1、第五章第五章 习题（参考答案）习题（参考答案）第五章第五章 主要公式主要公式（1）应力分量的复变函数表示应力分量的复变函数表示（5-8）（5-9）xy)()(211zz)(Re41zxyxyi 2)()(211zzz（2）位移分量的复变函数表示位移分量的复变函数表示)()()(1)3(1)(111zzzzivuE)()()()43(1)(111zzzzivuE 平面应力问题平面应力问题 平面应变问题平面应变问题BAsdsYXzzzz)i(i)()()(111（5-12）应力边界条件应力边界条件的复变函数表示的复变函数表示（3）边界条件的复变函数表示边界条件的复变函数表示对无限大多连域问题求解：
2、对无限大多连域问题求解：)(ln)i(81)(011zBzzYXz)()i(ln)i(83)(011zzCBzYXz（5-15）其中：其中：22101)(zazaz22101)(zbzbz（5-16）421BCBii2212)(e（5-17）mkkmkkYYXX11,为为m个内边界上个内边界上 x、y 方向面力之和（主矢）方向面力之和（主矢）（1）z-平面内求解：平面内求解：1)()()()(13111v iuEzzzzs（5-13）位移边界条件位移边界条件的复变函数表示的复变函数表示（2）-平面内求解：平面内求解：)(z 由孔口的形状确定所用的保角变换由孔口的形状确定所用的保角变换)()()
3、(111z)()()(111z)(/)()()(11z)(/)()()(11z（5-19）（5-20）)(/)()(1 z)()()()()(1)3()()(1)(iuuE（5-22）曲线坐标中位移分量的复变函数表示曲线坐标中位移分量的复变函数表示)(Re4)()(2i 2)()()()()(222（5-23）曲线坐标中应力分量的复变函数表示曲线坐标中应力分量的复变函数表示BAdsYX)i(i)()()()()(曲线坐标中应力边界条件的的复变函数表示曲线坐标中应力边界条件的的复变函数表示两种常用两种常用Cauchy积分：积分：（1）设函数设函数 F()在单位圆在单位圆之内之内是解析的，且在圆内
4、及圆周上连续，则是解析的，且在圆内及圆周上连续，则对圆内任一点对圆内任一点都将有：都将有：)()(i21FdF（5-33）适用于适用于有限有限大区域的大区域的Cauchy积分。积分。（2）设函数设函数 F()在单位圆在单位圆之外之外是解析的，且在圆外及圆周上连续，则是解析的，且在圆外及圆周上连续，则对圆内任一点对圆内任一点都将有：都将有：)()(i21FdF（5-34）适用于适用于无限无限大区域的大区域的Cauchy积分。积分。无限大弹性体单孔口问题求解步骤：无限大弹性体单孔口问题求解步骤：（1）由孔口的形状，确定相应的保角变换：由孔口的形状，确定相应的保角变换：)(z（2）由式（由式（5-3
5、0）求出）求出)()()(81ln2i)i(i0iYXYXdsYXf)()()(2CiBB（5-30）（3）由式（由式（5-35）、）、（5-36）求出）求出（5-36）di)()()(21)(00dfi021di)()()(21)(00dfi021（5-35）（5-24）（4）由式（由式（5-25）、）、（5-26）求出）求出)()(ln)i(81)(0BYX)()()i(ln)i(83)(0CBYX（5-25）（5-26）（5）由式（由式（5-22）、）、（5-23）求出）求出)()()()()(1)3()()(1)(iuuE（5-22）曲线坐标中位移分量的复变函数表示曲线坐标中位移分量的
6、复变函数表示)(Re4)()(2i 2)()()()()(222（5-23）曲线坐标中应力分量的复变函数表示曲线坐标中应力分量的复变函数表示题题5-1试考察下列复变函数所解决的问题：试考察下列复变函数所解决的问题：;2)(,4)(11zqzzqz（a）;2)(,4)(11zqzzqz（b）;i)(,0)(11qzzz（c）解：解：基本公式：基本公式：xyxyi 2)()(211zzz xy)()(211zz)(Re41z（a）,4)(1qz,2)(1qz ;0)(1 z代入公式，有代入公式，有xyqxyxyi 2q求解，得求解，得,qy,0 x0 xyxyqq（b）,4)(1qz,2)(1qz
