控制编码。制编码。增加冗余度，具有纠检错能力，提高通信的可靠性。增加冗余度，具有纠检错能力，提高通
2、信的可靠性。两者冗余度的区别：两者冗余度的区别：信源编码是压缩随机的冗余度；信源编码是压缩随机的冗余度；而信道编码是增加有规律的冗余度。而信道编码是增加有规律的冗余度。采用差错控制技术，减小误码率与制造高质量设备，采用差错控制技术，减小误码率与制造高质量设备，提高误码性能相比，往往起到事半功倍的效果。提高误码性能相比，往往起到事半功倍的效果。方式一：前向纠错法方式一：前向纠错法FEC FEC 所发码具有纠错能力，收端接收后自动纠错。所发码具有纠错能力，收端接收后自动纠错。无需反向信道。实时性好，无需反向信道。实时性好，所发码具有纠错能所发码具有纠错能力力，译码译码自动纠错，自动纠错，设备复杂，
3、传输效率设备复杂，传输效率 。纠错纠错 方式二：检错重发法方式二：检错重发法ARQ ARQ 检错检错 所发码具有检错能力，收端接收后判决是否所发码具有检错能力，收端接收后判决是否出错，通过反向信道发送判决结果，发端据此决出错，通过反向信道发送判决结果，发端据此决定是否重发。定是否重发。译码设备简单，对突发错误有效，但要求有译码设备简单，对突发错误有效，但要求有反馈信道。反馈信道。方式三：混合纠错法方式三：混合纠错法HEC HEC 纠检错纠检错 编码既有纠错能力也有检错能力，收端收到编码既有纠错能力也有检错能力，收端收到信息码组后在收端进行检测。在纠错范围内：纠信息码组后在收端进行检测。在纠错范
4、围内：纠正；超出范围：通过正；超出范围：通过ARQARQ方式进行重发。方式进行重发。方式四：信息反馈法方式四：信息反馈法IF IF 无纠无纠/检错检错 收端接收到信息后，将所收到的信息原封不收端接收到信息后，将所收到的信息原封不动地发回给发端。发端对比所收到的信息与之前动地发回给发端。发端对比所收到的信息与之前发送的信息是否一致，决定重发信息或发送新信发送的信息是否一致，决定重发信息或发送新信息。息。方法和设备简单，无需纠检错编译系统。但方法和设备简单，无需纠检错编译系统。但需要双向信道，传输效率需要双向信道，传输效率、实时性差、实时性差 。按码的用途分：按码的用途分：检错码检错码，纠错码，纠
5、删码，纠错码，纠删码 按监督码元与信息码元的关系分：按监督码元与信息码元的关系分：线性码，非线性码线性码，非线性码 按对信息码元处理方式分：按对信息码元处理方式分：分组码，卷积码分组码，卷积码 按信息码元在编码前后是否相同分：按信息码元在编码前后是否相同分：系统码，非系统码系统码，非系统码 按纠检错类型分：按纠检错类型分：纠纠/检随机错、纠检随机错、纠/检突发错检突发错 1.1.纠纠/检错能力是用有规律的冗余度换取的检错能力是用有规律的冗余度换取的 以重复码为例进行讲解：以重复码为例进行讲解：红红 黑黑 两种颜色两种颜色1 0 没有冗余，不能纠没有冗余，不能纠/检错误检错误11 00 (2,1
6、)重复码，最多能检重复码，最多能检1位错位错111 000(3,1)重复码，最多能检重复码，最多能检2或纠或纠111111 00000(5,1)重复码，最多能检重复码，最多能检4或纠或纠2在上各码组中，红色是对信息位的重复，它又称为监督位在上各码组中，红色是对信息位的重复，它又称为监督位(在在重复码中，监督位是信息码的重复重复码中，监督位是信息码的重复)2.2.许用码组与禁用码组的概念许用码组与禁用码组的概念 如如(3,1)重复码重复码:许用码组许用码组:111,000 禁用码组禁用码组:001,010,011,100,101,110 接收端收到的码组为许用码组，说明传输无错，接收端收到的码组
7、为许用码组，说明传输无错，若为禁用码组，则传输一定有错。若为禁用码组，则传输一定有错。若错误太多，从某一许用码组错成另一许用码若错误太多，从某一许用码组错成另一许用码组，则无法识别这种错误。因此纠检错误，对信组，则无法识别这种错误。因此纠检错误，对信道误码率有一定的要求。道误码率有一定的要求。1.1.码长、码重和编码效率码长、码重和编码效率码长：码长：码组码组(又称码字又称码字)中码元的个数中码元的个数,用用n n表示。表示。例：例：1110010 n=71110010 n=7码重：码重：码组中码组中“1”1”码元的个数码元的个数,用用W W表示。表示。例：例：1110010 W=411100
8、10 W=4编码效率：编码效率：差错控制编码中，码长为差错控制编码中，码长为n n，其中信息，其中信息位为位为k k，监督位为，监督位为r,n=k+rr,n=k+r，编码效率：，编码效率：kRn最小码距的大小关系到编码的最小码距的大小关系到编码的纠纠检错能力检错能力。2.2.码距与最小码距码距与最小码距码距：码距：等长码中对应位取不同值的个数等长码中对应位取不同值的个数,用用d d表示。表示。例：例：1111101001010 0 与与 1111010101011 1 d=3 d=3码距等于两等长码对应位模码距等于两等长码对应位模2 2加，得到的码组的码重。加，得到的码组的码重。如如 1110
9、010 1110010 +1101011+1101011 0011001 0011001 码重为码重为3 3，所以上述两码的码距为，所以上述两码的码距为3 3。最小码距：最小码距：在多个等长码组中，每两个码均有一在多个等长码组中，每两个码均有一个码距，其中最小的称最小码距，它记为个码距，其中最小的称最小码距，它记为d d0 0 。3.3.码距的几何解释码距的几何解释 （a2 a1 a0）：）：（110）（011）d=2（111）（000）d=3kRn编码效率：4.4.纠纠(检检)错能力与最小码距错能力与最小码距的关系的关系 1 1）若要检测若要检测e e个错码，则要求：个错码，则要求：d d0
10、 e+1e+1 2 2）若要纠正若要纠正t t个错码，则要求：个错码，则要求：d d0 0 2 2t+1t+1 3 3）若要纠正若要纠正t t个错码个错码,同时检测同时检测e e(et)(et)个错码，则要求：个错码，则要求：d d0 0 e+t+1 e+t+1 例例9-1 试求试求(7,1)(7,1)重复码和重复码和(9,1)(9,1)重复码的纠、检重复码的纠、检错能力。错能力。解：解：(7,1)重复码(9,1)重复码0000007,16,67,213,37,1(),5,1,4,2,ddeeddttddetetetet 根据，即最多能检 位错。根据，即最多能纠 位错。根据，即最多能检5位错，
11、同时纠1位错。或最多能检4位错，同时纠2位错。0000009,18,9,214,9,1(),7,1,6,2,5,3,ddeeddttddetetetetet 根据，即最多能检8位错。根据，即最多能纠4位错。根据，即最多能检7位错，同时纠1位错。或最多能检6位错，同时纠2位错。或最多能检5位错，同时纠3位错。1 1、奇偶监督码：、奇偶监督码：k=n-1,r=1k=n-1,r=1的线性码。的线性码。特点：特点：码组中的码组中的1 1个数是偶数（偶监督码）个数是偶数（偶监督码）或奇数（奇监督码）。或奇数（奇监督码）。120010110 10nnaaa如偶监督时，要满足：偶监督时，要满足：120110
12、11000nnaaa如奇监督时，要满足：奇监督时，要满足：两者的校验能力相同，均只能检测出奇数个错误。两者的校验能力相同，均只能检测出奇数个错误。R=k/n=(n-1)/n=1-1/n编码效率：编码效率：2 2、水平垂直奇偶校验、水平垂直奇偶校验码：码：又称行列监督码或二维奇偶监督码。又称行列监督码或二维奇偶监督码。特点：特点：对水平方向和垂直方向的码元同时实施奇偶监督。对水平方向和垂直方向的码元同时实施奇偶监督。1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0 1 1 0 1 00 1 1 1 1 0 0 0 0 1 11 0 0 1 1 1 0 0 0 0 01 0 1 0
13、 1 0 1 0 1 0 11 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0行列监督码行列监督码 (偶监督偶监督)适于监测突发错误：适于监测突发错误：q逐行传输时，能检测长度逐行传输时，能检测长度b M+1的突发错误的突发错误;q逐列传输时逐列传输时,能检测长度能检测长度b L+1的突发错误；的突发错误；q还能纠正一些仅在一行中的单个错误。还能纠正一些仅在一行中的单个错误。1 1 0 0 1 0 1 0 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0 0 1 00 1 1 1 1 0 0 0 0 1 11 0 0 1 1 1 0 0 0 0 01 0 1 0 1 0 1 0 1 0 11 1 0 0 0