7、 ;0)(1 z代入公式，有代入公式，有xyqxyxyi 2q求解，得求解，得,0y,qx0 xyxyqq可解决可解决 y 方向的均匀拉伸问题。方向的均匀拉伸问题。可解决可解决 x 方向的均匀拉伸问题。方向的均匀拉伸问题。（c）,0)(1 z,i)(1qz ;0)(1 z代入公式，有代入公式，有xy0 xyxyi 2q i 2求解，得求解，得,0y,0 xqxyxyqq可解决矩形薄板的纯剪切问题。可解决矩形薄板的纯剪切问题。题题5-1试考察下列复变函数所解决的问题：试考察下列复变函数所解决的问题：;2)(,4)(11zqzzqz（a）;2)(,4)(11zqzzqz（b）;i)(,0)(11q
8、zzz（c）解：解：基本公式：基本公式：xyxyi 2)()(211zzz xy)()(211zz)(Re41z题题5-2试证矩形截面梁的纯弯曲问题可用如下的复变函数求解。试证矩形截面梁的纯弯曲问题可用如下的复变函数求解。21218i)(,8i)(zIMzzIMz其中：其中：I 为梁载面的惯性矩，为梁载面的惯性矩，M 为作用的弯矩。为作用的弯矩。xyMMy解：解：基本公式：基本公式：xyxyi 2)()(211zzz xy)()(211zz)(Re41z,4i)(1zIMzzIMz4i)(1IMz4i)(1 代入应力分量公式，有代入应力分量公式，有xyxyxyi 2zIiMIiMz4)4(2)
9、iRe(zIMyIMyIM联立求解，得联立求解，得,yIMx,0y0 xy边界条件：边界条件：dSYXzzzzii)()()(111218i)(zIMz,4i)(1zIMz xyyIMxyyIM0 xy实部、虚部分开，得实部、虚部分开，得218i)(zIMz,4i)(1zIMz 代入边界条件式，有代入边界条件式，有28izIMzIMz4i28izIMdSYXii0000边界条件满足边界条件满足题题5-2试证矩形截面梁的纯弯曲问题可用如下的复变函数求解。试证矩形截面梁的纯弯曲问题可用如下的复变函数求解。21218i)(,8i)(zIMzzIMz其中：其中：I 为梁载面的惯性矩，为梁载面的惯性矩，
10、M 为作用的弯矩。为作用的弯矩。xyMMy,4i)(1zIMzzIMz4i)(1边界条件分析：边界条件分析：解：解：基本公式：基本公式：xyxyi 2)()(211zzz xy)()(211zz)(Re41zdSYXzzzzii)()()(111题题5-3试导出复变函数试导出复变函数 1(z)及及 1(z)表示极坐标中应力分量的公式表示极坐标中应力分量的公式。rri 2i211e)()(2zzz r)(Re41z解：解：坐标变换法坐标变换法对平面问题，有对平面问题，有ryx1=常数常数有有r)(Re41z由平面问题的应力分量坐标变换式：由平面问题的应力分量坐标变换式：2sin2cos22xyy
11、xyxr2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyxr)(Re41zyx而而 平面问题的应力平面问题的应力第一不变量第一不变量rri 22sin2cos22xyyxyx2sin2cos22xyyxyxr2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2xyyxr2sin2cos22xyyxyx2cos2sin2i 2xyyx2sin22cosxyyx2cosi 22sinixyyx2sin2cosiyx2sini2cos2xyiie2ie2ixyixyeie222ixyxyei22rri 2r)(Re41z题题5-4试习题试习题5-3公式公式由由zPzzPzln2)(,ln2)(
12、11导出解答（导出解答（4-26）：）：PxyOr00rr)cos(2rPr解：解：基本公式：基本公式：xyxyi 2)()(211zzz xy)()(211zz)(Re41z计算：计算：zPzzPz12)(,12)(11,12)(21zPz ,12)(1zPzzPzln2)(1计算应力：计算应力：xy ,12Re4zPxyxyi 22122zPzzP 122zzzP习题习题5-3公式公式：rri 2i211e)()(2zzz r)(Re41zPxyOrxy ,12Re4zP2122zPzzP 122zzzP习题习题5-3公式公式：rri 2i211e)()(2zzz r)(Re41zxyxy