14、1 1 1 1 0 0L5，M10的行列监督码的行列监督码其中其中M为行数，为行数，L为列数为列数3、恒比码：、恒比码：又称等重码或定又称等重码或定1码。码。特点：特点：码组中码组中0，1的个数保持不变。的个数保持不变。若码长为若码长为n，码重为码重为w，则此码的码字个数则此码的码字个数 为：为：Cnw，禁用码字个数为：禁用码字个数为：2n-Cnw码字的个数码字的个数C C5 53 3=10=10检错能力较强，可检出所有奇数和部分偶数错误。适用于传检错能力较强，可检出所有奇数和部分偶数错误。适用于传输电报或其他键盘设备产生的字母或符号，但不适合信源发输电报或其他键盘设备产生的字母或符号，但不适
15、合信源发出的是二进制随机数字序列的场合。出的是二进制随机数字序列的场合。3:2 恒比码恒比码如：我国的电报，每如：我国的电报，每个汉字用四个个汉字用四个10进制进制数表示，每位数表示，每位10进制进制数就采用数就采用 3：2 恒比码恒比码构成的构成的5位码组来表示。位码组来表示。码字的个数码字的个数C53=10 1.1.什么叫线性分组码？什么叫线性分组码？线性：线性：信息码元与监督码元之间的关系可以用一组线性方信息码元与监督码元之间的关系可以用一组线性方程来表示。程来表示。分组：分组：将信息码元若干位为一组，该组监督码元仅与本组将信息码元若干位为一组，该组监督码元仅与本组信息位有关。信息位有关
16、。线性码建立在代数学群论基础上，线性码各许用码的集合构成线性码建立在代数学群论基础上，线性码各许用码的集合构成代数学中的群，因此，又称为群码。代数学中的群，因此，又称为群码。由性质由性质(3)可以方便的确定出线性分组码的最小码距，进而明确可以方便的确定出线性分组码的最小码距，进而明确其纠错能力。其纠错能力。2.2.性质性质(1)(1)含有全零码字。含有全零码字。(2)(2)任意两个许用码字之和仍是一个许用码字。任意两个许用码字之和仍是一个许用码字。（封闭性封闭性）(3)(3)最小码距最小码距d d0 0等于非零码字的最小重量即等于非零码字的最小重量即d d0 0=W Wminmin 分组码中，
17、码长为分组码中，码长为n，每个码组可看成一个，每个码组可看成一个n维维向量，共有向量，共有2n个向量。个向量。这这2n个向量的集合构成个向量的集合构成n维向量空间，通过一维向量空间，通过一组线性方程取出组线性方程取出2k个向量。因此，所有许用码组的个向量。因此，所有许用码组的集合可看成集合可看成n维向量的维向量的k维子空间。维子空间。分组码中每个码组可表示为：分组码中每个码组可表示为：C=(Cn-1，Cn-2，Cn-3，C2，C1，C0)65432106543210n=7;k=3;r=4 C=(C,C,C,C,C,C,C)C,C,C-C,C,C,C-其中：信息位监督位例例9-2 试求试求(7,
18、3)(7,3)码的码的8 8个许用码组个许用码组 编 号信 息 位 监 督 位 1 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 1 1 0 3 0 1 0 1 0 1 1 4 0 1 1 0 1 0 1 5 1 0 0 1 1 0 1 6 1 0 1 0 0 1 1 7 1 1 0 0 1 1 0 8 1 1 1 1 0 0 03654264154065C=C+C+CC=C+CC=C+CC=C+C监督位由决定,该方程称为监督方程7位码共有位码共有128个码字，除个码字，除右侧右侧8个外，其它个外，其它120个码个码字则为禁用码字字则为禁用码字 1.1.生成矩阵生成矩阵66554436542