13、i 2代入习题代入习题5-3公式公式，有，有r ,12Re4zPi22ezzzPrri 2irez 2eecosii-rrPcos2rri 2rPcos2rPrcos200rie rz题题5-5试习题试习题5-3中的中的公式公式由由)2(2)(),2(4)(3311zazaazqazzaazqaz导出解答（导出解答（4-17）：）：2cos312124422raqraq2cos)31)(1(2)1(2222222raraqraqr2sin)31)(1(22222raraqrr（4-17）齐尔西（齐尔西（G.Kirsch）解）解解：解：基本公式：基本公式：xyxyi 2)()(211zzz xy
14、)()(211zz)(Re41z计算：计算：),21(4)(21zaaqaz)321(2)(4321zazaaqaz 1)(321zqaz （1）代入公式（代入公式（1），有），有xyxyxyi 2解：解：基本公式：基本公式：xyxyi 2)()(211zzz xy)()(211zz)(Re41z计算：计算：),21(4)(21zaaqaz)321(2)(4321zazaaqaz 1)(321zqaz （1）)(Re41z)21Re(2zaaqa 232zzqa)321(2432zazaaqa)()(211zzz 324422231zazzazaq)2cos21(2raaqa e2e3ei22
15、2i24422i2rararaqirez ie rz利用：利用：sinicosei（2）rrri 2（3）rrri 2)21Re(2zaaqaxyi2ei 2xyxyi2e324422231zazzazaq将式（将式（3）的实部与虚部分开，有：）的实部与虚部分开，有：r 2cos22cos32cos224422rararaq（4）r 2sin22sin32sin22244raraq（5）)2cos21(2raaqa（2）rr 2cos22cos32cos224422rararaqr 2sin22sin32sin22244raraq（5）（4）联立式（联立式（2）和式（）和式（4），可解得），可
16、解得2212raqr 2cos31122222raraq2212raq 2cos31244raq 2sin31122222raraqr题题5-6具有椭圆口的薄板，在平行于孔轴的方向受有均布剪应力具有椭圆口的薄板，在平行于孔轴的方向受有均布剪应力q，如图所示。，如图所示。试求复变函数试求复变函数 1()及及 1()，并求孔边的应力及其极值。，并求孔边的应力及其极值。qqqq 45qqqqa2b2xy解：解：（1）选取适当的保角变换函数）选取适当的保角变换函数椭圆：椭圆：)(z)1(mR)()1(mR)1()(mR)1()(2mR)()(2mR单位圆边界上，有：单位圆边界上，有：其中：其中：bab
17、ambaR,2（2）确定系数）确定系数 B、B、C 及角及角 ,1q由无穷远处的应力：由无穷远处的应力：,445q2)(4121B0Bqqqq 45qqqqa2b2xy（2）确定系数）确定系数 B、B、C 及角及角 ,1q由无穷远处的应力：由无穷远处的应力：,445q2)(4121B0BieCiB221)(212iqe2iqeCiB（3）求）求)(),(00ffln2i)i(i0YXdsYXf)(2B)()()(81iYX)()(CiB0000)()()(0CiBf2)(iemqR)()()(0CiBf2)(iemqR)(0f2)1(iemqRqqqq 45qqqqa2b2xy（4）求）求 0
18、()及及 0()(0dfi021di)()()(210dfi021demqRii2)(212ieqRiqR)()1()()(2mm110)(kkkR将其代入式（将其代入式（a）右边的第二项，有）右边的第二项，有di)()()(210dRmmkkk112)()1(i210（在单位圆外解析）在单位圆外解析）dfi0021)(iqR)(0dfi021di)()()(210dfi021demqRii2)1(21iqRmdi)()()(210diqRmmi)1()1(212iqRmm231)(0iqRmiqRmm231（5）求）求 ()及及 ()()(ln)i(81)(0BYX（5-25）)()()i(