19、64154065CCCCCCCCCCCCCCCCCCC65432106541001101,01010110011110C C C C C C CC C C该方程用矩阵表示：该方程用矩阵表示：我们将刚才讨论的我们将刚才讨论的(7,3)(7,3)码的码的各码各码元与信息位关系用方程组表示：元与信息位关系用方程组表示：上述矩阵方程记为：上述矩阵方程记为：CM G式中：式中：6543210,CC C C C C C C 称为编码行矩阵称为编码行矩阵654,MC C C 称为信息行矩阵称为信息行矩阵G 称为生成矩阵称为生成矩阵我们将我们将G=Ik Q形式的生成矩阵称为典型生成矩阵，它生成的形式的生成矩阵
20、称为典型生成矩阵，它生成的码字必定是系统码。码字必定是系统码。3100110110011010101011010101100111100011110()3 4 kkkGIQIkIIQkrnkQ则则：100100其其中中：阶阶单单位位矩矩阵阵,010,010001001行行列列阶阶矩矩阵阵,110111011011101111101110非典型生成矩阵经过矩阵行运算能化成典型生成矩阵。非典型生成矩阵经过矩阵行运算能化成典型生成矩阵。,knkGGkGIQkr列列数数为为行行数数为为的的每每一一行行就就是是一一个个码码字字矩矩阵阵特特点点 任任意意两两行行或或三三行行直直到到 行行相相加加全全都都是
21、是码码字字能能记记为为形形式式-称-称为为典典型型生生成成矩矩阵阵,它,它生生成成系系统统码码,系系统统码码，码码字字前前 位位为为信信息息位位,后,后 位位为为监监督督位位例例9-3 已知已知 将它化成典型阵。将它化成典型阵。1011000010110000010110011101G100010101001110010110000101110001011000 10101001110100 11100101100010001011GG解：上式第一、四行模二加-上式第二、三行模二加-上式第三、四行模二加-上式第三行-0 1100001 011KI Q它为形式，故为典型阵。10011010101
22、0110011110G000全全“0”码码0000000 001G矩阵的第三行矩阵的第三行0011110 010G矩阵的第二行矩阵的第二行0101011 011G矩阵的第二行、三行模二加矩阵的第二行、三行模二加0110101 100G矩阵的第一行矩阵的第一行1001101 101G矩阵的第一行、三行模二加矩阵的第一行、三行模二加1010011 110G矩阵的第一行、二行模二加矩阵的第一行、二行模二加1100110 111G矩阵的第一行、二行、三行模二加矩阵的第一行、二行、三行模二加1111000先写出先写出2k个信息位，再利用个信息位，再利用G矩阵计算矩阵计算 2.2.监督矩阵监督矩阵3654
23、264154065CCCCCCCCCCCCC65436425416500000CCCCCCCCCCCCC该方程组等号右边移项到左边得到：该方程组等号右边移项到左边得到：我们前面讨论的我们前面讨论的(7,3)(7,3)码的码的监督方监督方程组表示为：程组表示为：将上式用矩阵表示为：将上式用矩阵表示为：0TTHC可以简记为：可以简记为：654321011110000101010000110010011000010 CCCCCCC编编码码列列矩矩阵阵全全“0”0”列列矩矩阵阵监监督督矩矩阵阵 上例中的监督矩阵如下：上例中的监督矩阵如下：11110001111000101010010101000110
24、010011001011000011100001rHPIH称为监督矩阵。若能记为称为监督矩阵。若能记为P Ir形式，称为典型监督矩阵。形式，称为典型监督矩阵。这是典型监督矩阵这是典型监督矩阵;rTTnrHP IPQPQ列列数数为为行行数数为为矩矩阵阵特特点点 矩矩阵阵中中的的1表1表示示有有监监督督关关系系,0没,0没有有监监督督关关系系典典型型监监督督矩矩阵阵为为形形式式对对典典型型阵阵(证明如下)P与与Q之间关系的证明：之间关系的证明：0 00TTTTrkkTTTrkrTTH GP IIQIP IPII QPQQPQ由由于于生生成成矩矩阵阵的的每每一一行行都都是是一一个个码码字字，它它必必