19、ln)i(83)(0CBYX（5-26）000CiB2iqeiq)1()(mR并代入并代入 0()及及 0()，有，有)()(0iqR)()()i()(0CB)1(miqRiqRmiqRmm231整理，有整理，有iqR)(2411)(miqRiqR)(0)(0iqRmiqRmm231（6）孔边应力）孔边应力)(/)()()(z)1()(2mRiqR)(122miq)(Re4)()(2边界条件：边界条件：0ie0ieiemiq1Re42212cos22sin42mmq,0dd012cos242cos)1(2222mmmm2122cosmm极值点极值点22112sinmm（b）代入式（代入式（b）
20、,有有minmax214mq题题5-7具有椭圆口的薄板，在孔边受有均布剪应力具有椭圆口的薄板，在孔边受有均布剪应力q，如图所示。试求复变函，如图所示。试求复变函数数 ()及及()，并求孔边的应力及其极值。，并求孔边的应力及其极值。解：解：（1）选取适当的保角变换函数）选取适当的保角变换函数椭圆：椭圆：)(z)1(mR)()1(mR)1()(mR)1()(2mR)()(2mR单位圆边界上，有：单位圆边界上，有：其中：其中：babambaR,2（2）确定系数）确定系数 B、B、C 及角及角 由无穷远处的应力：由无穷远处的应力：0210)(4121B0)(21221ieCiB0)(21221ieCi
21、BYXYX,孔口处外力自成平衡，孔口处外力自成平衡，有有0YXX),cos(yNqqmY),cos(xNqqlN（2）确定系数）确定系数 B、B、C 及角及角 由无穷远处的应力：由无穷远处的应力：0210)(4121B0)(21221ieCiB0)(21221ieCiBYXYX,孔口处外力自成平衡，孔口处外力自成平衡，有有0YXX),cos(yNqqmY),cos(xNqql YiXiqlqm dsYiXildsmdsqidydxqiyxqdqdz（3）求）求)(),(00ffln2i)i(i0YXdsYXf)(2B)()()(81iYX)()(CiB0000qdzfi0qzimqR1i1i)
22、(0mqRfN（4）求）求 0()及及 0()(0dfi021di)()()(210dfi021dmiqRi)1(21iqRmdi)()()(210dRmmkkk112)()1(i210（在单位圆外解析）在单位圆外解析）dfi0021)(iqRm)(0dfi021di)()()(210dfi021dmiqRi)1(21iqRmqRf1i)(01i)(0mqRfdi)()()(210diqRmmmi)1()1(212iqRmmm231)(0iqRiqRmmm231)(0iqRm（5）求）求 ()及及 ()()(ln)i(81)(0BYX)()()i(ln)i(83)(0CBYX（5-25）（5-
23、26）0000)()(0iqRm)()(0iqRmmmiqR231mmmiqR2211222121mmmiqRiqRm)(222121)(mmmiqR（6）孔边应力）孔边应力)()()()(z)1()(2mRiqRm)(122miqm)(Re4)()(2边界条件：边界条件：0ie0ieiemiqm1Re42212cos22sin42mmqm（b）孔边应力最大值：孔边应力最大值：,0dd012cos242cos)1(2222mmmm2122cosmm22112sinmm代入式（代入式（b）,有有minmax214mmq极值点极值点补充题补充题具有圆孔的无限大薄板，在平行于具有圆孔的无限大薄板，在
24、平行于 x 方向作用有均布拉力方向作用有均布拉力q，试，试用复变函数法求解圆孔附近的应力分布。用复变函数法求解圆孔附近的应力分布。解：解：（1）选取适当的保角变换函数）选取适当的保角变换函数圆：圆：)(z1a)(1aa)(2)(a2)(a单位圆边界上，有：单位圆边界上，有：)1()(mRzbabambaR,2（2）确定系数）确定系数 B、B、C 及角及角 ,1q由无穷远处的应力：由无穷远处的应力：,002)(4121B4qB ieCiB221)(212q2qCiBYXYX,0,0YXYX（3）求）求)(),(00ff（2）确定系数）确定系数 B、B、C 及角及角 ,1q由无穷远处的应力：由无穷