25、满满足足监监督督方方程程即即：11110001111000111101010010101001010110010011001001111000011100001110100110110011010101011010101100111100011110rkHP IPGIQQ如如上上例例:1101110110111011;TTPQPQ111011103.典型监督矩阵与典型生成矩阵的关系：典型监督矩阵与典型生成矩阵的关系：因此，典型生成矩阵与典型监督矩阵的关系：因此，典型生成矩阵与典型监督矩阵的关系：rkTTTrrTkkHP IGIQPQQPHP IQIGIQIP对典型阵，由生成矩阵可以得到监督矩阵
26、，反之亦然。对典型阵，由生成矩阵可以得到监督矩阵，反之亦然。654321065432106543210()01iiiiiCC C C C C C CRR R R R R R REE E E E E E EERCRCERCERC发发送送的的信信号号码码组组为为 接接收收的的信信号号码码组组为为 错错误误图图样样为为 ，因因为为是是模模二二运运算算该该位位无无错错该该位位为为错错码码 伴随式伴随式00()TTTTTTTTH RSH RHCEH CH EH ESE HSS无错用监督与错误图样一一对应矩阵校验接收码组 有错令或称为伴随式或称校正子、检校子等65432101111000101010001
27、1001011000011111000101010001100101100001TTHEEESHEEEEE错码位置 错码图样 E伴随式S R0 0000001 0001 R1 0000010 0010 R2 0000100 0100 R3 0001000 1000 R4 0010000 1110 R5 0100000 1011 R6 1000000 1101 无错 0000000 0000 由表可见督矩阵的每一列便是一位错码对应的伴随式由表可见督矩阵的每一列便是一位错码对应的伴随式S的列矩的列矩阵。因此根据它便能确定错码图样，从而实现纠错。阵。因此根据它便能确定错码图样，从而实现纠错。线性分组
28、码译码步骤线性分组码译码步骤(1)计算接收码组计算接收码组R的伴随式的伴随式S。（前已证明它与错误图样前已证明它与错误图样E的伴随式相同的伴随式相同）(2)根据根据S找出错误图样找出错误图样E。(3)将接收码将接收码R与错误图样与错误图样E相加相加,便得正确信码便得正确信码C。1.1.什么叫汉明码？什么叫汉明码？能纠一位错码效率最高的线性分组码。（能纠一位错码效率最高的线性分组码。（7，4）分组码便）分组码便是一种汉明码。是一种汉明码。特点：特点：21rn最小码距：最小码距：03d 纠错能力：纠错能力：1t 编码效率编码效率：1knrrRnnn nR 当 很大时，2.2.汉明码监督矩阵汉明码监
29、督矩阵（7 7，4 4）汉明码监督矩阵是）汉明码监督矩阵是7 7列、列、3 3行矩阵。行矩阵。汉明码监督矩阵如何构成呢？汉明码监督矩阵如何构成呢？它根据监督矩阵的每一列便是一位错码对应的伴随它根据监督矩阵的每一列便是一位错码对应的伴随式的列矩阵。式的列矩阵。对（对（7 7，4 4）汉明码错码对应的伴随式的列矩阵共有）汉明码错码对应的伴随式的列矩阵共有7 7种，对典型阵右边必须是种，对典型阵右边必须是r r阶单位阵。阶单位阵。0001111111110 1001110 1001110 1000111 010;1101 010;1011 0101101 0011011 0011101 001010
30、111111010100011111000101010001HHHHH都是典型阵,共有4！=24种典型阵不是监督矩阵(零)为全因有一列001011101110101100011111010001110101011001HH相同-原矩阵的一行、与本矩阵下两行模二加-原矩阵的中间一行-原不是监督矩阵(因有两列)矩阵的二行、三行模二加是监督矩阵，但为非典型阵,可化为典型阵:3.3.汉明码生成矩阵汉明码生成矩阵根据监督矩阵根据监督矩阵H求生成矩阵求生成矩阵G1110 1000111 0101101 0011000 1010100 1110010 1100001 011HG 4.4.根据收码纠错根据收码
31、纠错60001011,0010111110 1000111 0101101 0011110 10010111 01001101 0011THH RR 该码组一个码字为设收码为，(红色为错码)。001与第一11列同,所以错(红色错)011 (1)汉明码中监督位的作用得到最充分的利用。汉明码中监督位的作用得到最充分的利用。以以(7,4)汉明码为例进行说明：汉明码为例进行说明：(7,4)汉明码码长为汉明码码长为7，有，有3位监督位，因此伴随式也是位监督位，因此伴随式也是3位，它共有位，它共有8种状态，其中全种状态，其中全0码表示无错，还有码表示无错，还有7种状态，每种状态表示一位错码，它种状态，每种
32、状态表示一位错码，它正好与码长一致，没有多余状态，因此监督位作用得到充正好与码长一致，没有多余状态，因此监督位作用得到充分利用，故它的效率最高。分利用，故它的效率最高。(2)其它汉明码构成及其特点其它汉明码构成及其特点 以上讨论了以上讨论了(7,4)汉明码，它的监督位为汉明码，它的监督位为3，若监督位，若监督位r=4则则24=16，即伴随式有，即伴随式有16种状态，除去全零码还有种状态，除去全零码还有15种种状态。因此码长状态。因此码长n=15，则，则k=n-r=15-4=11,故为故为(15,11)汉明汉明码。余此类推，还有码。余此类推，还有(63,57)汉明码；汉明码；(127,120)汉
33、明码；汉明码；(255,247)汉明码；汉明码；(511,502)汉明码汉明码 5.5.汉明码特点汉明码特点 监督位监督位r r码长码长n n信息位信息位K K汉明码名称汉明码名称2 23 31 1（3 3，1 1）汉明码）汉明码3 37 74 4（7 7，4 4）汉明码）汉明码4 415151111（1515，1111）汉明码）汉明码5 531312626（3131，2626）汉明码）汉明码6 663635757（6363，5757）汉明码）汉明码7 7127127120120（127127，120120）汉明码）汉明码8 8255255247247（255255，247247）汉明码）汉明
34、码9 9511511502502（511511，502502）汉明码）汉明码 (3)汉明码的编码效率及对信道要求：汉明码的编码效率及对信道要求：随着码长增加，汉明码的编码效率逐步提高，并趋于随着码长增加，汉明码的编码效率逐步提高，并趋于1。但是它对信道要求也随之提高。但是它对信道要求也随之提高。如如(511,502)汉明码，汉明码，R=502/511=98%，传，传511个码，错个码，错一位码，则能纠正，错两位则能发现。因此码长越长的汉一位码，则能纠正，错两位则能发现。因此码长越长的汉明码，对信道误码的要求也越高。明码，对信道误码的要求也越高。最短的汉明码为最短的汉明码为(3,1)汉明码，监督
35、位汉明码，监督位r=2,n=3,k=1,其效其效率最低率最低R=1/3，但对信道要求也低，三位码中错一位能纠，但对信道要求也低，三位码中错一位能纠正，若错两位则能发现。正，若错两位则能发现。什么叫循环码？什么叫循环码？循环码也是一种分组码。若线性分组码的任一码组循循环码也是一种分组码。若线性分组码的任一码组循环移位所得码组仍在该码组集中，则此码为循环码。环移位所得码组仍在该码组集中，则此码为循环码。1210annCCCCC则将则将所有码元向左循环一位，得到的：所有码元向左循环一位，得到的：23101bnnnCCCCC C也是许用码组也是许用码组是许用码组。是许用码组。循环码的特殊构造便于应用代
36、数理论加以分析，且易于循环码的特殊构造便于应用代数理论加以分析，且易于用除法电路等实现，因此得到广泛应用。用除法电路等实现，因此得到广泛应用。循环码不仅有封闭循环码不仅有封闭性，且还有循环性。性，且还有循环性。循环码的循环圈数循环码的循环圈数2W=01W=43267845 同一循环圈内，码字的同一循环圈内，码字的重量相同重量相同 编编 号号 (7,3)循环码循环码 1 0000000 2 0011101 3 0100111 4 0111010 5 1001110 6 1010011 7 1101001 8 1110100 1.1.循环码具有循环特性循环码具有循环特性W=01W=4647W=68