25、远处的应力：,002)(4121B4qB ieCiB221)(212q2qCiBYXYX,0,0YXYX（3）求）求)(),(00ffln2i)i(i0YXdsYXf)(2B)()()(81iYX)()(CiB000)(2B)()(CiB)(0f12qa2qa12qa)(0f12qa（4）求）求 0()及及 0()(0dfi021di)()()(210)(0f12qa)(0f12qadfi021dqai)1(2212qadi)()()(210dRkkk1131i21)(1a2)(a31)()(0（在单位圆外解析）在单位圆外解析）2)(0qa2)(0qa)(0dfi021di)()()(210)
26、(0f12qa)(0f12qa2)(0qa2)(0qa)(0dfi021di)()()(210dfi021dqai)1(2212qadi)()()(210a)(2)(a3)()(dqai1221332qa3022)(qaqa12)(20qa（5）求）求 ()及及 ()()(ln)i(81)(0BYX)()()i(ln)i(83)(0CBYX（5-25）（5-26）00,4qB 2qCiB1)(az)()()(0 B2)(0qa12)(20qa214qaqa)()()i()(0CB12122qaqa（6）孔边应力）孔边应力)()()()(z2214qa)(Re4)()(2边界条件：边界条件：0i
27、e0ie)2cos21(qaq3maxieqa)21(4Re42一、平面问题复变函数方法的求解思路一、平面问题复变函数方法的求解思路复变函数方法复变函数方法 应力函数法应力函数法利用利用保角变换保角变换，将求解的区域，将求解的区域 D 变换为一个变换为一个中心单位圆中心单位圆域；再利域；再利用用解析函数在闭环上的积分性质解析函数在闭环上的积分性质，求出，求出 。将寻求将寻求应力函数应力函数 U 的问题转化为寻求的问题转化为寻求两个解析函数两个解析函数 的问题的问题)(),(11zz)(),(（1）（2）（3）二、应力函数、应力分量、位移分量、边界条件的复变函数表示二、应力函数、应力分量、位移分
28、量、边界条件的复变函数表示)()(2111zzzzU)()(11zz（5-5）（1）（2）xyyxi 2)()(211zzz（5-9）yx)()(211zz)(Re41z（5-8）)()(11zz其中：其中：（3）)()()(1)3(1)(111zzzzivuE（5-10）BAsdsYXzzzz)i(i)()()(111（5-12）应力边界条件应力边界条件的复变函数表示的复变函数表示1)()()()(13111v iuEzzzzs（5-13）位移边界条件位移边界条件的复变函数表示的复变函数表示（4）三、多连体及无限大多连体中，三、多连体及无限大多连体中，结构特点结构特点)(),(11zz（1）
29、一般多连体：）一般多连体：)()ln()i(81)(111zzzYXzkmkkk)()ln()i(83)(*111zzzYXzkmkkk（5-14）其中：其中：三、多连体及无限大多连体中，三、多连体及无限大多连体中，结构特点结构特点)(),(11zz（1）一般多连体）一般多连体)()ln()i(81)(111zzzYXzkmkkk)()ln()i(83)(*111zzzYXzkmkkk（5-14）（保证多连体中应力和位移的单值性。）（保证多连体中应力和位移的单值性。）)(),(11zz为该多连体中单值解析函数。为该多连体中单值解析函数。)i(kkYX 为第为第 k 个内边界上面力主矢量。个内边
30、界上面力主矢量。（2）无限大多连体）无限大多连体)(ln)i(81)(011zBzzYXz)()i(ln)i(83)(011zzCBzYXz（5-15）其中：其中：mkkmkkYYXX11,22101)(zazaz22101)(zbzbz（5-16）（2）无限大多连体）无限大多连体)(ln)i(81)(011zBzzYXz)()i(ln)i(83)(011zzCBzYXz（5-15）其中：其中：mkkmkkYYXX11,22101)(zazaz22101)(zbzbz（5-16）421BCBii2212)(e（5-17）BAsdsYXzzzz)i(i)()()(111（5-12）应力边界条件应
31、力边界条件的复变函数表示的复变函数表示1)()()()(13111v iuEzzzzs（5-13）位移边界条件位移边界条件的复变函数表示的复变函数表示四、保角变换与曲线坐标下基本量及公式的表示四、保角变换与曲线坐标下基本量及公式的表示（1）保角变换）保角变换)(z常用的保角变换函数：常用的保角变换函数：椭圆孔口椭圆孔口mRz1)(2baRbabam其中，其中，圆孔口圆孔口az)(（a 为圆孔半径）为圆孔半径）裂隙（裂纹）裂隙（裂纹）12)(az正方形孔口正方形孔口)(z11731761561611R圆盘或圆柱圆盘或圆柱Rz)(（2）曲线坐标下基本量及公式的表示）曲线坐标下基本量及公式的表示)(
32、)()(111z)()()(111z（5-19）)(/)()(1 z)(/)()()(11z)(/)()()(11z（5-20）)()()()()(1)3()()(1)(iuuE曲线坐标中曲线坐标中位移分量位移分量的复变函数表示的复变函数表示（5-22）)(Re4)()(2i 2)()()()()(222（5-23）曲线坐标中曲线坐标中应力分量应力分量的复变函数表示的复变函数表示BAdsYX)i(i)()()()()(曲线坐标中曲线坐标中应力边界条件应力边界条件的的复变函数表示的的复变函数表示五、无限大孔口问题的求解方法五、无限大孔口问题的求解方法（1）由孔口的形状，确定保角变换函数）由孔口的
33、形状，确定保角变换函数)(z（2）由式（由式（5-30）求出）求出)()()(81ln2i)i(i0iYXYXdsYXf)()()(2CiBB（5-30）（3）由式（由式（5-35）、）、（5-36）求出）求出（5-36）di)()()(21)(00dfi021di)()()(21)(00dfi021（5-35）（4）由式（由式（5-25）、）、（5-26）求出）求出)()(ln)i(81)(0BYX)()()i(ln)i(83)(0CBYX（5-25）（5-26）（5）由式（由式（5-22）、）、（5-23）求出）求出)()()()()(1)3()()(1)(iuuE（5-22）曲线坐标中位
34、移分量的复变函数表示曲线坐标中位移分量的复变函数表示)(Re4)()(2i 2)()()()()(222（5-23）曲线坐标中应力分量的复变函数表示曲线坐标中应力分量的复变函数表示六、两个重要积分六、两个重要积分Cauchy积分公式积分公式)()(i21FdF（5-33）适用于适用于有限有限大区域的大区域的Cauchy积分。积分。（1）)()(i21FdF（5-34）适用于适用于无限无限大区域的大区域的Cauchy积分。积分。（2）（1）平面问题复变函数解法的意义？平面问题复变函数解法的意义？（2）复变函数解法中，平衡方程、相容方程、边界条件是如何满足的？复变函数解法中，平衡方程、相容方程、边
35、界条件是如何满足的？（3）多连体中，应力和位移单值条件是如何满足的？无限大多连体中，多连体中，应力和位移单值条件是如何满足的？无限大多连体中，应力和位移有限性是如何考虑的？应力和位移有限性是如何考虑的？（4）椭圆孔口问题复变函数解法的步骤？椭圆孔口问题复变函数解法的步骤？（5）用保角变换方法求解复杂边界问题的基本思想？用保角变换方法求解复杂边界问题的基本思想？（6）试就下列公式说明：试就下列公式说明：（a）单连体中，平面问题的应力与弹性常数无关；）单连体中，平面问题的应力与弹性常数无关；（b）多连体中，平面问题的应力与弹性常数无关的条件；）多连体中，平面问题的应力与弹性常数无关的条件；xyyxi 2)()(211zzz（5-9）yx)()(211zz)(Re41z（5-8）)()ln()i(81)(111zzzYXzkmkkk)()ln()i(83)(*111zzzYXzkmkkk（5-14）