37、 编编 号号(6,3)循环码循环码 1 000000 2 001001 3 010010 4 011011 5 100100 6 101101 7 110110 8 111111W=2235 为了便于用代数理论分析循环码，可以用代数多项式为了便于用代数理论分析循环码，可以用代数多项式表示循环码字，这种多项式称为码多项式。码长为表示循环码字，这种多项式称为码多项式。码长为n的码的码多项式为：多项式为：2.2.码多项式码多项式12212210()nnnnC XCXCXC XC XC如码字如码字0011101它的码多项式为：它的码多项式为：432()1C XXXX码字循环左移一位变为码字循环左移一位
38、变为0111010它的码多项式为：它的码多项式为：543()C XXXXX()()C XC XX-左移一位，则码多项式乘左移一位，则码多项式乘X在码多项式中在码多项式中X的幂次，则代表对应码序列的位置。的幂次，则代表对应码序列的位置。1.1.定义定义:循环码中，除全零码外，幂次最低的码循环码中，除全零码外，幂次最低的码多项式称为生成多项式。记为多项式称为生成多项式。记为g(xg(x)它的最它的最高幂次为高幂次为r r2.2.g(xg(x)的含义的含义循环码的其它码字都是循环码的其它码字都是g(xg(x)的的倍式倍式 信息码信息码0000001001对应编码的码字就是对应编码的码字就是g(xg(
39、x)信息码信息码0000010010对应编码的码字就是对应编码的码字就是xg(xxg(x)信息码信息码0000100100对应编码的码字就是对应编码的码字就是x x2 2g(x)g(x)等等等等若信息码若信息码M(xM(x),),对应编码的码字则为对应编码的码字则为M(x).g(xM(x).g(x),),上式中上式中M(xM(x)为信息码多项式。为信息码多项式。3.3.g(xg(x)的寻找的寻找 ()(1)ng XX是是的的因因式式73323323323432()(11(1)(1)(1)()1()1;()1()(1)(1);()(1)(1)1,(7(1)().3)XXXXXXg XXg XXX
40、g XXXg XXXXgg XXXXXXXXXXg XX 如如因因式式因因式式-构构成成(7 7,6 6)循循环环码码因因式式-构构-它它构构成成成成(7 7,4 4)循循环环码码因因式式-前前述述循循环环码码构构成成(7 7,3 3)循循环环码码因因式式-332(1)(1)XXXX构构成成(7 7,1 1)循循环环码码12()()()()()kkxg xxg xG xxg xg x所以，只要知道生成多项式便可求出生成矩阵。把生成矩阵所以，只要知道生成多项式便可求出生成矩阵。把生成矩阵化为典型阵，然后再求出监督矩阵。化为典型阵，然后再求出监督矩阵。1.1.生成矩阵生成矩阵13322232323
41、2()(1)()(1)()(1)()(1)()11010001000 11001101000100 01100110100010 11100011010001 101kkXg XXXXXg XXXXG XXXXXg XXXg XGGH将它化为典型阵1011 1001110 0100111 001它也是汉明码 例例9-4 9-4 g(xg(x)=x)=x3 3+x+x2 2+1+1构成的（构成的（7,47,4）循环码的生）循环码的生成矩阵和监督矩阵。成矩阵和监督矩阵。(7,4)汉明码中有两个码，既是典型汉明码也是典型循环码。汉明码中有两个码，既是典型汉明码也是典型循环码。m m序列序列伪随机序列
42、伪随机序列 m m序列性质序列性质(1)(1)均匀性均匀性：“1”1”比比“0”0”多一个多一个(2)(2)游程分布随机性游程分布随机性：取值连续相同的元素称一个游程。取值连续相同的元素称一个游程。长度为长度为1 1的游程占总游程数的的游程占总游程数的1/21/2长度为长度为2 2的游程占总游程数的的游程占总游程数的1/41/4 长度为长度为k k的游程占总游程数的的游程占总游程数的1/21/2k k(3)(3)移位相加特性移位相加特性：序列循环移位与原序列模二加所得序序列循环移位与原序列模二加所得序列是原序列的移位序列。列是原序列的移位序列。(4)(4)自相关函数自相关函数：单峰自相关函数单峰自相关函数类似于白噪声类似于白噪声()10()10;1,2,-1)ADADR jADPADPADmjR jjjPP 对应位相同个数对应位不同个数序列周期长度,(
